Theoretische Physik fürs Lehramt: L2 Beatrix C. Hiesmayr Faculty of Physics, University Vienna [email protected] WS 2015 Inhaltsverzeichnis Vorwort: Warum soll sich eine angehende Lehrkraft mit Theoretischer Physik quälen” ? . . . . . ” I Quantenmechanik 6 9 1 Bellsche Ungleichungen oder existiert Einstein’s spukhafte 1.1 Worum gehts? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Herleitung der Bellschen Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Und was sagt die Quantentheorie dazu? . . . . . . . . . . . . 2 Der Wissensstand der klassischen Physik am Ende des bis jetzt verwendet haben 2.1 Begriffe der Physik des diskreten Massenpunktes . . . . . 2.2 Begriffe der Kontinuumsphysik . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Entdeckung des Elektrons: Alles ist teilbar? . . . . . . . . Fernwirkung wirklich? 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 19. Jahrhunderts oder was wir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 16 16 17 3 Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen? 3.1 Ein Experiment mit polarisiertem Licht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Polarisiertes Licht quantenmechanisch verstehen . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Unsere ersten quantenmechanischen Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Der Zweikanalanalysator und Projektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Weitere Experimente mit Analysatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Verschiedene Analysatoren und deren Zusammenhang . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Unterschiedliche Projektoren hintereinandergeschaltet . . . . . . . . . . . . 3.4 Allgemeine Apparate bzw. Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Das Observablenaxiom oder wie das Experiment mit der Theorie zusammenhängt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 19 19 24 27 30 35 37 39 40 4 Zur Idee der Quantenkryptographie: Abhörsicher kommunizieren?! 4.0.1 Kryptographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.0.2 Klassische Kryptographie-Geheimnisse will niemand beliebig teilen 4.0.3 Das BB84 Protokoll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.0.4 Das Ekert Protokoll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.0.5 Quantenkryptographie: Eine neue Perspektive? . . . . . . . . . . . 5 Der 5.1 5.2 5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 43 44 48 49 49 Spin und die praktischen Pauli–Matrizen Das Stern–Gerlach Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spin 12 Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Bloch–Kugel: Eine anschauliche Darstellung von Zweizustandssystemen 5.3.1 Allgemeine Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 53 55 56 57 3 INHALTSVERZEICHNIS 5.4 5.5 5.6 5.7 5.3.2 Anwendung auf das Zweizustandssystem Messdynamik anhand der Blochkugel . . . . . . Die unitäre Dynamik anhand der Blochkugel . Was sind gemischte Zustände? . . . . . . . . . Was hat der Dichteoperator mit einer Dichte zu . . . . . . . . . . . . tun? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Interferenz: Oder warum unsere klassische Vorstellung versagt 6.1 Doppelspalt Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Wahrscheinlichkeitanalyse eines Doppelspalts . . . . . . . . 6.1.2 Eine informationstheoretische Analyse oder verhält sich das Welle oder Teilchen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Ein Doppelspalt–Experiment für Photonen . . . . . . . . . 6.2 Die Entdeckung des Atomkerns und Interferenz . . . . . . . . . . . 6.2.1 Der Sturz des Rosinenkuchenatoms . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Mott Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Ein Kaon – ein zerfallender Doppelspalt – stellt sich vor . . . . . . 6.3.1 Die vielen Seltsamkeiten der neutralen Kaonen . . . . . . . 6.3.2 Die Strangeness Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Warum sehen wir keine Quanteneffekte im Alltag? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quantenteilchen jetzt als . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 58 59 61 62 63 63 63 65 68 70 70 73 75 75 78 79 7 Elementare Wellenmechanik 83 7.1 De Broglie Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 7.2 Die Wahrscheinlichkeitsinterpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 7.3 Der mathematische Rahmen für die Quantentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 7.4 Wie sieht die experimentelle Realisierung eines durch eine Wellenfunktion beschriebenen Zustandes aus? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 7.4.1 Beispiel: Teilchen in Volumen V oder nicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 7.4.2 Reduktion der Wellenfunktion oder was ist nach der Messung? . . . . . . . . . . . . . 87 7.5 Ein bisschen mehr über Multiplikationsoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 7.6 Der Impulsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.7 Vertauschungsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.7.1 Exkurs gaußförmige Wellenpakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7.7.2 Allgemeine Form der Unschärferelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 7.7.3 Die Zustände, die die Unschärferelation exakt erfüllen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 7.7.4 Die Existenz der Atome oder die physikalische Interpretation der Unschärferelation . . 95 7.7.5 Weitere Bemerkungen zur Unschärferelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 8 Die 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 Schrödingergleichung und ihre Lösungen Wie “errät” man die Schrödingergleichung? (I) . . . . . . . . . . . . . . Wie “errät” man die Schrödingergleichung? (II) . . . . . . . . . . . . . . Die stationäre Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Gebundene Zustände und Streuzustände . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2 Die Schrödingergleichung für radialsymmetrische Probleme . . . Das Kastenpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Stabilitätstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Zeitentwicklung von Bindungszuständen . . . . . . . . . . . . . . . . Kann der einfache Harmonische Oszillator als Quantencomputer benützt Das Wasserstoffatom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9.1 Die Lösungen für Drehimpulseigenwerte l = 0 . . . . . . . . . . . 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . werden?! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 99 101 102 104 105 106 111 113 118 121 122 123 8.9.2 Drehimpulsentartung beim Coulombpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 9 Die Axiome der Quantentheorie zusammengefasst 131 10 Beamen: Was ist das? 135 10.1 Eine Basis aus maximal verschränkten Zuständen: Die Bell Basis . . . . . . . . . . . . . . . . 135 10.2 Das Teleportationsschema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 10.3 Beamen im Physikunterricht: Atome oder (Qu)-Bits? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 11 Quantencomputer 11.1 Was funktioniert ein (klassischer) Computer? . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Das Mooresche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Zwei Gründe, warum diese neue Technologie den Alltag verändern könnte 11.4 Grover Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Shor Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 139 139 140 140 141 12 Einzelne Themen/Begriffe vertieft oder zusammengefasst 143 12.1 Der Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Vorwort: Warum soll sich eine angehende Lehrkraft mit Theoretischer Physik “quälen” ? Der “ klassische” Zyklus, wie er auch an dieser Universität gelesen wird, umfasst die Mechanik, relativistische Mechanik, die Elektrodynamik, die Quantenmechanik und die Thermodynamik bzw. statistische Mechanik. In ihnen werden die Grundgedanken entwickelt, die die Unzahl an Phänomenen, die wir aus Experimenten kennen, beinhaltet, und in ein auf wenigen Prinzipien fußenden Gedankengebäude zusammengefasst. Es bietet das Grundgerüst, für die Allgemeine Relativitätstheorie, die Teilchenphysik, die theoretische Festkörperphysik, die mathematische Physik, Quanteninformationstheorie . . . die gegenwärtige Forschungsgebiete sind! Durch Abstraktion erhält man einen anderen Einblick in die Naturgesetze, über die Entstehung und Dynamik unseres Universums,. . . , aber natürlich erhöht ein besseres Verständnis auch immer die Aussicht auf neue Anwendungen und Fortschritt. Die Mechanik, die Sie in der L1 kennengelernt haben, war das erste Teilgebiet der Physik, in dem ein mathematischer Zugang zu einem weitreichenden Verständnis der beobachteten Phänomene und Vorgänge geführt hat. Die im Verlauf der Entwicklung dieses Gebietes eingeführten Begriffe und Methoden haben sich von außerordentlich großer Tragweite erwiesen und werden heute in allen übrigen Gebieten der Physik verwendet, mehr noch sie öffnet das Tor, mit dem die moderne Physik erst verstanden werden kann. Die Mechanik ist bis heute die exemplarische Disziplin geblieben, an der man die Denkweisen der theoretischen Physik gut verstehen lernen kann. Die Mechanik befasst sich mit der Bewegung von Gegenständen (Körpern). Über eine Beschreibung der Bewegung gelangt man zu einer Analyse ihrer Ursachen. Das führt zu einer bedeutenden “Verständnis- Ökonomie”: eine Vielfalt möglicher Bewegungen kann auf wenige Ursachen zurückgeführt werden. Sind die Ursachen einer Bewegung bekannt, so kann diese im Prinzip aus Anfangsdaten und mechanischen Charakteristika des bewegten Körpers vorausberechnet werden. Je nach dem Aufbau der untersuchten Körper unterscheidet man zwischen der Mechanik von Teilchen bzw. aus solchen aufgebauten Systemen und der Mechanik von Kontinua. Diese Unterscheidung ist sehr alt, hat aber immer noch ihre Bedeutung als Näherung. Zwar ist es heute angesichts des Aufbaus jeglicher Materie aus Atomen und deren Bestandteilen klar, dass jeder Körper streng genommen ein Teilchensystem und kein Kontinuum ist, aber wie wir dieses Semester lernen werden, muss man sich vom bisherigen klassischen Teilchenbegriff größtmöglich entfernen. Die klassische Mechanik wird manchmal auch als “das Paradies des Physikers 1 ” genannt, da hier Klarheit herrscht, da genau festgelegte Ursachen zu genau festgelegten Wirkungen führen. Vor der Vertreibung aus dem Paradies haben William Thomson und Lord Kelvin ja noch gemeint, die Physik sei beinahe vollständig verstanden, nur zwei offene Dinge gäbe es noch: der “Äther” des Lichtträgers und die Wärmestrahlung. Wie wir wissen haben genau diese Dinge sich zu der Notwendigkeit geführt, unser Weltbild, unser Gedankengebäude ganz NEU zu entwickeln, im Besonderen unsere Vorstellung von Ort, Zeit, Realität oder Objektivität. Warum sollten Quantenphänomene im Schulunterricht gebracht werden? Zunächst einmal was versteht man unter Quantenphämomenen? Quantenphänomene sind Effekte, die durch Theorien der klassischen Physik nicht erklärt werden können. Es musste eine neue Theorie gefunden werden, die Quantentheorie, um die neuen Experimente erklären zu können. Es wurde bis heute noch kein einziges Experiment gefunden, dass den Vorhersagen der Quantentheorie widerspricht! Dieses wichtiges Ergebnis sollten Sie immer im Hinterkopf behalten, wenn Sie sich mit den Merkwürdigkeiten und scheinbaren Unmöglichkeiten, in diesem Skriptum, beschäftigen. 1 Original Ton: Bernhard Baumgartner INHALTSVERZEICHNIS Das Wort “Quantum” kommt aus dem Lateinisch und bedeutet “wie viel ” und “wie groß ”. Es wird bereits umgangssprachlich verwendet. In der Physik versteht man unter “Quantisieren” etwas in Portionen einteilen. Die erste Quantisierung macht zum Beispiel aus einer Ortsvariable x, die in der klassischen Physik ihre Verwendung findet, einen “Operator”, der in der Quantentheorie mit den Ortseigenschaften von Quantenteilchen in Zusammenhang steht. Es gibt auch eine “zweite Quantisierung”, diese macht aus Feldern Feldoperatoren, die in der Quantenfeldtheorie Verwendung finden und die Wechselwirkung von Materie und Strahlung beschreibt. Typischerweise sagt man, die Quantengesetze gelten im Mikrokosmos, zu dem man über dezidierte Experimente, aber nicht über Alltagserfahrungen Zugang hat. Im Gegensatz dazu wird der Makrokosmos dadurch ausgezeichnet, dass hier die klassischen Gesetze gelten, die mit der klassischen Physik beschrieben werden, die im Prinzip auf Gesetzen fußen, die dem gesunden Hausverstand in der Regel nicht widersprechen oder mindestens nach einer gewissen Zeit, der man dem Problem hat widmen müssen, einem einleuchtet. Ganz im Gegensatz zur Quantentheorie, die –obwohl am Formalismus (fast) niemand zweifelt, da er bis jetzt ausnahmslos alle Experimente richtig vorhersagt!!– immer noch heftig bezüglich ihrer Interpretation und Prinzipien diskutiert wird (besuchen sie mal eine einschlägige Konferenz in der Quantentheorie!). Hier einige Aussagen, berühmter Physiker über die Quantentheorie: • “Ich mag sie nicht, und es tut mir leid, dass ich jemals etwas mit ihr zu tun hatte.” (Erwin Schrödinger, 1887-1961, Physik-Nobelpreisträger) • “Wer über die Quantentheorie nicht entsetzt ist, der hat sie nicht verstanden.” (Niels Bohr, 1885-1962, Physik-Nobelpreisträger) • “Früher konnte man in den Zeitungen lesen, es gebe nur zwölf Menschen, die die Relativitätstheorie verstünden. Das glaube ich nicht. . . . Nachdem Einstein seine Theorie zu Papier gebracht und veröffentlicht hatte, waren es gewiss mehr als zwölf. Andererseits kann ich mit Sicherheit behaupten, dass keiner die Quantenmechanik versteht.” (Richard Feynman, 1918-88, Physik-Nobelpreisträger) • “Die Entdeckung der Quantenmechanik ist eine der größten Errungenschaften der Menschheit, aber auch eine der am schwersten zu begreifenden selbst für jene Wissenschaftler, die über Jahrzehnte hinweg tagtäglich mit ihr gearbeitet haben. Sie widerspricht unserer Intuition.”(Murray Gellman (1929-), 1984, Physik-Nobelpreisträger) Warum soll man sich als zukünftige Lehrkraft mit der Quantentheorie und ihren Phänomenen beschäftigen? Beziehungsweise, warum sind Quantenphänomene für die Zukunft der SchülerInnen wichtig? Zunächst einmal können Quantenphänomene mittlerweile nicht mehr aus dem Alltag (Vorgänge in der Festkörperphysik, Radioaktivität, Halbleitertechnik, Lasertechnik,. . . ) weggedacht werden, also zukünftige Techniker werden mit hoher Wahrscheinlichkeit mit Quantenphänomen rechnen müssen. Die Quantenphysik beantwortet so wichtige Fragen wie: Warum leuchten die Sterne? Wie funktionieren mikroelektronische Bauelemente? Warum ist Kupfer ein elektronischer Leiter und Quarzglas ein Isolator? Wieso sind unsere chemischen Elemente in einem periodischen System angeordnet? Aus der neuesten Forschung: Die Orientierungsfähigkeit von europäischen Rotkehlchen beruht mit überzeugender Wahrscheinlichkeit auf Verschränkung, einer Eigenschaft die Einstein als spukhafte Fernwirkung (siehe erstes Kapitel) abtat! Da die Quantenphysik auch für die Disziplinen Chemie, Biochemie bis hin zur Biologie immer wichtig wird, ist ihr Verständnis notwendig, um z.B. unsere Lebensfunktionen und Lebensentwicklung verstehen zu können. Damit wird die Quantentheorie eine große Anzahl an SchülerInnen in ihrem zukünftigen Berufsleben betreffen. 7 INHALTSVERZEICHNIS Aber auch neue Anwendungen stehen vor der Haustür, die unsere Kommunikationstechnologien stark beeinflussen könnten: die Quantenkryptographie (abhörsicher kommunizieren!) oder ein zukünftiger Quantencomputer. Daher habe ich diese Themenkomplexe in die Vorlesung integriert. Vor allem die Quantenkryptographie eignet sich gut, die Quantengesetze verstehen zu lernen, auch auf Schulniveau. Nicht zu letzt müssen wir aufgrund der Erkenntnisse der Quantentheorie (die bis jetzt alle Experimente einwandfrei beschreibt), unser physikalischen Weltbild fundamental ändern, denn wir leben in einer anderen Welt als es uns die Alltagserfahrung lehrt! SchülerInnen diese Weltanschauung näherzubringen ist eine Herausforderung, aber -meiner Meinung nach- eine aus vielen Gründen lohnend. Streng genommen sind alle anderen Theorien, die in der Schule und auf der Uni unterrichtet werden “nicht ganz richtig” bzw. nur “Näherungen”, falls man davon ausgeht, dass nur die Quantentheorie und die Relativitätstheorie fundamentale Theorien sind. Zum vorliegenden Skriptum: Hierin wird hauptsächlich das FACH Physik nähergebracht. Zu einige Quantenphänomenen wie die “Quantenkryptographie”, “Bellsche Ungleichungen” und “Quantencomputer” gibt es bereits Diplomarbeiten mit möglichen Unterrichtsumsetzungen. Beispiele für Unterrichtsumsetzungen (hier habe von mir betreute Arbeiten; es gibt sicher zahlreiche andere.): • Greindl, Stefan (2011) Quantencomputer in der Schule. Diplomarbeit, Universität Wien. Fakultät für Physik http://othes.univie.ac.at/14327/ • Knobloch, Heidemarie (2009) Quantenkryptographie in der Schule. Diplomarbeit, Universität Wien. Fakultät für Physik http://othes.univie.ac.at/14327/ Frau Knobloch hat auch ein Computerspiel zur Quantenkryptographie erarbeitet, erhältlich unter: http://homepage.univie.ac.at/heidemarie.knobloch/wordpress/ Was sind die Ziele dieser Vorlesung? Das vorrangige Ziel dieser Vorlesung ist Ihnen die Grundprinzipien der Quantentheorie und den Formalismus der Quantentheorie beizubringen. Da die Quantentheorie nicht intuitiv ist, ist es besonders wichtig, dass Sie den Formalismus der Quantentheorie erlernen, da nur dieser Sie zu den richtigen Schlussfolgerungen unabhängig vom Beispiel führen kann. Ich habe mich bemüht, beim Zusammenstellen dieser Vorlesung den Schulbezug so oft wie möglich herzustellen, jedoch möchte ich nochmals betonen, dass nur die Beherrschung des Formalismus Ihnen die Erarbeitung jeder neuen Entwicklung in der Quantentheorie ermöglicht (und da sind wir ja hoffnungsvoll, dass sich hier in den nächsten Jahren etwas tut)! Damit wünsche ich viel Spass, weil auch das soll Physik sein! Beatrix C. Hiesmayr Wien, September 2015 8
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