12 Newtons Kraftgesetz für die Massenanziehung

12
Newtons Kraftgesetz für die Massenanziehung
12
Newtons Kraftgesetz für die Massenanziehung
12.1
Newtons Mondrechnung
12.1.1
Newtons erste Gedanken zur Gravitation
Physik
III. Gravitation
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Die Planetenbewegung erfolgt nicht geradlinig gleichförmig. Nach dem Trägheitssatz von
Newton muss somit eine bewegungsverursachende Kraft vorhanden sein.
Ursache der Planetenbewegung längs einer (fast kreisförmigen) Ellipsenbahn muss eine auf
den Planeten einwirkende Zentralkraft sein.
Newtons Idee: Die Zentralkraft, die den Mond auf seine Bahn um die Erde zwingt, und die
Gewichtskraft, die einen Apfel zur Erde fallen lässt, haben beide den gleichen Ursprung. Beide Erscheinungen sind Spezialfälle einer als Gravitation bezeichneten universellen Massenanziehung:
Gravitation: Zwei beliebige Körper üben aufgrund ihrer Massen anziehende Kräfte aufeinander aus.
12.1.2
Newtons Nachweis, dass die für eine Keplersche Kreisbewegung notwendige
Zentralkraft die auf den kreisenden Satelliten einwirkende Gewichtskraft ist
Keplersche Zentralbeschleunigung, die ein Satellit („Apfel“) bei einer Kepler-Kreisbewegung
an der Erdoberfläche (Bahnradius = Erdradius) erfahren würde:
arad,S = ωS2 ⋅ rE =
=
4π 2 ⋅ rM3
4π 2
4π 2
4π 2
⋅
r
=
⋅
r
=
=
=
E
E
TM2 2 TM2 ⋅ rE2
TS2
CE ⋅ rE3
⋅ rE
rM3
4π 2 ⋅ ( 384, 4 ⋅106 m )
( 27,32 ⋅ 86400 s )
2
3
⋅ ( 6371⋅103 m )
2
= 9,915
m
=
s2
= Fallbeschleunigung g an der Erdoberfläche
Feststellung: An der Erdoberfläche gilt:
Zentralbeschleunigung einer Kepler-Bewegung = Fallbeschleunigung
arad = g
m ⋅ arad = m ⋅ g ;
m = Masse eines „Probekörpers“, z.B. Satellit oder Apfel
Frad = FG
Zentralkraft = Gewichtskraft (= Schwerkraft = Gravitationskraft)
Damit hatte Newton „bewiesen“, dass die Erdanziehungskraft, die einen Apfel zum Boden
fallen lässt, auch den Mond auf seine Bahn zwingt. Die für die Mondbewegung erforderliche
Zentralkraft ist die auf den Mond einwirkende, von der Erde hervorgerufene Schwerkraft.
Bisher ist uns diese Gravitationskraft begegnet als Gewichtskraft, die für die Bahnkurven bei
Fall- und Wurfbewegungen verantwortlich ist.
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Newtons Kraftgesetz für die Massenanziehung
Physik
III. Gravitation
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Newton selbst führte als erster Berechnungen über künstliche Erdsatelliten aus. Von ihm
stammt auch nachfolgende Zeichnung:
Nach dem Abwurf unterliegt der Körper allein dem Einfluss der Schwerkraft. Wird die horizontale Startgeschwindigkeit von Null aus gesteigert, so geht der freie Fall in eine waagrechte
Wurfbewegung und schließlich in eine Kepler-Bewegung über, die damit eigentlich nichts
anderes ist als eine Wurfbewegung unter dem Einfluss der Schwerkraft.
12.2
Gravitationsgesetz
12.2.1
Herleitung
Von der Sonne auf den Planeten ausgeübte, als Zentralkraft wirkende Gravitationskraft:
FSonne→Planet
4π 2
4π 2
4π 2 mP
= mP ⋅ ω ⋅ r = mP ⋅ 2 ⋅ r = mP ⋅
⋅r =
⋅
TP
CS ⋅ r 3
CS r 2
2
P
mP = Planetenmasse
CS = Kepler-Konstante der Sonne
r = Bahnradius = Entfernung zwischen Sonne und Planet
Damit ist für FSonne→Planet ein Term gefunden, in dem nicht mehr zum Ausdruck kommt, dass
sich der Planet um die Sonne bewegt. Die von der Kepler-Bewegung unabhängige Gleichung
dient allgemeingültig zur Berechnung der von einem Körper l (z.B. Sonne) auf einen Körper 2
(z.B. Planet) ausgeübte Gravitationskraft:
F1→2
4π 2 m2
=
⋅
C1 r 2
Nach dem Newtonschen Wechselwirkungssatz „actio = reactio“ übt aber nicht nur Körper l
auf Körper 2 eine Massenanziehungskraft F1→2 aus, sondern auch Körper 2 muss eine betragsmäßig gleichgroße Gegenkraft (Reaktionskraft) F2→1 auf Körper l ausüben:
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Newtons Kraftgesetz für die Massenanziehung
F2→1 =
4π 2 m1
⋅
mit F2→1 = F1→2 :
C2 r 2
Physik
III. Gravitation
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4π 2 m1 4π 2 m2
⋅
=
⋅
C2 r 2
C1 r 2
m1 m2
=
C2 C1
m1 ⋅ C1 = m2 ⋅ C2 = … = m ⋅ C = konstant = k
Also: Masse m und Kepler-Konstante C eines Körpers sind zueinander indirekt proportional.
Der Proportionalitätsfaktor k ist eine Naturkonstante (siehe später die Anmerkung zur Gravitationskonstanten G).
Damit ergibt sich für die zwischen zwei Körpern wirkende Gravitationskraft:
F = F2→1 = F1→2 =
12.2.2
4π 2 m2 4π 2 m2 4π 2 m1 ⋅ m2
m1 ⋅ m2
4π 2
⋅ 2 =
⋅ 2 =
⋅
=
G
⋅
mit
G
=
= konstant
k r
C1 r
k
r2
r2
k
m1
Kraftgesetz für die universelle Massenanziehung
m2
m1
r
Zwei Körper der Massen m1 und m2 im gegenseitigen Abstand r üben aufeinander anziehende
Gravitationskräfte aus, für die gilt:
F2→1 = − F1→2
F = F2→1 = F1→2
F =G⋅
2
m1 ⋅ m2
m3
−11 N ⋅ m
−11
mit
G
=
6,67
⋅
10
=
6,
67
⋅
10
= konstant
r2
kg 2
kg ⋅ s 2
N ⋅ m2
=
kg 2
m 2
⋅m
m3
s2
=
kg 2
kg ⋅ s 2
kg ⋅
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Newtons Kraftgesetz für die Massenanziehung
12.2.3
Gravitationskonstante
Physik
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4π 2 4π 2
G=
=
k
m⋅C
Mittels dieser Gleichung kann G nicht ermittelt werden, da man - ohne Kenntnis von G - von
keinem Körper gleichzeitig Masse m und Kepler-Konstante C bestimmen kann.
Gravitationsgesetz F = G ⋅
m1 ⋅ m2
F ⋅r2
⇒
G
=
r2
m1 ⋅ m2
G kann nur dann bestimmt werden, wenn man die Massenanziehungskraft F zwischen zwei
Körpern bekannter Masse kennt. Diese Messung von F und damit die Bestimmung von G
kann daher nur auf der Erde geschehen.
G ist eine universelle Naturkonstante. Für eine mögliche Zeitabhängigkeit von G fehlen trotz
mancher Begründungsansätze bis heute die überzeugenden Nachweise.
Dimensionsbetrachtung:
 4π 2 
1
m3
=
[G ] = 
=
2
kg ⋅ s 2
 m ⋅ C  kg ⋅ s
m3
ODER:
m 2
 F ⋅ r 2  N ⋅ m 2 kg ⋅ s 2 ⋅ m
m3
=
=
=
[G ] = 

kg 2
kg 2
kg ⋅ s 2
 m1 ⋅ m2 
12.2.4
Newtons grobe Abschätzung der Gravitationskonstanten
3
3π ⋅ rMond
4π 2
4π 2
4π 2
3π
G=
=
=
=
=
2
mErde ⋅ CErde ρ ⋅ VErde ⋅ CErde ρ ⋅ 4 ⋅ r 3 ⋅ π ⋅ C
ρ ⋅ rE3 ⋅ CErde ρ ⋅ rE3 ⋅ TMond
E
Erde
3
ρ = Dichte der Erde = ??? = 2 ⋅ Dichte der Erdkruste = 2 ⋅ 2, 7 ⋅103
kg
m3
rE = Erdradius = 6,38 ⋅106 m
rM = Mondbahnradius = 384 ⋅106 m
TM = Mondumlaufdauer = 27, 3 d = 27, 3 ⋅ 86400 s
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3π ⋅ ( 384 ⋅106 m )
G=
2 ⋅ 2, 7 ⋅103
12.2.5
3
3
kg
2
⋅ 6, 38 ⋅106 m ) ⋅ ( 27, 3 ⋅ 86400 s )
3 (
m
Fehlerrechnung:
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= 6,84 ⋅10−11
m3
kg ⋅ s 2
ΔG 6,84 − 6, 67
=
= 2,5 %
G
6, 67
Gravitationsdrehwaage
Cavendish 1798; Schürholz
Versuch zur Demonstration der Massenanziehung zweier Körper und zur quantitativen Bestimmung der Gravitationskonstanten G .
1. Beschleunigungsmethode
Zur Beobachtung der Gravitationswirkung in der Umgebung von Körpern verhältnismäßig
geringer Masse benutzt man eine hochempfindliche Drehwaage langer Schwingungsdauer mit
Lichtzeigerablesung.
Mit einer Waage, auch mit einer Drehwaage, erfolgen Kraftmessungen fast immer in
Gleichgewichtslagen. In dem hier beschriebenen Versuch jedoch wird ausnahmsweise
kein statisches, sondern ein dynamisches Messverfahren angewendet. Man bestimmt die
Kraft mit Hilfe der von ihr hervorgerufenen Beschleunigung.
2. Aufbau und Durchführung des Versuchs
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An einem Torsionsfaden hängt ein | -förmiger Drehkörper, der an den beiden Enden des horizontalen Querarmes kleine Bleikugeln der Masse m trägt. An der vertikalen Stange ist ein
Spiegel befestigt. Dieser Drehkörper hat eine lange Schwingungsdauer von ca. 10 Minuten.
Zum Schutz gegen äußere Einflüsse (z.B. Luftzug) ist die ganze Vorrichtung in einem Gehäuse untergebracht.
Zur Beobachtung und Messung der kleinen Drehungen der Waage benutzt man einen
Lichtzeiger: Dazu richtet man auf den Spiegel einen Lichtstrahl und lässt ihn auf eine weit
entfernte Skala reflektieren. Der lange Lichtstrahl bildet einen Zeiger, der auch bei kleinen
Drehungen der Waage einen erkennbaren Ausschlag auf der Skala liefert.
Außerhalb des Gehäuses sind zwei große Bleikugeln der Masse M auf einem drehbaren
Träger angebracht.
Man bringt die großen Kugeln zunächst in die Mittelllage, lässt den Drehkörper zur Ruhe
kommen und markiert die Nulllage des Lichtzeigers auf der Skala. Dann werden die großen
Kugeln auf ihrem drehbaren Halter geschwenkt, so dass sie sich den kleinen Kugeln von verschiedenen Seiten annähern. Durch die Gravitationskräfte werden die kleinen Kugeln von den
großen angezogen. Unter der Wirkung dieser Kräfte beginnen die beiden kleinen Kugeln beschleunigt auf die ihnen gegenüber liegenden großen Kugeln zuzufallen. Dabei wird der Torsionsfaden zunächst weniger und dann mehr und mehr verdrillt. Die Waage führt einen gedämpften Schwingvorgang aus, an dessen Ende Gleichgewicht herrscht zwischen Gravitationskräften und rückdrehender Torsionskraft.
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Zur Messung betrachtet man von diesem Schwingvorgang nur den Beginn so lange, wie man
die Fadenverdrillung und damit die Torsionskraft vernachlässigen kann, und der Abstand zwischen großen und kleinen Massen als konstant angesehen werden darf. Damit ist während der
Messzeit die die kleinen Massen beschleunigende Kraft, nämlich die Gravitationskraft, konstant, die Bewegung der Kugeln ist ein „freier Fall“ und damit gleichmäßig beschleunigt mit
der Beschleunigung a . Diese Beschleunigung a ergibt sich aus der Bewegung der Kugeln,
die man mit Hilfe des Lichtzeigers auswerten kann.
3. Versuchsauswertung
m⋅M
2s
2r 2 s
G ⋅ 2 = m⋅a = m⋅ 2 ⇒ G =
⋅
r
t
M t2
2r 2
ist durch die Herstellerangaben fest vorgegeben und damit ein konstanter, für die betrefM
fende Gravitationsdrehwaage charakteristischer Wert.
UNFERTIG
12.3
Anwendungen des Gravitationsgesetzes
12.3.1
Masse der Erde aus terrestrischen Daten
Gravitationskraft als Gewichtskraft
G⋅
m ⋅ mE
= m⋅g
rE2
m = Masse eines beliebigen Probekörpers („Apfel“)
rE = Erdradius
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G⋅
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mE
=g
rE2
mE =
2
E
g ⋅r
=
G
12.3.2
2
m
⋅ 6,371 ⋅106 m )
2 (
s
= 5,97 ⋅1024 kg ≈ 6 ⋅1024 kg
3
m
6,674 ⋅10−11
kg ⋅ s 2
9,81
Masse der Erde aus astronomischen Daten
Gravitationskraft als Zentralkraft
G⋅
m ⋅ mE
= m ⋅ω 2 ⋅ r
2
r
m = Mondmasse; Mond als Satellit („Probemasse“)
r = Mondbahnradius = Entfernung des Mondes von der Erde
G⋅
mE
= ω2 ⋅ r
2
r
mE =
ω2 ⋅ r3
G
4π 2 ⋅ r 3
= 2
=
T ⋅G
4π 2 ⋅ ( 384, 4 ⋅106 m )
( 27,32 ⋅ 24 ⋅ 60 ⋅ 60 s )
2
3
⋅ 6,674 ⋅10
−11
m3
kg ⋅ s 2
=
= 6, 030 ⋅1024 kg ≈ 6 ⋅1024 kg
12.3.3
Masse der Sonne
Gravitationskraft als Zentralkraft
Fgrav = Frad
G⋅
m ⋅ mS
= m ⋅ω2 ⋅ r
r2
m = Erdmasse; Erde als Satellit („Probemasse“)
r = Erdbahnradius = Entfernung der Erde von der Sonne
m
G ⋅ 2S = ω 2 ⋅ r
r
mS =
ω2 ⋅ r3
G
4π 2 ⋅ r 3
= 2
=
T ⋅G
4π 2 ⋅ (149, 6 ⋅109 m )
(1⋅ 365 ⋅ 24 ⋅ 60 ⋅ 60 s )
2
3
⋅ 6,673 ⋅10
−11
m3
kg ⋅ s 2
=
= 1, 992 ⋅1030 kg ≈ 2 ⋅1030 kg
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12.3.4
Bahnradius und Bahnhöhe eines geostationären Synchronsatelliten
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r
rE
1.
2.
3.
h = r − rE
Der Satellit muss in der Äquatorebene um die Erde kreisen.
Die Umlaufrichtung des Satelliten muss übereinstimmen mit der Drehrichtung der Erde.
Die Umlaufdauer des Satelliten muss genau so groß sein wie die Umdrehungsdauer der
Erde, d.h. T = 1 d = 24 h = 24 ⋅ 60 ⋅ 60 s = 86400 s .
Gravitationskraft als Zentralkraft:
Fgrav = Frad
G⋅
m ⋅ mE
= m ⋅ω 2 ⋅ r
2
r
m
= Satellitenmasse („Probemasse“)
mE = Erdmasse
G⋅
mE
= ω2 ⋅ r
2
r
2
G ⋅ mE = ω ⋅ r
r
h = Bahnhöhe
rE = Erdradius
T = Umlaufdauer = 1 d = 24 h = 24 ⋅ 60 ⋅ 60 s = 86400 s
3
r3 =
G ⋅ mE
r3 =
G ⋅ mE ⋅ T 2
4π 2
= Bahnradius = Entfernung des Satelliten vom Erdmittelpunkt
ω2
 G ⋅ mE ⋅ T 
r =

2
 4π

2
1
3
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1
 G ⋅ mE ⋅ T 2  3
h = r − rE = 
 − rE =
2
 4π

1
3

m3
2 
−11
24
6,
674
⋅
10
⋅
5,
9736
⋅
10
kg
⋅
24
⋅
60
⋅
60
s
(
)


kg ⋅ s 2

=
− 6, 371 ⋅106 m =
4π 2






42,24⋅106 m
= 35,87 ⋅106 m ≈ 36 ⋅103 km
12.3.5
Gravitationsfreier Punkt zwischen Erde und Mond
x
rM
x
rM
FE = FM
G⋅
mS ⋅ mE
m ⋅m
= G ⋅ S M2
2
x
( rM − x )
mE
mM
=
2
2
x
( rM − x )
2
mE ⋅ ( rM − x ) = mM ⋅ x 2
mE ⋅ ( rM2 − 2rM ⋅ x + x 2 ) = mM ⋅ x 2
mE rM2 − 2mE rM ⋅ x + mE ⋅ x 2 = mM ⋅ x 2
mE rM2 − 2mE rM ⋅ x + mE ⋅ x 2 − mM ⋅ x 2 = 0
( mE − mM ) ⋅ x 2 − 2mE rM ⋅ x + mE rM2 = 0
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x1/2 =
2mE rM ± 4mE2 rM2 − 4 ⋅ ( mE − mM ) ⋅ mE rM2
2 ⋅ ( mE − mM )
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2mE rM ± 4mE2 rM2 − 4mE2 rM2 + 4mM mE rM2
=
=
2 ⋅ ( mE − mM )
2mE rM ± 4mM mE rM2 2mE rM ± 2rM ⋅ mM mE mE rM ± rM ⋅ mM mE mE ± mM mE
=
=
=
=
⋅ rM =
mE − mM
mE − mM
2 ⋅ ( mE − mM )
2 ⋅ ( mE − mM )
m + m m
5,97 ⋅1024 kg + 7,35 ⋅1022 kg ⋅ 5, 97 ⋅1024 kg
E
M E
⋅ rM =
⋅ rM = 1,12 ⋅ rM

5,97 ⋅1024 kg − 7, 35 ⋅1022 kg
 mE − mM
=
5,97 ⋅1024 kg − 7, 35 ⋅1022 kg ⋅ 5,97 ⋅1024 kg
 mE − mM mE
⋅ rM =
⋅ rM = 0,900 ⋅ rM
 m −m
5,97 ⋅10 24 kg − 7,35 ⋅1022 kg
E
M

=



=



mE − mM mE
5, 97 ⋅1024 kg − 7, 35 ⋅1022 kg ⋅ 5,97 ⋅1024 kg
⋅ rM =
⋅ rM = 0,900 ⋅ rM
mE − mM
5,97 ⋅1024 kg − 7,35 ⋅1022 kg
Die Lösung x1 liegt hinter dem Mond. Auch dort sind die beiden Gravitationskräfte betragsmäßig gleich groß, aber gleich gerichtet.
ODER:
FE = FM
G⋅
mS ⋅ mE
m ⋅m
= G ⋅ S M2
2
x
( rM − x )
mE
mM
=
2
2
x
( rM − x )
x 2 ( rM − x )
=
mE
mM
2
x2
=
mE
( rM − x )
x
rM − x
mE
=
2
mM
mM
x > 0 ∧ rM − x > 0 ⇒
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x
r −x
= M
mE
mM
mM
mE
⋅ x = rM − x
mM
⋅ x + x = rM
mE
 mM

+ 1 ⋅ x = rM

 mE

1
⋅ rM =
mM
+1
mE
x=
1
22
7, 35 ⋅10 kg
+1
5, 97 ⋅1024 kg
⋅ rM = 0, 900 ⋅ rM = 0,900 ⋅ 384 ⋅103 km = 346 ⋅103 km
Algebraisch erhält man bei dieser quadratischen Gleichung eine zweite Lösung für
x > 0 ∧ rM − x < 0 ⇒
x
−r +x
= M
mE
mM
Diese zweite Lösung für x liegt hinter dem Mond. Auch dort sind die beiden Gravitationskräfte betragsmäßig gleich groß, aber gleich gerichtet.
12.3.6
Herleitung des dritten Kepler-Gesetzes aus dem Gravitationsgesetzes
G⋅
m1 ⋅ m2
= m1 ⋅ ω 2 ⋅ r
2
r
G⋅
m2
= ω2 ⋅ r
2
r
G⋅
m2 4π 2
= 2 ⋅r
r2
T
T2
4π 2
=
= CK = konstant (Kepler)
r 3 G ⋅ m2
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12.3.7
Geschwindigkeit einer Kepler-Kreisbewegung an der Erdoberfläche
m ⋅ mE
v2
G ⋅ 2 = m⋅
rE
rE
G⋅
mE v 2
=
rE2 rE
v2 = G ⋅
mE
rE
m3
⋅ 5,97 ⋅10 24 kg
m
km
kg ⋅ s 2
= 7, 91 ⋅103 = 28, 4 ⋅103
6
6,38 ⋅10 m
s
h
6, 67 ⋅10 −11
v=
Anmerkung: Flugzeuge führen keine Kepler-Bewegungen aus, sie haben nämlich einen eignen Antrieb. Eine Kepler-Bewegung kommt nur dann zustande, wenn ausschließlich die Gravitationskraft bewegungsverursachend ist.
12.3.8
FSonne
FErde
12.4
Vergleich der auf den Mond einwirkenden Gravitationskräfte
mMond ⋅ mSonne mSonne
2
30
3
rE2
rE2
mSonne ⋅ rM2 1,96 ⋅10 kg ⋅ ( 384 ⋅10 km )
=
=
=
=
= 2,15
2
2
24
6
mMond ⋅ mErde
mErde
m
r
⋅
5,
97
10
kg
150
10
km
Erde
E
⋅
⋅
⋅
(
)
G⋅
rM2
rM2
G⋅
Schwerelosigkeit
Als Schwerelosigkeit wird ein Zustand bezeichnet, bei dem auf einen Körper nur die Gravitationskraft wirkt.
Schwerelosigkeit bedeutet also nicht das Fehlen von Schwerkraft, wie oft fälschlicherweise
angenommen wird, sondern das Fehlen einer der Schwerkraft entgegen gesetzten Kraft. Diese
der Gravitationskraft entgegen gesetzte Kraft greift z.B. an unseren Fußsohlen an, deformiert
dadurch unseren Körper und wird dadurch erst spürbar. Das Gefühl der Schwere kommt also
nicht von der Schwerkraft, sondern von der ihr entgegen gesetzten Kraft.
Den Zustand der Schwerelosigkeit erreicht man z.B. beim freien Fall, bei Wurfbewegungen,
bei Parabelflügen und bei Kepler-Satelliten-Bewegungen.
Tatsächlich wirkt auf schwerelose Astronauten in einer typischen Erdumlaufbahn von einigen
hundert Kilometern Höhe eine kaum geringere Schwerkraft als auf der Erdoberfläche. Diese
als Zentralkraft wirkende Gravitationskraft zwingt die Astronauten auf die Kreisbahn.
Bewegungen mit spürbarer Schwerelosigkeit kommen in folgenden Situationen vor:
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Newtons Kraftgesetz für die Massenanziehung
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Bei einem Fallschirmsprung kurz nach dem Ausstieg aus dem Flugzeug. Später erreicht der
fallende Springer eine Endgeschwindigkeit, die im Wesentlichen durch den Luftwiderstand
bedingt ist.
Beim Parabelflug, wenn das Flugzeug auf einer speziellen parabelförmigen Flugbahn fliegt.
Solche Parabelflüge können bis zu 90 Sekunden Schwerelosigkeit herbeiführen.
Bei allen Raumflugkörpern, die in einem Orbit um einen Himmelskörper kreisen. Hierbei
wirkt die Gravitationskraft als Zentralkraft.
Auch beim Turmspringen oder beim Bungee-Jumping befindet sich der Körper des Springers,
wenn auch nur für einige Sekunden, im schwerelosen Zustand.
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