Algebraisch gesagt

11
Algebraisch gesagt
C211-01
Lösungen
1
A
L1
x: Länge einer Etappe y: Länge der Gesamtstrecke
x
y
1
20
2
40
5
100
8
160
10
200
(F1) Funktionsgleichung y = 20 · x
L2
x: Länge der Strecke alt y: Länge der Strecke neu
x
y
10
30
20
40
50
70
100
120
200
220
(F4) Funktionsgleichung y = x + 20
L3
x: Länge der Verkürzung y: Länge der Strecke neu
x
y
1
19
5
15
8
12
10
10
15
5
(F5) Funktionsgleichung y = 20 – x
L4
x: Länge der Strecke y: Länge einer Etappe
x
y
10
0,5
20
1
40
2
60
3
100
5
x
(F2) Funktionsgleichung y = __
 20   
L5
x: Länge der Strecke alt y: Länge der Strecke neu
x
y
40
20
50
30
100
80
150
130
200
180
(F6) Funktionsgleichung y = x – 20
L6
x: Anzahl Etappen y: Länge einer Etappe
x
y
2
10
4
5
5
4
8
2,5
10
2
(F3) Funktionsgleichung y = __
 20
   
x
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Algebraisch gesagt
C211-01
Lösungen
1
B
Paketversand Wertetabellen
P1
x
y
1
20
2
40
5
100
8
160
10
200
(F1) Funktionsgleichung y = x · 20
P2
x
y
40
20
50
30
100
80
150
130
200
180
(F6) Funktionsgleichung y = x – 20
P3
x
y
10
30
20
40
50
70
100
120
200
220
(F4) Funktionsgleichung y = x + 20
P4
x
y
1
19
5
15
8
12
10
10
15
5
(F5) Funktionsgleichung y = 20 – x
P5
x
y
2
10
4
5
5
4
8
2,5
10
2
(F3) Funktionsgleichung y = __
 20
   
x
P6
x
y
10
0,5
20
1
40
2
60
3
100
5
x
(F2) Funktionsgleichung y = __
 20   
C
Mögliche Lösungen:
(F1) Funktionsgleichung y = 20 · x
Die Schülergruppe setzt sich aus 20 Klassen mit je x Schülerinnen und
Schülern zusammen. Insgesamt besteht die Gruppe aus …
x
(F2) Funktionsgleichung y = __
 20   
Die Gruppe mit x Schülerinnen und Schülern wird auf 20 Posten verteilt.
(F3) Funktionsgleichung y = __
 20
   
x
Die Gruppe von 20 Schülerinnen und Schülern wird gleichmässig auf x Posten verteilt.
An einem Posten sind jeweils …
(F4) Funktionsgleichung y = x + 20
Die Gruppe besteht insgesamt aus x Schülerinnen und Schülern.
Jetzt kommen noch 20 Schülerinnen und Schüler dazu. Insgesamt hat es nun …
(F5) Funktionsgleichung y = 20 – x
Aus der 20-köpfigen Gruppe gehen x Schülerinnen und Schüler weg.
Nun hat es noch …
(F6) Funktionsgleichung y = x – 20
Aus der x-köpfigen Gruppe gehen 20 Schülerinnen und Schüler weg.
Nun hat es noch …
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C211-01
Lösungen
2
(Skalierung beachten! Graphen 5 und 6 sind proportionale Zuordnungen.)
(F1) Funktionsgleichung y = 20 · x
Graph 5(proportional)
L1 / P1
Graph 6(proportional)
L4 / P6
(F3) Funktionsgleichung y = __
 20
   
x
Graph 4 (umgekehrt proportional)
L6 / P5
(F4) Funktionsgleichung y = x + 20
Graph 1
L2 / P3
(F5) Funktionsgleichung y = 20 – x
Graph 2
L3 / P4
(F6) Funktionsgleichung y = x – 20
Graph 3
L5 / P2
(F2) Funktionsgleichung y =
x
__
 20   
3
A
B, C
Bei den Funktionsgleichungen (F3) und (F5) wird y kleiner, wenn x grösser wird.
Bei den anderen wird y grösser, wenn x grösser wird.
Beispiel 1 y wird grösser, wenn x grösser wird. y = 5 · x
Beispiel 2 y wird kleiner, wenn x grösser wird.
y = 500 : x
Beispiel 3 y wird kleiner, wenn x grösser wird.
y = 500 – x
Beispiel 4 y wird grösser, wenn x grösser wird. y = 500 + x
4
Kosten
bei 40 Personen
Kosten
bei 70 Personen
Kosten bei x Personen
Gesamtkosten
in CHF
Kosten
pro Person
in CHF
Gesamtkosten
in CHF
Kosten
pro Person
in CHF
Gesamtkosten
in CHF
Kosten
pro Person
in CHF
Saalmiete /
Musikanlage
1 500.00
1 500
  
 
 ____
40
1 500.00
1 500
  
 
 ____
70
1 500.00
1 500
   
 
 ____
x
Hauswart
50.00
__
  50   
40
50.00
Abfallgebühr
0.2 · 40
0.2
Ausgaben
1 558.00
Gewinn aus
Verkauf von
Essen und
Getränken
Spende
Frauenverein
Ausgaben
50
 __
  
70
50.00
50
 __
   
x
0.2 · 70
0.2
0.2 · x
0.2
38.95
1 564.00
22.35
1 550 + 0.2x
____
  
  + 0.2
  1 550
x
5 · 40
5.00
5 · 70
5.00
5 · x
5
300.00
300
  
 
 ___
40
300.00
___
  300   
300.00
___
  300    
Einnahmen
70
Einnahmen
500.00
12.50
650.00
9.30
300 + 5x
Einnahmen
minus
Ausgaben
– 1 058
– 26.45
– 914.00
– 13.00
– 1 250 + 4.8x
x
300
  
 + 5
 ___
x
_____
  – 1 250
   
 + 4.8
x
5
____
  1 250
   
  – 4.8 = 10 x ≈ 84.4
x
Mindestens 85 Personen müssen das Fest besuchen.
____
  1 250
   
  – 4.8 = 20 x ≈ 50.4
x
Mindestens 51 Personen müssen das Fest besuchen.
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Algebraisch gesagt
C211-01
Lösungen
6
A
Teilnahme von nur 40 Personen ergäbe einen kostendeckenden Eintrittspreis
von CHF 26.45. Das sind CHF 16.45 zu viel.
Abhilfe würde z. B. eine Erhöhung der Spende des Frauenvereins schaffen,
auf CHF 23.95 pro Person (statt nur CHF 7.50 pro Person).
Wenn der Frauenverein CHF 958.00 spendet (also CHF 658.00 mehr als geplant)
oder wenn die Gemeinde CHF 658.00 spendet, ist ein Eintrittspreis von CHF 10.00
bei 40 Personen möglich.
B
____
  1 250
   
  – 7.8 sind die Gesamtkosten pro Person.
x
Bei 20 Personen: ____
 1 250
  
  – 7.8 = 54.7
20
Eintrittspreis bei 20 Personen: CHF 54.70
Bei 50 Personen: ____
 1 250
  
– 7.8 = 17.2
 
50
Eintrittspreis bei 50 Personen: CHF 17.20
C
Individuelle Lösungen
7
Jahresverkauf
bei 24 000 Stück
Jahresverkauf
bei x Stück
Preis
pro Stück
Kosten
pro Jahr
Preis
pro Stück
Kosten
pro Jahr
1.02
24 000 · 1.02 = 24 480
1.02
1.02 · x
2.85
____
  = 0.19
  15   
24 000 · 0.19 = 4 560
0.19
0.19 · x
450
_____
   = 0.02
 24 000
450
___
  450    
450
40
____
    = 0.04
 1 000
24 000 · 0.04 = 960
0.04
0.04 · x
_____
  = 0.25
  6 000 
24 000
6 000
____
  6 000
   
 
6 000
Kosten
Auslieferung
0.6
___
  15    = 0.04
24 000 · 0.04 = 960
0.04
0.04 · x
Lagerkosten
_____
  = 0.15
  3 600 
24 000
3 600
____
  3 600
   
 
3 600
Produzentengewinn
_____
 = 0.42
  10 000  
24 000
10 000
_____
  10 000
   
 
10 000
Verkaufsgewinnmarge
0.54
24 000 · 0.54 = 12 960
0.54
0.54 · x
Total
2.67
63 970
  __________
  
 

x 
1.83 · x + 20 050
in CHF
Materialkosten
Verpackungskosten
Zins Maschine
Wartung
Maschine
Lohnkosten
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x
x
x
x
1.83 + 20 050
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11
Algebraisch gesagt
C211-01
Lösungen
8
A
1.83 + _____
 20 050
   
 
x
bei 18 000 Stück 20 050
1.83 +  _____
  
 
18 000
Ladenpreis: mindestens CHF 2.95
bei 36 000 Stück 20 050
1.83 +  _____
  
 
36 000
Ladenpreis: mindestens CHF 2.40
bei 60 000 Stück 20 050
1.83 +  _____
  
 
60 000
Ladenpreis: mindestens CHF 2.20
B
Die Materialkosten pro Stück bleiben immer gleich, aber die Gesamtkosten
pro Stück werden mit zunehmender Stückzahl kleiner, weil sich die fixen Kosten
auf mehr Stücke verteilen.
C
20 050
1.83 +  _____
   
  = 2 x
20 050
 _____
   
  = 0.17 x
x = 20 050 : 0.17 ≈ 117 941
x ≈ 118 000
Es müssen mindestens 118 000 Stück verkauft werden.
9
A
Stückpreis mindestens CHF 3.65
B
30 050
2.37 +  _____
   
 
x
10
A–C
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