Rotationen Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Informationstechnik für Luftund Raumfahrt Aerospace Information Technology Aerospace Information Technology Koordinatentransformationen: Anwendungen Anwendungsbereiche: Navigation: Luftfahrt (Flugzeug RPY) Satelliten (RPY, Quat., Matr, ..) Shiffe (2D? + wellen 3D) VR & AR (Virtuell / Augmented Reality) - Computergraphik (OpenGL) - Computer Spiele Robotiks (7(>6?!) DoF) Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Koordinatentransformationen Wozu? a) Wenn ich in Pose-A war und diese Kette Von Translationen und Rotationen Durchgegangen bin, wo bin ich jetzt? Tranlation und Rotation b) Wenn ich in Pose-A war und jetzt bin ich In Pose-B: Wie habe ich mich bewegt? 6D in einen 3D Universum? Genauer oder eher korrekt: 6 Degrees of freedom = DoF 6 Dof: Pose 3D Translation 3D Rotation c) Wie komme ich von Pose A zu Pose B d) bei dies 6D-Geschwindigkeit Wo werde ich dann in T Sekunden sein? Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Koordinatentransformationen Tranlation und Rotation Translation ist keine so große Wissenschaft A→B Tranlationsvektor; B-A = (Xb – Xa, Yb – Ya, A → B → C → D: Am Ende bin ich bei A + Tab + Tbc + Tcd Reihenfolge kann beliebig sein! Z b – Z a ) = T ab Abstand A-B ist keine so große Wissenschaft Abtand = sqrt( (Xb–Xa)² + (Yb–Ya)² + (Zb–Za)²) Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Koordinatentransformationen Tranlation und Rotation Rotationen …. dagegen …. Wenn ich mich hier drehe... Einfach addieren? Aber nicht in 3D und auch nicht mit kartesische Koordinaten Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Demos readme: rotation nach Rechts? Verkershkreis? Rotationspfeil 4x um (1,0,0) 3x um (1,1,1) 2x um (1,1,0) Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology http://de.wikipedia.org/wiki/Roll-Nick-Gier-Winkel Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Rotationsbeispiel YPR Nick = Längstneigung Pitch (= Inclination) Gier = Steuerkurs Z -> Yaw Y -> Pitch X -> Roll Yaw = Heading Roll = Querneigung Roll = Bank Die Mathematik da hinten ist “nur” ein numerisches Model, zuerst verstehen wir die Realität und dann schauen wir uns das Model. Oft wird das vergessen! Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Längstneigung(A) = 0 Längstneigung(B) = 0 Nick(A → B) = 90 Grag ! A B Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Rotationen Siehe Flugzeug aus Papier: +90 Pitch, +90 Yaw, Gleichzietig Relativ zum Flugzueg Relativ zur Erde (Eigene Körper-Achsen) Erddrehung hier in einer Sekunde? Lage = Integration/Summe von 3D Gyros Messungen? Die Gyro drehen sich auch mit! z.B Z Achse ist dann nicht mehr Vertikal Stabil muss es sein! Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Rotationsbeispiel RGB XYZ -> RPY ----------------------Rot → Roll Grün → Pitch Blau → Yaw Standard reihenfolge RPY 1. Yaw dann Pitch dann Roll (von Rechts nach links für Die multiplikationen (Verketung) ) Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Rotationsbeispiel RGB XYZ -> RPY ----------------------Rot → Roll Grün → Pitch Blau → Yaw Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Rotationsbeispiel Pitch nach oben, Yaw nach links Pitch, Yaw 90⁰ um (0,1,0) 90⁰ um (0,0,1) = Rotor (0,1,0) * Rotor (0,0,1) (Multiplikation von Rechts nach links) Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Rotationsbeispiel Yaw nach links, Tilg nach oben Yaw, Pitch 90⁰ um (0,0,1) 90⁰ um (0,1,0) = Rotor (0,0,1) * Rotor (0,1,0) (von Rechts nach links) Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Rotationsbeispiel Yaw, Tilg Zusammen Beide gleichzeitug (0,1,1) Achse Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Rotationsbeispiel Yaw, Tilg, Roll Zusammen 3x (1,1,1) Achse um 120Grad Sequenz von Rotationen Körperfest Koordenaten Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Sequenz von Rotationen Rotation um X Rotation um Y Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Sequenz von Rotationen Rotation um X, Y Rotation um Y, X Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Rotation X → Y Rotation Y → X Rotation Simultan X & Y Siehe Filme Kardanische Aufhängung Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology 90⁰ um (0,1,0 ) → 90⁰ um (1,0,0) = 120⁰ um (1,1,1) !! 120⁰ um (1,1,1) = Zycklische Permuation der 3 Achsen Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Rotationen viele Tricks damit die Mathematik funktioniert! Magische Formel (Man sieht nicht die Logik dahinten, aber funktioniert, und man kann es mathematisch beweisen) ½ Wickel (Kollineare Vektoren) Imaginäre Anteil (i^2 = -1) (Manchmal +, manchmal - → i) i ist Orthogonal zu R, aber 3 zueinander Orthogonal i's? Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Rotationen z.B. In 2D Y P'(x',y') P(x,y) r = sqrt(x²+y²) α y x X' Y' = - sin (α) * = sin (α) * X Y X + cos (α) * X + cos (α) * Y Warum dem? Es kommt noch Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Rotationen z.B. In 2D X' Y' = - sin (α) * = sin (α) * Y X + cos (α) * X + cos (α) * Y Warum dem? Es kommt noch Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Rotationen 3D Warum alles Kartesisch und nicht Polar? Wer will es in Polar versuchen? Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Orientierung: Winkel zwischen was? Definition: Die Orientierung eines Körpers im Raum wird beschrieben durch die Lage eines körperfesten Koordinatensystems, relativ zu einem Bezugskoordinatensystem Auch von T0 zu T1 (innertial) Auch zwischen zwei Komponenten in selben Flugzeug oder Satellit Entschuldigung: Falsche Farben! ● ● Körpersystem:fest im Körper verankert Referenzsystem: unabhängig von unseren Drehbewegung Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Kz Korperfeste Koordinaten System Kx Ky Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Rotations: Axis or Plane Um Achse oder auf Fläche? Scalar, vectors, planes, volumes Achse: 2D Rotation Fläche: 1D rotation Achse: 3D Rotation Fläche: 2D Rotatiojn Achse: 4D Rotation!! Fläche: 3D Rotation Achse: 5D Rotation!!!! Fläche: 4D Rotation!! Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology 1D, 2D, 4D, 5D: Ist Wusrst! (Mathematiker lieben es über den Ziel zu schießen und N-D zu berechnen) Für uns nur 3D Raum Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Rotation: um Achsen oder auf Fläche Yaw Roll Pitch Mit Wand und Bodern vergleichen Wir nehmen Achsen! Warum? ... Weniger Parameter Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Rotations: Axis or Plane Rotationsfläche: If you are sitting in an aircraft, you can see the plane of rotation for yawwise rotations spread out in front of you, running left/right. It is somewhat less natural to visualize the vertical axis You can encode both the plane of rotation and the amount of rotation by specifying two vectors. (from, to) The plane containing the two vectors is the plane of rotation, and the angle between the two vectors tells us ½ the angle of rotation Warum 1/2? ... kommt noch but: there are many different pairs of vectors that specify the same rotation. Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Rotation: Achsen oder Flächen Fläche Normal Vektor Fläche parallel zu Z-Y Achse: X Wir nehmen Achsen! Mein Holz Beispiel Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Rotationsachse & Fläche Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Rotationsachse & Fläche w Achse: (ortogonal zu fläche v & w) a=vXw von v zu w -a = w X v von w zu v v cos α = v ● w Rotor: a v & w normiert Siehe Beispiel Prog Normal Fläche: Brettbeispiel Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Rotationsachse von V zu W Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Rotationsachse Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Rotationsachse Beispiel Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Rotations: ½ Angle? Prolbem: Drehen um 180 Grand 180 Grag?... einfach wir fliegen zurück von v zu w... aber v & w sind kolinear v X w = 0... Rotationsvektor (0,0,0)! kann alles sein! versuchen wir es 180 Grad, roll, pitch, yaw : alle gleich? Zeigen mit zwei Stiffte 3 Achsen + Papierflieger Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Rotations: ½ Angle? Prolbem: Drehen um 180 Grand There is one slight quirk with the product-of-vectors representation. The angle between the vectors cannot directly represent the whole angle of rotation. To see why not, consider 180 degree rotations. If you start out heading north then apply 180 degrees of yaw, you wind up heading south, right-side up. If you start out heading north and apply 180 degrees of pitch, you wind up facing south upside down. The problem is that two vectors with a 180 degree angle between them are collinear, so there are many inequivalent planes that contain both vectors. Zeigen mit zwei Stiffte 3 Achsen + Papierflieger Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Rotations: ½ Angle? The problem is that two vectors with a 180 degree angle between them are collinear, so there are many inequivalent planes that contain both vectors. There is a simple way to handle this problem: Let the angle between the vectors represent half the angle of rotation. That is, given two vectors in the plane of rotation, we define the Rotor angle = the angle between the two vectors. Rotation angle = 2* rotor angle. Loosely speaking,a rotor is half of a rotation. A 180 degree rotor represents a 360 degree rotation. For this special rotation, you don't need to specify the plane of rotation, so the fact that these two vectors are collinear isn't a problem. Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Rotation calculations Formula using a rotor r to rotate a vector v v' = r v r* = Clifford product of two normalized vectors where v is the unrotated vector, v' is a vector that is rotated relative to v by some angle, r is is a rotor with rotor angle = ά /2. ( Rotor = Vektoren + Winkel) r* = Inverse r Given two vectors in the plane of rotation, you can use them to build a rotor r. Compound rotations are represented by a product of rotors. Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Klassische Rotationslehre Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Rotationen V' Um eine Achse V Von V zu V' Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology Rotaionsberechnungen Rotationsmatrix Basis für alles Euler-Winkel (darunter RPY *) Luffhart Quaternionen Weltraum & Comp. Spiele Drehvektor, Drehwinkel ( * RPY = Roll, Pitch, Yaw) Informationstechnik für Luft- und Raumfahrt Aerospace Information Technology
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