Bernd Sumpf
Eichberg1 • 07987 Reudnitz 03661/435814 • [email protected]
Integralrechnung – Flächen berechnen
1. 2. 3.
4.
Bestimmen Sie den Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion, der
x­Achse und den Geraden x=a und x=b !
a)
f(x) = 0,5x³ – 3x² + 3x + 5
a = ­0,5; b = 4,5
b)
f(x) = 2∙sin(3x) + 3
a = π ; b = 2π c)
f(x) = 3
 x   5−x
a = 0 ; b = 5
Bestimmen Sie die beiden Nullstellen der Funktion f im angegeben Bereich!
Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die zwischen den Nullstellen vom Graph von f und der x­Achse begrenzt wird!
a)
f(x) = ­0,2x 4 + 2x² ­1,8 (x>0)
b)
f(x) = x³ – 6x² + 9x c)
f(x) = 3∙sin(x­ 0,5∙π)+2
d)
f(x) = e x + e ­x – 5
(0<x<6)
Bestimmen Sie die Fläche die vom Graphen der Funktion und den positiven
Koordinatenachsen eingeschlossen wird!
a)
f(x) = ­0,5x² + 4,5
b)
f(x) = 0,2x 4 – 2x² + 5
c)
f(x) =  9−4x
Gegeben ist die Funktion f(x) = 0,01x 5 – 0,2x³ + 4
a) Bestimmen Sie die Wendepunkte und Extrema!
b) Bestimmen Sie die Nullstelle der Funktion auf 6 Dezimalstellen genau!
c) Wie groß ist die Fläche zwischen der Kurve, der Abszissenachse und den
Geraden x=a und x=b, wobei a und b die x­Koordinaten der beiden Extremstellen sind!
Bernd Sumpf
Lösungen:
1. a)
b)
c)
2. b)
c)
d)
4.
03661/435814 • [email protected]
F(x) = 0,125x 4 – x³ + 1,5x² +5x
2
F(x) = − ⋅cos 3x   3x
3
2
3 3
3
4
F(x) = ⋅ x − ⋅ 5−x 
3
4
A = 15,00
A = 8,09
A = 13,87
Bestimmen Sie die beiden Nullstellen der Funktion f im angegeben Bereich!
Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die zwischen den Nullstellen vom Graph von f und der x­Achse begrenzt wird!
a)
3.
Eichberg1 • 07987 Reudnitz 2 3
x − 1,8 x
A = 4,05
3
Nullstellen: 0;3 F(x) = 0,25x 4 – 2x³ + 4,5x²
A = 6,75
Nullstellen: 0,841; 2π­0,841
F(x) = ­3∙cos( x­ 0,5∙π) + 2
A = 13,67
Nullstellen: ­1,5668; 1,5668
F(x) = e x – e ­x – 5x A= (­)6,50 Nullstellen: 5
1;3 F(x) = −0,04 x 
Bestimmen Sie die Fläche die vom Graphen der Funktion und den positiven
Koordinatenachsen eingeschlossen wird!
a)
Nullstelle: 3;
1 3
F(x) = − x  4,5 x 6
b)
Nullstelle: 2,236
5
F(x)= 0,04 x −
c)
2
3
Nullstelle: 2,25 F(x) = −0,25⋅ ⋅ 9−4x  A = 4,5
3
a) b) c) A = 9
2 3
x  5x
3
f '(x) = 0,05x 4 – 0,6x² f ''(x) = 0,2x³ – 1,2x
Wendepunkte (0 ; 4) ; (2,45 ; 1,94) ; (­2,45 ; 6,06)
Extrema (­3,46 ; 7,33) ; (3,46 ; 0,67)
­4,848625(33249)
1 6
1 4
F(x) = 0,01⋅ ⋅x − 0,2⋅ ⋅x  4x
A=27,71
6
3
A = 5,96
f '''(x) = 0,6x² – 1,2
//
 12
= 3,46