Operations Research und Wirtschaftsinformatik
Prof. Dr. P. Recht // Dipl.-Math. Rolf Wendt
DOOR
Versicherungstechnik
Übungsblatt 6
Abgabe bis zum Dienstag, dem 24.11.2015 um 10 Uhr im Kasten 19
Aufgabe 21
Bestimmen Sie bitte jeweils eine Formel für die folgenden Beitragsbarwerte:
a) Ein heute x-jähriger zahlt jedes zweite Jahr eine Prämie von 1000e.
b) Ein heute x-jähriger zahlt jährlich eine Prämie von 1000e, solange seine heute y-jährige
Ehefrau lebt.
c) Ein Ehepaar, bestehend aus einem heute x-jährigen und einer heute y-jährigen, zahlt
jährlich eine Prämie von 1000e, solange mindestens einer von beiden noch lebt.
d) Ein heute x-jähriger Student muss in 5 Jahren beginnen, seine BAföG-Schulden in Höhe
von 10.000e zu tilgen. Mit Wahrscheinlichkeit pe tilgt der Student die Schulden durch eine
Einmalzahlung von 8000e (dank Rabatt bei Tilgung auf einen Schlag), mit Wahrscheinlichkeit 1 − pe tilgt der Student die Schulden durch Zahlung von 10.000e in monatlichen
Raten von 105e, wobei die letzte Rate geringer ausfällt. (Sie können die unterjährige
Sterbewahrscheinlichkeit vernachlässigen, müssen aber den unterjährigen Zins beachten)
e) Ein heute x-jähriger zahlt in den nächsten 20 Jahren eine jährlich um 3% steigende Prämie,
die anfangs 1000e beträgt. Allerdings zahlt er diese nur in den Jahren, in denen er nicht
arbeitslos ist. Dabei sei mit pax die Wahrscheinlichkeit gegeben, dass ein x-jähriger arbeitslos
ist.
Die Beiträge werden dabei jeweils vorschüssig gezahlt.
(2,5 Punkte)
Lösungsvorschlag:
a) BB0 =
(ω−x)/2
P
b) BB0 =
min(ω−x,ω−y)
P
t px
c) BB0 =
max(ω−x,ω−y)
P
(1 − (1 − t px ) · (1 − t py )) · v t · 1000.
t=0
2t px
· v 2t · 1000
t=0
t=0
· t py · v t · 1000
Dabei gelte t px = 0 bzw. t py = 0 für t + x > ω bzw. t + y > ω.
d) BB0 = pe · 5 px · 8000 · v 5 + (1 − pe )
12
P
t=5
Bt · t px · v t mit
B5 = . . . = B11 =
11
X
m
105 · v1/12
m=0
B12 =
10
X
m
11
105 · v1/12
+ 25 · v1/12
m=0
e) BB0 =
19
P
t=0
1000 · (1,03)t · (1 − pax+t ) · t px · v t
Aufgabe 22
Erläutern Sie bitte kurz die wesentlichen auf dem deutschen Lebensversicherungsmarkt angebotenen Versicherungstypen. Unterscheiden Sie dabei zwischen Versicherungen auf den Erlebensfall, Versicherungen auf den Todesfall und Mischungen aus diesen zwei Versicherungsfällen.
Wie bestimmt sich jeweils der Leistungsbarwert? Geben Sie dabei möglichst auch jeweils eine
Darstellung mittels Kommutationswerten an.
Kommutationszahlen für den Todesfall seien gegeben durch
Cx := dx · v x+1
Mx :=
ω−x
X
diskontierte Zahl der Toten des Alters x,
Summe der diskontierten Zahl der Toten,
Cx+t
t=0
Lösungsvorschlag:
• Versicherungen auf den Erlebensfall
– Erlebensfallversicherung
∗ x-Jähriger bekommt in n Jahren den Betrag 1 ausgezahlt, wenn er den Zeitpunkt
der Fälligkeit erlebt
∗ Leistungsbarwert
LB0 = n px · v n
(= n Ex )
∗ Darstellung mit Kommutationswerten:
n Ex
lx+n n
·v
lx
lx+n · v x+n
Dx+n
=
=
lx · v x
Dx
= n px · v n =
– private Rentenversicherung
∗ x-Jähriger zahlt n Jahre ein und wird dann bis zum Tode in Raten der Höhe 1
ausgezahlt
∗ Leistungsbarwert
LB0 :=
ω−x−n
X
n+t px
t=0
· v n+t = n| äx =
Nx+n
Dx
• Versicherungen auf den Todesfall
– Kommutationszahlen bei Todesfall: Seien
Cx := dx · v x+1
Mx :=
ω−x
X
t=0
Cx+t
diskontierte Zahl der Toten des Alters x,
Summe der diskontierten Zahl der Toten,
– Allgemein: x-Jähriger schließt Vertrag ab, dass bei Erreichen des Alters x+n und Tode
im darauf folgenden Jahr am Jahresende eine Auszahlung der Versicherungssumme 1
an seine Hinterbliebenen erfolgt.
∗ Leistungsbarwert
LB0 =
n px
· qx+n
·v n+1
| {z }
W’keit für x- Jährigen im
Alter x + n zu sterben.
(= n|1 Ax )
∗ Darstellung mit Kommutationswerten:
n|1 Ax
lx+n dx+n n+1
·
·v
lx
lx+n
dx+n · v x+n+1
Cx+n
=
=
x
lx · v
Dx
= n px · qx+n =
– lebenslängliche Todesfallversicherung
∗ x-Jähriger schließt Vertrag ab, der garantiert, dass wann immer sein Tod eintrete,
die Versicherungssumme 1 bei Tod an seine Hinterbliebenen gezahlt wird.
∗ Leistungsbarwert:
LB0 =
ω−x
X
t px
· qx+t · v t+1
(= Ax )
t=0
∗ Darstellung mit Kommutationswerten:
Ax =
ω−x
X
t|1 Ax
t=0
=
X
Mx
1 ω−x
Cx+t =
Dx t=0
Dx
Wegen Mx = Dx − d · Nx (was noch zu zeigen wäre!) gilt:
Ax = 1 − d · äx
Warum gilt obige Formel?
Mx =
ω−x
X
Cx+t
=
t=0
ω−x
X
dx+t · v x+t+1
=
t=0
ω−x
X
(lx+t − lx+t+1 ) · v x+t+1
=
t=0
ω−x
X
lx+t · v x+t+1 −
t=0
ω−x
X
=v·
=v·
t=0
ω−x
X
ω−x
X
lx+t · v x+t −
lx+t+1 · v x+t+1
t=0
ω−x+1
X
lx+t · v x+t
t=1
Dx+t −
t=0
ω−x
X
Dx+t + Dx − Dω+1
| {z }
t=0
:=0
= v · Nx − (v + 1 − v) · Nx + Dx
= −(1 − v) · Nx + Dx
= −d · Nx + Dx
– Risiko(lebens)versicherung
∗ Todesfallversicherung (mit sofortigem Beginn) abgeschlossen auf n Jahre.
∗ Leistungsbarwert:
LB0 =
n−1
X
t px
· qx+t · v t+1
t=0
=
Mx − Mx+n
Dx
(= |n Ax )
∗ bei aufgeschobenem Beginn um m Jahre
m|n Ax
=
n−1
X
t+m px
· qx+m+t · v m+t+1
t=0
=
Mx+m − Mx+m+n
Dx
bzw. bei unendlicher Laufzeit
m| Ax
=
ω−x−m
X
t=0
Mx+m
=
Dx
• Mischungen
– Termfix-Versicherung
t+m px
· qx+m+t · v m+t+1
∗ Versicherungssumme wird nach n Jahren ausgezahlt, unabhängig vom Erleben
dieses Zeitpunktes (fällige Beiträge werden allerdings nur bis zum Tode des Versicherungsnehmers gezahlt).
∗ Beispiel: Ausbildungsversicherung
∗ Leistungsbarwert:
LB0 = v n
(bei VS von 1)
– Termfix-Versicherung mit Zeitrentenzusatzversicherung
∗ Leistungsbarwert
LB = v n + r · ä n , (falls Rente auf kommende n Jahre)
LB = v n + r · ä∞ , (falls unendl. Rente in n Jahren)
– Kapitallebensversicherung oder gemischte Versicherung
∗ Versicherungssumme wird innerhalb der Vertragsdauer fällig, wenn VN in dieser
Zeit stirbt, oder wenn VN zum Vertragsende noch lebt.
∗ vereint also Todesfallversicherung und Sparanlage
∗ war häufigste Form der Versicherung in Deutschland (wegen hoher Vermittlerprovision und steuerlicher Förderung bis 2005)
∗ Leistungsbarwert:
Ax, n :=
n−1
X
t px
· qx+t · v t+1 + n px · v n
t=0
Mx − Mx+n Dx+n
+
=
Dx
Dx
oder, was man ebenfalls zeigen kann:
Ax, n = 1 − d · äx, n
– fondgebundene Kapitallebensversicherung → hier keine Garantieverzinsung, da Sparanlage nicht im Deckungsstock
(2 Punkte)
Aufgabe 23
Für die in Aufgabe 22 angegebenen Versicherungstypen sollen nun die Barwerte der Leistungen
in konkreten Fällen berechnet werden. Verwenden Sie dazu bitte die Kommutationswerte aus
folgender Tabelle (für i = 0,0275) und ä65 = 14,0768 (für i = 0,044).
x
Dx
Mx
29
35
65
44 838,86
37 931,71
11 694,51
11 511,08
9 157,8
y
Dy
My
26
65
49 020,87
15 897,06
10 424,09
8 876,54
a) Der 35-jährige Herr S. schließt eine Risikolebensversicherung mit einer Laufzeit von 30
Jahren bei einer Versicherungssumme von 500 000 e ab. Wie groß ist der Leistungsbarwert
dieser Versicherung bei einer garantierten Verzinsung von 2,75 %?
b) Die 26-jährige Angelika F. aus D. an der R. möchte eine gemischte Versicherung auf das
Endalter 65 abschließen. Die Leistung im Leistungsfall betrage ebenfalls 500 000 e. Bestimmen Sie den Leistungsbarwert bei einer garantierten Verzinsung von 2,75 %.
c) Im Falle des Erreichens des 65. Lebensjahres möchte Angelika F. aus D. an der R. die auszuzahlende garantierte Versicherungssumme sofort für eine Rentenversicherung mit Einmalbeitragszahlung verwenden. Welche sofort beginnende Rente könnte ihr dann jährlich
gezahlt werden, wenn die Rentenversicherung mit einer Verzinsung von 4,4 % kalkuliert
würde.
d) Der 29-jährige Student Ph. Morris entschließt sich mit dem Rauchen aufzuhören und –
nachdem er die Vorlesung Versicherungstechnik besucht hatte – eine Todesfallversicherung
abzuschließen. Er überschlägt, dass er seit seinem 19. Lebensjahr etwa 8 395 e für den
Konsum von Zigaretten ausgegeben hat. Welche Leistung einer lebenslänglichen Todesfallversicherung wäre möglich, wenn er diesen Betrag heute bei Abschluss der Versicherung
zur Verfügung hätte und ein garantierter Zinssatz von i = 0,0275 zugrunde gelegt wird?
Lösungsvorschlag:
siehe Excel-Datei oder
a) x = 35, n = 30, V S = 500 000 e, p = 2,75%, Risikolebensversicherung
|30 A35
=
M35 − M65
≈ 0,062
D35
LB0 = 500 000 · |30 A35 ≈ 31 019,96
b) y = 26, n = 39, V S = 500 000 e, p = 2,75%, gemischte Versicherung
A26, 39 =
M26 − M65 D65
+
≈ 0,356
D26
D26
LB0 = 500 000 · A26, 39 ≈ 177 930,44
c) y = 65, LB0 = 500 000, p = 4,4%, Rentenversicherung
LB0 = R · ä65 ⇔ R =
500 000
≈ 35 519,44
14,0768
d) x = 29, LB0 = 8 395, i = 0,0275, lebenslange Todesfallversicherung
8 395 = V S ·
M29
8 395 · D29
⇔VS =
≈ 32 187,94
D29
M29
(2 Punkte)
Aufgabe 24
Geben Sie eine allgemeine Formel an, um aus der Jahresnettoprämie N P einer n-jährigen Risikolebensversicherung die Jahresnettoprämie N P a einer um m Jahre aufgeschobenen n-jährigen
Risikolebensversicherung (Beginn der Aufschubzeit im Alter x) abzuleiten. Nehmen Sie dabei
an, dass die Beitragszahlung in beiden Fällen identisch ist.
Lösungsvorschlag:
Gleiche Beitragszahlungsweise in den ersten n Jahren. Dann gilt für die Beitragsbarwerte:
N P · äx, n = BB0 , bzw.
N P a · äx, n = BB0a .
Und für die Leistungsbarwerte:
LB0 = V S · |n Ax und
LB0a = V S · m|n Ax
mit
|n Ax =
bzw.
m|n Ax
n−1
X
t px
t=0
n−1
X
=
· qx+t · v t+1
t+m px
· qx+t+m · v t+m+1
t=0
Da LB0 = BB0 und LB0a = BB0a folgt
V S ·|n Ax
und
NP
V S ·m|n Ax
äx, n =
NPα
V S ·m|n Ax
V S ·|n Ax
=
NP
NPα
Mx+m − Mx+m+n
m|n Ax
NPa = NP ·
= NP ·
Mx − Mx+n
|n Ax
äx, n =
⇔
⇔
(1,5 Punkte)
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