Seminar für Versicherungswissenschaft Sommersemester 2008 MIKROÖKONOMIE Lösungen zu Aufgabenblatt 7 Lösung zu Aufgabe 7.2 Gegeben ist das folgende Spiel, das kein Nash - Gleichgewicht in reinen Strategien besitzt: Spieler 1 T B Spieler 2 L R 5, 3 12, 0 6, 0 6, 2 Betrachten wir nun gemischte Strategien der Spieler. Angenommen, Spieler 1 spielt T mit Wahrscheinlichkeit p, Spieler 2 wähle L mit Wahrscheinlichkeit q.1 Wir suchen nun zuerst wieder die Beste Antwort Korrespondenzen. Spieler 1 erzielt die folgenden Nutzenwerte in Abhängigkeit seiner Strategiewahl (und der Strategie seines Gegenspielers): u1 (T ) = 5q + 12(1 − q) = 12 − 7q. u1 (B) = 6q + 6(1 − q) = 6. Für Spieler 1 ist also T strikt besser als B, wenn 6 12 − 7q > 6 ⇐⇒ q < . 7 Die Beste Antwort Korrespondenz ist also gegeben durch p=1 wenn q < BR1 : p ∈ [0; 1] wenn q = p=0 wenn q > 6 7 6 7 6 7 1 Genau genommen handelt es sich bei einer gemischten Strategie ja um einen Wahrscheinlichkeitsvektor, der jeder reinen Strategie eine Wahrscheinlichkeit zuordnet. Im Falle von Spieler 1 (vergleiche mit der Definition im Skript) wäre eine gemischte Strategie also gegeben durch T B p1 = (pT1 , pB 1 ). Da sich die Wahrscheinlichkeiten aber auf 1 aufaddieren müssen, gilt p1 = 1−p1 , d.h. die gemischte Strategie von Spieler 1 wird durch pT1 := p vollständig charakterisiert. Ganz analog können wir für Spieler 2 vorgehen. Wie immer ist es für Spieler 1 nur dann optimal, zwischen seinen beiden reinen Strategien T und B zu randomisieren, wenn beide Strategien die gleiche Nutzenauszahlung liefern, was nur bei q = 67 der Fall ist. Für Spieler 2 gehen wir ganz analog vor. Seine Auszahlungen in Abhängigkeit seiner Strategiewahl und der Strategie von Spieler 1 sind gegeben durch u2 (L) = 3p + 0(1 − p) = 3p. u2 (R) = 0p + 2(1 − p) = 2 − 2p. Spieler 2 sollte L wählen, sobald L einen höheren Nutzen generiert als R, wenn also gilt: 2 3p > 2 − 2p ⇐⇒ p > . 5 Daraus ergibt sich die folgende Beste Antwort Korrespondenz: q=1 wenn p > BR2 : q ∈ [0; 1] wenn p = p=0 wenn p < 2 5 2 5 2 5 Ein Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien liegt also für (p∗ , q ∗ ) = ( 52 , 67 ) vor. Denn wenn Spieler 1 mit Wahrscheinlichkeit p = 25 T wählt, ist Spieler 2 genau indifferent zwischen L und R. Also ist es für Spieler 2 auch optimal, L mit Wahrscheinlichkeit q = 76 zu spielen, was wiederum Spieler 1 indifferent zwischen T und B macht. Wichtig: Natürlich wäre jedes q zwischen 0 und 1 für Spieler 2 optimal. Würde Spieler 2 aber ein anderes q als 67 wählen, wäre Spieler 1 nicht mehr indifferent zwischen seinen beiden reinen Strategien und würde demzufolge nicht mehr randomisieren, sondern die reine Strategie mit dem höchsten Nutzen wählen. In einem Nash Gleichgewicht, in dem beide Spieler gemischte Strategien spielen, muss also jeder Spieler so randomisieren, dass der andere Spieler indifferent zwischen genau denjenigen reinen Strategien ist, zwischen denen er randomisiert! Lösung zu Aufgabe 7.3 Gegeben ist folgendes Spiel mit zwei Nash-Gleichgewichten in reinen Strategien: T Spieler 1 M B L 2, 0 3, 3∗ 1, 3 Spieler 2 C R 1, 1 4, 4∗ 0, 1 2, 2 0, 2 3, 0 Wir hätten das Spiel auch wieder über IESDS vereinfachen können. • für Spieler 1 wird B dominiert durch folgende Strategie: spiele T mit Wahrscheinlichkeit strikt größer 50% und M mit der Gegenwahrscheinlichkeit. • für Spieler 2 ist hingegen C dominiert durch folgende gemischte Strategie: spiele L mit Wahrscheinlichkeit strikt zwischen 23 und 34 und spiele R mit der Gegenwahrscheinlichkeit.2 Wie in jedem Spiel, das in der Veranstaltung behandelt wird, so gibt es auch hier eine ungerade Anzahl an Nash-Gleichgewichten. Es muss also noch mindestens 1 Nash - Gleichgewicht in gemischten Strategien existieren. Da die reinen Strategien B und C dominiert sind (s.o.), werden sie nie Bestandteil eines Nash-Gleichgewichtes sein. Spieler 1 wird also nur zwischen T und M , Spieler 2 nur zwischen L und R randomisieren. Angenommen, Spieler 1 spielt T mit Wahrscheinlichkeit p, Spieler 2 wähle L mit Wahrscheinlichkeit q. Wir ermitteln wieder zuerst die Besten Antwort Korrespondenzen. u1 (T ) = 2q + 4(1 − q) = 4 − 2q. u1 (M ) = 3q + 2(1 − q) = 2 + q. Spieler 1 sollte also T spielen wenn gilt 2 4 − 2q > 2 + q ⇐⇒ q < . 3 Wir erhalten folgende Beste Antwort Korrespondenz p=1 wenn q < BR1 : p ∈ [0; 1] wenn q = p=0 wenn q > 2 3 2 3 2 3 Für Spieler 2 erhält man als Auszahlung u2 (L) = 0p + 3(1 − p) = 3 − 3p. u2 (R) = 4p + 2(1 − p) = 2 + 2p. Für ihn ist L besser als R wenn 1 3 − 3p > 2 + 2p ⇐⇒ p < . 5 Die Beste Antwort Korrespondenz ist gegeben durch q=1 wenn p < BR2 : q ∈ [0; 1] wenn p = p=0 wenn p > 1 5 1 5 1 5 p 6 1 1 5 u BR1 u BR2 u 2 3 1 - q In den Punkten, in denen sich die Besten Antwort Korrespondenzen schneiden, befinden sich die Nash - Gleichgewichte des Spiels. Hier liegt nämlich ein Strategienprofil vor, in dem beide Spieler jeweils optimale Antworten auf die Strategie ihres Gegenspielers wählen. Neben dem Gleichgewicht in gemischten Strategien kann man in der Grafik natürlich auch die Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien sofort sehen. L muss mit höherer Wahrscheinlichkeit als 32 gespielt werden, damit die gemischte Strategie besser ist als C gegeben Spieler 1 wählt B. Die Wahrscheinlichkeit L zu spielen darf nicht über 3 4 liegen, da die gemischte Strategie sonst nicht mehr besser wäre als C wenn Spieler 1 T wählen würde. 2
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