Institut für Erdmessung
Numerische Integration des Schwarzschild
Problems mit Hilfe von Lie-Reihen
Institut für Erdmessung
Leibniz Universität Hannover
Liliane Biskupek, Enrico Mai | 15.09.2015
Inhalt des Vortrags
Einleitung
Theoretischer Hintergrund
Lie-Reihen Ansatz
Relativistisches Zwei-Körper-Problem
Berechnung
Zusammenfassung und weiteres Vorgehen
Liliane Biskupek, Enrico Mai
Folie 2
Einleitung
◮
◮
Genauigkeit der Entfernungsmessung: 10 nm
Berücksichtigung relativistischer Effekte bei
◮
◮
◮
◮
Bahnbestimmung
Signalausbreitung
Zeitbestimmung
Post-Newton’sche Approxinationen nicht ausreichend
→ Analytische Formulierung
Liliane Biskupek, Enrico Mai
Folie 3
Einleitung
◮
Berechnung von Satellitenbahnen heute meist numerisch
Vorteile: hohe Genauigkeiten für kurze und mittlere
Bahnbögen; einfache Erweiterung um zusätzliche
Kräfte möglich
Nachteil: Lösungen vom Ausgangsproblem abhängig und nicht
allgemeingültig
◮
Analytische Verfahren zur Orbitintegration
Vorteil: direkte Einblick in physikalischen Eigenschaften und
Zusammenhänge, da spektral
→ Verknüpfung der Vorteile
→ semi-analytische Integration über Lie-Reihen
Liliane Biskupek, Enrico Mai
Folie 4
Lie-Reihen Ansatz
◮
Hamilton-Funktion H muss bekannt sein
◮
mehr-Körper-Problem kann über gewöhnliche Differentialgleichung
(ODE) 2. Ordnung beschrieben werden:
Mẍ + Γẋ + Φx = α ,
mit Position der Körper x, Systemmasse M,
geschwindigkeitsabhängiger Dissipation Γ, Nicht-Linearität Φ und
Inhomogenität α; alle Parameter können von Zeit und Ort abhängig
sein
Liliane Biskupek, Enrico Mai
Folie 5
Lie-Reihen Ansatz
◮
Kanonische Gleichungen für Störungsrechnung:
dx
∂H
=
= ẋ
dt
∂p
◮
Hamilton-Funktion:
dH =
X ∂H
i
◮
dp
∂H
=−
= ṗ
dt
∂x
∂xi
dxi +
∂H
dpi
∂pi
+
∂H
dt
∂t
für ungedämpfte Systeme (Γ = 0), ohne äußere Anregungskräfte
(α = 0) und Zeit-unabhängig (∂H/∂t = 0), vereinfacht sich
Differentialgleichung und Hamilton-Funktion zu:
H(x, p) =
Liliane Biskupek, Enrico Mai
1 T
p p + ms V (x)
2ms
Folie 6
Lie-Reihen Ansatz
◮
Taylor-Reihenentwicklung mit Schrittweite ∆t:
x (t0 + ∆t) =
∞
X
∆t k
k=0
◮
k!
fk t0
p (t0 + ∆t) =
∞
X
∆t k
k=0
k!
Koeffizienten fk und gk analytisch über Poisson-Klammern
fk+1 =
gk+1 =
Liliane Biskupek, Enrico Mai
gk t0
∂fk
∂fk
∂fk ∂H
∂fk ∂H
+ {fk , H} =
+
−
∂t
∂t
∂x ∂p
∂p ∂x
∂gk
∂gk
∂gk ∂H
∂gk ∂H
+ {gk , H} =
+
−
∂t
∂t
∂x ∂p
∂p ∂x
Folie 7
Relativistisches Zwei-Körper-Problem
◮
◮
◮
Schwarzschild-Lösung als größter relativistischer Effekt
µ⊕
µ⊕ 4µ⊕
ms r̈ + ms 3 r = ms 2 3
r − ṙ · ṙ r + 4 r · ṙ ṙ
r
c r
r
Masse des Satelliten ms = 1, µ⊕ = GM, Lichtgeschwindigkeit c
mit der Hamilton-Funktion:
!
2
ms µ2⊕
pTp ms µ⊕
1 pTp
3µ⊕ T
H=
−
− 2
−
+
p p
2ms
r
c
8ms3
2r 2
2ms r
Poisson-Klammern → Lie-Reihen-Koeffizienten → Satellitenorbit
Liliane Biskupek, Enrico Mai
Folie 8
Relativistisches Zwei-Körper-Problem
◮
◮
H nicht explizit zeitabhängig
für kmax = 0
f0 = r
g0 = p
◮
für kmax = 1
f1 =
1
ms
g1 = −
Liliane Biskupek, Enrico Mai
3µ⊕
pT p
1− 2 − 2 2 p
c r
2c ms
ms µ⊕
r3
µ⊕
3pT p
1− 2 + 2 2 r
c r
2c ms
Folie 9
Relativistisches Zwei-Körper-Problem
◮
kmax = 2
f2 = −
µ⊕
1 µ⊕ 4µ⊕
1
4
T
T
r
+
r
−
p
p
r
+
pp
r
r3
c2 r3
r
ms2
ms2
(
µ⊕
3µ⊕ T 1 µ⊕ 3µ⊕
g2 = − 3 p + 5 rr p + 2 3
rpT r
3
r
r
c r
r
)
4µ⊕
pT p
13µ⊕ 3pT p
T
+ − 3 + 2 2 rr +
− 2 I3 p
r
ms r
r
ms
◮
mit steigendem Grad k steigt Komplexität
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Folie 10
Berechnung mit Mathematica
◮
◮
◮
◮
Lie-Reihen-Koeffizienten kostet viel Rechenzeit
Test zum Parallelen Rechnen
verschiedene kmax
∆t = 100s, tend = 10000s
Liliane Biskupek, Enrico Mai
Folie 11
Berechnung mit Mathematica
◮
◮
◮
◮
Lie-Reihen-Koeffizienten kostet viel Rechenzeit
Test zum Parallelen Rechnen
verschiedene kmax
∆t = 100s, tend = 10000s
Liliane Biskupek, Enrico Mai
Folie 11
Berechnung mit Mathematica
◮
Differenz kmax = 4 und kmax = 3
Liliane Biskupek, Enrico Mai
Folie 12
Berechnung mit Mathematica
◮
Differenz kmax = 5 und kmax = 4
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Folie 13
Zusammenfassung und weiteres Vorgehen
◮
Lie-Reihen-Berechnung zur semianalytischen Lösung des
Schwarzschild-Problems
◮
erste Untersuchungen bis kmax = 5
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Folie 14
Zusammenfassung und weiteres Vorgehen
◮
Lie-Reihen-Berechnung zur semianalytischen Lösung des
Schwarzschild-Problems
◮
erste Untersuchungen bis kmax = 5
Wie hoch muss kmax sein?
◮
◮
◮
Rechenzeit ↔ Genauigkeit
zum Vergleich: Analytische Lösung des Schwarzschild-Problems
Liliane Biskupek, Enrico Mai
Folie 14
Zusammenfassung und weiteres Vorgehen
◮
Lie-Reihen-Berechnung zur semianalytischen Lösung des
Schwarzschild-Problems
◮
erste Untersuchungen bis kmax = 5
Wie hoch muss kmax sein?
◮
◮
Rechenzeit ↔ Genauigkeit
zum Vergleich: Analytische Lösung des Schwarzschild-Problems
◮
Optimierung der Berechnung, z.B. über Rekursionsformeln
◮
Berechnung täglicher, monatlichen, jährlicher Bahnbögen
→ Grundgerüst
◮
Untersuchung relativistischer Effekte auf verschiedene
Satellitenkonstellationen
◮
Liliane Biskupek, Enrico Mai
Folie 14
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