Übungsaufgaben zu E1/E1p Mechanik, WS 2015/16 Thomas Udem, David Hunger Fakultät für Physik, Ludwig-Maximilians-Universität, München Blatt 6 wird am 25.11. 27.11.2015 besprochen Anmerkung: Lehramtstudierende und Studierende mit Nebenfach (6 ECTS) brauchen Aufgaben, die mit einem (*) gekennzeichnet sind, nicht zu bearbeiten. Aufgabe 20 Fall durch die Erde Stellen Sie sich vor, es sei möglich, geradlinig vom Nordpol zum Südpol ein Loch durch die Erde zu bohren. Vom Nordpol aus lasse man eine Kugel der Masse eine homogene Kugel der Masse ME = 5, 98 × m = 1 kg in das Loch fallen. Die Erde sei 1024 kg mit dem Radius a) Welche Kraft wirkt auf die Kugel als Funktion des Abstandes r RE = 6378 km. vom Erdmittelpunkt? b) Wie groÿ ist bei Startgeschwindigkeit Null die Geschwindigkeit der Kugel am Erdmittelpunkt? Benutzen Sie dazu das in der Vorlesung hergeleitete Gravitationspotential. Aufgabe 21 Fall vom Eifelturm Von der Spitze des Eifelturms (Höhe 300 m) in Paris (≈ 49◦ nördlicher Breite) fällt bei Windstille eine Niete ungehindert zu Boden. Um herauszunden, wo die Niete relativ zur Lotlinie des Startortes aufschlägt, lösen Sie die folgenden Teilaufgaben. a) Geben Sie explizite Darstellungen für die Geschwindigkeits-, Winkelgeschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren an. Zur Vereinfachung sei bei der Geschwindigkeit (zunächst) nur die vertikale Komponente von Null verschieden. Stellen Sie mit diesen Vektoren das Kräftegleichgewicht auf (Prinzip von d'Alembert) und vernachlässigen Sie dabei die Zentrifugalkraft. b) Lösen Sie die sich ergebende Bewegungsgleichung für r̈ durch zweifache Integration der jeweils ein- zelnen Komponenten für geeignete, vereinfachte Randbedingungen. Geben Sie erst die allgemeine Formel für die Abweichung des Aufschlagortes von der Lotlinie an, bevor Sie die Abweichung für den konkret angegebenen Fall berechnen. c) Was geschähe, wenn man den gleichen Vorgang am Nordpol bzw. am Äquator beobachten könnte? Aufgabe 22 Interplaneterer Flug 3 1 Ein interplanetares Objekt werde mit Positon ~ r = 0 und Geschwindigkeit ~v = 3 betrachtet, 0 4 8 wobei die Entfernung in Astronomischen Einheiten (1 AE = 1, 5 × 10 km) und die Geschwindigkeit in Astronomischen Einheiten pro Jahr gemessen wird. Es soll nur das Gravitationsfeld der Sonne berücksichtigt werden. (Die Sonnenmasse beträgt 6, 67 × M = 2 × 1030 kg, die Gravitationskonstante 10−11 m3 /kg/s2 ). a) Berechnen Sie den Drehimpuls pro (Objekt-)Masse und die Gesamtenergie pro Masse. b) Kann das Objekt das Sonnensystem verlassen oder ist es an die Sonne gebunden? c) Berechnen Sie die Exzentrizität des Objekts. G = Aufgabe 23* Raumstation Perry Rhodan landet mit seinem Raumgleiter auf einer verlassenen Raumstation, die sich im gravitationsfreien Raum bendet. Die Raumstation ist ein Ringtunnel (Reifen) mit einem äuÿeren Durchmesser von d = 80 m. Alle Bedienungselemente der Raumstation sind noch intakt, so auch diejenigen, mit de- nen ein künstliches Schwerefeld g = 10 m/s2 durch Rotation der Raumstation um das Ringzentrum mit senkrecht zur Ringebene stehender Drehachse erzeugt werden kann. a) Welche Winkelgeschwindigkeit ω muss Perry Rhodan der Raumstation geben, damit sein Hund Pluto im Aufenthaltsraum am äuÿersten Rand der Raumstation das gleiche Gewicht verspürt wie auf der Erdoberäche? Und wo ist der Fuÿboden? b) Welche Richtung hat die Corioliskraft für eine Person, die sich auf dem Fuÿboden des Tunnels entgegen dem bzw. im Drehsinn bewegt? (Hinweis: Benutzen Sie ~a × ~b × ~c = ~b(~a~c) − ~c(~a~b)) In einer Speichenverbindung zum Ringzentrum (Nabe) ist ein Fahrstuhl eingebaut. Mit diesem Fahrstuhl gelangen Ankömmlinge von ihrem Raumschi, das im Ringzentrum anlegt, in den Ring. In dieser Fahrtrichtung wird zum Antrieb des Fahrstuhls die Zentrifugalbeschleunigung ausgenutzt. Der Fahrstuhl startet bei einem Radius von R0 = 4 m von der Nabe entfernt. c) Geben Sie Richtung und Gröÿe der Coriolisbeschleunigung an, die auf Perry Rhodan wirkt, wenn der Fahrstuhl bei konstanter Winkelgeschwindigkeit ω durch die Zentrifugalkraft beschleu- nigt vom Zentrum zum Ring fährt. Würde er diese Belastung spüren? (Hinweis: Lösen Sie die R(t) = A exp(ωt) + B exp(−ωt). Verwenden Sie v 0 (0) = 0 B aus R(t) und v(t) zu bestimmen.) Dierentialgleichung durch den Ansatz und das Ergebnis für R(0) um A und
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