Lena Salfenmoser

Erfahrungsbericht RISE weltweit 2015
"Non-commutative geometry, deformation
quantization and curved phase-space"
Betreut durch Dr. Marco A. Maceda Santamaria
L ENA S ALFENMOSER
Universidad Autónoma Metropolitana - Iztapalapa
Mexiko-Stadt, 17.08.2015 – 09.10.2015
Heimatuniversität: Karlsruher Institut für Technologie
Inhaltsverzeichnis
1
Organisatorisches und Betreuung im Vorfeld des Praktikums
2
2
Leben und Arbeiten in Mexiko-Stadt
3
3
Arbeit an der Universidad Autónoma Metropolitana Iztapalapa
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4
Fachliche Inhalte des Praktikums
4.1 Allgemeine Relativitätstheorie und Schwarzschild-Lösung
der Einsteinschen Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Nicht-relativistischer Limes einer nicht-kommutativen, quantisierten Weltzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Quantenmechanik mit minimaler Länge: eindimensionaler
Potentialtopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Fazit
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1
Organisatorisches und Betreuung im Vorfeld
des Praktikums
Das Projekt „Non-commutative geometry, deformation quantization and
curved phase-space“ wurde von Dr. Marco A. Maceda Santamaria angeboten und fand an der Universidad Autónoma Metropolitana (UAM) im
Stadtteil Iztapalapa von Mexiko-Stadt statt. Vom Moment der ersten Kontaktaufnahme per Email bezüglich der genauen Prkatikumszeiten an war
Dr. Maceda sehr freundlich und hilfsbereit. Er ließ mir viele hilfreiche Informationen bzgl. des Praktikums und der Lebensumstände in Mexiko-Stadt –
mit mehr als 20 Millionen Einwohner eine der größten (oder vielleicht sogar die größte) Metropolen der Welt, wobei die genauen Einwohnerzahlen
wohl schwer zu überprüfen sind – zukommen.
Er bot mir ebenfalls an, mir bei der Wohnungssuche im Voraus behilflich
zu sein. Da wir uns ohnehin auf eine relativ kurze Praktikumszeit von nur
8 Wochen geeinigt hatten (die Gründe hierfür waren zum einen der erneute
Studienbeginn im Oktober in Deutschland und zum anderen, dass der Universitätsalltag an der UAM erst im September startete), und ich nur bedingt
von der Idee angetan war, das erste Drittel meiner Zeit in Mexiko-Stadt
mit der Wohnungssuche zu verbringen, nahm ich das Angebot dankend
an. Im Folgenden vermittelte mir Dr. Maceda eine Unterkunft im Haus
eines ehemaligen Arbeitskollegen, der einzelne Zimmer an Studenten oder
andere Wohnungssuchende untervermietete. Die Wohnung befand sich
im Stadtteil Colonia del Valle Centro, einer der besten Wohngegenden
Mexiko-Stadts.
Auch ließ mir mein Betreuer Dr. Maceda auf meine Bitte hin (wenn auch
mit dem Hinweis, dass ich nicht versprechen konnte, die Zeit hierfür zu
finden) Informationen bzgl. einer fachlichen Vorbereitung auf das Praktikum zukommen. Da ich jedoch letzten Endes meine Bachelorarbeit am Tag
vor meinem Abflug nach Mexiko abgab, wurde eine fachliche Vorbereitung
auf das Praktikum aus zeitlichen Gründen hinfällig.
Meine Flüge buchte ich bei Condor, was reibungsfrei funktionierte und
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meiner Meinung nach auch ein gutes Preis-Leistungs-Verhältnis darstellte.
Die Beantragung eines Visums war nicht notwendig, da deutsche Staatsbürger sich bis zu 180 Tage in Mexiko aufhalten dürfen, wobei der Zweck der
Reise – solange kein Geld verdient wird – keine Rolle spielt. Somit gaben
sich die Behörden damit zufrieden, dass ich die im Flugzeug erhaltenen
Einreiseformulare vollständig ausfüllte und erklärte, zu Studienzwecken
im Land zu sein. Da ich im Vorjahr bereits im Rahmen eines RISE weltweit
Praktikums zwölf Wochen in Costa Rica verbrachte, besaß ich bereits alle notwendigen Impfungen, die für die Region empfohlen waren, sodass
diesbezüglich keine Vorbereitungen notwendig waren.
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Leben und Arbeiten in Mexiko-Stadt
Bei meiner Ankunft am Flughafen von Mexiko-Stadt wurde ich von meinem Betreuer Dr. Maceda abgeholt und zu meiner Unterkunft im Wohngebiet Colonia del Valle Centro gebracht. Dies erleichterte mir die erste
Begegnung mit der Mega-Metropole ungemein. Auch holte mich Dr. Maceda die ersten beiden Arbeitstage an meinem Haus ab und zeigte mir
verschiedene Möglichkeiten, den – Luftlinie mehr als 10km langen – Weg
zur UAM zurückzulegen. Als schnellste dieser Möglichkeiten erwies es sich,
die Metro zu nehmen. Doch auch dies kostete mich täglich ca. 2 Stunden.
Die Entfernungen in einer so enormen Stadt sind nicht zu unterschätzen.
Die öffentlichen Verkehrsmittel schienen mir allerdings durchaus gut ausgebaut und vor allem sehr kostengünstig zu sein. Eine Fahrt mit der Metro
kostete nur fünf Pesos, was umgerechnet nur etwa 26 Cent waren (der
Wechselkurs schwankte im Zeitraum meines Praktikums meist zwischen
18 bis 19 Pesos für 1 Euro). Eine Busfahrt innerhalb der Stadt kostete – je
nach Bustyp und Entfernung – zwischen 4 und 6,50 Pesos.
Im Allgemeinen erwiesen sich die Lebenshaltungskosten in MexikoStadt als sehr gering. Lebensmittel konnten – sofern es sich nicht um Importgüter handelte – deutlich günstiger als in Deutschland erworben werden
und auch im Bereich Gastronomie war im Allgemeinen ein sehr gutes
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Preis-Leistungs-Verhältnis zu erwarten. Die Miete für mein Zimmer in
Colonia del Valle Centro betrug pro Monat 2800 Pesos – umgerechnet 150
bis 160 Euro, was teilweise sogar Lebensmittel und andere Gegenstände
des täglichen Bedarfs beinhaltete.
Innerhalb kurzer Zeit bin ich mit dem Alltag in Mexiko-Stadt problemlos zurecht gekommen. Trotz nicht allzu guten Spanischkenntnissen hatte
ich selten Probleme, mich zu verständigen. Allerdings musste ich feststellen, dass die meisten Mexikaner noch deutlich schlechter die englische
Sprache beherrschten als ich die spanische. Glücklicherweise erwies sich
die mexikanische Aussprache als weitaus deutlicher als alles, was mir von
Spaniern bekannt war, was die Verständigung deutlich erleichterte. Im
Allgemeinen erschienen mir die Bewohner der Stadt als sehr hilfsbereit,
freundlich, zuvorkommend und aufgeschlossen.
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Arbeit an der Universidad Autónoma Metropolitana Iztapalapa
Zunächst einmal sei gesagt, dass Iztapalapa als äußerst gefährlicher Stadtteil Mexiko-Stadts gilt. Nicht nur ist der Bezirk berüchtigt für seinen regen
Drogenhandel, auch verzeichnet er die höchste Vergewaltigungs- und Mordrate der gesamten Stadt. Diese Zahlen müssen allerdings auch in Relation
dazu gesetzt werden, dass es sich um einen der am dichtesten besiedelten Gegenden Mexiko-Stadts handelt. Nichts desto weniger hatte ich den
Eindruck, dass es nicht empfehlenswert gewesen wäre, einer Unterkunft
nahe der Universität zu beziehen. Zwar fühlte ich mich auf meinem Weg
zur Universität und zurück nie gefährdet oder bedroht, allerdings könnte
ich mir gut vorstellen, dass diese Stimmung nach Einbruch der Dunkelheit schnell kippen hätte können. Als Arbeitsplatz erschien mir die UAM
Iztapalapa allerdings völlig unbedenklich.
An der Universität selbst wurde mir ein eigener Schreibtisch in einem
Büro gestellt, das ich mit zwei weiteren Personen teilte. Diese bekam ich
allerdings kaum zu Gesicht. Auch hatte ich einen eigenen PC, sodass ich
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mein aus Deutschland mitgebrachtes Netbook nicht täglich zur Universität
transportieren musste. Des Weiteren stellte mir mein Betreuer Dr. Maceda
auch verschiedene Bücher – eines davon sogar in deutscher Sprache – zur
Verfügung, die ich zum Erlernen der Grundlagen der Arbeit verwenden
konnte.
Die ersten drei Wochen meines Praktikums verbrachte ich größtenteils
damit, mir die fachlichen Grundlagen zu erarbeiten. Während dieser Zeit
waren kaum Professoren und wissenschaftliche Mitarbeiter der Universität
am Arbeitsplatz, da im August die offiziellen Ferien der UAM waren. Ab
September erhöhte sich die Personendichte auf dem Campus stark, wobei ich aufgrund eines Magen-Darm-Infekts den größten Teil der ersten
Septemberwoche im Bett verbringen musste. Nach dem Nationalfeiertag
am 16. September, dem Día de la Independencia, begannen auch sämtliche Vorlesungen, weshalb der Campus erst in den letzten drei Wochen
meines Praktikums studentenbefüllt war. Leider wurde ich zu Beginn meiner letzten Praktikumswoche durch eine Erkältung außer Gefecht gesetzt,
wodurch sich die effektive Praktikumszeit weiter verringerte.
Ab dem Beginn der Vorlesungen fanden auch regelmäßig Seminare
zu verschiedensten Themen aus dem Fachbereich Physik und verwandter
Fachbereiche statt, zu denen mich Dr. Maceda herzlich einlud, und denen
ich auch mit großem Interesse – nicht nur aus fachlicher Hinsicht, sondern
auch mit dem Ziel, mein Spanisch auf wissenschaftlicher Ebene zu verbessern – beiwohnte. Mein Betreuer bat mich im Zuge dieser Seminarvorträge
sogar, eine Präsentation zum Thema meiner Bachelorarbeit vorzubereiten,
um eine Lücke im Wochenplan des Seminario de Gravitació y Cosmología
del Departamento de Física zu füllen. Somit hatte ich die Möglichkeit, dieses Seminar aktiv durch eine – selbstverständlich auf englisch gehaltene –
Präsentation zum Thema kosmischer Strahlung zu gestalten. Des Weiteren
besuchte ich aus persönlichem Interesse während meiner Zeit an der UAM
bei Gelegenheit die Vorlesung „Introducción a la Cosmología“.
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4
Fachliche Inhalte des Praktikums
Das Praktikum fand in englischer Sprache statt. Grundsätzlich beschäftigte
ich mich während meines Praktikums mit nichtkommutativen Geometrien.
Diese spielen in der aktuellen theoretischen Physik eine wichtige Rolle, da
sie im Verdacht stehen, eine gemeinsame Beschreibung von Allgemeiner
Relativitätstheorie und Quantenfeldtheorie zu ermöglichen. Ein großes
Problem bei der Suche nach einer gemeinsamen Beschreibung besteht in
der Geometrie der Raumzeit. Während in der Allgemeinen Relativitätstheorie der Raum ein dynamisches Konzept ist, der durch Materie und
deren Gravitationsfeld beeinflusst wird, sind Raum und Zeit in der Quantenmechanik unveränderlich. Eine nichtkommutative Beschreibung der
Geometrie der Raumzeit könnte eine Vereinbarung der Theorien ermöglichen. Die physikalischen Eigenschaften der Raumzeit, die experimentell
beobachtet werden können, sollten in diesem Fall Grenzfälle der verallgemeinerten Beschreibung der Geometrie darstellen.
Während meines Aufenthalts in Mexiko City versuchte ich unter anderem, mir die Grundlagen der Allgemeinen Relativitätstheorie und die
Schwarzschild-Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen zu erarbeiten.
Des Weiteren beschäftigte ich mich mit der von Hartland S. Snyder im Jahre 1947 vorgeschlagenen nicht-kommutativen, quantisierten Weltzeit und
deren nicht-relativistischen Limes. Im Zusammenhang der nichtkommutativen Geometrien führte ich auch einige weniger aufwändige Berechnungen
im Bereich der Quantenmechanik mit minimaler Länge durch.
Im Folgenden möchte ich mich größtenteils auf qualitative und dementsprechend wohl auch sehr oberflächliche Beschreibungen meiner Tätigkeiten beschränken, da die Darstellung der mathematischen Zusammenhänge
zu umfangreich geraten würde.
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4.1
Allgemeine Relativitätstheorie und Schwarzschild-Lösung
der Einsteinschen Feldgleichungen
Im Laufe der ersten Wochen meines Praktikums machte ich mich daran,
mir zunächst die mathematischen Grundlagen der Allgemeinen Relativitätstheorie zu erarbeiten. Trotz meines zu diesem Zeitpunkt schon fast
abgeschlossenen Bachelor-Studiums war dies Größtenteils völliges Neuland für mich, da die Allgemeine Relativitätstheorie an meiner Heimatuniversität, dem Karlsruher Institut für Technologie, lediglich Inhalt des
Masterstudiums darstellte.
Ausgehend von der Speziellen Relativitätstheorie entwickelte Albert
Einstein zwischen 1907 und 1916 die Allgemeine Relativitätstheorie als
klassische Theorie der Gravitation. Ein elementarer Grundgedanke dieser Theorie stellt die Erkenntnis dar, dass sich Inertialsysteme nicht in
ihrer Beschreibung von beschleunigten Systemen unterscheiden sollten.
Die Geometrie, die eine gleichwertige Beschreibung von beschleunigten
und unbeschleunigten Koordinatensystemen erlaubt, beinhaltet die Gravitation als geometrische Eigenschaft der gekrümmten vierdimensionalen
Raumzeit.
Wie genau die Materie- und Energiedichte die Raumzeit krümmt und
dadurch Gravitationsfelder erzeugt, wird durch die Einsteinschen Feldgleichungen beschrieben. Seit ihrer Aufstellung wird nach Lösungen unter
bestimmten Randbedingungen gesucht.. Die erste exakte Lösung wurde
1916 von Karl Schwarzschild gefunden und nach ihm benannt und wird
noch heute zur Beschreibung von Schwarzen Löchern herangezogen.
Leider waren meine Fortschritte in diesem Bereich zu langsam, als dass
ich es im gegebenen Zeitraum geschafft hätte, selbstständig arbeiten zu
können. Dementsprechend beschränkten sich meine Tätigkeiten bezüglich
der Allgemeinen Relativitätstheorie auf den Versuch, die Gedankengänge
Einsteins und Schwarzschilds nachzuvollziehen.
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4.2
Nicht-relativistischer Limes einer nicht-kommutativen,
quantisierten Weltzeit
Im Jahr 1947 veröffentlichte der amerikanische Physiker Hartland Snyder ein zeitloses Paper, in dem das erste konkrete Beispiel einer nichtkommutativen Geometrie betrachtet wird. Das Konzept der „quantum
spacetime“ beruht auf einem mathematischen Konstrukt, in dem einige
Variablen, die in der üblicherweise betrachteten Raumzeit vertauschen,
einen Kommutator ungleich Null besitzen. Konkrete Rechnungen hierzu
wurden von Snyder im Vierdimensionalen durchgeführt.
Mein Betreuer Prof. Dr. Maceda ging zum Zeitpunkt meiner Ankunft
in Mexiko-Stadt dem Versuch nach, diese Berechnungen auf eine beliebige Anzahl von Dimensionen zu erweitern. Insbesondere sollte in diesem
Zusammenhang der nichtrelativistische Limes betrachtet werden und überprüft werden, ob die Transformationen der gewählten Raumzeit in diesem
Grenzfall der Galileo-Transformation gleichen, die als Grundlage der klassischen Mechanik gilt.
Nachdem ich mich einige Zeit mit seinen Ansätzen und Ideen beschäftigt hatte, und die entsprechenden Berechnungen nachvollzogen hatte,
konnte ich in diesem Zusammenhang eng mit Prof. Dr. Maceda zusammenarbeiten und mit ihm über Unstimmigkeiten und neue Gedankengänge
diskutieren, Ansätze verfolgen und – je nach Fortschritt und Sinnhaftigkeit
– verwerfen oder vertiefen.
4.3
Quantenmechanik mit minimaler Länge: eindimensionaler Potentialtopf
Die (Heisenbergsche) Unschärferelation oder auch Unbestimmtheitsrelation ist ein fundamentales Prinzip der Quantenmechanik, das besagt, dass
zwei komplementäre Messgrößen eines Teilchens nicht zeitgleich beliebig genau bestimmt werden können (z.B. Ort-Impuls-Unschärfe). „Komplementär“ kann in diesem Zusammenhang verstanden werden als die
Eigenschaft, dass die jeweiligen Messgrößen nicht vertauschen (allgemei8
ne Formulierung der Unschärferelation: σA · σB ≥ 12 | hΨ|[ Â, B̂]|Ψi). In der
(„normalen“) Quantenmechanik wird für den Orts- und Impulsoperator
der Kommutator [ x̂, p̂] = ih̄ angenommen. Geht man allerdings davon
aus, dass die Geometrie des Raumes eine minimale Länge enthält, ergibt
sich ein Korrekturterm für diese Beziehung. Dessen Größenordnung und
genaue Beschaffenheit ist Gegenstand aktueller theoretischer Forschung.
Im Rahmen meines Praktikums habe ich die Auswirkungen eines solchen Korrekturterms auf die Energieeigenwerte des eindimensionalen,
unendlich tiefen Potentialtopfs betrachtet. Der in diesem Zusammenhang
betrachtete Kommutator von Ort und Impuls lautete:
[ X̂, P̂] = ih̄ 1 +
∑
j1 ∈N
β 1,j1 P̂2j1 +
∑
j2 ∈N
!
β 2,j2 P̂2j2 −1
(1)
Dieser Kommutatorrelation genügte die folgende Definition der Operatoren:
X̂ = x̂
P̂ = p̂ 1 +
(2)
β 1,j1 2j
β 2,j2 2j −1
p̂ 1 + ∑
p̂ 2
2j
+
1
2j
2
1
∈N
j ∈N
∑
j1
!
(3)
2
Die Erarbeitung der entsprechenden Energieeigenwerte erwies sich als
eine nicht allzu komplizierte Fleiß- und Rechenaufgabe und als konsistent
mit entsprechenden Rechnungen, die von anderen Seiten bereits zu Kommutatorrelationen, die konkrete statt beliebiger Potenzen in P̂ aufwiesen,
durchgeführt wurden.
5
Fazit
Das Praktikum erwies sich als fachlich sehr anspruchsvoll. Vorangegangene Vorlesungen zum Thema Allgemeine Relativitätstheorie und Gruppentheorie wären meiner Meinung nach notwendig gewesen, um tatsächlich
effizient auf dem Gebiet arbeiten zu können. Nichtsdestoweniger habe ich
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viel gelernt und nun einen guten Überblick über die Problematik der Quantengeometrie und konnte mir interessante Grundkenntnisse im Bereich der
Allgemeinen Relativitätstheorie erarbeiten. Tatsächlich hat das Praktikum
mein Interesse in diesem Bereich geweckt, sodass ich plane, Veranstaltungen zu diesen Themen in mein Masterstudium miteinzubeziehen.
Trotz all dem kann ich mir – nach der achtwöchigen Erfahrung – aktuell
nicht vorstellen, den Berufsweg einer theoretischen Physikerin einzuschlagen. Der Grund hierfür besteht jedoch einzig und allein darin, dass ich für
mich persönlich feststellen musste, dass ich langfristig zielstrebiger und motivierter bin und mehr Spaß an der Arbeit im experimentellen Bereich habe.
Das RISE weltweit Praktikum gab mir in diesem Zusammenhang jedoch
eine einmalige Gelegenheit, diese Erfahrung überhaupt erst zu machen,
wofür ich sehr dankbar bin.
Vom Leben in Mexiko-Stadt war ich positiv überrascht. Die Stadt erwies
sich als weitaus weniger verwirrend und chaotisch, als erwartet. Der Lebensstandard ist – zumindest in den entsprechenden Vierteln – sehr hoch
und durchaus mit europäischem Niveau zu vergleichen.
Abschließend bleibt zu sagen, dass mir das Praktikum geholfen hat, meinen fachlichen und kulturellen Horizont zu erweitern. Ich konnte wichtige
Erfahrungen sammeln, die mir helfen werden, mein zukünftiges Studium –
auch in Bezug auf den Berufsweg nach dem Studium – zu gestalten.
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