Lineare Algebra Grundlagen und Anwendungen Aufgaben

Lineare Algebra
Grundlagen und Anwendungen
Aufgaben und Lösungen
Aufgabe 1
Ein Unternehmen produziert drei Endprodukte E1, E2, E3 in zwei Fertigungsstufen. In der ersten Stufe werden aus fünf Rohstoffen R1, ..., R5 zunächst vier Zwischenprodukte Z1,..., Z4
hergestellt, die dann weiter verarbeitet werden. Die einzelnen Mengenangaben sind den nachstehenden Tabellen zu entnehmen. Erstellen Sie eine Tabelle, die den bedarf, die den Bedarf
an den fünf Rohstoffen für die drei Endprodukte angibt.
1. Stufe
R1
R2
R3
R4
R5
Z1 Z2 Z3 Z4
3
1
2
0
4
4
3
1
5
1
2
0
3
1
4
0
1
2
3
1
2. Stufe
E1 E2 E3
Z1
Z2
Z3
Z4
2
0
3
2
0
1
1
1
1
2
2
3
E1 E2
R1
R2
R3
3
2
1
2
1
3
Aufgabe 2
Ein Hersteller produziert von einem Gerät drei Modelle: A, B, C.
Die Geräte werden aus vier vorgefertigten Teilen Ti zusammengesetzt, die von Zulieferern
bezogen werden. Die für die einzelnen Modelle benötigten Stückzahlen der Teile ergeben sich
aus der nachfolgenden Tabelle.
T1
Modell A 5
Modell B 4
Modell C 4
T2
2
3
2
T3
0
2
1
T4
1
2
3
Der Hersteller hat die Wahl zwischen zwei Zulieferern, deren Preise (in GE) aus der folgenden Tabelle ersichtlich sind.
Zulieferer 1
Zulieferer 2
T1 T2 T3 T4
7 6 2 8
6 7 3 7
Geplant sind folgende Stückzahlen für die einzelnen Modelle: A: 12; B: 15; C: 11.
Bestimmen Sie, bei welchem Zulieferer er die benötigten Teile für diese Planung am günstigsten einkaufen kann, und zwar unter Verwendung der Matrizenrechnung.
Aufgabe 3
Ein Kaffeehändler kauft drei Sorten Kaffee ein, die er mischt. Die Mischung soll mindestens
25 % der Sorte A und höchstens 50 % der Sorte C enthalten. Der Verkaufspreis der Mischung
ist 3,50 Euro/kg.
Sorte
Einkaufspreis in Euro/kg
Eingekaufte Menge in kg
A
B
C
3,75
3,00
2,50
1000
1000
50
Welche Menge jeder Sorte muß die Mischung enthalten, damit der Gesamterlös möglichst
groß wird?
Aufgabe 4
Ein Unternehmer stellt drei Produkte her. Der Deckungsbeitrag pro Stück (Differenz zwischen Erlös und direkten Kosten) beträgt bei Produkt A 10 GE, bei Produkt B 6 GE und bei
Produkt C 7 GE. Jedes Produkt durchläuft bei der Produktion vier Arbeitsstufen, deren Kapazitäten jedoch beschränkt sind. Einzelheiten enthält die folgende Tabelle.
Arbeitsstufe
1
2
3
4
Stückzeiten in Stdn. für Produkt
A
B
C
12
4
4
14
3
8
8
15
9
12
16
0
Kapazitätszeiten in Stdn.
60
80
90
96
Bestimmen Sie mit Hilfe der Simplexmethode die Stückzahlen so, daß die Summe der Dekkungsbeiträge ein Maximum annimmt.
Aufgabe 5
Eine Firma produziert das Gerät G, zu dessen Herstellung die Bauteile A, B, D, N, S und W
erforderlich sind. Der nachfolgende Graph gibt an, wie viele Teile jeweils für die Produktion
erforderlich sind.
Eine mögliche technische Reihenfolge ist folgende:
D
a1
S
a2
W
a3
A
a4
B
a5
N
a6
G
a7
a) Bestimmen Sie die zugehörige Mengenmatrix.
b) Bestimmen Sie unter Beachtung der vorgegebenen technischen Reihenfolge die Bestellvektoren für folgende Bestellungen:
1) 4 G
2) 3 G, 4 W, 3 S, 10 D.
c) Berechnen Sie die zugehörigen Produktionsvektoren.
Aufgabe 6
L
2
3
M
5
9
1
R
3
A
4
Q
T
Stellen Sie zu dem dargestellten Produktionsablauf eine technologische Reihenfolge auf und
geben Sie die zugehörige Mengenmatrix an.
Aufgabe 7
§0
¨
¨0
Gegeben sei folgende Mengenmatrix. M = ¨ 0
¨
¨0
¨
©0
4 7 2 1·
§ 3·
§ 0·
¸
¨ ¸
¨ ¸
0 3 0 1¸
4¸
3
¨
&
& ¨ ¸
¸
¨
¸
¨
0 0 2 0 , b 1 = 0 und b 2 = 0 ¸ seien
¸
¨ ¸
¨ ¸
0 0 0 1¸
¨ 2¸
¨ 4¸
¸
¨ ¸
¨ ¸
0 0 0 0¹
© 8¹
© 5¹
zwei Bestellvektoren. Berechnen Sie (E – M)-1 und die zugehörigen Produktionsvektoren.
Aufgabe 8
Ein Unternehmen kann drei verschiedene Haushaltsgeräte A, B und C herstellen. Aus Gründen der Endkontrolle können in der Woche insgesamt maximal 250 Stück gefertigt werden.
Ferner sind die Kapazitäten für Gerät A auf 200Stck/Woche und für Gerät B auf 100
Stck/Woche beschränkt. Die Deckungsbeiträge sind bei den einzelnen Geräten unterschiedlich und betragen bei Gerät A 120Euro/Stck, bei Gerät B 160 Euro/Stck und bei Gerät C 40
Euro/Stck.
Bei welchem Produktionsprogramm ist der Gesamtdeckungsbeitrag maximal?
Aufgabe 9
Eine Firma stellt zwei Modelle M1 und M2 eines elektrischen Spielzeugs her. Die Fertigung
durchläuft drei Stufen, Die nachfolgende Tabelle gibt an, wieviel Minuten für jedes Modell in
den einzelnen Stufen pro Stück benötigt werden. Die reine Arbeitszeit beträgt pro Tag für jede
Stufe 6 Stunden.
Stufe
1
2
3
Arbeitszeit in Minuten
je Stück für Modell M1
3,6
4,5
2,25
Arbeitszeit in Minuten
je Stück für Modell M1
3,6
2,25
4,5
Wieviel Stück sollte die Firma von den beiden Modellen am Tag produzieren, wenn der Gewinn je Stück bei M1 bei 40 Euro und bei M2 bei 30 Euro liegt und der Gesamtgewinn je Tag
maximiert werden soll? Lösen Sie die Aufgabe mit Hilfe des Simplexverfahrens.
Lösungrn der Aufgaben
Aufgabe 1
§3
¨
¨1
¨2
¨
¨0
¨
©4
§ 12
¨
¨4
¨ 17
¨
¨9
¨
© 12
4
3
1
5
1
6
4
6
9
6
0·
¸ §2
1¸ ¨
¨0
2¸ ⋅ ¨
¸ 3
3 ¸ ¨¨
¸ ©2
1¹
0
1
1
1
15 · § 3
¸ ¨
10 ¸ ¨ 2
16 ¸ + ¨ 1
¸ ¨
21 ¸ ¨ 0
¸ ¨
17 ¹ © 0
2
1
3
0
0
2
0
3
1
4
§ 12
1· ¨
¸ ¨4
2¸ ¨
= 17
2¸ ¨
¸ ¨9
3 ¸¹ ¨
© 12
6
4
6
9
6
15 ·
¸
10 ¸
16 ¸ ,
¸
21 ¸
¸
17 ¹
0 · § 15
¸ ¨
0¸ ¨ 6
0 ¸ = ¨ 18
¸ ¨
0¸ ¨ 9
¸ ¨
0 ¹ © 22
8
5
9
9
6
15 ·
¸
10 ¸
16 ¸ ,
¸
21 ¸
¸
17 ¹
R1
R2
R3
R4
R5
E1
E2
E3
15
6
18
9
22
8
5
9
9
6
15
10
16
21
17
Aufgabe 2
&
Auftragsvektor: x = (12, 15,11),
§ 5 2 0 1·
¨
¸
Bedarfmatrix: R = ¨ 4 3 2 2 ¸ , Preisvektoren: y1 =
¨ 4 2 1 3¸
©
¹
§7·
¨ ¸
¨ 6¸
¨ 2 ¸ , y2 =
¨ ¸
¨ 8¸
© ¹
§ 6·
¨ ¸
¨7¸
¨ 3¸ .
¨ ¸
¨7¸
© ¹
& & &
Kosten beim Zulieferer i: Ki = xRy i ; xR = (164, 91, 41, 75) ; K1 = 2376; K2 = 2269.
Der Zulieferer 2 ist günstiger.
Aufgabe 3
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
x1
x1
x2
≤ 1000
≤ 1000
x3 ≤ 500
x2
≤ 1000
≤ 1000
x3 ≤ 500
x1 ≥ 0,25(x1 + x2 + x3)
x3 ≤ 0,50(x1 + x2 + x3)
-3x1 + x2 + x3
-x1 – x2 + x3
(3,50 - 3, 75)x1 + (3,50 – 3,00)x2 +
+ (3,50 – 2,50)x3 = Z
-x1 + 2x2 + 4x3 = 4Z → Max
Lösung: x1 = 500; x2 = 1000; x3 = 500; 4 Zmax = 3500; Zmax = 875
Vgl. Simplextabelle zur Aufgabe 3
≤ 0
≤ 0
Simplextabelle zu Aufgabe 3
Aufgabe 4
x, y, z sind die Stückzahlen der Produkte A, B, C.
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.
12x + 4y + 4z ≤ 60
14x + 3y + 8z ≤ 80
8x + 15y + 9z ≤ 90
12x + 6y
≤ 96
10x + 6y + 7z = Z Z → Max
Lösung mit Solver von Excel:
Das Maximum der Deckungsbeiträge von 70 GE wird erreicht bei einer Produktion von 3
Stck. des Produkts A, von 2 Stck. des Produkts B und von 4 Stck. des Produkts C.
Aufgabe 5
a)
§ 0 28
¨
¨0 0
¨0 0
¨
M = ¨0 0
¨
¨0 0
¨0 0
¨
©0 0
b)
3 0 0 0 4·
¸
0 2 4 0 2¸
0 3 2 0 1¸
¸
0 0 0 0 1¸ ,
¸
0 0 0 0 1¸
0 0 0 0 1¸
¸
0 0 0 0 0¹
(E – M)-1 = E + M + M3 + M3;
§0
¨
¨0
¨0
¨
M2 `= ¨ 0
¨
¨0
¨0
¨
©0
0 0 65 118 0 59 ·
¸
0 0 0
0 0 6¸
0 0 0
0 0 5¸
¸
0 0 0
0 0 0¸ ,
¸
0 0 0
0 0 0¸
0 0 0
0 0 0¸
¸
0 0 0
0 0 0¹
§0
¨
¨0
¨0
¨
M3 = ¨ 0
¨
¨0
¨0
¨
©0
0 0 0 0 0 183 ·
¸
0 0 0 0 0 6 ¸
0 0 0 0 0 5 ¸
¸
0 0 0 0 0 0 ¸ , M4 = 0, (E – M)-1 =
¸
0 0 0 0 0 0 ¸
0 0 0 0 0 0 ¸
¸
0 0 0 0 0 0 ¹
§ 0·
§ 10 ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ 0¸
¨3¸
¨ 0¸
¨4¸
&
¨ ¸ &
¨ ¸
b 1 = ¨ 0 ¸. b 2 = ¨ 0 ¸.
¨ ¸
¨ ¸
¨ 0¸
¨0¸
¨ 0¸
¨0¸
¨¨ ¸¸
¨¨ ¸¸
© 4¹
©3¹
Aufgabe 6
a) A, L, T, M, Q R
§0
¨
¨0
¨0
zu a) M = ¨
¨0
¨
¨0
¨0
©
Aufgabe 7
§0 4
¨
¨0 0
M = ¨0 0
¨
¨0 0
¨
©0 0
§0
¨
¨0
4
M = ¨0
¨
¨0
¨
©0
§ 1 28 3 65 118 0 246 ·
¨
¸
4 0 8 ¸
¨0 1 0 2
¨0 0 1 3
2 0 6 ¸
¸
¨
0 0 1 ¸,
¨0 0 0 1
¨
¸
1 0 1 ¸
¨0 0 0 0
¨0 0 0 0
0 1 1 ¸
¨
¸
0 0 1 ¹
©0 0 0 0
§ 984 ·
¨
¸
¨ 32 ¸
¨ 24 ¸
¨
¸ &
&
&
&
x 1 = (E – M)-1 b 1 = ¨ 4 ¸. x 2 = (E – M)-1 b 2 =
¨
¸
¨ 4 ¸
¨ 4 ¸
¨
¸
© 4 ¹
oder
3 4 0 0 0·
¸
0 5 2 0 0¸
0 0 0 2 0¸
¸,
0 0 0 1 9¸
¸
0 0 0 0 3¸
0 0 0 0 0 ¸¹
7 2 1·
¸
3 0 1¸
0 2 0 ¸ , M2 =
¸
0 0 1¸
¸
0 0 0¹
§0
¨
¨0
¨0
¨
¨0
¨
©0
§ 844 ·
¨
¸
¨ 27 ¸
¨ 22 ¸
¨
¸
¨ 3 ¸.
¨
¸
¨ 3 ¸
¨ 3 ¸
¨
¸
© 3 ¹
b) A, L, M, T, Q R
§0
¨
¨0
¨0
zu b) M = ¨
¨0
¨
¨0
¨0
©
3 0 4 0 0·
¸
0 2 5 0 0¸
0 0 0 2 0¸
¸
0 0 0 1 9¸
¸
0 0 0 0 3¸
0 0 0 0 0 ¸¹
0 12 14 6 ·
¸
0 0 6 0¸
0 0 0 2 ¸ , M3 =
¸
0 0 0 0¸
¸
0 0 0 0¹
§0
¨
¨0
¨0
¨
¨0
¨
©0
0 0 24 14 ·
¸
0 0 0 6¸
0 0 0 0 ¸,
¸
0 0 0 0¸
¸
0 0 0 0¹
0 0 0 24 ·
¸
0 0 0 0¸
0 0 0 0 ¸ , (E – M)-1 = E + M + M2 + M3 + M4 =
¸
0 0 0 0¸
¸
0 0 0 0¹
§1
¨
¨0
¨0
¨
¨0
¨
©0
4 19 40 45 ·
¸
1 3 6 7¸
0 1 2 2 ¸.
¸
0 0 1 1¸
¸
0 0 0 1¹
§ 459 ·
¨
¸
72 ¸
¨
&
&
&
&
x 1 = (E – M)-1 b 1 = ¨ 20 ¸ , x 2 = (E – M)-1 b 2 =
¨
¸
¨ 10 ¸
¨
¸
© 8 ¹
§ 397 ·
¨
¸
¨ 62 ¸
¨ 18 ¸
¨
¸
¨ 9 ¸
¨
¸
© 5 ¹
Aufgabe 8
x, y, z sind die Stückzahlen der Produkte A, B, C.
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.
x+
y + z
x
y
120x + 160y + 40z
≤ 250
≤ 200
≤ 100
= Z Z → Max
x
1
1
0
120
y
1
0
1
160
z
1
0
0
40
u
1
0
0
0
v
0
1
0
0
w
0
0
1
0
bi
250
200
100
Z
qi
250
100
x
1
1
0
120
y
0
0
1
0
z
1
0
0
40
u
1
0
0
0
v
0
1
0
0
w
-1
0
1
-160
bi
150
200
100
Z-16000
qi
150
200
-
x
1
0
0
0
y
0
0
1
0
z
1
-1
0
-80
u
1
-1
0
-120
v
0
1
0
0
w
-1
1
1
-40
bi
150
50
100
Z-34000
qi
Der maximale Deckungsbeitrag von 34.000 Euro wird erzielt bei einer Produktion von 150
Stück des Produkts A, 100 Stück des Produkts B. C wird nicht produziert.
Aufgabe 9
x1, x2 sind die Stückzahlen für die Modelle M1 unM2, die je Tag hergestellt werden.
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
3,6x1 + 3,6x2
4,5x1 + 2,25x2
2,25x1 + 4,5x2
40x1 + 30x2
≤ 360
≤ 360
≤ 360
= Z, Z → Max.
x1
1
2
1
40
x2
1
1
2
30
u1
1
0
0
0
u2
0
1
0
0
u3
0
0
1
0
bi
100
160
160
Z
qi
100
80
160
x1
0
1
x2
0,5
0,5
u1
1
0
u2
-0,5
0,5
u3
0
0
bi
20
80
qi
40
160
0
1,5
0
-0,5
1
80
160
3
0
10
0
-20
0
-3200
x1
0
1
0
0
x2
1
0
0
0
u1 u2
2
-1
-1
1
-3
1
-20 -10
u3
0
0
1
0
bi
40
60
20
-3600
qi
Der Gesamtgewinn (je Tag) ist maximal, und zwar 3600 Euro, wenn vom Modell M1 60
Stück und vom Modell M2 40 Stück hergestellt werden.

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