Unterrichtsentwurf Mathe - sofatutor-Magazin

Die binomischen Formeln
Mathematik / Terme und Gleichungen / Binomische Formeln / 3. binomische Formel
Unterrichtsentwurf Mathe
Thema: Binomische Formeln
Den Einstieg in die binomischen Formeln bildet folgende Problemstellung:
Im Jugendclub gibt es eine quadratische Tanzfläche, die für einen Discoabend so
vergrößert wird, dass sie wieder quadratisch ist: Jede Seite der Fläche wird um 2
Meter verlängert. Für einen Kinoabend wird die Tanzfläche verkleinert, sodass sie
ebenfalls quadratisch ist: Jede Seite wird um 1 Meter verkürzt. Bei einer
Sommerparty soll auch eine kleine quadratische Bühne mit 2 Meter Seitenlänge auf
der Tanzfläche stehen. Wie groß ist die Tanzfläche jeweils?
Mit Hilfe einer kurzen Videosequenz wird das erforderliche Vorwissen über das
Distributivgesetz noch einmal wiederholt und offene Fragen in einem anschließenden
Unterrichtsgespräch geklärt.
Anschließend erarbeiten sich die Schülerinnen und Schüler (SuS) in Einzelarbeit mit
Hilfe von unterschiedlichen Zugängen die binomischen Formeln selbst; jede/r nach
ihrem/seinem eigenen Tempo und mit den Aufgaben, die ihr/m zusagen. Dabei
müssen alle SuS mit Station 1a oder 1b starten, bei denen die 1. binomische Formel
auf unterschiedliche Weise erarbeitet wird. Außerdem sollten auch Stationen 2 und 3
von allen im Anschluss bearbeitet werden, bei der die 2. und 3. binomische Formel
mit Hilfe des Distributivgesetzes und durch Nachlegen erschlossen werden. Danach
können sie die Reihenfolge und Anzahl der weiteren Stationen selbst entscheiden.
Möglichkeiten zur Unterstützung und Überprüfung sind hierbei stets gegeben.
Abschließend werden alle SuS durch Präsentation der Erarbeitungssequenz des
Videos auf den gleichen Stand gebracht; bereits erworbenes Wissen wird hierbei
gefestigt.
Als Hausaufgabe bietet sich die zu dem Video gehörende interaktive Übung an, bei
der die SuS ihr Wissen zu binomischen Formeln festigen, anwenden und weiter
vertiefen.
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Die binomischen Formeln
Mathematik / Terme und Gleichungen / Binomische Formeln / 3. binomische Formel
Kurzinformation
Thema
Die binomischen Formeln
Fach
Mathematik
Zielgruppe
Klasse 8
Zeitraum
2 Stunden
Technische
Voraussetzungen
Smartboard mit Internet oder Beamer mit PC
und Internet; ggf. PCs/Tablets als Hilfestellung
Materialien
Video: Die binomischen Formeln: www.sofatutor.com/go/aB
Kompetenzen/Leitideen
· „Mathematisch argumentieren“ (K1):
· Die SuS können das Distributivgesetz anwenden.
· Die SuS können die binomischen Formeln wiedergeben und anwenden.
· Die SuS können einfache rechnerische Begründungen zu den binomischen
Formeln geben und einfache logische Schlussfolgerungen ziehen.
· „Probleme mathematisch lösen“ (K2):
Die SuS können einen Lösungsweg einer einfachen mathematischen Aufgabe durch
Identifikation und Auswahl einer naheliegenden Strategie (systematisches
Ausprobieren und Analogiebetrachtung) finden.
· „Mathematisch modellieren“ (K3):
Die SuS können eine Realsituation in Form der Problemstellung mit der Tanzfläche
des Jugendclubs direkt in ein mathematisches Modell, die binomischen Formeln, überführen.
· „Mathematische Darstellungen verwenden“ (K4):
Die SuS können Standarddarstellungen von mathematischen Objekten und
Situationen anfertigen und nutzen, indem sie die passende Terme verwenden.
· „Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen“ (K5):
· Die SuS können elementare Lösungsverfahren in Form von
Termumformungen und Lösen von Gleichungen verwenden.
· Die SuS können die binomischen Formeln direkt anwenden.
· „Mathematisch kommunizieren“ (K6):
Die SuS können Informationen aus der Problemstellung mit der Tanzfläche des
Jugendclubs identifizieren und auswählen.
· Leitidee Zahl (L 1):
Die SuS nutzen Rechengesetze wie die binomischen Formeln auch zum vorteilhaften Rechnen.
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Die binomischen Formeln
Mathematik / Terme und Gleichungen / Binomische Formeln / 3. binomische Formel
· Leitidee Messen (L 2):
Die SuS berechnen Flächeninhalt von Rechtecken bzw. Quadraten.
· Leitidee Raum und Form (L 3):
· Die SuS operieren gedanklich mit Strecken und Flächen.
· Die SuS wenden Sätze der ebenen Geometrie bei Berechnungen und Beweisen an.
Vorwissen der Schülerinnen und Schüler
· Die SuS kennen das Distributivgesetz und können es sicher anwenden.
· Die SuS können Flächeninhalte von Quadraten berechnen.
· Die SuS haben eine Vorstellung von dem Begriff „Quadratzahlen”.
Verlaufsplan
Phase
Inhalt
Sozial-/Aktionsform
Medien/Datei
Einstieg
(5-10 min.)
Problemstellung
(Tanzfläche im Jugendclub)
wird vorgestellt.
Lehrervortrag
ggf. Tafel für
Informationen zur
Problemstellung
Wiederholung
(5 min.)
Wiederholung des
Distributivgesetzes
mit Hilfe einer
Videosequenz
Präsentation +
Unterrichtsgespräch
Video (0:40-1:08)
www.sofatutor.com/go/aB
Kurze Einweisung
(5-10 min.)
Erklärung
der Lernstationen:
Unterrichtsgespräch
s. Material im Anhang
Station 1a: 1. binomische
Formel mit einer Skizze
erschließen
Station 1b: 1. binomische
Formel rechnerisch/
systematisch erschließen
Station 2: 2. binomische
Formel mit dem Distributivgesetz erschließen
Station 3: 3. binomische
Formel mit Papier und
durch Umlegen erschließen
Station 4: Binomische
Formeln beim
Kopfrechnen anwenden
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Phase
Inhalt
Sozial-/Aktionsform
Medien/Datei
Station 5: Binomische
Formeln bei Brüchen
anwenden
Station 6: Binomische
Formeln üben
Wahlmöglichkeit Station
1a oder 1b,anschließend
alle Station 2 und 3,
danach freie Wahl
Station 4, 5 und 6
Erarbeitung
(50 min.)
Die SuS erarbeiten je nach
Tempo und Vorliebe die
binomischen Formeln
(Station 1a oder 1b, 2 und 3)
und vertiefen ihr Wissen
anschließend (Station 4, 5,
und 6).
Einzelarbeit mit Material
der Stationen
s. Material im Anhang
Sicherung
(15 min.)
Erarbeitungssequenz des
Videos wird gezeigt,
anschließend Klärung des
Problems aus dem Einstieg
(Tanzfläche Jugendclub)
Hausaufgabe: Interaktive
Übung zum Video
Präsentation +
Unterrichtsgespräch
Video (1:28-4:52)
Materialien
· Problemstellung
Im Jugendclub gibt es eine quadratische Tanzfläche.
· Für einen Discoabend wird sie so vergrößert, dass sie wieder quadratisch ist:
Jede Seite der Fläche wird um 2 Meter verlängert.
· Für einen Kinoabend wird die Tanzfläche verkleinert, sodass sie ebenfalls quadratisch ist:
Jede Seite wird um 1 Meter verkürzt.
· Bei einer Sommerparty soll auch eine kleine quadratische Bühne mit 2 Metern Seitenlänge
auf der Tanzfläche stehen.
Wie groß ist die Tanzfläche jeweils?
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Station 1a
Für den Discoabend im Jugendclub wird die quadratische Tanzfläche vergrößert, indem jede
Seite um 2 m verlängert wird.
a. Beschrifte die Skizze von der großen quadratischen Tanzfläche passend.
b. Finde zwei Möglichkeiten, wie du die große Tanzfläche berechnen kannst.
c. Stell dir vor, du weißt nicht, um wie viel sich die Seite verlängert.
Ersetze 2 m durch die Variable b und schreibe auf, wie du nun die Tanzfläche berechnen kannst.
kleine Tanzfläche
A=
Teilfläche 1
a
A=
Teilfläche1
Teilfläche 2
A=
A=
2
b. große quadratische Tanzﬂäche:
große quadratische Tanzﬂäche:
A=
A=
c. Tanzﬂäche mit a und b:
A=
c. Tanzﬂäche mit a und b:
A=
Die Formel, mit der du Quadrate mit einer Seitenlänge a, die um b verlängert wird, berechnen kannst,
heißt 1. binomische Formel.
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Hilfen Station 1a
a
a
b
a·a=a2
a·b
oder Video, Szene 2:15-2:50
b
a·b
b·b=b2
Lösungen Station 1a
kleine Tanzfläche
A= a·a=a2
Teilfläche 1
A=
a
a·2
a+2
Teilfläche1
A=
a·2
Teilfläche 2
A= 2·2=22
2
b. große quadratische Tanzﬂäche:
große quadratische Tanzﬂäche:
A=
A= a·a+a·2+a·2+2·2=a2+2·a·2+22
(a+2)·(a+2)=(a+2)2
c. Tanzﬂäche mit a und b:
A=
(a+b)2=a2+2·a·b+b2
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Mathematik / Terme und Gleichungen / Binomische Formeln / 3. binomische Formel
Station 1b
Die quadratische Tanzfläche im Jugendclub wird für den Discoabend vergrößert, indem jede Seite a um 2 m
verlängert wird.
a. Setze unterschiedliche Seitenlängen für a ein und berechne den Flächeninhalt der alten Tanzfläche (a2)
und den Flächeninhalt der neuen Tanzfläche (a+2)2. Bereche auch die Differenz der beiden Flächeninhalte.
Schreibe deine Ergebnisse in eine Tabelle:
Seitenlänge
alte Tanzfläche
(a)
Flächeninhalt
alte Tanzfläche
(a2)
Seitenlänge
neue Tanzfläche
(a+2)
Flächeninhalt
neue Tanzfläche
(a+2)2
Differenz der
Flächeninhalte
1m
1 m ∙1 m = 1 m2
1m+2m=3m
(1 m + 2 m)2 =
(3 m)2 = 9 m2
9 m2 - 1 m2 = 8 m2
2m
3m
4m
5m
6m
b. Untersuche die Differenz der Flächeninhalte. Was fällt dir auf?
c. Vermute, wie groß die Differenz der Tanzflächen bei einer Seitenlänge a von 7 m, 8 m und 9 m
ist und prüfe rechnerisch nach.
d. Finde einen Term, mit dem du die Differenz der Tanzflächen berechnen kannst. Prüfe für weitere Seitenlängen,
ob dein Term stimmt.
Tipp: Die Seitenlänge a und die zusätzliche Seitenlänge 2 m spielen dabei ebenso eine Rolle wie die zusätzliche
Seitenlänge zum Quadrat (2 m ∙ 2 m = 4 m2).
e. Schreibe nun einen Term auf, mit dem du den Flächeninhalt jeder Tanzfläche mit einer alten Seitenlänge a
und einer hinzugekommenen Länge b berechnen kannst. Dies ist die 1. binomische Formel.
Tipp: Der Flächeninhalt setzt sich aus dem Flächeninhalt der alten Tanzfläche, a2 und der Differenz
der beiden Tanzflächen zusammen.
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Die binomischen Formeln
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Hilfestellung Station 1b
kleine Tanzfläche
A= a·a=a2
Teilfläche 1
A=
a
a·2
a+2
Teilfläche1
A=
Teilfläche 2
2
A= 2·2=22
a·2
Lösung Station 1b
a.
Seitenlänge
alte Tanzfläche
(a)
Flächeninhalt
alte Tanzfläche
(a2)
Seitenlänge
neue Tanzfläche
(a+2)
Flächeninhalt
neue Tanzfläche
(a+2)2
Differenz der
Flächeninhalte
1m
1 m2
3m
9 m2
8 m2
2m
4 m2
4m
16 m2
12 m2
3m
9 m2
5m
25 m2
16 m2
4m
16 m2
6m
36 m2
20 m2
5m
25 m2
7m
49 m2
24 m2
6m
36 m2
8m
64 m2
28 m2
b. Die Differenz wird hier immer um 4 m2 größer.
c. Die Differenz beträgt bei einer Seitenlänge von a = 7 m insgesamt 32 m2, bei a = 8 m insgesamt 36 m2
und bei a = 9 m insgesamt 40 m2.
d. Du kannst die Differenz der Flächeninhalte mit diesem Term berechnen: 2 ∙ Seite a ∙ 2 m + (2 m)2.
Für die Seitenlänge a = 5 m bedeutet das zum Beispiel: 2 ∙ 5 m ∙ 2 m + (2 m)2 = 20 m2 + 4 m2 = 24 m2
e. Du kannst jede Fläche mit einer Seite a und einer Verlängerung der Seite um b auf diese Art berechnen:
a2 + 2 ∙ a ∙ b + b2. Das ist das Gleiche wie (a+b)2. Dies nennt man die 1. binomische Formel.
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Station 2
Du kennst nun die 1. binomische Formel: (a + b)2 = a2 + 2 ∙ a ∙ b + b2. Sie gilt, wenn bei einem Quadrat eine
Seite a um eine Länge b verlängert wird.
Für den Kinoabend wird die quadratische Tanzfläche im Jugendclub verkleinert,
indem jede Seite um 1 m verkürzt wird.
a. Stelle dafür mit deinem Wissen von Station 1 einen passenden Term für die Seitenlänge der neuen Tanzfläche auf.
b. Stelle mit Hilfe der Seitenlänge einen Term zur Berechnung der Fläche der neuen Tanzfläche auf.
c. Multipliziere den Term mit Hilfe des Distributivgesetzes aus.
d. Finde eine Formel, mit der du jede quadratische Fläche mit einer Seite a, die um eine Länge b verkürzt wird,
berechnen kannst.
Tipp: Ersetze 1 m durch b. Dies ist die 2. binomische Formel.
Hilfen Station 2
kleine Tanzfläche
A=
Teilfläche 1
A=
a
Teilfläche1
A=
Teilfläche 2
A=
1
Lösung Station 2
a. Seitenlänge neue Tanzfläche: (a - 1 m)
b. Fläche neue Tanzfläche: (a - 1 m)2
c. Ausmultipliziert mit dem Distributivgesetz: (a - 1 m)2 = (a - 1 m) ∙ (a - 1 m) = a2 2 ∙ a ∙ 1 m + (1 m)2
d. Die 2. binomische Formel lauet: (a - b)2 = (a - b) ∙ (a - b) = a2 2 ∙ a ∙ b + b2
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Station 3
Du kennst nun auch die 2. binomische Formel: (a - b)2 = a2 - 2 ∙ a ∙ b + b2. Sie gilt, wenn bei einem Quadrat
eine Seite a um eine Länge b verkürzt wird.
Für die Sommerparty wird auf die quadratische Tanzfläche im Jugendclub eine kleine
quadratische Bühne mit 2 m Seitenlänge gestellt.
a. Beschrifte die Skizze mit den passenden Angaben.
b. Finde einen Term, wie du die graue Tanzfläche berechnen kannst.
c. Nimm eine Schere und schneide die graue Tanzfläche aus. Schneide die Tanzfläche auch entlang
der hellgrauen Linie in zwei Teile. Lege die Teile so, dass du nachweisen kannst: a2 - 22 = (a + 2) ∙ (a - 2).
d. Finde eine allgemeine Formel auf für quadratische Flächen mit der Seitenlänge a, von der eine kleinere
quadratische Fläche mit der Seitenlänge b abgezogen wird. Dies ist die 3. binomische Formel.
Tanzfläche
a
Bühne
A=
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2
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Lösung Station 3
a.
2
Tanzfläche
(a-2)
a
Bühne
A= 2·2=22
b. Fläche graue Tanzfläche: a2 - 22
c.
2
Tanzfläche
a
(a-2)
d. Die 3. binomische Formel lautet: (a + b) ∙ (a - b) = a2 - b2
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2
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Station 4
Du kennst jetzt alle binomischen Formeln:
1. binomische Formel: (a + b)2 = a2 + 2 ∙ a ∙ b + b2.
2. binomische Formel: (a - b)2 = a2 - 2 ∙ a ∙ b + b2.
3. binomische Formel: (a + b) ∙ (a - b) = a2 - b2.
Die binomischen Formeln können dir beim Kopfrechnen helfen.
a. Überlege dir, wie du Aufgaben wie 32 ∙ 32 oder 28 ∙ 28 mit Hilfe der binomischen Formeln schnell
und leicht im Kopf rechnen kannst.
b. Finde auch einen Trick, wie du 62 ∙ 58 leicht im Kopf rechnen kannst.
c. Stelle dir selbst weitere Rechenaufgaben, die du mit Hilfe der binomischen Formeln schnell
und einfach lösen kannst.
Hilfen Station 4
oder Video-Ausschnitt 3:10-3:50
Lösungen Station 4
a. 32 ∙ 32 = (30 + 2)2 = 302 + 2 ∙ 30 ∙ 2 + 22 = 900 + 120 + 4 = 1024
28 ∙ 28 = (30 - 2)2 = 302 - 2 ∙ 30 ∙ 2 + 22 = 900 - 120 + 4 = 784
(oder: 28 ∙ 28 = (20 + 8)2 = 202 + 2 ∙ 20 ∙ 8 + 82 = 400 + 320 + 64 = 784)
b. 62 ∙ 58 = (60 + 2) ∙ (60 - 2) = 602 - 22 = 3600 - 4 = 3596
c. Weitere Aufgaben können alle Quadratzahlen sein und Produkte wie 49 ∙ 51, 48 ∙ 52, 47 ∙ 53 und so weiter.
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Die binomischen Formeln
Mathematik / Terme und Gleichungen / Binomische Formeln / 3. binomische Formel
Station 5
Du kennst jetzt alle binomischen Formeln:
1. binomische Formel: (a + b)2 = a2 + 2 ∙ a ∙ b + b2.
2. binomische Formel: (a - b)2 = a2 - 2 ∙ a ∙ b + b2.
3. binomische Formel: (a + b) ∙ (a - b) = a2 - b2.
Die binomischen Formeln können dir beim Kürzen von Brüchen helfen.
a. Überlege, wie du die folgenden Brüche mit Hilfe der binomischen Formeln so
vereinfachen kannst, dass du kürzen kannst:
b. Schreibe weitere Brüche auf, bei denen du mit Hilfe der binomischen Formeln vereinfachen kannst.
Hilfen Station 5
oder Video-Ausschnitt 3:51-4:52
Lösungen Station 5
a.
b. Du kannst hier alle möglichen Brüche angeben, bei denen Zähler und Nenner
Vielfache voneinander sind und in unterschiedlicher Darstellung der jeweiligen
binomischen Formel stehen.
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Die binomischen Formeln
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Station 6
Du kennst jetzt alle binomischen Formeln:
1. binomische Formel: (a + b)2 = a2 + 2 ∙ a ∙ b + b2.
2. binomische Formel: (a - b)2 = a2 - 2 ∙ a ∙ b + b2.
3. binomische Formel: (a + b) ∙ (a - b) = a2 - b2.
Die binomischen Formeln sind eine wichtige Rechenhilfe für viele verschiedene
Aufgaben. Übe die binomischen Formeln an den folgenden Aufgaben.
Aufgabe 1 Verwandle die folgenden Produkte in Summen:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i. (2 · a + 3)2
j.
Aufgabe 2 Verwandle die folgenden Summen in Produkte:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i. 9 ·
Aufgabe 3 Ersetze die Zeichen
a.
b.
c.
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mit den passenden Zahlen oder Variablen:
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Lösungen Station 6
Aufgabe 1 Verwandle die folgenden Produkte in Summen:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
Aufgabe 2 Verwandle die folgenden Summen in Produkte:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
Aufgabe 3 Ersetze die Zeichen
a.
b.
c.
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-
mit den passenden Zahlen oder Variablen:

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