Mathematik/Jgstf Q/001 Analysis/03 Integralrechnung/00

ARBEITSBLATT ZUR INTEGRALRECHNUNG
Experiment: Füllen einer Badewanne
1. Eine Minute konstanter Zufluss, anschließend 1,5 Minuten konstanter Abfluss
Zuflussgeschwindigkeit ( in l/min )
Wasservolumen ( in l )
10
10
t2
t1
-5
2,5
1
10 für 0 ≤ t ≤ 1
f(t) = − 5 für 1 < t ≤ 2 ,5
0 für
1
Zeit
( in min )
2,5
Zeit
( in min )
für 0 ≤ t ≤ 1
10 t
V(t) = - 5 t + 15 für 1 < t ≤ 2 ,5
t > 2 ,5
2,5
für
t > 2 ,5
Die Zuflussgeschwindigkeit stellt die Randfunktion dar. Das Wasservolumen in der Badewanne
läßt sich als Flächeninhalt unter der Randfunktion interpretieren. Sie wird als
Flächeninhaltsfunktion bezeichnet.
2. Der Zuflusshahn wird langsam geöffnet (allmähliche Steigerung der Zuflussgeschwindigkeit
f(t) ), anschließend konstanter Abfluss
f(t)
V(t)
10
5
V
t2
t1
1
1
t
t
-5
f(t) =
10 t
−5
für 0 ≤ t ≤ 1
für t > 1
V(t) =
5 t2
für 0 ≤ t ≤ 1
− 5 t + 10 für t > 1
Durch die Steigerung der Zuflussgeschwindigkeit wächst das Wasservolumen in der Badewanne
nicht mehr gleichmäßig (linear) an. Auch hier läßt sich das Wasservolumen als Flächeninhalt unter
der Randfunktion (Zuflussgeschwindigkeit) deuten.
3. Jemand spielt am Zuflusshahn und am Abflussstöpsel herum.
f(t)
V(t)
?
t2
t1
t
t
Wiederum lässt sich das Wasservolumen
als Flächeninhalt unter der Randfunktion
(Zuflussgeschwindigkeit) deuten.
ARBEITSBLATT ZUR INTEGRALRECHNUNG
ALLGEMEINES PROBLEM:
Wie finde ich zu einer Funktion f (Randfunktion) die Funktion F, die den „Gesamteffekt“ von f bis
zu einer bestimmten Stelle misst (Flächeninhaltsfunktion).
Zusammenhang zwischen Randfunktion f und Flächeninhaltsfunktion F:
Beispiele:
Randfunktion
Zuflussgeschwindigkeit
momentane Geldzuflussrate
Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Epidemie
Stärke des Stroms, der einem Akku
entnommen oder zugeführt wird
Kraft, die längs eines Weges wirkt
Geschwindigkeit eines Fahrrades
Flächeninhaltsfunktion
Wasservolumen
Kontostand
Anzahl der Infizierten
Ladung des Akku
physikalische Arbeit
zurückgelegte Strecke
Aufgabe 1: Folgende Graphen zeigen die Zulaufgeschwindigkeit bzw. Ablaufgeschwindigkeit
einer Badewanne. Bearbeiten Sie jeweils folgende Aufgaben:
(1) Bestimmen Sie einen Funktionsterm der Zuflussgeschwindigkeit-Funktion f.
(2) Ermitteln Sie einen Funktionsterm der Wasservolumen-Funktion V.
(3) Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f und V in ein Koordinatensystem.
a)
b)
c)
f(x)
f(x)
f(x)
f
f
3
6
d)
2
2
1
1
f
x
x
4
2
e)
f(x)
f(x)
f
2
4
1
2
x
2
−1
3
f
−2
4
6
8 9
11
x
Aufgabe 2: Gegeben sind die folgenden Randfunktionen. Ermitteln Sie jeweils einen Term der
Funktion F, die den "Gesamteffekt" beschreibt.
a) f(x) = 2x
F(x) =
b) f(x) = x
F(x) =
c) f(x) = 6x5
F(x) =
d) f(x) = x7
F(x) =
e) f(x) =
1
x2
F(x) =
f) f(x) =
x
F(x) =
x
Lösungen:
Aufgabe 1:
a) f(x) = 0,5x V(x) = 0,25x2
b) f(x) = 0,5x+1 V(x) = 0,25x2 + x
0,5 x für 0 ≤ x ≤ 4
0,25 x 2
V ( x) =
c) f ( x) =
2
für x > 4
2x − 4
d) f ( x) =
1 für 0 ≤ x ≤ 2
− x + 3 für x > 2
− 0,5 x 0 ≤ x ≤ 4
−x+4 4< x≤6
e) f ( x) =
−2
6< x≤8
2 x − 18 8 < x ≤ 11
4
11 < x
Aufgabe 2:
a) F(x)=x2
e) F(x)=−1/x
V ( x) =
für 0 ≤ x ≤ 4
für x > 4
x
− 0,5 x 2 + 3x − 2
− 0,25 x 2
für 0 ≤ x ≤ 2
für x > 2
0≤ x≤4
− 0,5 x + 4 x − 4 4 < x ≤ 6
V ( x) =
− 2 x + 14
6< x≤8
2
x − 18 x + 78 8 < x ≤ 11
4 x − 43
11 < x
b) F(x)=0,5x2
f) F(x)=2/3x1,5
2
c) F(x)=x6
d) F(x) = 1/8x8

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