Lineare Feder-Masse

Prof. Dr.-Ing. Brunk - Mechanik II
Lineare Feder-Masse-Systeme
1. Schwinger mit einem Freiheitsgrad
1.1 Freischnitt:
mg
Z
F(t)
Eigengewicht des Klotzes
Zwangskraft von der Führung
auf den Klotz
vorgegebene Kraft
Nr
N
Federkraft rechts
Federkraft links
1.2 Kinematisches Schema:
1.3 Gleichungen
1.3.1 Dynamische Gleichungen
für Klotz
mx = F ( t ) − N r
mz = mg − Z
mF x F = N r − N
für Feder
mit den unbekannten geometrischen Größen
( x , z)
xF
Massenmittelpunktskoordinaten des Klotzes
Massenmittelpunktskoordinate der Feder
und den unbekannten Kräften
Nr , N , Z
(1)
(2)
(3)
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1.3.2 Kinematische Gleichungen
x ( t) = ( t) + e
für Klotz
(4)
z ( t ) = const. in t ⇒ z = 0
( t ) =:
für Feder
+ u ( t)
0
(5)
(6)
mit den gegebenen Größen
e
Lage des Massenmittelpunktes im Klotz
Länge der ungespannten Feder
0
und den zusätzlichen Unbekannten
( t ) Federlänge
u ( t ) Verschiebung des rechten Federendes
Bis jetzt:
5 geometrisch-kinematische Unbekannte
+ 3 unbekannte Kräfte, aber 6 Gleichungen
1.3.3 Material-Struktur-Gleichungen
hier: Federgleichungen
mF ≡ 0
(die Federmasse wird vernachlässigt - im Vergleich zu m)
⇒ N r = N =: N
(7)
N = k ( ( t) −
0
)
HOOKEsche Gleichung
1.4 Resultierende Gleichungen
1.4.1 Für die Zwangskraft Z gilt mit (2)
Z = mg − mz
und mit (5)
= mg
1.4.2 Für die Verschiebung u(t)
mit
x =
(
+ e) =
..
=
(
+ u) = u
..
0
↑(4)
und
N = k( −
↑(8)
0
)
= ku
↑(6)
mu = F ( t ) − ku
in Gl. (1)
(8)
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mu + ku = F( t )
(I)
„Bewegungsgleichung“
Die Bewegungsgleichung ist eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
1.5 Diskussion und Teillösungen der Bewegungsgleichung
1.5.1 u ( t ) = const. in t = : u s ⇒
u =0
(II.1)
„statischer Verschiebungszustand“
⇒ k u s = F( t)
nur möglich, falls F ( t ) = const. =: F0
⇒
u s = F0 k
Gleichgewichtslage
(II.2)
F ( t ) = 0, ∀ t
1.5.2
⇒
mu + ku = 0
u
(III)
„homogene Differentialgleichung“
muu + kuu = 0
 m 2 k 2
 2 u + 2 u 
•
= 0
m 2 k 2
k
u + u = const. = : A 2
2
2
2
„1. Integral der Differentialgleichung III“
m 2
u =: E
2
kinetische Energie
k 2
u =: W
2
potentielle oder elastische Energie
Die Gesamtenergie
E t := E + W =
1
1
k 2
mu 2 + k u 2 ≡
A
2
2
2
(IV.1)
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bleibt während der Bewegung erhalten. Für u = 0 wird E = 0 und
1
k u2 = E t
2
W ≡
maximal, u = A ist also die Maximalverschiebung oder Amplitude.
F( t ) ≠ 0
1.5.3
•
m

k
E t ≡  u 2 + u 2  = F( t) u =: P
2
2

P heißt äußere oder externe Leistung der Kraft F ( t ) ; falls P ≠ 0 bleibt die
Gesamtenergie nicht erhalten.
1.6 Vollständige Integration der homogenen Bewegungsgleichung (Fall 1.5.2)
m 2 k 2
k 2
u + u =
A
2
2
2
; A > 0
u2 =
Abkürzung:
k
(A 2 − u2 )
m
(IV. 2)
k
2
=: ω 0
m
[ k] =
Dimensionsanalyse
[ F]
N
kg
=
= 2
[ u]
m
s
[ m] = kg
k
−2
 m  = s
u
⇒
= ω0
A2 − u2
> 0
u
A −u
2
= ω 0 sg u
2
Gewöhnliche (nichtlineare) Differentialgleichung 1. Ordnung
(IV.3)
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Lösung der Differentialgleichung IV.3 mit Hilfe einer Integrationstabelle oder durch
„Substitution“, d. h. Einführung einer neuen abhängigen Variablen.
u =: A sinϕ
Hier
⇒
(V)
A 2 − u 2 = A 1 − sin 2 ϕ = A cosϕ
u = ( A cosϕ ) ϕ
u
A 2 − u2
≡
( cosϕ) ϕ
cosϕ
≡ ϕ sg ( cosϕ) = ω 0 sg u
sg ( cosϕ ) = sg ( u)
Wahl des Vorzeichens:
(∗)
ϕ = ω0
⇒
ϕ = ω 0t + β
β : Integrationskonstante; Bezeichnung: Phasenverschiebung
(der Skala von ϕ gegen diejenige von ω 0 t bzw. t)
Einsetzten von ϕ in Gl. (V)
(
u ( t ) = A sin ω 0 t + β
)
(VI)
Allgemeine Lösung, d. h. beliebiges Element der
Lösungsmenge der Differentialgleichung (III)
1.7 Diskussion der allgmeinen Lösung
Die Verschiebung u(t) ist eine harmonische oder Sinus-Bewegung. Ihre Periode T
ergibt sich aus der Beziehung
(
)
ω0 ( t + T) + β = ω 0 t + β + 2 π
T = 2 π ω0
zu
(VII.1)
Der Kehrwert ergibt die Zahl der Perioden je Zeiteinheit oder Frequenz
f :=
1
ω
= 0
T
2π
(VII.2)
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Die Größe
ω 0 :=
k
m
(VII.3)
heißt Kreisfrequenz und ist eine Systemkonstante.
1.8 Bestimmung der Integrationskonstanten
aus den Anfangswerten u ( 0) = u 0 , u (0) = v 0
Aus Gl. (IV) folgt für die Amplitude
A 2 = u2 +
m 2
u , also
k
v 
+ 0
ω 0 
2
A =
u 20
(VIII.1)
Aus Gl. (VI) folgt für t = 0
u 0 = u (0) ≡ A sin β
v 0 = u (0) ≡ ω 0A cosβ
(VIII.2)
Es sind alle Vorzeichenkombinationen von u0 und v0 möglich, also kann β in jedem
der vier Quadranten liegen. Wir finden für β ∈ ( − π , + π)
β = arc cos
sg β = sg u 0
v0
ω 0A
(VIII.3)
Bemerkung:
Die Funktion tan β alleine ist ungeeignet, da sie im ersten und dritten bzw. im zweiten
und vierten Quadranten die gleichen Werte annimmt.
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2. Lineare Längsschwingerketten
Aufbau aus gleichartigen Elementen mit Zählindex i:
2.1 Erläuterungen
(a) Alle Elemente haben die gleiche Struktur: Sie bestehen aus einem geradlinig bewegten Starrkörper mit der Masse mi sowie einer linearen Feder mit der Steifigkeit k i . Die Länge des ungedehnten Elementes sei ei .
(b) Die Elementgrenzen heißen Knoten. Die Knoten sind masselos. An ihnen greifen
die äußeren Kräfte Fi an (Modellvorstellung; Kräfte mit anderem Angriff werden
auf die Knoten „verteilt“).
(c) Die (oder eine bestimmte) dehnungsfreie Lage des Systems bildet die Bezugslage
für die Knotenverschiebungen u i .
(d) Die Knoten und die jeweils rechts anschließenden Elemente tragen denselben
Index i.
2.2 Systemzustand
Verschiebungszustand : = Satz der Knotenverschiebungen u1 , u 2 ... u n , zusammengefaßt zur Spalte
 u1 
 
 u2 
u =  
 
 u 
n
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Belastungszustand : = Satz der auf die Knoten wirkenden äußeren Kräfte F1 , F2 ... Fn ,
zusammengefaßt zur Spalte
 F1 
 
 F2 
F =  
 
 Fn 
An Knoten, für welche die Verschiebungen u i vorgegeben werden, sind die Kräfte
unbekannt (äußere Zwangskräfte, äußere Reaktionen), und für Knoten, an welchen die
äußeren Kräfte Fi vorgegeben werden, sind die Verschiebungen unbekannt.
Reduzierter Verschiebungszustand:
u
Spalte der unbekannten Knotenverschiebungen
Reduzierter Belastungszustand:
F
Spalte der zugeordneten bekannten äußeren Knotenkräfte
2.3 Form der Systemgleichungen
Es wird im folgenden gezeigt, daß die Bewegungsgleichungen des Systems in der
Form (hier ohne eingeprägte Verschiebungen)
F = M u + Ku
bzw. der reduzierten Form F = M u + K u
zusammengefaßt werden können.
M
K
Massen- oder Trägheitsmatrix
Steifigkeitsmatrix
M
reduzierte Massen- oder Trägheitsmatrix
K
reduzierte Steifigkeitsmatrix
Man erhält M und K aus M und K durch Streichen der zu vorgegebenen Knotenverschiebungen gehörenden Spalten sowie der entsprechenden zu den unbekannten äußeren Zwangskräften gehörenden Zeilen.
Durch Lösen des reduzierten Gleichungssystems erhält man (zunächst) die unbekannten Verschiebungen. Nach Einsetzen der ermittelten Verschiebungen in die zunächst
gestrichenen Gleichungen liefern diese die unbekannten äußeren Zwangskräfte.
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2.4 Elementgleichungen
i. Element
2.4.1 Dynamische Gleichung
(Kräftegleichung nach NEWTON)
m ( i) ui = N i + Zi
2.4.2 Material-Struktur-Gleichung
(Federgleichung nach HOOKE)
N i = k ( i) w i
2.4.3 Kinematische Gleichung
w i = ui+1 − ui
Ni
Federkraft (am Element i bzw. Knoten i + 1)
Zi
Zwangskraft (am Element i bzw. Knoten i)
wi
Längung der Feder am Element i
ui
Verschiebung des Knotens i
⇒ Resultierende Elementgleichungen
Z i = m ( i) u i − k ( i ) ( u i + 1 − u i )
N i = k i ( u i +1 − u i )
2.5 Knotengleichungen
(Kräftegleichungen)
F i − Z i − N i −1 = 0
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2.6 Herleitung der Systemgleichungen
durch Einsetzen der resultierenden Elementgleichungen in die Knotengleichungen
F i = Z i + N i −1
= m ( i) u i − k ( i) ( u i+1 − u i ) + k ( i−1) ( u i − u i−1 )
( k(
Fi = m ( i) u i − k ( i−1) ui−1 +
i −1)
)
+ k ( i) u i − k ( i ) u i+1
Hieraus ergeben sich die Systemmatrizen gemäß Abschnitt 2.3
 m1 0

 0 m2

0
M = 0


 0
0
0
0
m3
0
0 

0 

0



m n 
Massenmatrix mit Diagonalform
 k1
− k1

− k1 k 1 + k 2

0
− k2
K = 


 0
0

0
 0
0
0
− k2
0
0
0
k2 + k3 − k3
0
0
0
0
0
− k n − 2 + k n −1
− k n −1


0


0



− k n −1 

k n −1 + k n 
0
Steifigkeitsmatrix mit Bandstruktur
Die Elemente (1,1) und (n,n) hängen dabei von den speziellen Randbedingungen ab.
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3. Längsbeanspruchtes linear-elastisches Kontinuum als Grenzfall der
Schwingerkette
= Längsbeanspruchter ... gerader Balken oder Stab
3.1 Erklärung des Übergangs vom diskontinuierlichen/diskreten auf das kontinuierliche eindimensionale System
Das diskrete System bestehe aus N Knoten i und N (jeweils rechts an den Knoten) anschließenden Elementen mit gleichem Index i; dem Knoten bzw. Element sind physikalische Größen g i zugeordnet, z. B. die Knotenvariablen u i und F i , die Elementparameter mi und k i sowie die Elementrandkräfte Z i und N i .
Man betrachte nun eine Folge von Ketten gleicher Länge, bei der im Grenzfall
zugleich die Elementzahl N gegen Unendlich und alle Elementlängen gegen Null
gehen. Dann tritt an die Stelle des Index i als Adresse für den Querschnitt die
Koordinate x in einer Bezugslage. Die Bezugslage ist in der Regel dehnungsfrei.
diskretes System (Schwingerkette)
kontinuierliches System (gerader Stab)
Der Einfachheit halber nehmen wir an, daß im diskreten System alle Elemente die
gleiche ungedehnte Länge e haben. Dann gilt für die Knotenkoordinaten
xi + 1 = x i + e
Dem Satz der g i ordnen wir (durch eine geeignete Interpolation) eine hinreichend oft
differenzierbare Funktion g(x) mit den Stützbedingungen
g ( xi ) = g i
zu. Mit Hilfe der Ableitungen
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d ng ( x)
dx n
( n)
=: g i
x= xi
läßt sich die Funktion g(x) in der Umgebung von x i nach TAYLOR in eine Potenzreihe entwickeln.
h2
g ( x i + h) = g i + hg i ' +
g " + ...
2 i
Hieraus ergibt sich g i mit h = 0, g i−1 mit h = − e , g i+1 mit h = e, g i + k mit h = ke.
Die so gefundenen Beziehungen werden in die Element- und Knotengleichungen eingesetzt, dann wird durch die niedrigste auftretende Potenz von e geteilt und schließlich
wird der Grenzübergang e → 0 durchgeführt. Dabei wird die Annahme verwendet,
daß für die (nicht identisch verschwindenden) Summanden niedrigster Ordnung die
Grenzwerte existieren.
3.2 Diskretes System: Knoten- und Elementgleichungen (vgl. Abschnitt 2)
3.2.1 Dynamische Gleichung
(zusammengefaßt für Knoten und Element)
m ( i ) u i = N i − N i −1 + Fi
(d I)
3.2.2 Kinematische Gleichung
w i = ui+1 − ui
(d II)
3.2.3 Material-Struktur-Gleichung
N i = k ( i) w i
(d III)
3.2.4 Resultierende Knotengleichung
(
)
F i = m ( i ) u i − k ( i − 1) u i − 1 + k ( i − 1) + k ( i ) u i − k ( i ) u i + 1
3.3 Aufbereitung der Gleichungen
3.3.1 Dynamische Gleichung
mit
(d IV)
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N i − N i −1 = N i − N ( x i − e)
[
= N i − N i − e N i ' + 0( e2 )
]
= e [ N i ' + 0 ( e) ]
ergibt sich
m (i)
e
u i = N i ' + 0 ( e) +
Fi
.
e
Mit den Grenzwerten
lim 0 ( e) = 0
e→ 0
lim
mi
e
= : m x ( x)
lim
Fi
e
= : n ( x)
e →0
e→ 0
lim N i ' = N' ( x)
e→ 0
lim u i
e→ 0
= u ( x , t)
folgt die Schnittlastendifferentialgleichung in Längsrichtung
m x ( x) u ( x , t ) = N ' ( x , t ) + n ( x , t )
(k I)
[mx ] =
mx
Massenbelag ;
N
Normalkraft, Längskraft;
n
Längsstreckenlast, Längskraftschüttung, Längskraftbelag;
kg
m
[ N] = N
N
[ n] =
m
Kurzschreibweise für den Grenzübergang:
mi
→ mx ,
e
N i ' → N' ,
Fi
e
→ n' ,
Die Ableitungen sind jetzt als partielle Ableitungen zu verstehen
g ( x , t) :=
 dg 
∂g
,
:=  
∂t
 dt  x fest
g' ( x , t ) : =
 dg 
∂g
:=  
∂x
 dx  t fest
ui → u
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3.3.2 Kinematische Gleichung
Mit
u i+1 − u i = u ( x i + e) − u i =
sich
wi
= u i ' + 0 ( e)
e
[u i + e u i ' + 0 (e2 ) ]
− u i = e [ u i ' + 0 ( e) ] ergibt
und nach dem Grenzübergang
w ( i)
e
→ ε ( x , t) ,
u i ' → u' ( x , t)
schließlich die Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehung
ε ( x , t) = u' ( x , t)
ε (Längs-)Dehnung ;
(k II)
m
=1
m
[ε] =
Die Dehnung ist also der Quotient aus Längung und ungedehnter Länge des Elementes.
3.3.3 Material-Struktur-Gleichung
N i = k ( i) w i = k ( i) e
wi
e
Mit
N i → N ( x , t) ,
w ( i)
e
→ ε ( x , t ) , k i e → K L ( x)
folgt
N ( x , t ) = K L ( x) ε ( x , t )
K L Längssteifigkeit ;
[KL]
(k III)
= N
Da die Längskraft N und die Dehnung ε endlich und im allgemeinen von Null
verschieden sind, muß das gleiche für die Längssteifigkeit K L gelten.
3.3.4 Resultierende Bewegungsgleichung
Mit der Entwicklung k i − 1 ( u i − u i − 1 ) + k i ( u i − u i + 1 )
=
[
1
K ( x − e) u i − u ( x i − e)
e L i
]
+
1
K (x )
e L i
[ u i − u ( x i + e )]
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= K L ( x i − e)
[ (
1
u i − u i − e u i ' + e 2 ui " + 0(e 3 )
e


1 
e2
u i " + 0( e3 )  
ui − ui + e ui ' +
e 
2


KL ( xi )
+
)]




e
e
= K L ( x i − e)  u i ' − u i " + 0 ( e 2 )  + K L ( x i )  − u i ' − u i " + 0 ( e 2 ) 




2
2
= − ui '
[ K L ( xi )
= − ui '
[K
Li
− K L ( x i − e)
[
(
[
[ ui ' K Li ' +
]
ui "
e K L ( x i ) + K L ( x i − e) + 0( e 2 )
2
−
− K Li − e K Li ' + 0 ( e2 )
)]
(
ui"
e K Li + K Li − e K Li ' + 0 ( e 2 )
2
−
= −e
]
) ] + 0(e2 )
u i " K Li + 0 ( e) ]
ergibt sich aus der Gleichung (d IV) für das diskrete System zunächst
m( i)
 Fi 
  =
u i − ( u i ' K Li ' + u i " K Li ) + 0 ( e)
e
e
und nach dem Grenzübergang
Fi
e
n ( x , t) ,
u i ' K L ' + u i" K Li
mi
e
m x ( x) ,
u' K L ' + u" K L ' =
( K L u′)′
die resultierende Bewegungsgleichung des längsbeanspruchten elastischen Stabes (=
geraden Balkens)
n ( x , t ) = mx ( x ) u ( x , t ) − ( K L ( x) u′ ( x , t ) )
′
(k IV)
Wie man sieht, ergibt sich dieselbe Gleichung nach Einsetzen der Material-StrukturGleichung (k III) und der kinematischen Gleichung (k II) in die dynamische Gleichung
(k I).
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Schema für den Übergang zum Kontinuum
Diskretes Modell
Dynamische Gleichungen (d I):
------------------------------------------Gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordndung
Kontinuumsmodell
→
Kinematische Gleichungen (d II):
------------------------------------------Algebraische Differenzengleichungen
Material-Struktur-Gln. (d III) für
das Element :
------------------------------------------Algebraische Gleichungen
→
Verzerrungs-Verschiebungsbeziehung (k II)
------------------------------------------(Partielle)
Differentialgleichung
1. Ordnung in x
Lokale Material-Struktur-Gl. (k III):
→
⇓
Resultierende Bewegungsgleichungen (d IV)
------------------------------------------System gekoppelter Dgln. 2. Ordnung (Matrizenform)
Schnittlastengleichungen (k I):
------------------------------------------(Partielle) Differentialgln.;
hier
2. Ordnung in t, 1. Ordnung in x
------------------------------------------Algebraische Gleichung
⇓
Lokale Bewegungsgleichung:
→
------------------------------------------(Partielle) Dgl. 2. Ordnung in t und
2. Ordnung in x
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3.4 Unstetigkeiten und Singularitäten im Kontinuum
3.4.1 Einzelkraft F (=: Singularität von n(x)) bei x = x0
Die Längskraft N(x) besitzt eine Sprungstelle bei x = x0, ist also dort nicht
differenzierbar. Knotenschnitt bei x0:
Kräftegleichung nach NEWTON:
F + N ( x 0 + ε) − N ( x 0 − ε) = m x ⋅ 2 ε u
( N ( x 0 + ε) − N ( x 0 − ε))
[ N ( x0 )] := εlim
→0
= −F
Mit N(x,t) springt im allgemeinen auch die Dehnung ε ( x, t) = N ( x, t) K L ( x)
3.4.2 Steifigkeitssprung bei x = x0
Mit K L ( x) springt im allgemeinen ebenfalls ε ( x , t) .

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