IfB Werkstoffe III FEM-Labor F. Wittel ([email protected]) HS 2015 Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | 07.09.2015 | 1 Sie erhalten erste Einblicke in ein FEM-Tool Ein Gefühl dafür wie stark FEM Ihre Leben vereinfachen kann. Sie werden erstaunt sein wie einfach man sich FEM zunutze machen kann. Sie werden Mechanik die Sie kennen anwenden und lernen wie man mit ABAQUS einfache Probleme löst. Sie werden schockiert sein wie einfach es ist Müll zu rechnen …und wie schwierig zu erkennen das es Müll ist. Minneapolis I-35W Bridge Collapse – Engineering Evaluations and Finite Element Analysis Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | heute FEM - Grundgedanken FEM - Modellbildung FEM – Praktische Umsetzung Fallbeispiele – Modellbildung und FEM mit ABAQUS Anwendung FEM – Ausblick Labor Finite Elemente – „Falsche“ und „richtige“ Elemente FEM – Beurteilung einer Konstruktion Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Was ist denn FEM? | | - Eine Definition • Finite-Elemente-Methode (FEM) ist ein Näherungsverfahren • Modernes Verfahren zur Berechnung komplexer Strukturen • Die FEM ist ein numerisches Verfahren zur näherungsweisen Lösung, partieller Differentialgleichungen mit Randbedingungen • Andere Diskretisierungsverfahren: Randelementemethode (BEM), Finite-Differenzen-Methode (FDM), gitterlose Verfahren (DEM; SPH) Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | Was soll denn ich damit? – FEM in der Bauingenieurpraxis FEM im Entwurfsprozess: •Evaluieren von Konzepten •Analysieren von Entwürfen •Simulieren von Prozessen FEM Einsatzgebiete: Strukturmechanik: Statik, Dynamik, Stabilitätsprobleme, Crash-Verhalten, Bruchmechanik, etc. Stationäre und instationäre Feldprobleme: Strömungsprobleme, Temperaturprobleme, Akustik, Magnetfelder, E-Technik, etc. Optimierung: Form, Parameter, Material | Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Was soll denn ich damit? Erwartungen: •Senkung…. der Entwicklungszeit der Entwicklungskosten des Umfangs der Versuchsreihen der Produktionskosten des Materialeinsatzes •Frühzeitiges Erkennen von Schwachstellen | – FEM in der Bauingenieurpraxis Voraussetzungen: •Leistungsfähige Soft- und Hardware •Kenntnisse über Grundlagen der FEM-Theorie •Einarbeitungszeit in FEM Software •Ingenieurwissen zur kritischen Beurteilung der Ergebnisse •Gutes Modellierungsverständnis •Qualitätssteigerung •Konstruktionsoptimierung •Parametrisierte Konstruktionen Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich …und Zeit | | Sleipner A Plattform: Bauherr: Statoil Condeep Struktur (concrete deep water structure) 57.000 t; Geplant für Besatzung 200 40.000 t Bohrausrüstung; Baukosten bis zum 23. August 1991 ca. 190.000.000 US$ Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | Aus dem Untersuchungsbericht: • Failure in a cell wall, resulting in a serious crack and a leakage that the pumps were not able to cope with. • The wall failed as a result of a combination of a serious error in the finite element analysis and insufficient anchorage of the reinforcement in a critical zone. • Unfavourable geometrical shaping of some finite elements in the global analysis. • In conjunction with the subsequent post-processing of the analysis results, this led to underestimation of the shear forces at the wall supports by some 47%. • NASTRAN was used. Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | Kurze Verstärkung Lange Verstärkung Gesamtschaden ca. 700.000.000 US$ Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Wie mache ich das? – Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | Simulationskreis – Reminder Werkstoffe II | | FEM in der Bauingenieurpraxis E ffi z ie n z G e n a u ig k e it Was soll denn ich damit? – Zu spät, zu teuer Zeitaufwand Mindest- Projekt- zeit ende Nutzlos weil zu spät! Genauigkeit 100% Oft ist vor Erreichen des Optimums das Projektende erreicht deshalb: Modelle so einfach wie möglich aber so genau wie nötig! Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Wie mache ich das? – Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | | | Beispiel Wie mache ich das? – Beispiel Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Wie mache ich das? – Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | | | Beispiel Wie mache ich das? – Beispiel Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Wie mache ich das? – Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | | | Beispiel Kann das jeder? – Warnungen Vergessen Sie nie: • FEM Lösungen sind Näherungslösungen • Die Interpretation ist nicht trivial • Modellbildung kann kein eindeutiges Ergebnis liefern • Es ist besser mit einem einfachen Modell anzufangen und signifikante Effekte hinzuzunehmen • Modellierung ist immer ein iterativer Prozess Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | Grundlagen – von der Formulierung zum Ergebnis Grundsätzliches – Randwertproblem der Elastostatik – Gleichgewicht – starke / schwache Form – Prinzip der virtuellen Verschiebungen/Arbeit – Vorgehen zur Herleitung Finiter Elemente Angewandtes – PvA am Finiten Element – Ansatzfunktionen – Elementsteifigkeitsmatrix – Lösung am Element Zusammengeflicktes – Tragwerksberechnung mit FE – Assemblierung der Gesamtsteifigkeitsmatrix – Lösung des Gleichungssystems – Nachlaufrechnung Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | Grundsätzliches – Zwei Wege vom mechanischen System zum FE Modell (REMINDER Werkstoffe II) Finite Elemente = Teilbereich eines Kontinuums Finite Elemente = diskrete Bauelemente FEM-Modell (Netz) Kontinuumsmechanik Elastizitätstheorie Tragwerkstheorie Stäbe, Schubfelder, Scheiben, Balken, Platten, Schalen... Vollkörper Mathematisches Verfahren für die Gewinnung einer Näherungslösung der Feldgleichungen Technisches Verfahren für den Zusammenbau von Tragwerken Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | Grundsätzliches – Typisches Vorgehen 1. Arbeitsgleichung: Mit Gleichgewicht im Gebiet und Rand, dem Stoffgesetz und der Kinematik erhält man das Arbeitsintegral des Elements 2. 3. Ansatzfunktion: Zur Abbildung unterschiedlicher Funktionsverläufe (wie Verschiebungen) in Elementen Diskretisierung der Arbeitsgleichung: Verschiebungsansätze werden in das Arbeitsintegral eingesetzt und ausgewertet Lastvektor F Elementsteifigkeitsmatrix K Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | Grundsätzliches – Randwertproblem der Elastostatik Prinzip der virtuellen Arbeit (PvA): Ein mechanisches System befinde sich unter der Einwirkung äußerer Kräfte und geometrischer Zwänge im Gleichgewicht. Die Summe der gesamten virtuellen Arbeit W, welche dann durch innere und äußere Kräfte und beliebige virtuelle Verschiebungen hervorgerufen wird, ist Null. •FEM behandelt Verschiebungsmodelle •PvA muss auch für jedes einzelne Finite Element gelten •und PvA muss für alle Elemente gelten •Virtuelle Verschiebung sorgt also für virtuelle Arbeit •PvA muss für unterschiedliche Elemente hergeleitet werden | Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | Grundsätzliches – Elementtypen und Formen Dimension/ Spannungszustand 1D Einachsig 2D Zweiachsig Elementtyp Geometrieform Stab (Dehnung) Interval Balken (Dehnung, Biegung) Scheibe (Dehnung in 2 Richtungen) Dreieck Viereck Platte (Biegung in 2 Richtungen) 3D Volumenelement (nur Dehnung) Dreiachsig Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Tetraeder Pentaeder Pyramide Hexaeder | | Angewandtes – Erstes Finites Element: Kräftegleichgewicht am Stab Gebiet Rand n N x x N N N+dN l x dx n (x) N Starke Form des Gleichgewichts Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | | | Angewandtes – Erstes Finites Element: Virtuelle Arbeit am Stab Virtuelle Arbeit entsteht durch Multiplikation virtueller Verschiebung u mit tatsächlichen Kräften Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Angewandtes – Erstes Finites Element: Virtuelle Arbeit am Stab Partielle Integration Arbeitsgleichung des Stabes: | Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | Angewandtes – Erstes Finites Element: Übertragung aufs Stabelement l xA xB 0 l 0 s 1 und n(x) NB NA A B uA N L uB und Arbeitsgleichung des Stabelements: Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | Grundsätzliches – Typisches Vorgehen 1. Arbeitsgleichung: Mit Gleichgewicht im Gebiet und Rand, dem Stoffgesetz und der Kinematik erhält man das Arbeitsintegral des Elements 2. 3. Ansatzfunktion: Zur Abbildung unterschiedlicher Funktionsverläufe (wie Verschiebungen) in Elementen Diskretisierung der Arbeitsgleichung: Verschiebungsansätze werden in das Arbeitsintegral eingesetzt und ausgewertet | Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | Angewandtes – Erstes Finites Element: Ansatzfunktion 2D Linear Ansatzfunktionen Ansatzfunktionen Ansatzfunktionen Annäherung Quadratisch Quadratisch Linear Kubisch Kubisch •Es gibt in einem Element genau so viele Ansatzfunktionen wie Freiheitsgrade •Ansatzfunktionen haben an ihrem FHG den Wert 1, an allen anderen den Wert 0 •Die Summe bildet die Näherungslösung •Grad der Polynome der Ansatzfunktion muss bei n FHG n-1 betragen Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | Angewandtes – Erstes Finites Element: Ansatzfunktion im Stabelement + l xA xB 0 l 0 x s 1 n(x) N NB NA A B uA L uB Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | Grundsätzliches – Typisches Vorgehen 1. Arbeitsgleichung: Mit Gleichgewicht im Gebiet und Rand, dem Stoffgesetz und der Kinematik erhält man das Arbeitsintegral des Elements 2. 3. Ansatzfunktion: Zur Abbildung unterschiedlicher Funktionsverläufe (wie Verschiebungen) in Elementen Diskretisierung der Arbeitsgleichung: Verschiebungsansätze werden in das Arbeitsintegral eingesetzt und ausgewertet Diskretisierung = Ersetzen kontinuierlicher Größen durch bekannte Ansatzfunktionen und unbekannte Größen an einzelnen, diskreten Punkten (=Knoten) Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | Angewandtes – Erstes Finites Element: Arbeitsgleichung diskretisieren Arbeitsgleichung des Stabelements: Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | | | Angewandtes – Erstes Finites Element: Eingesetzt Innere Arbeit Diskretisierte Streckenlast Äußere Einzellast Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Angewandtes – Erstes Finites Element: Eingesetzt Virtuelle Arbeit des Stabelements: Elementsteifigkeitsmatrix K Lastvektor F Schwache Form des Gleichgewicht, da es nicht mehr in jedem infinitesimalen Punkt, sondern nur in integralem Sinn über den gesamten Stab erfüllt ist. | Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | Zusammengeflicktes – Assemblierung & Randbedingungen I 0 lI II NA A lII III NB B uA lIII uB NC C uC zˆT KG zˆ zˆT PG zˆT KG zˆ uˆ0 uˆ A 1 1 uˆ0 EII AII 1 1 uˆ uˆ A uˆB l A II E A 1 1 uˆB uˆB uˆC III III lIII 1 1 uˆC EI AI lI Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich 1 1 uˆ A 1 1 uˆ B | | Zusammengeflicktes – Assemblierung & Randbedingungen I 0 lI II NA A lII III NB B uA lIII NC C uC uB EI AI T T l zˆ KG zˆ zˆ PG I EI AI lI zˆT KG zˆ [ uˆ0 uˆ A uˆB uˆC ] 0 Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich 0 EI AI lI EI AI EII AII lI lII EII AII lII 0 EII AII lII EII AII EIII AIII lII lIII 0 uˆ 0 0 ˆ u A E A uˆ III III B lIII uˆC EIII AIII | | lIII 0 EIII AIII lIII Zusammengeflicktes – Assemblierung & Randbedingungen = I 0 lI II NA A III NB lII B uA lIII NC C uC uB zˆT KG zˆ zˆT PG zˆT KG zˆ EA[ uˆ0 uˆ A uˆB 1 lI 1 l I uˆC ] 0 0 Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich 1 lI 0 1 lI 1 lII 1 lII 0 1 lII 1 lII 1 lIII 1 lIII 0 uˆ0 0 0 uˆ A N A 1 lIII uˆB NB 1 lIII uˆC NC | | Zusammengeflicktes – Transformation von Freiheitsgraden I NA A lI uA II NB B lII uB A B I NC C uC | Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | Zusammengeflicktes – Lösung des Gleichungssystems Gleichungssysteme haben die Form Gesuchter Zustandsvektor Lösung über Inversion mit …direkte Lösungsverfahren (Choleski, Gauß LU-Triangulierung…) …iterative Verfahren (Jakobi, Gauß-Seidel, konjugierte Gradienten) Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | Nachgefragt – Nachlaufrechnung Schnittgrößen und Spannungen müssen in einer Nachlaufberechnung aus den Verformungen bestimmt werden: Stab: Stoffgesetz: | Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | Angewandtes – Zweites Finites Element: Bernoulli-Balken Gebiet Rand q Q Q+dQ Q Q x z x dx z q M Q L M+dM M M q x x dx Q z M z x z Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | Angewandtes – Zweites Finites Element: Arbeitsgleichung des Balken xB xA L x 0 l s 0 1 q QA MA A QB MB B z | Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | Angewandtes – Zweites Finites Element: Bernoulli-Balken Stetigkeit von Ansatzfunktionen: Ansatzfunktionen C0 C1 Stetigkeit Knicke Sprünge Kommentar C-1 Ja Ja Stückweise kontinuierlich C0 Ja Nein Stückweise differenzierbar C1 Nein Nein Kontinuierlich differenzierbar Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich 2x 1; mit 1 1 le 1 2 1 2 4 l2 2 N 1 1 1 8 1 2 Nu 2 1 2 4 l 2 N 2 2 1 1 8 Nu1 | | BSP – Biegelinie Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | | | Innere Arbeit Diskretisierte Streckenlast Äußere Einzellast Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Virtuelle Arbeit des Balkenelements: Elementsteifigkeitsmatrix K Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Lastvektor F | | Zusammengeflicktes – Drittes Finites Element: Stab-Balken-Element u w, Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | Nachgefragt – Nachlaufrechnung Schnittgrößen und Spannungen müssen in einer Nachlaufberechnung aus den Verformungen bestimmt werden: Stab: Stoffgesetz: Balken: Moment: Querkraft: Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | Zusammengefasst: • Finite-Elemente-Methode (FEM) ist ein Näherungsverfahren zur Berechnung komplexer Strukturen • FEM ist ein Verschiebungsverfahren (Prinzip virtueller Verschiebungen) • Herleitung von Elementen erfolgt über 1.Arbeitsgleichung 2.Ansatzfunktion 3.Diskretisierung der Arbeitsgleichung • Zusammenbau der einzelnen Finiten Elemente zu Gesamtsteifigkeitsmatrix und –lastvektor (eventuell über Transformation) • Spannungen kommen immer aus einer Nachlaufrechnung • Bei der Anwendung der FEM niemals ihre Grundlagen vergessen!!! Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | FEM – Modellbildung am Beispiel von ABAQUS •Die Qual der Wahl – Wegweiser im Elementedschungel •Guter Stoff – Materialien / Stoffgesetze •Die Krux mit den Rändern – Randbedingungen und Zwangsbedingungen •Ins Netz gegangen – Vernetzung und ihre Folgen •Hinter den Kulissen – Was macht das FE-Programm eigentlich? •Die Macht der Bilder –Ergebnisinterpretation | Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Die Qual der Wahl | – Wegweiser im Elementedschungel Geometrieform Tetraeder Pentaeder Interval Dreieck Viereck Pyramide Elementtyp Linienelemente Stabelemente Balkenelemente 1D Federn u. Dämpfer Festkörper Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Flächenelemente 2D Membranelemente Schalenelemente Hexaeder Volumenelemente Kontinuums elemente 3D Unendliche Elemente | | Die Qual der Wahl – Auswahlkriterien •Art der Abmessung •Belastungen •Analyseart •Verlangte Resultate (global/lokal) •Rechnerkapazität •Modellierungszeit Prinzipiell: Einfache Elemente verwenden, deren Fähigkeiten, Verhalten und Beschränkungen man gut versteht 1D Linienelemente für Fachwerke, Wellen, Rahmentragwerke, Rohrleitungen 2D Flächenelemente für Blechbauteile, Behälter, Gehäuse, Rohre 3D Volumenelemente für Halter, dicke Bauteile, Auflager… Punktmassen, Federn, Dämpfer, Interfaceelemente, Starrkörper … | Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Die Qual der Wahl | – Volumenelemente – Numerische Integration f1 f1 f a0 fi 1 f2 • Integration der Ansatzfunktionen innerhalb eines Elements erfolgt numerisch f(x) f(x) • Gaußsche Quadraturformel hat besondere Genauigkeit ff b1N 2 • Interpolatorische Quadraturformel • Gewichtsfaktoren i • Stützstellen i (nicht äquidistant) a=x a 00 x1 1 xxi 1 b b=x 2 1 N 2 Trapezregel Zusammengesetzte Gauß-Quadratur Simpsonregel Trapezregel • Quadraturfehler Rn Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | Die Qual der Wahl – Linienelemente •Stäbe (T2D,T3D) •Euler-Bernoulli Balken (B23, B33) •Timoshenko Schubbalken (linear:B21,B31;quadratisch:B22,B32) ABAQUS cross-section library Box Arbitrary 2 Rectangular n 1 t n 1 Hexagonal I-Beam 2 Trapezoid Profil offset Pipe L-Section Schale Circular Versteifung Ohne offset | Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Die Qual der Wahl | – Schalenelemente •Dicke Schalen (S8R,S8RT) •Dünne Schalen (STRI3, STRI65, S4TR, S8R5, S9R5, SAXA) •Standard Schalenelemente (S4,S4R,S2/S3R, SAX1, SAX2, SAX2T,SC6R,SC8R) 5 4 n Oberseite SPOS 3 X X 3 X X X 1X 1 Unterseite SNEG 2 Integrationspunkt im S4R Element Querschnittspunkte über der Dicke der Schale Benachbarte Schalen müssen gleiche Normalenrichtung haben Dreieckselemente (Tetraederelemente) zu steif, deshalb immer Elemente mit Mittelknoten verwenden Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | Die Qual der Wahl Voll integriert x3 4 3 7 x7 x8 x9 x4 x5 x6 x1 x2 x3 x4 8 x1 x2 1 2 5 1 CPS4 Lineares Element CPS8 (8 Knoten, C3D8) 6 2 Reduziert integriert 3 4 – Volumenelemente 3 4 3 7 x3 x4 x1 x2 8 x1 1 4 2 6 5 1 2 CPS8R Quadratisches Element CPS4R Modifiziertes Element 2. Ordnung (20 Knoten, C3D20) (10 Knoten Tetraeder, C3D10M) Beispiel CPE 2 (z) Schnittebene 3( 1 (r) Axialsymmetrisch (CAX4) Beispiel CPS 2 3 2 1 3 1 Ebener Spannungszustand (CPS4) Ebener Verzerrungszustand (CPE4) | Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Die Qual der Wahl Quadratischer Ansatz Linearer Ansatz 44 8 11 7 3 x7 x8 x9 x3 x4 x4 x5 x6 6 x x1 1 x 2 xx23 5 CPS8 CPS4 2 2 | – Volumenelemente – Volle Integration • Shear-Locking nur bei voll integrierten Elementen mit linearen Ansätzen • Grund: Biegeverformungen können nicht abgebildet werden • Volumetic-Locking bei hohen Querkontraktionszahlen Quadratischer Ansatz M M Materialvolumen Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Reale Verformung Abbildung | | Die Qual der Wahl – Volumenelemente – Reduzierte Integration Reduziert Voll 3 4 x3 x4 x1 x2 4 8 1 2 1 CPS4 3 7 x7 x8 x9 x4 x5 x6 x1 x2 x3 5 CPS8 6 2 3 4 2 CPS4R 3 7 x3 x4 x1 x2 8 x1 1 4 1 6 5 CPS8R 2 • Hourglassing nur bei reduziert integrierten Elementen mit linearen Ansätzen • Keine Steifigkeit gegen Biegung – Nullmodus der Verformung • Probleme bei groben Netzen M M Abbildung Materialvolumen Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Die Qual der Wahl | | – Reduzierte Integration – Hourglassing Beispiele • Hourglassing propagiert durch ein Netz • kann numerisch vermindert werden Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | Die Qual der Wahl – Volumenelemente – Richtige Verwendung Elementverzerrungen sollten so weit wie möglich Rechenintensiv vermieden werden Fein Netze aus lineare, reduzierten Elementen sind gut für große Verzerrungen Sechsflächenelemente geben die besten Ergebnisse, allerdings lassen sich nicht alle Formen damit realisieren Reine Tetraedernetze führen zu schlechten Ergebnissen (zu steif) Quadratische, reduziert integrierte Elemente sind für die meisten Probleme gut geeignet Quadratische, voll integrierte Elemente lösen lokale Spannungskonzentrationen gut auf | Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich – Materialien / Stoffgesetze Wahre Spannung Guter Stoff Fließpunkt E-modul 1 Inelastische Dehnung Pl | El Wahre Dehnung Umfangreiche Materialbibliotheken für Ingenieurwerkstoffe -Metalle -Kunststoffe -Gummi -Schäume -Verbundwerkstoffe -Granulare Medien -Felsen -Unverstärkter und verstärkter Beton Typisierung z.B. in - lineare Elastizität - Plastizität - Hyperelastizität etc. Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | Guter Stoff – Materialien / Stoffgesetze Lösungsinkrement Mechanische Kennwerte Zustandsvariablen Dehungsraten, Energien Schädigungs Modell Dichte Feldvariablen Thermische Kennwerte Sorptive Kennwerte Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Die Krux mit den Rändern | | | | – Rand- und Zwangsbedingungen Spiegelsymmetrie Axialsymmetrie Repetitive Symmetrie Rotationssymmetrie Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Die Krux mit den Rändern - Symmetrie •Symmetrien ausnutzen!!! •Nicht nur das Bauteil muss symmetrisch sein, auch die Belastung muss Symmetriebedingungen folgen! symmetrisch antisymmetrisch | Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | Beispiel C-Rahmen Lagerung entspricht ungefähr der Aufstellung Symmetrische Lagerung Symmetrisches Modell F -F 2 1 3 Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | Die Krux mit den Rändern – Zwangsbedingungen - Krafteinleitung 120MPa 4 Einzelkräfte Kinematisch konsistente Flächenlast 530MPa 5,3GPa Einzelkräfte führen zu künstlichen Spannungssingulariäten | Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Die Krux mit den Rändern Einzelkraft auf Knoten | – Zwangsbedingungen Auflösung auf einige Knoten Kinematisch konsistent verteilte Kraft Kinematisch konsistent verteile Kräfte verwenden Kräfte nur an Knoten einleitbar Es handelt sich um idealisierte Zwangsbedingungen Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | Ins Netz gegangen – Vernetzung und ihre Folgen Vernetzungsarten: • Manuell mit Vorgaben für jedes Geometrieelement • Automatisch mit Vorgabe von Vernetzungsparametern • Direkt über die Vorgabe einzelner Elemente • Adaptive meshing, mit Anpassung an Lösung Geometriekörper mit seeds Körper mit 8-Knoten Elementen | Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Ins Netz gegangen | – Vernetzung und ihre Folgen - Netzverfeinerung „Fensterelemente“ Netzverfeinerungen sind notwenig um FGH gering zu halten Geometrieverhältnis 0.5-2 Bias Nicht überall im Modell sind feine Netze sinnvoll Nur an Knoten „kinematisch verträglich“ Verzerrte Elemente Spitze und stumpfe Ecken Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | Ins Netz gegangen – Vernetzung und ihre Folgen - Netzverfeinerung An Belastung angepasste Vernetzung Lastfälle: Beispiel: Tribüne eines Sportstadions Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Hinter den Kulissen Linear: | | | | – Was macht das FE-Programm? • Kleine Verschiebungen ohne Einfluss auf Reaktionskräfte • Belastungen ohne Einfluss auf Randbedingungen • Belastung ändert sich durch Deformation nicht • Linear elastisches Material (Hooksches Gesetz) im Zugund Druckbereich Nicht-linear: • Material: plastische, hyperelastisch, temperaturabhängig, Dämpfung, Reibung • Geometrisch: Beulen, Kriechen, Verformungen, Lagerung, Kinematik, Instabilität • Veränderliche Randbedingungen: Kontakt, Geschichtsabhängigkeit Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Die Macht der Bilder – Plausibilitätskontrollen Plausibilitätskontrollen…. •Mittels mehrerer Modelle •Mittels Überschlagsrechnungen •Misstrauen bei merkwürdigen Spannungskonzentrationen, -oszillationen oder -unstetigkeiten •Prüfung des Diskretisierungsfehlers aus Interpolation des Verschiebungsfeldes; Ansatzfunktionen, Gradient, Elementform Ungemittelte Knotenspannungen Konvergenzanalyse Schätzwerte aus FE-Programm | Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | Die Macht der Bilder – Ergebnisinterpretation - Ungemittelte Knotenspannungen - 1. Berechnung aller Werte von den Gauß-Punkten 2. Extrapolation auf die Elementknoten 3. Mittelwertbildung am Knoten (4) Netzknotenspannung: (1) (2) (3) Diskretisierungsfehler bleiben unerkannt Diskretisierungsfehler (Schätzwert): Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | Die Macht der Bilder Farbverlauf – Ergebnisinterpretation Diskrete Farbzuordnung Knotenwerte diskret Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Die Macht der Bilder | | | | – Plausibilitätskontrollen - Konvergenzanalyse - 1 2 xx 2 9 1 8 7 0 2 4 6 8 10 12 Elemente Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Die Macht der Bilder – Ergebnisinterpretation Problem: Spannungen 3x3 Tensor aber Farben nur für Skalare! Lösung: Vergleichsspannungen Von Normalspannungshypothese Mises Hypothese Schubspannungshypothese Festigkeitsbewertung ist nicht allein Aufgabe der Spannungsberechung! 1 Vergleichsspannungen, Werkstoffkennwerte und Sicherheitsbeiwerte müssen aufeinander abgestimmt sein! Duktile SprödeWerkstoffe Werkstoffe, zur Trennbruch Berechnung (Grauguß, des Fließbeginns Schweißnähte) Druckversagen spröder Werkstoffe, Gleitbruch 1max 2max 2 13 Andere Hypothesen: • Hillsches Fliesskriterium (anisotrop) • Mohr-Coulombsche Festigkeitshypothes (keine Plastifizierung im Druckbereich) • Tresca Vergleichsspannung 33 11 23 22 12 Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Wie mache ich das? – V V | | | | Gängige FEM Software • Pre-processor: Transformation der Konstruktion in ein Berechnungsmodell. Modellerstellung, Geometriedefinition, Stoffgesetzwahl, Rand- und Zwangsbedingung, Vernetzung Modelldatenbank • Solver: Überführt die Modelldatenbank durch die Lösung des Gleichungssystems in eine Ergebnisdatenbank. Verformungen, Spannungen, Schnittkräfte, Lagerreaktionen bei vorgegebenen Belastungen und Lagerbedingungen Ergebnisdatenbank • Post-processor: Visualisierung und Aufarbeitung der Ergebnisdatenbank zur Ergebnisinterpretation Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Wie mache ich das? – Gängige FEM Software | Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich TOOLS | – ABAQUS CAE Titelleiste Menüleiste Toolleiste Kontextfeld Zeichenfläche Bestätigungsleiste Modell- / Ergebnisbaum B Modulfenster A Informationsfenster C D Python CLI Toolbox Fläche Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | Using ABAQUS Guter Stoff – Materialien / Stoffgesetze Materialname Materialwahl Spannung Material library Fließpunkt E-Modul E-modul 1 Pl El Dehnung Dehnung | Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Die Krux mit den Rändern | – Idealisierung der Randbedingungen Symbolisch oder Numerisch 123456 Translatorischer Freiheitsgrad Rotatorischer Freiheitsgrad Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | Die Krux mit den Rändern Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich – Zwangsbedingungen | | | | Vernetzung: Seeding Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Vernetzung: Vernetzungsarten Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | | | Vernetzung: Elementbibliothek Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Ins Netz gegangen – Nachgefragt: Meshing Netzattribute zuordnen und Vernetzer Kontrollen setzen Netzdichte, Elementform und –typ, hybrid… Netzgenerierung Top-Down oder Bottom-Up? Netzverfeinerung Neues Seeding Neue Partitionen um einfachere Untergebiete zu bilden Virual topology Definition Mesheditor für kleinere Korrekturen Netzoptimierung Adaptive Remeshing Regeln festlegen Netzprüfung Aufspüren von verzerrten Elementen | Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Ins Netz gegangen | – Nachgefragt: Meshing Top-Down Vernetzung: Beginnt auf der Geometrie und arbeitet sich auf die Ebene der Knoten und Elemente herunter. Genaue Geometrierepräsentation Strukturiert Swept Free Bottom-Up Vernetzung: Arbeitet sich von einzelnen Kanten zum 3D Netz hoch. Geometrie weicht von Netzgeometrie ab Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | Ins Netz gegangen – Nachgefragt: Meshing Advancing front Algorithmus Medial axis Algorithmus Unterteilung der Domäne Vernetzung von aussen nach innen Uniformeres Netz Dynamik ! | Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Ins Netz gegangen | – Nachgefragt: Meshing Medial axis Algorithmus Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Advancing front Algorithmus | | Ins Netz gegangen – adaptive Netzverfeinerung (AMR) Konzentrieren von Elementen in Regionen in denen es wichtig ist und vergröbern in Regionen in denen die räumliche Auflösung nicht so genau sein muss. • p-Verfeinerung: Lokale Erhöhung der Ordnung der Ansatzfunktionen Topologie bleibt erhalten (einfache Implementierung aber stark verzerrte Elemente) • h-Verfeinerung: Verfeinerung des Netzes um die lokale Auflösung zu erhöhen Angepasste Topologie (gut für Lokalisierung aber schwieriger zu implementieren) h-Verfeinerung hp-Verfeinerung: grün-niedere; rot-höhere Ordnung Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Ins Netz gegangen | | – adaptive h-Verfeinerung (AMR) Originalnetz Element subdivision Verbesserung r-Verfeinerung (enrichment) durch (reposioning) Neuvernetzung VorHanging allem in nodes!!! 3D aufwändig neue lokale verzerrte RB Elemente schwieriges werden Vergröbern verhindert Entscheidung über Residuen, Gradienten oder normierte Energien . Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | Hinter den Kulissen – Processing steps | Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Nicht für Knöpfchendrücker | – inside FEM Gleichungssysteme haben die Form Gesuchter Zustandsvektor 1. 2. 3. 4. Transformation aller Freiwerte ins GKS Vorkonditionierung der Matrix (Domain Dekomposition wenn parallel) Lösung des LGS über direkte oder iterative Methoden Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | Nicht für Knöpfchendrücker – Vorkonditionierung Bsp: Gitter 250000 Knoten, quadratischer Ansatz 1 Feld 250000x250000 mit 8 Byte Gleitkommazahl 8*6.25e10Byte = 5e11/10243GB=465.6GB Rang der Steifigkeitsmatrix 105-106 ABER Besetzungsdichte etwa 0.01%!!! Dünnbesetzte Matrix (engl. Sparse Matrix) Bsp: nur speichern der Werte ungleich 0 465.6GB * 0.0001 = 48MB Bandbreitenoptimierung durch spezielle Nummerierung der Unbekannten Ziel: Dünne Bandstruktur Vorkonditionierung: Umformung durch Zeilen/Spaltentauch Lösung bleibt erhalten, ABER positive Eigenschaften auf numerische Lösungsverfahren wie bessere Kondition oder schnellere Konvergenz ergeben. | Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Nicht für Knöpfchendrücker Systemmatrix: nach der Assemblierung Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | – Vorkonditionierung nach Anwendung des Reverse-Cuthill-McKee Verfahrens | | Nicht für Knöpfchendrücker – Datenstruktur der Systemmatrix Beispiele für Speicherformate von Bandmatrizen: DNS Dense format BND Linpack Banded format CSR Compressed Sparse Row format CSC Compressed Sparse Column format COO Coordinate format ELL Ellpack-Itpack generalized diagonal format DIA Diagonal format BSR Block Sparse Row format MSR Modified Compressed Sparse Row format SSK Symmetric Skyline format NSK Nonsymmetric Skyline format LNK Linked list storage format JAD The Jagged Diagonal format SSS The Symmetric Sparse Skyline format USS The Unsymmetric Sparse Skyline format VBR Variable Block Row format Row/ col 0 2 1 1 1 4 2 0 3 3 0 5 Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich 0 3 6 7 0 5 7 8 Value array: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2 4 6 8 u 1 3 5 7 Index array: Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich Nicht für Knöpfchendrücker 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 5 6 8 9 9 1 2 3 3 | | | | – Löser Nicht für Knöpfchendrücker Direkte Löser Nach einer bestimmten Anzahl Schritte bei der exakten Lösung – Löser Iterative Löser Schrittweise Lösungsverbesserung Minimaler Speicheraufwand Faktorisierung der Steiffigkeitsmatrix in linke untere und rechte obere Dreiecksmatrix Bsp: • Gausssches Eliminationsverfahren • Cholesky Verfahren • Housholder Verfahren • LDLT Faktorisierung Für schlecht konditionierte Probleme Bsp: • Gauss-Seidel Verfahren • Cunjugate Gradient Verfahren • Mehrgitter Verfahren | Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | LABOR Mind. 50MB frei auf dem Heimatverzeichnis Rechnerraum HIL G15.4 Kleiner Eingangstest Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | LABORAUFGABE 1 z y x Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich • Erkennen von „guten“ und „schlechten“ Elementen • Konvergenz der Lösung • Extrahieren von Ergebnissen aus FEM Modellen | | 2 LABORAUFGABE d=150,t=14 Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich • Komplexeres Bauteil modellieren • Folgen von Modellannahmen erkennen • Ergebnisse richtig interpretieren | | TOOLS – FEM Applet zum selber rumspielen http://illustrations.marin.ntnu.no/structures/analysis/FEM/Fem2D/applet/index.html •Modell 4 •Last auf Kante in y-Richtung=1e4 •Elementtypen Triangular/Quadrilateral unterschiedliche Vernetzungen # Elemente Tri Maximale Verschiebung Maximale Spannung A Maximale Spannung B # Elemente Quad Maximale Verschiebung Maximale Spannung Maximale Spannung B 6 0.6 13 41 3 0.6 13 13 24 0.8 16 32 12 0.8 16 16 54 0.1 12 41 27 0.1 12 12 96 1 23 2 48 1 34 23 2 Maximale Spannung Max. Verschiebung in B 2.5 1.5 1 Tri 0.5 Quad 0 0 500 1000 1500 2000 384 1.2 10 3 192 1.2 10 10 1536 2 44 1 768 2 44 44 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 A3 A4 B3 B4 0 500 1000 2000 Anzahl Elemente Elemente | Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich TOOLS 1500 | – FEM Applet zum selber rumspielen Frage: Kann durch ein immer feineres Netz die Spannung in Punkt A genauer gerechnet werden? A B Spannungssteigerung durch Singularität scharfe Kante Konvergenz der Verschiebung Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | Selbstkontrolle: Was versteht man unter „Diskretisierung“? Wozu dienen Ansatzfunktionen? Welche Grundgleichungen und Randbedingungen werden bei Finite Elementen mit dem Prinzip der virtuellen Verschiebung (PvV) exakt, welche näherungsweise erfüllt? exakt näherungsweise Wegrandbedingung o o Kraftrandbedingung o o Gleichgewicht im Element o o Kinematik o o Werkstoffgesetz o o Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | Selbstkontrolle: Skizzieren Sie die einzelnen Schritte von der Systembeschreibung bis zur Gesamtlösung. Warum werden Elementfreiheitsgrade vom lokalen in das globale Koordinatensystem transformiert? Was versteht man unter Assemblieren und was ist dazu notwendig? Welche Ansatzfunktionen für den 2D Balken kennen Sie? Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | | Ihre ersten Schritte in angewandter FEM …Danke für die Aufmerksamkeit Rechnergestützte Physik der Werkstoffe, Institut für Baustoffe, ETH Zürich | |
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