5.4 Zusammengesetzte Beanspruchung Aufgaben Aufgabe 1

Technische Mechanik 2
5.4-1
Prof. Dr. Wandinger
5.4 Zusammengesetzte Beanspruchung
Aufgaben
Aufgabe 1:
4F
a
2F
y
t
z
10a
x
2a
4F
Der abgebildete dünnwandige Kastenträger ist am linken Ende fest eingespannt und wird am rechten Ende durch zwei Kräfte belastet, die an einer
Ecke des Querschnitts angreifen.
a) Ermitteln Sie den Verlauf der Schnittlasten.
b) Ermitteln Sie die Spannungen im Querschnitt mit der größten Beanspruchung.
c) Ermitteln Sie im Querschnitt mit der größten Beanspruchung die Vergleichsspannungen für einen spröden und einen duktilen Werkstoff.
(Ergebnis: a) N(x) = 2F, Qy(x) = 0, Qz(x) = 0, Mx(x) = -8aF, My(x) = -aF,
Mz(x) = 2aF; b) σmax = 1,362F/(at), τxy = -2F/(at); c) σV,NH = 2,794F/(at),
σV,SH = 4,226F/(at), σV,GH = 3,722F/(at))
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Aufgabe 2:
Der abgebildete Balken wird am
freien Ende durch die am Flächenschwerpunkt angreifenden
Kräfte F1 und F2 sowie das Moment M um die z-Achse belastet. Er hat ein dünnwandiges CProfil und besteht aus einem
duktilen Werkstoff mit der
Streckgrenze Re .
2a
a
M
y
F1
S
F2
a
ez
P
y
yM
S
t
a
a) Ermitteln Sie die Querx
schnittsfläche A, den
z
z
Schwerpunktsabstand ez ,
die Koordinaten yM des Schubmittelpunkts, die Flächenträgheitsmomente Iy und Iz im eingezeichneten Koordinatensystem sowie das Torsionsträgheitsmoment IT und das Torsionswiderstandsmoment WT .
b) Ermitteln Sie die Schnittlasten in der Schnittebene, die den Punkt P enthält.
c) Ermitteln Sie die Spannungen im Punkt P sowie die Hauptspannungen
und die Hauptachsen. Stellen Sie den Spannungszustand im Punkt P
an einem achsenparallelen Rechteck in der xz-Ebene dar. Zeichnen Sie
auch die Hauptachsen ein.
d) Berechnen Sie die Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungshypothese (von Mises) und die Sicherheit SF gegen Fließen.
Zahlenwerte: a = 20 mm, t = 3 mm, η = 1,12; F1 = 1500 N, F2 = 1000 N,
M = 200 Nm, Re = 500 MPa
(Ergebnis: A = 240 mm2, ez = 5 mm, Iy = 64000 mm4, Iz = 10000 mm3, IT = 806 mm4,
WT = 268 mm3, yM = 12,5 mm; N = 1500 N, Qz = 1000 N, Mx = -12,5 Nm, My = -40
Nm, Mz = -200 Nm; σx = 106,3 MPa, τxz = 56,02 MPa, σ1 = 130,4 MPa, σ2 = -24,07
MPa, φ1 = 23,25°; σV,GH = 143,9 MPa, SF = 3,47)
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Aufgabe 3:
F
2a
ez
F
P
S
y
t
ey
x
y
S
2a
z
z
F
2a
Ein Kragbalken mit dünnwandigem Querschnitt wird an seinem freien Ende
wie dargestellt durch drei an seinen Ecken angreifende Kräfte belastet.
a) Ermitteln Sie die Schnittlasten in dem Schnitt, der den Punkt P enthält.
b) Ermitteln Sie die Spannungen im Punkt P.
c) Welche Festigkeitshypothesen können zur Berechnung der Sicherheit
gegen Fließen verwendet werden?
Querschnittskennwerte:
a
5
4
A=4 at , e y =e z = , I y= I z = a 3 t , I yz =−a 3 t , I T = a t 3
2
3
3
(HM, Prüfung SS 2014)
(Ergebnis: a) N = F, Qy = 0, Qz = 0, Mx = 2aF, My = -aF/2, Mz = 3aF/2;
b) σx = -5F/(16at), τxz = 3F/(2t 2))
Aufgabe 4:
t
p
x
r
p
M
L
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5.4-4
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Das abgebildete dünnwandige Rohr ist am linken Ende fest eingespannt und
am rechten Ende abgeschlossen. Es wird durch den Innendruck p und das
am rechten Ende angreifende Moment M belastet.
Für einen Punkt im ungestörten Bereich sind zu ermitteln:
a) Die Spannungen σx , σφ und τφx ,
b) die Verzerrungen εx , εφ und γφx ,
c) die Hauptspannungen σ1 und σ2 und die Richtung φ1 der ersten Hauptachse,
d) die Sicherheit SF gegen Fließen bei Verwendung der Gestaltänderungshypothese.
Zahlenwerte: p = 20 MPa, M = 100 Nm, r = 20 mm, t = 2 mm, E = 2,1·105 MPa,
ν = 0,3, Re = 315 MPa
(HM, Prüfung WS 2014)
(Ergebnis: a) σx = 100 MPa, σφ = 200 MPa, τφx = 19,89 MPa; b) εx = 1,905·10-4,
εφ = 8,095·10-4 , γφx = 2,463·10-4; c) σ1 = 203,8 MPa, σ2 = 96,19 MPa, φ1 = 79,15°;
d) SF = 1,784)
Aufgabe 5:
t
P
P
r
Mx
x
My
z
L
y
z
Das abgebildete dünnwandige Rohr ist am linken Ende fest eingespannt. Am
rechten Ende greifen die Momente Mx und My an.
Im Punkt P sind zu ermitteln:
a) die Spannungen σx , σy und τxy ,
b) die Hauptspannungen σ1 und σ2 und die Richtung φ1 der ersten Hauptachse,
c) die Sicherheit SF gegen Fließen bei Verwendung der Gestaltänderungs5. Dünnwandige Profile
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5.4-5
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hypothese.
Zahlenwerte: Mx = My = 500 Nm, r = 20 mm, t = 2 mm, Re = 325 MPa
(HM, Prüfung SS 2015)
(Ergebnis: a) σx = 199,0 MPa, σy = 0 MPa, τxy = 99,48 MPa; b) σ1 = 240,2 MPa,
σ2 = -41,20 MPa, φ1 = 22,5°; c) SF = 1,23)
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