Lagrange I
Lagrange II
Zwangsbedingungen: g̃α (qA , t) = 0 = gα (xin (qA , t), t)
Hamilton-Jacobi
Lagrange I: mn ẍin = Kni + ∑ λα
α
⇒0=
∂ gα
∂ gα ∂ xin
=∑ i
∂qA i,n ∂xn ∂qA
∂ xin
⋅ [Lagr. I]in :
∑
i,n ∂qA
=
i
i ∂ xn
∑ Kn
∂qA
i,n
3
∂ gα ∂ xin
+ λα ∑ i
i,n ∂xn ∂qA
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
⇒
∂ xin
− ∑ Kni
∂qA
i,n
N
„∑“ =
ˆ∑ ∑
i,n
i=1 n=1
NF
„∑“ =
ˆ∑
=0
i
i ∂ xn
∑ mn ẍn
∂qA
i,n
∀i, n.
NZ - Anzahl Zwangsbedingungen
NF - Anzahl Freiheitsgrade
N - Anzahl Punkte
qA - generalisierte Koordinaten [A = 1, . . . , NF ],
i
i ∂ xn
∑ mn ẍn
∂qA
i,n
∂ gα
∂xin
B
=0
B=1
NZ
„∑“ =
ˆ∑
dxi
∂ xi
∂ xin
Es ist: x˙in = n = ∑ n q̇B +
dt
∂t
B ∂qB
∂ ẋin
∂ 2 xin
∂ 2 xin
⇒
=∑
q̇B +
∂qA B ∂qA ∂qB
∂qA ∂t
,
∂ ẋin ∂ xin
=
∂ q̇A ∂qA
α
α=1
2
1
∂ xi
∂ xin
1
]
Mit der kinetischen Energie T = ∑ mn [ẋin ]2 = ∑ mn [ n q̇B +
∂qB
∂t
i,n 2
i,n 2
∂T
∂qA
∂T
∂ q̇A
d ∂T
dt ∂ q̇A
=
=
=
folgt:
∂ ẋin
∂ 2 xin
∂ 2 xin
= ∑ mn ẋin [∑
q̇B +
],
∂qA i,n
∂qA ∂t
i,n
B ∂qA ∂qB
i
∂ xi
i ∂ ẋn
= ∑ mn ẋin n ,
∑ mn ẋn
∂ q̇A i,n
∂qA
i,n
i
∂ dxin
∂ 2 xin
∂ xi
∂ 2 xin
i ∂ xn
+ ∑ mn ẋin
= ∑ mn ẍin n + ∑ mn ẋin [∑
q̇B +
].
∑ mn ẍn
∂qA i,n
∂qA dt
∂qA i,n
∂qA ∂t
i,n
i,n
B ∂qA ∂qB
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶ ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
i
∑ mn ẋn
QA
∂T
= ∂q
A
Mit den generalisierten Kräften QA =
i
i ∂ xn
∑ Kn
∂qA
i,n
schreibt sich dies als:
d ∂T
∂T
−
= QA .
dt ∂ q̇A ∂qA
Weisen die Kräfte ein Potential auf [Kni = −
∂U
∂ U ∂ xin
=∑ i
∂qA i,n ∂xn ∂qA
∂U
∂xin
⇒ QA = ∑ Kni
i,n
Ô⇒
; mit U = U (xin , t) ,
∂U
= 0], so ist:
∂ q̇A
∂ xin
∂ U ∂ xin
∂U
= −∑ i
=−
∂qA
∂x
∂q
∂q
A
A
n
i,n
d ∂T
∂T
∂U
d ∂U
].
−
=−
+[
dt ∂ q̇A ∂qA
∂qA
dt ∂ q̇A
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
=0
Mit der Lagrange Funktion L(qA , q̇A , t) = T (qA , q̇A , t) − U (qA , t) formuliert sich so der Lagrange II - Formalismus:
d ∂L
∂L
−
=0
dt ∂ q̇A ∂qA
dL
∂L
∂L
∂L
d ∂L
∂L
∂L
d ∂L
∂L
=∑
q̇B + ∑
q̈B +
=∑ [
] q̇B + ∑
q̈B +
=∑ [
q̇B ] +
dt
∂q
∂
q̇
∂t
dt
∂
q̇
∂
q̇
∂t
dt
∂
q̇
∂t
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
Dies ist die Energiebilanzgleichung im Lagrange-Formalismus:
1
d
∂L
∂L
[∑
q̇B − L] = −
.
dt B ∂ q̇B
∂t
Lagrange I
Lagrange II
Hamilton-Jacobi
t2
Das Wirkungsfunktional S ist wie folgt definiert: S(qA ) = ∫
L(qA , q̇A , t) dt .
∂L
.
∂ q̇A
Die generalisierten Impulse pA sind: pA =
Die Hamilton-Funktion H ist:
t1
(qA , pA ) heißen kanonisch konjugiert.
H(qA , pA , t) = ∑ q̇B pB − L
[vgl. Energiebilanz]
B
Die kanonischen Gleichungen:
∂H
∂ L ∂
q̇
∂L
d ∂L
∂ q̇B ∂ L
B
= ∑ pB −
− ∑ =−
=−
= −ṗA
∂qA
∂qA ∂ q̇B ∂qA
∂qA
dt ∂ q̇A
B
B ∂qA
∂H
q̇
∂ q̇B ∂ L ∂
B
= ∑ pB + q̇A − ∑ = q̇A
∂pA
∂ q̇B ∂pA
B ∂pA
B
q̇
∂L
∂L
∂ q̇B ∂ L ∂
∂H
B
= ∑ pB − ∑ −
=−
∂t
∂t
∂
q̇
∂t
∂t
∂t
B
B
∂H
d ∂L
=− [
]=0
∂qA
dt ∂ q̇A
Zyklische Koordinaten:
Poisson-Klammern: {F, G} = ∑ [
B
⇒
pA = const. [zeitlich].
⇒
∂F ∂G
∂F ∂G
−
]
∂qB ∂pB ∂pB ∂qB
= − {G, F }
dF
∂F
∂F
∂F ∂H
∂F ∂H ∂F
∂F
∂F
=∑
q̇B + ∑
ṗB +
=∑
−∑
+
= {F, H} +
.
dt
∂q
∂p
∂t
∂q
∂p
∂p
∂q
∂t
∂t
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
Kanonische Transformationen [QA = QA (qB , pB , t), PA = PA (qB , pB , t), H ′ = H ′ (QA , PA , t)]
lassen die kanonischen Gleichungen invariant.
[
∂H
∂H
= Q̇A ,
= −ṖA ]
∂PA
∂QA
Auch die Poisson-Klammern sind invariant gegenüber diesen Transformationen.
[{F, G} = ∑ [
B
∂F ∂G
∂F ∂G
∂F ∂G
∂F ∂G
−
] = ∑[
−
]]
∂qB ∂pB ∂pB ∂qB
∂Q
∂P
∂P
B
B
B ∂QB
B
Die Transformation erfolgt über erzeugende Funktionen, derer es 4 Klassen gibt:
Legendre-Transformation
R1 = R1 (qA , QA , t)
∂ R1
= pA
∂qA
∂ R1
= −PA
∂QA
∂ R1
= H′ − H
∂t
R2 = R2 (qA , PA , t)
∂ R2
= pA
∂qA
∂ R2
= QA
∂PA
∂ R2
= H′ − H
∂t
R2 = R1 + ∑ QB PB
R3 = R3 (pA , QA , t)
∂ R3
= −qA
∂pA
∂ R3
= −PA
∂QA
∂ R3
= H′ − H
∂t
R3 = R1 − ∑ qB pB
R4 = R4 (pA , PA , t)
∂ R4
= −qA
∂pA
∂ R4
= QA
∂PA
∂ R4
= H′ − H
∂t
R4 = R1 − ∑ qB pB + ∑ QB PB
!
Fordert man nun H ′ = 0, so gilt für R2 : pA =
⇒
∂ R2
∂qA
, H(qA , ∂∂qRA2 , t) +
B
B
B
∂ R2
∂t
B
= 0 , PA = const. ∀A .
dR2
∂ R2
∂ R2
∂ R2
∂ R2
∂ R2
∂ R2
=∑
q̇B + ∑
ṖB +
= ∑ pB q̇B + ∑ QB ṖB +
= ∑ pB q̇B − H(qA ,
, t) = L(qA ,
, t)
dt
∂q
∂P
∂t
∂t
∂q
∂qA
B
B
A
°
B
B
B
B
B
=0
⇒ R2 = ∫ L dt = S
Dies ist die
entspricht dem Wirkungsfunktional!
Hamilton-Jacobi-Gleichung:
∂S
∂S
+ H(qA ,
, t) = 0
∂t
∂qA
2
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