Weiterführende formale Demographie — Übung

Weiterführende formale Demographie — Übung
Roland Rau
[email protected]
18. Mai 2015
Die Berechnung der intrinsischen Wachstumsrate r im stabilen
Bevölkerungsmodell
Wir wollen uns heute mit der Berechnung / Schätzung der intrinsischen Wachstumsrate r im stabilen
Bevölkerungsmodell beschäftigen.
Z β
ψ(r) =
e−ra l(a)m(a)da = 1
α
Wie in der heutigen Vorlesung schon einmal kurz erwähnt, wird dieses Integral üblicherweise
(Anderson, 1975; Keyfitz, 1966) durch
τ
ψ(r) ≈ ∑ e−r(x+ 2 ) τ Lx Fx
Als Beispiel nehmen wir Ägypten aus dem Jahr 1997, so wie es bei bei Preston et al. (2001) auf
Seite 149 vorgestellt wird.
a <- seq(15,45, by=5)
La <- c(4.66740,4.63097, 4.58518, 4.53206, 4.46912, 4.39135, 4.28969)
Fa <- c(0.00567, 0.06627, 0.11204, 0.07889, 0.05075, 0.01590, 0.00610)
Das einfachste ist, vermutlich, das Ausprobieren von verschiedenen Werten von r.
Zuerst definieren wir eine Funktion, die das Integral (approximativ) berechnet.
das.integral <- function(r, x, Lx, Fx, tau) {
sum(exp(-r*(x+tau/2)) * Lx * Fx)
}
Nun nehmen wir drei Werte an für r:
1
r1 <- 0.01
das.integral(r=r1, x=a, Lx=La, Fx=Fa, tau=5)
## [1] 1.134
r2 <- 0.02
das.integral(r=r2, x=a, Lx=La, Fx=Fa, tau=5)
## [1] 0.8445
r3 <- 0.03
das.integral(r=r3, x=a, Lx=La, Fx=Fa, tau=5)
## [1] 0.6313
Ein andere Möglichkeit besteht darin, das Integral für eine große Anzahl von theoretisch möglichen Werten für r zu plotten und zusätzliche eine horizontale Hilfslinie auf der Höhe von 1 zu
zeichnen, da ja das Integral diesen Wert hat:
n <- 100
theoretisches.r <- seq(-0.01, 0.02, length=n)
psi.r <- rep(0, times=n)
for (i in 1:n) {
psi.r[i] <- das.integral(r=theoretisches.r[i], x=a, Lx=La, Fx=Fa, tau=5)
}
plot(x=theoretisches.r, y=psi.r, col="red", type="l")
abline(h=1, col="green")
2
2.0
1.8
1.6
1.4
0.8
1.0
1.2
psi.r
−0.010
−0.005
0.000
0.005
0.010
0.015
theoretisches.r
Am häufigsten werden jedoch sogenannte rekursive Verfahren verwendet.
Preston et al. (2001) stellt folgende Formel vor:
rn+1 = rn +
y(rn ) − 1
27
wobei y(rn ) unser Integral ψ(r) ist.
Wir können dies zuerst einmal iterativ implementieren:
r.preston.iter <- function(r, x, Lx, Fx, tau) {
r.alt <- r
print(r.alt)
for (i in 1:10) {
r.neu <- r.alt + (das.integral(r=r.alt, x=x, Lx=Lx, Fx=Fx,
3
0.020
tau=tau)-1) / 27
print(r.neu)
r.alt <- r.neu
}
return(r.neu)
}
r.preston.iter(r=0.1, x=a, Lx=La, Fx=Fa, tau=5)
## [1] 0.1
## [1] 0.0663
## [1] 0.03763
## [1] 0.01937
## [1] 0.01419
## [1] 0.01425
## [1] 0.01424
## [1] 0.01424
## [1] 0.01424
## [1] 0.01424
## [1] 0.01424
## [1] 0.01424
r.preston.iter(r=0.2, x=a, Lx=La, Fx=Fa, tau=5)
## [1] 0.2
## [1] 0.1632
## [1] 0.1268
## [1] 0.09144
## [1] 0.05861
## [1] 0.03194
## [1] 0.01701
## [1] 0.01412
## [1] 0.01426
## [1] 0.01424
## [1] 0.01424
## [1] 0.01424
Aber R ermöglich auch die direkte rekursive Implementierung.
4
r.preston.rek <- function(r, x, Lx, Fx, tau) {
r.alt <- r
r.neu <- r + (das.integral(r=r.alt, x=x, Lx=Lx, Fx=Fx, tau=tau)-1)/27
print(r.neu)
if (abs(r.alt-r.neu) < .Machine$double.eps) {
return(r.neu)
} else {
r.preston.rek(r=r.neu, x=x, Lx=Lx, Fx=Fx, tau=tau)
}
}
options(digits=22)
r.preston.rek(r=0.1, x=a, Lx=La, Fx=Fa, tau=5)
## [1] 0.06630392328643910926367
## [1] 0.03763351187531976949074
## [1] 0.01936741496562931555414
## [1] 0.01419184576256110955073
## [1] 0.01424888443639473270541
## [1] 0.01424361587792321789947
## [1] 0.01424409795065899667077
## [1] 0.01424405380236004603489
## [1] 0.01424405784514430096943
## [1] 0.01424405747493243112878
## [1] 0.01424405750883400365026
## [1] 0.0142440575057295164968
## [1] 0.01424405750601380818421
## [1] 0.01424405750598777171956
## [1] 0.01424405750599015696434
## [1] 0.01424405750598993838918
## [1] 0.01424405750598993838918
Literatur
Anderson, D. H. (1975). Estimation and Computation of the Growth Rate in Leslie’s and Lotka’s
Population Models. Biometrics 31(3), 701–718.
Dinkel, R. H. (1989). Demographie. Band 1: Bevölkerungsdynamik. München, D: Vahlen.
5
Keyfitz, N. (1966). Finite Approximations in Demography. Population Studies 19(3), 281–295.
Keyfitz, N. and W. Flieger (1971). Population. Facts and Methods of Demography. San Francisco,
CA: W.H. Freeman.
Preston, S. H., P. Heuveline, and M. Guillot (2001). Demography. Measuring and Modeling Population Processes. Oxford, UK: Blackwell Publishers.
6

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