Bestimmung der Verformungen

Bestimmung der Verformungsgrößen
PvK
Normalkraft
+∫ N ⋅
N (P)
dx
EA
Biegemoment
+∫M ⋅
M (P)
dx
EI
Querkraft
Torsion
Lastart
Q( P )
dx
+∫Q⋅
GAS
M T( P )
dx
+ ∫ MT ⋅
GIT
Elastischer Anteil
aus q, p, F
Kraftlastfall
+
+
∑F
δ=
Feder
F Feder ( P )
⋅
cF
+ ∫ N ⋅ α T Tdx
∑M
Feder
+∫ M ⋅
M Feder ( P )
⋅
cM
αT ΔT
h
dx
−∑ N a ⋅ u
−∑ M a ⋅ ϕ
+ ∫ N ⋅ ε k + s dx
+ ∫ M ⋅ κ k dx
+ ∑ N ⋅ Δu
+ ∑ M ⋅ Δϕ
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Elastische Feder
Temperatur
−∑ Q a ⋅ w
−∑ M Ta ⋅ θ
Eingeprägte
Lagerverformungen
Verformungslastfall
Kriechen und
Schwinden
+ ∑ Q ⋅ Δw
+ ∑ M T ⋅ Δθ
1
Eingeprägte
Diskontinuitäten
UNIVERSITÄT SIEGEN
Bestimmung der Verformungsgrößen
( P) :
(T ) :
( L) :
(k + s ) :
( D) :
N (⋅) , M (⋅) , Q (⋅) , M T(⋅) :
N , M , Q, M T :
Schnittgrößen aus Kraftlastfall
Schnittgrößen aus Temperatur
Schnittgrößen aus Lagerverformungen
Schnittgrößen aus Kriechen und Schwinden
Schnittgrößen aus Diskontinuitäten
Schnittgrößen des wirklichen Zustands im ursprünglichen statisch
unbestimmten System
Schnittgrößen des virtuellen Zustands im ursprünglichen statisch
unbestimmten System
Beispiele:
1.) Temperatur allein
δ = ∫ N ⋅ αT Tdx + ∫ M ⋅
αT ΔT
h
dx
2.) Kraftlastfall + Temperatur
N (P)
M ( P)
Q( P )
M T( P )
α ΔT
δ =∫N⋅
dx + ∫ M ⋅
dx + ∫ Q ⋅
dx + ∫ M T ⋅
dx + ∫ N ⋅ αT Tdx + ∫ M ⋅ T
dx
EA
EI
GAS
GIT
h
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
2
UNIVERSITÄT SIEGEN
Bestimmung der Verformungsgrößen
Mit der Beziehung
∫N⋅
N (T )
M (T )
Q (T )
M (T )
dx + ∫ M ⋅
dx + ∫ Q ⋅
dx + ∫ M T ⋅ T dx = 0
EA
EI
GAS
GIT
erhält man
δ =∫N⋅
M ( P)
α ΔT
N ( P)
M ( P)
Q( P)
dx + ∫ M ⋅
dx + ∫ Q ⋅
dx + ∫ M T ⋅ T dx + ∫ N ⋅ α T Tdx + ∫ M ⋅ T
dx +
EA
EI
GAS
GIT
h
∫N⋅
=∫ N ⋅
N (T )
M (T )
Q (T )
M (T )
dx + ∫ M ⋅
dx + ∫ Q ⋅
dx + ∫ M T ⋅ T dx
EA
EI
GAS
GIT
( N ( P ) + N (T ) )
( M ( P ) + M (T ) )
(Q ( P ) + Q (T ) )
( M ( P ) + M T(T ) )
α ΔT
dx + ∫ M ⋅
dx + ∫ Q ⋅
dx + ∫ M T ⋅ T
dx + ∫ N ⋅ αT Tdx + ∫ M ⋅ T
dx
EA
EI
GAS
GIT
h
δ =∫N⋅
M
α ΔT
N
M
Q
dx + ∫ M ⋅
dx + ∫ Q ⋅
dx + ∫ M T ⋅ T dx + ∫ N ⋅ α T Tdx + ∫ M ⋅ T
dx
EA
EI
GAS
GIT
h
3.) Kraftlastfall + Lagerverformungen
δ =∫N⋅
M
N
M
Q
dx + ∫ M ⋅
dx + ∫ Q ⋅
dx + ∫ M T ⋅ T dx − ∑ N a ⋅ u − ∑ M a ⋅ ϕ − ∑ Q a ⋅ w − ∑ M Ta ⋅ θ
EA
EI
GAS
GIT
4.) Kraftlastfall + Temperatur + Lagerverformungen
δ =∫N⋅
M
α ΔT
N
M
Q
dx + ∫ M ⋅
dx + ∫ Q ⋅
dx + ∫ M T ⋅ T dx + ∫ N ⋅ α T Tdx + ∫ M ⋅ T
dx − ∑ N a ⋅ u − ∑ M a ⋅ ϕ − ∑ Q a ⋅ w − ∑ M Ta ⋅ θ
EA
EI
GAS
GIT
h
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
3
UNIVERSITÄT SIEGEN
Bestimmung der Verformungsgrößen
Reduktionssatz 2. Art
Normalkraft
Biegemoment
N (P)
dx
+ ∫ N0 ⋅
EA
M ( P)
dx
+ ∫ M0 ⋅
EI
Querkraft
Torsion
M T( P )
Q( P )
dx
dx + ∫ ( M T )0 ⋅
+ ∫ Q0 ⋅
GIT
GAS
Lastart
Elastischer Anteil
aus q, p, F
Kraftlastfall
+
+
∑F
Feder
0
δ=
⋅
F
Feder ( P )
cF
∑M
N (T )
+ ∫ N0 ⋅
dx
EA
+ ∫ N 0 ⋅ α T Tdx
N ( L)
+ ∫ N0 ⋅
dx
EA
−∑ N 0a ⋅ u
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Feder
0
Elastische Feder
M Feder ( P )
⋅
cM
M (T )
+∫ M 0 ⋅
dx
EI
α ΔT
dx
+∫ M 0 ⋅ T
h
M ( L)
+∫ M 0 ⋅
dx
EI
−∑ M 0a ⋅ ϕ
Q (T )
+ ∫ Q0 ⋅
dx
GAS
M T(T )
+ ∫ ( M T )0 ⋅
dx Temperatur
GIT
Verformungslastfall
Q( L)
+ ∫ Q0 ⋅
dx
GAS
−∑ Q0a ⋅ w
4
M T( L )
+ ∫ ( M T )0 ⋅
dx Eingeprägte
GIT
Lagerverformungen
−∑ ( M Ta )0 ⋅ θ
UNIVERSITÄT SIEGEN
Bestimmung der Verformungsgrößen
Reduktionssatz 2. Art
N (k +s)
+ ∫ N0 ⋅
dx
EA
+ ∫ N 0 ⋅ ε k + s dx
M (k +s)
+∫ M 0 ⋅
dx
EI
+ ∫ M 0 ⋅ κ k dx
Kriechen und
M T( k + s )
Q(k +s)
+ ∫ Q0 ⋅
dx Schwinden
dx + ∫ ( M T )0 ⋅
GIT
GAS
Verformungslastfall
N (D)
+ ∫ N0 ⋅
dx
EA
+ ∑ N 0 ⋅ Δu
( P) :
(T ) :
( L) :
(k + s) :
( D) :
N (⋅) , M (⋅) , Q (⋅) , M T(⋅) :
N 0 , M 0 , Q0 , ( M T )0 :
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
M (D)
+∫ M 0 ⋅
dx
EI
+ ∑ M 0 ⋅ Δϕ
Q( D)
M T( D )
+ ∫ Q0 ⋅
dx + ∫ ( M T )0 ⋅
dx Eingeprägte
GAS
GIT
Diskontinuitäten
+ ∑ ( M T ) 0 ⋅ Δθ
+ ∑ Q0 ⋅ Δw
Schnittgrößen aus Kraftlastfall
Schnittgrößen aus Temperatur
Schnittgrößen aus Lagerverformungen
Schnittgrößen aus Kriechen und Schwinden
Schnittgrößen aus Diskontinuitäten
Schnittgrößen des wirklichen Zustands im ursprünglichen statisch
unbestimmten System
Schnittgrößen des virtuellen Zustands in einem beliebigen statisch
bestimmten System
5
UNIVERSITÄT SIEGEN
Bestimmung der Verformungsgrößen
Beispiele:
1.) Temperatur allein
δ = ∫ N 0⋅
N (T )
M (T )
Q (T )
M (T )
α ΔT
dx + ∫ M 0 ⋅
dx + ∫ Q 0 ⋅
dx + ∫ ( M T ) 0 ⋅ T dx + ∫ N 0 ⋅αT Tdx + ∫ M 0 ⋅ T
dx
EA
EI
GAS
GIT
h
2.) Kraftlastfall + Temperatur
( N ( P ) + N (T ) )
( M ( P ) + M (T ) )
(Q ( P ) + Q (T ) )
( M T( P ) + M T(T ) )
α ΔT
δ = ∫ N 0⋅
dx + ∫ M 0 ⋅
dx + ∫ Q 0 ⋅
dx + ∫ ( M T ) 0 ⋅
dx + ∫ N 0 ⋅αT Tdx + ∫ M 0 ⋅ T
dx
EA
EI
GAS
GIT
h
δ = ∫ N 0⋅
M
α ΔT
N
M
Q
dx + ∫ M 0 ⋅ dx + ∫ Q 0 ⋅
dx + ∫ ( M T ) 0 ⋅ T dx + ∫ N 0 ⋅αT Tdx + ∫ M 0 ⋅ T
dx
EA
EI
GAS
GIT
h
3.) Kraftlastfall + Lagerverformungen
δ = ∫ N 0⋅
N
M
Q
M
dx + ∫ M 0 ⋅ dx + ∫ Q 0 ⋅
dx + ∫ ( M T ) 0 ⋅ T dx − ∑ N 0a ⋅ u − ∑ M 0a ⋅ ϕ − ∑ Q0a ⋅ w − ∑ ( M Ta )0 ⋅ θ
EA
EI
GAS
GIT
4.) Kraftlastfall + Temperatur + Lagerverformungen
δ = ∫ N 0⋅
N
M
Q
M
α ΔT
dx + ∫ M 0 ⋅ dx + ∫ Q 0 ⋅
dx + ∫ ( M T ) 0 ⋅ T dx + ∫ N 0 ⋅αT Tdx + ∫ M 0 ⋅ T
dx − ∑ N 0a ⋅ u − ∑ M 0a ⋅ ϕ − ∑ Q0a ⋅ w − ∑ ( M Ta )0 ⋅ θ
EA
EI
GAS
GIT
h
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
6
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