Aufgabenblatt

Me III WS 07/08 Prof. Dr. rer. nat. Popov
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Aufgaben zur 8.Übungswoche: Prinzip von Hamilton; FEM in der Statik
Plenarübung
PSfrag replacements
`
1. Ein bei x = 0 eingespannter Balken (Länge `, Biegesteifigkeit EI = konst., Massebelegung ρA = konst.) mit der
Punktmasse m an der Stelle x = ` soll Eigenschwingungen
x
durchführen. Mit Hilfe des Hamiltonschen Prinzips sind
EI, ρA
die dynamischen Randbedingungen und die Bewegungsdifz, w
ferentialgleichung zu ermitteln.
Gegeben: `, A, ρ, EI
m
PSfrag replacements
2. Der skizzierte Stab besteht aus zwei Bereichen mit jeweils unterschiedlichen Längen `1 ,
`2 und Querschnittsflächen A1 , A2 . Während
er am linken Ende an ein Festlager angeschlos3
sen ist, wirkt an seinem rechten Ende die
eingeprägte Kraft F . Zu ermitteln sind die
Längsverschiebungen u2 = u(x = `1 ) und
u3 = u(x = `1 + `2 ) sowie die Horizontallast
im linken Lager mit Hilfe der Methode der
Finiten Elemente. Gehen Sie dabei wiefolgt
vor:
`1
`2
F
EA1
EA2
(a) Stellen Sie ein Ersatzsystem auf, in welchem die zu berechnenden Auflagerreaktionen als
eingeprägte Kräfte wirken. Ermitteln Sie nun das elastische Gesamtpotential Π = W −A.
Als Ansatzfunktion für die Längsverschiebung in beiden Bereichen soll dabei eine lineare
Funktion genutzt werden. Als generalisierte Koordinaten sind die Knotenverschiebungen
heranzuziehen. Hierdurch wird das kontinuierliche System auf ein diskretes abgebildet.
(b) Nutzen Sie das Prinzip der virtuellen Verrückungen δΠ = 0 zur Aufstellung der Bestimmungsgleichungen für die Knotenverschiebungen sowie die unbekannte Lagerkraft und
stellen Sie das Gleichungssystem in Matrizenschreibweise auf.
(c) Identifizieren Sie die Systemsteifigkeitsmatrix und finden Sie einen Zusammenhang zu
den Elementsteifigkeitsmatrizen.
(d) Ermitteln Sie aus dem reduzierten System die Knotenverschiebungen u 2 und u3 . Abschließend ist die Lagerkraft zu bestimmen.
Gegeben: `1 , `2 , A1 , A2 , F , E
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Aufgaben zur 8.Übungswoche: Prinzip von Hamilton; FEM in der Statik
Tutorium
PSfrag replacements
3. Ein homogener, linear elastischer Torsionsstab mit
kreisförmigem Querschnitt trägt an seinem rechten Ende eine starre Kreisscheibe (Radius r; Masse m).
ϕ(l)
r
x
y
z
G, Ip , A, ρ
m
`
(a) Wie lautet die geometrische Randbedingung für das System?
(b) Ermitteln Sie die Lagrange-Funktion für das Gesamtsystem.
(c) Formulieren Sie das Prinzip von Hamilton für das untersuchte System.
(d) Leiten Sie nun die Bewegungsdifferentialgleichung und die dynamische Randbedingung
her.
Gegeben: r, `, A, Ip , m, G, ρ
4. Der massebehaftete linear elastische Stab besteht aus zwei Bereichen mit
jeweils unterschiedlichen Längen `1 , `2 und Querschnittsflächen A1 , A2 .
Neben der Belastung durch die Schwerkraft greift am unteren Ende eine
Einzelkraft F an.
g
PSfrag replacements
(a) Stellen Sie ein Ersatzsystem auf, in welchem die Vertikallast in der
Einspannung als eingeprägte Kraft wirkt. Ermitteln Sie nun das EA2 , ρ
elastische Gesamtpotential Π = W − A. Als Ansatzfunktion für
die Längsverschiebung in beiden Bereichen soll dabei eine lineare
Funktion genutzt werden.
(b) Nutzen Sie das Prinzip der virtuellen Verrückungen δΠ = 0 zur
Aufstellung der Bestimmungsgleichungen für die Knotenverschiebungen sowie die unbekannte Lagerreaktion und stellen Sie das
Gleichungssystem in Matrizenschreibweise auf.
(c) Ermitteln Sie aus dem reduzierten System die Knotenverschiebungen u2 und u3 . Abschließend ist die Lagerkraft zu bestimmen.
Gegeben: `1 , `2 =
`1
2,
A1 , A2 =
A1
2 ,
g, F , E, ρ
`1
EA1 , ρ
`2
F
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Hausaufgabe
PSfrag replacements
5. Ein Balken (Länge `, Massebelegung µ, Biegesteifigkeit EI) ist bei A gelenkig gelagert und
bei B in eine Hülse gesteckt, die dem Balken
dort eine horizontale Tangente aufzwingt. Die A
Hülse (Masse m) kann auf einer starren Stange
in vertikaler Richtung reibungsfrei gleiten. Der
Balken schwingt ausschließlich in Querrichtung.
glatt, starr
`
B
x
w
EI, µ
m
Leite
die
Bewegungsdifferentialgleichung
und die dynamischen Randbedingungen
PSfrag Wirkung
replacements
mit dem Prinzip der stationären
(Hamiltonsches Prinzip) her!
Gegeben: EI, µ, `, m
6. Der skizzierte linear elastische Stab besteht
aus zwei Bereichen mit jeweils unterschiedlichen
Längen `1 , `2 und Querschnittsflächen A1 , A2 . Er
ist beidseitig durch Festlager an die Umgebung gekoppelt. Am mittleren Knoten 2 greift die Horizontallast F an.
`1
`2
2
1
EA1
F
3
EA2
(a) Stellen Sie ein Ersatzsystem auf, in welchem die zu berechnenden Auflagerreaktionen als
eingeprägte Kräfte wirken. Ermitteln Sie anschließend das elastische Gesamtpotential
Π = W − A. Als Ansatzfunktion für die Längsverschiebung in beiden Bereichen soll
dabei eine lineare Funktion genutzt werden. Als generalisierte Koordinaten sind die
Knotenverschiebungen heranzuziehen.
(b) Nutzen Sie das Prinzip der virtuellen Verrückungen δΠ = 0 zur Aufstellung der Bestimmungsgleichungen für die Knotenverschiebung im Knoten 2 sowie die unbekannten
Lagerkräfte und stellen Sie das Gleichungssystem in Matrizenschreibweise dar.
(c) Ermitteln Sie aus dem reduzierten System die Knotenverschiebung u 2 .
(d) Berechnen Sie die (horizontalen) Lagerreaktionen.
Gegeben: `1 , `2 = `1 , A1 , A2 = 2A1 , F , E

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