Zusammenfassung Kapitel 29

Zusammenfassung Kapitel 29
1) Der Effektivwert eines Wechselstroms ist diejenige Stromstärke, die ein Gleichstrom
haben müsste, um an einem ohmschen Widerstand die gleiche mittlere Leistung zu
erbringen wie der Wechselstrom. Der Effektivwert des Stroms ist die quadratisch
gemittelte Stromstärke
s Z
p
1
Ief f = hI 2 i =
I 2 dt .
(1)
T
Für sinusförmige Wechselströme mit I = I0 cos (ωt + ϕ) ist die effektive Stromstärke
I0
Ief f = √ .
2
(2)
Hierbei bezeichnet I0 den Scheitel- bzw Maximalwert des Stroms. Die mittlere Leistung, die in einem ohmschen Widerstand dissipiert wird, ist
1
2
hP i = U0 I0 = Uef f Ief f = Ief
fR .
2
(3)
Dabei ist Uef f der Effektivwert
√ der Spannung, der mit der Maximalspannung U0
über die Relation Uef f = U0 / 2 zusammenhängt.
2) Bei einer Spule der Induktivität L sind Strom und über der Spule abfallende Spannung um 90◦ bzw. π/2 phasenverschoben. Das heisst: die Spannung eilt dem Stom
um π/2 voraus. Es gilt dabei
UL
I=
.
(4)
XL
Der rein induktive Blindwiderstand XL ist dabei gegeben durch XL = ωL und hat
die Einheit Ohm. Im zeitlichen Mittel wird in der Spule keine Leistung dissipiert.
3) Bei einem Kondensator der Kapazität C eilt der Strom der Spannung um 90◦ bzw.
π/2 voraus. Es gilt hier
UC
.
(5)
I=
XC
Der rein kapazitive Blindwiderstand XC ist dabei gegeben durch XC = 1/ωC und
hat ebenfalls die Einheit Ohm. Auch im Kondensator wird im zeitlichen Mittel
keine Energie dissipiert.
4) Entlädt sich ein Kondensator über einer Spule (LC-Schwingkreis), so oszillieren
Ladung und Spannung des Kondensators mit der (gleichen) Kreisfrequenz
1
ω0 = 2πν0 = √
.
LC
(6)
ω0 ist die Eigenfrequenz des Schwingkreises. Die zugehörige Differentialgleichung
für die Ladung Q entspricht formell der Gleichung einer Masse an einer Feder.
Die elektrostatische potentielle Energie des Kondensators wird in die Energie des
Magnetfeldes der Spule umgewandelt und umgekehrt - die Gesamtenergie bleibt
dabei konstant.
1
5) Ein reiner LC-Kreis ist technisch wenig relevant, da jedes Kabel einen zwar sehr
kleinen aber endlichen Widerstand hat. In der Praxis spielen daher eher RLC-Kreise
eine wichtige Rolle. Die Ladung Q in einem solchen (frei schwingenden) RLC-Kreis
gehorcht der Differentialgleichung des gedämpften harmonischen Oszillators.
6) Ist ein RLC-Reihenschwingkreis mit den Klemmen einer Wechselspannungsquelle
verbunden, wird dem System eine Schwingung mit der Kreisfrequenz ω der erregenden Wechselspannung U = U0 cos ωt aufgezwungen. Der Strom ist gegenüber der
erregenden Spannung um δ phasenverschoben
I=
U0
cos (ωt − δ) .
Z
(7)
Für δ gilt
XL − XC
.
R
Z heisst Impedanz des Kreises und definiert über
p
Z = R2 + (XL − XC )2 .
tan δ =
(8)
(9)
Die mittlere Leistung, die ein solcher Schwingkreis in Joulsche Wärme umwandelt,
ist frequenzabhängig und ist gegeben durch
hP i = Uef f Ief f cos δ .
hP i wird maximal, wenn ω ≈ ω0 =
√1 .
LC
2
Dann ist die Impedanz minimal.
(10)

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