T. Dinev H. Luschgy SS 2013 Musterklausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie NAME VORNAME MATRIKEL - NR. STUDIENGANG (Bsc oder Diplom) Bearbeitungszeit: Erreichbare Punktzahl: Mindestpunktzahl: 105 min 24 10 Ergebnis: Aufgabe: 1 2 3 4 5 6 P Erreichbare 4 4 4 4 4 4 24 Punktzahl Erreichte Punktzahl Bitte bearbeiten Sie jede Aufgabe auf einem gesonderten Blatt ! Anzahl der abgegeben Blätter: Aufgabe 1 (4 Punkte) Sei (Xn )n∈N eine Folge reeller ZV mit P Xn = N (0, σn2 ) und σn2 → ∞. Zeigen sie, dass (Xn )n∈N stochastisch unbeschränkt ist, d.h. limn→∞ P (|Xn | ≤ C) = 0 ∀C ∈ (0, ∞). Aufgabe 2 (4 Punkte) Sei X eine Poi(λ)-verteilte ZV. Berechnen Sie VarX. Aufgabe 3 (4 Punkte) Seien (Xn )n∈N eine iid Folge reeller ZV und t ∈ R, |t| > 1. Zeigen sie t−n Xn → 0 f.s. ⇒ E log+ |X1 | < ∞. Hinweis: Borel-Cantelli Lemma. Aufgabe 4 (4 Punkte) Sei (Xn )n∈N eine Folge identisch verteilter ZV mit X1 ∈ Lp (P ), 0 < p < ∞. Zeigen Sie P n−1/p max |Xi | → 0, n → ∞ 1≤i≤n (Stochastische Konvergenz). Aufgabe 5 (4 Punkte) Seien X ∈ L1 (P ) und f : R → R konvex (und daher stetig) mit f (X) ∈ L1 (P ). Zeigen Sie f (EX) ≤ Ef (X) mit Hilfe des SLLN von Kolmogogrov. Aufgabe 6 (4 Punkte) Für n ∈ N, sei Xn eine G(pn )-verteilte ZV mit 0 < pn < 1. Zeigen Sie d pn → 0 ⇒ pn Xn → E(1), n → ∞. Hinweis: Fourier-Transformierte von E(1) ϕE(1) (t) = und ∞ X k=1 zk = 1 ,t ∈ R 1 − it z , z ∈ C, |z| < 1. 1−z
© Copyright 2024 ExpyDoc
