Didaktik der Arithmetik – Subtraktionsverfahren

Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
7.2) Subtraktion
7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen
Didaktik der Arithmetik –
Subtraktionsverfahren
Vorlesung:
Lernen und Anwenden von
Arithmetik
Universität Münster
Vorkenntnisse von Schulanfängern:
Im Vergleich zur Addition sind die Vorkenntnisse der Schulanfänger
niedriger als vergleichbare Aufgaben zur Addition.
Trotzdem lösen fast 50 % aller Schulanfänger die folgende
Subtraktionsaufgabe richtig:
„Ein Kind hat 10 € im Portmonee. Es kauft eine Brille für 8 €. Wie viel €
bleiben übrig?“
Die Untersuchungen zeigen jedoch auch, dass die Vorkenntnisse von
Klasse zu Klasse variieren, weshalb jeder Lehrer schnell die Kenntnisse
bezüglich der Addition und Subtraktion ermitteln muss und somit den
Unterricht in der Anfangsphase differenziert gestalten muss.
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Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
7.2) Subtraktion
7.2) Subtraktion
Lösungswege von Schulanfängern - Zählstrategien:
Lösungswege von Schulanfängern - Zählstrategien:
Wenn bei der Lösung von Subtraktionsaufgaben Zählstrategien
angewendet werden können, unterscheiden wir in 2 Typen:
(a) Subtraktion durch Abziehen (oder Wegnehmen):
Anna hat 8 Bonbons. Sie gibt ihrer Freundin Sophie 5 Bonbons. Wie
viele Bonbons bleiben ihr noch?
Symbolische Form: 8-5=
(b) Subtraktion durch Ergänzen:
Sophie hat 5 Bonbons. Wie viele Bonbons muss Sophie bekommen, um
insgesamt 8 Bonbons zu haben?
Symbolische Form: 5+ =8
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7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen
7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
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Welcher Lösungsweg zu wählen ist, ist stark kontextabhängig und hängt
zudem von den gegebenen Zahlen ab:
So ist 41-3 das Abziehen, bei 41-38 das Ergänzen sinnvoll.
Bei den Zählstrategien wird weiter unterschieden in:
Æ Zählstrategien mit Materialeinsatz
Æ Reine Zählstrategien
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Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
Zählstrategien mit Materialeinsatz (am Beispiel 8-5=
bzw. 5+ =8):
(a) Wegnehmen:
Es werden insgesamt 8 Plättchen etc. hingelegt. Dann 5 Plättchen
entfernt und die verbliebenen Plättchen werden dann ausgezählt, um die
Lösung der Subtraktionsaufgabe zu erhalten:
1.) 8 Elemente hinlegen:
2.) 5 Elemente wegnehmen:
3.) Lösung durch Auszählen:
○○○○○○○○
○○○
○○○
○○○○○
Statt Plättchen oder anderes Material zu verwenden, können auch die
Finger als Elemente benutzt werden!
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7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
7
7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen
7.2) Subtraktion
Zählstrategien mit Materialeinsatz (am Beispiel 8-5=
bzw. 5+ =8):
(b) Ergänzen:
Es werden zunächst 5 Plättchen etc. hingelegt. Dann werden weitere
Plättchen ergänzt, bis insgesamt 8 Plättchen liegen. Die Anzahl der
hinzugefügten Plättchen liefert die Lösung der Subtraktionsaufgabe:
1.) 5 Elemente hinlegen:
○○○○○
2.) Elemente hinzulegen, bis 8 Elemente liegen: ○○○○○●●●
3.) Lösung durch Auszählen
●●●
der hinzugefügten Elemente:
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7.2) Subtraktion
7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1
Reine Zählstrategien ohne Materialeinsatz (am Beispiel 8-5= ):
Unterschiedliche Subtraktionsaufgabentypen zu (7-3=4):
(a) Rückwärtszählen (bis zu einer gegebenen Zahl):
Beispiel: 7,6,5. „Ich zähle bis zur 5 um 3 Schritte zurück, also 8-5=3
(b) Rückwärtszählen (um eine gegebene Zahl von Schritten):
Beispiel: 7 (1 weniger), 6 (2 weniger), 5 (3 weniger), 4 (4 weniger), 3 (5
weniger), also 8-5=3.
(c) Vorwärtszählen:
Beispiel: 6 (1 mehr), 7 (2 mehr), 8 (3 mehr), also 8-5=3.
Problem: Bei allen 3 Strategien, weichen die Ergebnisse oft um 1 nach
oben oder unten ab, da die Eckzahlen 8 bzw. 5 mitgezählt werden!!!
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7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen
7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen
7.2) Subtraktion
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(a) Anne hat 7 Bonbons. Sie gibt ihrer Freundin 3 Bonbons. Wie viele
Bonbons bleiben ihr noch?
(b) Anne hat einige Bonbons. Sie gibt hiervon ihrer Freundin 3 Bonbons. Sie
behält noch 4 Bonbons übrig. Wie viele Bonbons hatte Anne
ursprünglich?
(c) Anne hat 7 Bonbons. Sie gibt hiervon ihrer Freundin einige Bonbons.
Danach hat sie noch 4 Bonbons. Wie viele Bonbons hat Anne ihrer
Freundin gegeben?
(d) Anne hat 3 Bonbons. Sie bekommt von ihrer Freundin einige Bonbons.
Danach hat sie 7 Bonbons. Wie viele Bonbons hat sie bekommen?
(e) Anne hat 7 Bonbons. Ihre Freundin hat 3 Bonbons. Wie viele Bonbons
hat die Freundin weniger?
(f) Anne hat insgesamt 7 Bonbons und zwar 3 Karamellbonbons und einige
Pfefferminzbonbons. Wie viele Pfefferminzbonbons hat sie?
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7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1
Klassifikation von Subtraktionsaufgabentypen zu (7-3=4):
Studie von Elsbeth Stern1:
Die Tatsache dass alle Aufgabentypen auf die selbe Subtraktionsaufgabe führen bereitet den Schülern einige Schwierigkeiten.
Je nach Aufgabenstellung können folgende Subtraktionshandlungen
durchgeführt werden:
Æ Abziehen (a), (b), (c)
(dynamisch)
Æ Ergänzen (d)
(dynamisch)
Æ Vergleichen (e)
(statisch)
Æ Vereinigen (f)
(statisch)
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7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
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7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen
7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1
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Elsbeth Stern kategorisiert in ihrer Abhandlung zum Thema „Warum
werden Kapitänsaufgaben "gelöst"?“ solche Aufgaben in 3
Aufgabentypen mit insgesamt 12 Unterkategorien. Die Aufgabentypen
sind:
Æ Kombinationsaufgaben
Æ Austauschaufgaben
Æ Vergleichsaufgaben
Bei den Tests zeigte sich, dass vor allem Vergleichsaufgaben mit
unbekannter Referenzmenge für deutsche Erstklässler schwer zu lösen
sind (vgl. nächste Seite).
1Stern,
Elsbeth, 1992: Warum werden Kapitänsaufgaben "gelöst"? Das Verstehen von Textaufgaben aus psychologischer Sicht, In: Der Mathematikunterricht,
Jahrgang 38 (1992), Heft 5: Psychologie und Mathematik II, S. 7-29.
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7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1
7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1
Studie von Elsbeth Stern1:
Kombinationsaufgabe, Typ CB2 nach Stern:
Darstellungsformen für die Subtraktion:
Maria und Hans haben zusammen 8 Murmeln. Maria hat 7 Murmeln.
Wie viele Murmeln hat Hans?
(Lösungsquote deutscher Erstklässler: 55 %)
Austauschaufgabe, Typ CH4 nach Stern:
Maria hatte 8 Murmeln. Dann gab sie einige Hans. Jetzt hat Maria 3
Murmeln. Wie viele Murmeln hat sie Hans gegeben?
(Lösungsquote deutscher Erstklässler: 49 %)
Vergleichsaufgaben, Typ CP6 nach Stern:
Maria hat 4 Murmeln. Sie hat 3 Murmeln weniger als Hans. Wie viele
Murmeln hat Hans?
(Lösungsquote deutscher Erstklässler: 16 %)
1
Stern, Elsbeth, 1992: Warum werden Kapitänsaufgaben "gelöst"? Das Verstehen von Textaufgaben aus psychologischer Sicht, In: Der Mathematikunterricht,
Jahrgang 38 (1992), Heft 5: Psychologie und Mathematik II, S. 7-29.
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7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen
7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
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Wie schon beim Erwerb des „Kleinen 1+1“ sollen die Schülerinnen
zunächst genügend Erfahrungen mit der Subtraktion im Zahlenraum von
10 bis 12 sammeln, bevor dann heuristische Strategien angewendet
werden können.
Das erfolgt wie auch bei der Addition durch Übungen mit
Æ enaktiven,
Æ ikonischen und
Æ symbolischen Darstellungsformen.
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7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1
7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1
Enaktive Darstellungsformen für die Subtraktion:
Ikonische Darstellungsformen für die Subtraktion:
Man kann von einer vorgegebenen Anzahl von Gegenständen einige
entfernen, oder auch von einem gegebenen Geldbetrag etwas kaufen.
Bei solchen Handlungen wird die Subtraktion anschaulich in
Handlungen "übersetzt". Derartige Handlungen sind gerade für jüngere
Kinder sehr wichtig, da diese den mathematischen "Gegenstand" im
eigentlichen Sinne des Wortes "begreifen" müssen.
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Bei der ikonischen Darstellung handelt es sich um Abbildungen, die den
Sachverhalt - hier die Subtraktion - veranschaulichen sollen.
Da Schulbücher unvermeidlich auf bildliche Darstellungen zurückgreifen
müssen, ist dieser Aspekt besonders bedeutsam. Das Problem dieser
Veranschaulichung besteht darin, dass die Subtraktion in unserer
Vorstellung eine Handlungsfolge darstellt, Abbildungen aber immer nur
Zustände wiedergeben.
Die verschiedenen Formen der Darstellung lassen sich trennen in
Æ einphasige,
Æ zweiphasige sowie
Æ dreiphasige.
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7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1
7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1
Ikonische Darstellungsformen für die Subtraktion:
Ikonische Darstellungsformen für die Subtraktion:
7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen
7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen
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7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen
7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
Beispiel für eine einphasige ikonische Darstellung:
Abbildung: einphasige ikonische Darstellung der Subtraktion (entnommen aus:
Leininger, P.; Ernst, G. et al. (1999): Nussknacker 1. Leipzig, Stuttgart, Düsseldorf: Ernst Klett Grundschulverlag, S.3)
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Beispiel für eine zweiphasige ikonische Darstellung:
Abbildung: zweiphasige ikonische Darstellung der Subtraktion (entnommen aus:
Eidt, H.; Lammel, R. et al. (2001): Denken und Rechnen 1. Braunschweig: Westermann Schulbuchverlag, S.52)
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7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1
7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1
Ikonische Darstellungsformen für die Subtraktion:
Symbolische Darstellungsformen für die Subtraktion:
7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen
7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
Beispiel für eine dreiphasige ikonische Darstellung:
Abbildung: dreiphasige ikonische Darstellung der Subtraktion (entnommen aus:
Grassmann, M. (Hrsg.) (2002): Primo 1 - Mathematik Teil A. Hannover : Schroedel Verlag, S.54)
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Dabei können die Platzhalter bei Subtraktionsaufgaben an drei Stellen
stehen:
Æa-b=
ÆaÆ
=b
-a=b
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7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1
7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1
Beispiel für die symbolische Darstellungsform für die Subtraktion:
Heuristische Strategien:
7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen
7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
Bei der symbolischen Darstellung der Subtraktion schreibt man Terme
auf, etwa 8 - 7, oder schreibt Gleichungen wie 14 - = 6.
Abbildung: symbolische Darstellungsform Typ a - b =
(entnommen aus:
Eidt, H.; Lammel, R. et al. (2001): Denken und Rechnen 1. Braunschweig: Westermann Schulbuchverlag, S.101 )
Abbildung: symbolische Darstellungsform Typ a - = b (entnommen aus:
Grassmann, M. (Hrsg.) (2002): Primo 1 - Mathematik Teil A. Hannover: Schroedel Verlag, S. 54)
Abbildung: symbolische Darstellungsform Typ -a = b (entnommen aus:
Grassmann, M. (Hrsg.) (2002): Primo 1 - Mathematik Teil A. Hannover: Schroedel Verlag, S. 44)
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Nachdem die Schüler durch die verschiedenen Darstellungsformen
einen sicher Subtraktionsaufgaben im 10-12er Zahlenraum durchführen
können, sollten schnell heuristische Verfahren in den Vordergrund
gestellt werden.
Folgende heuristische Strategien spielen bei der mündlichen
Subtraktion eine Rolle:
Æ Analogieaufgaben
Æ Nachbaraufgaben
Æ Halbierungsaufgaben / Fasthalbierungsaufgaben
Æ Schrittweises Rechnen
Æ Umkehraufgaben
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Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1
Heuristische Strategien – Analogieaufgaben:
Heuristische Strategien – Nachbaraufgaben:
7-5=2, also analog 17-5=12.
Die Gültigkeit dieser Analogiebildung kann am Rechenrahmen oder
Rechenfeld gut begründet werden:
Abbildung: heuristische Strategien, Analogieaufgaben (entnommen aus:
Mosel-Göbel, D.; Stein, M. (Hrsg) (2001): Leonardo 1. Frankfurt am Main: Verlag Moritz Diesterweg, S.80)
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7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
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7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen
7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1
Die Lösung der Aufgabe 14-5 erfolgt durch die leicht zu lösende
Aufgabe 15-5. 15-5=10, daher 14-5=9.
Ausgehend von der leichten Aufgabe 15-5 lassen sich somit die
Nachbaraufgaben 14-5, 16-5, 15-4 und 15-6 schnell lösen.
Abbildung: heuristische Strategien, Nachbaraufgaben (entnommen aus:
Eidt, H.; Lammel, R. et al. (2001): Denken und Rechnen 1. Braunschweig: Westermann Schulbuchverlag, S.99)
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Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1
7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1
Heuristische Strategien – Halbierungs- und Fasthalbierungsaufgaben:
Heuristische Strategien – Schrittweises Rechnen:
Ausgehend von Halbierungsaufgaben wie z.B. 12-6 oder 14-7, die von
den Schülern relativ schnell beherrscht werden, lassen sich dann
Fasthalbierungsaufgaben (also spezielle Nachbaraufgaben) schnell
lösen:
Æ 13-6 wird auf die Halbierungsaufgabe 12-6 zurückgeführt, zum
Ergebnis 1 addiert.
Æ Analog können die Aufgaben 11-6 bzw. 12-5 gelöst werden…
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7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen
7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen
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Komplexe Rechnungen beispielsweise mit Zehnerüberschreitung
werden schrittweise gerechnet mit Zehn bzw. Zehnerzahlen als
Bezugspunkt. 14-6 wird also aufgespaltet in14-4=10 (zurück zum vollen
Zehner) und 10-2 (Abziehen vom vollen Zehner).
Abbildung: heuristische Strategien, schrittweises Rechnen (entnommen aus:
Rinkens, H.-D.; Hönisch, K. (Hrsg.) (1998): Welt der Zahl 1. Hannover: Schroedel Verlag, S.86)
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Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1
7.2.1.1) Subtraktion im 100er Raum
Heuristische Strategien – Umkehraufgaben:
Schwierigkeitsstufen im 100erRaum:
Die Schüler sollten schnell erkennen, dass die Subtraktion die
Umkehroperation der Addition ist. Das hat zur Folge, dass die Schüler
neben dem „Kleinen 1+1“ nicht auch noch das „Kleine 1-1“ komplett
auswendig beherrschen müssen.
Aufgaben wie 17-9 können durch Rückgriff auf die Aufgabe 8+9=17 des
„Kleinen 1+1“ gelöst werden – ohne erneute Rechnung erhalten die
Schüler somit das Ergebnis 17-9=8.
17-9=8
Tauschaufgabe
Umkehraufgabe
8+9=17
17-8=9
Umkehraufgabe
Tauschaufgabe
9+8=17
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26
Abbildung: Schülerfehler bei der Subtraktion im 100er Raum (entnommen aus: Roth, S. 146)
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7.2.1.1) Subtraktion im 100er Raum
7.2.1.1) Subtraktion im 100er Raum - Schülerfehler
Heuristische Strategien:
Die Subtraktion ist nach zahlreichen Untersuchungen von Grassmann
für die Schüler schwerer wie die Addition. Das beruht auf
7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen
7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen
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7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen
7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
Die im 20er Raum erarbeiteten heuristischen Strategien haben im
Hunderterraum eine noch größere Bedeutung. Es sind:
(a) Analogieaufgaben
(b) Schrittweises Rechnen
(c) Umkehraufgaben
(d) Nachbaraufgaben / Halbierungsaufgaben (weniger wichtig)
(e) Gleichsinniges Verändern
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Æ Defiziten im Rückwärtszählen und vor allem
Æ eine nicht ausreichende Verdeutlichung des Zusammenhanges
zwischen Addition und Subtraktion
Die meisten Fehler bei der mündlichen Subtraktion treten analog zur
Addition in den beiden Fehlergruppen
Æ Fehler bei der Erfassung des Stellenwertes von Ziffern
Æ Rechenrichtungsfehler
auf.
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7
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
8.1) Halbschriftliches Rechnen
7.2.1.1) Subtraktion im 100er Raum - Schülerfehler
Abbildung: Schülerfehler bei der Subtraktion im 100er Raum (entnommen aus: Roth, S. 169)
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8) Schriftliche Rechenverfahren
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
31
Dazu Oehl: „Halbschriftliche Rechenformen ergeben sich immer dann,
wenn zur Lösung einer Aufgabe zwei oder mehr Rechenschritte
erforderlich sind und wenn diese Teilschritte in irgendeiner Form
schriftlich fixiert werden.“
Abbildung: Halbschriftliches Rechnen
(entnommen aus: Padberg, S. 159)
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8.1) Halbschriftliches Rechnen
8.1.2) Halbschriftliches Rechnen - Subtraktion
Beim halbschriftlichen Rechnen
Strategien des halbschriftlichen Rechnens:
Æ werden im Gegensatz zum schriftlichen Rechnen
(Ziffernrechnen) Besonderheiten der vorliegenden Zahlen
ausgenutzt (meist im Zahlenraum bis 1.000)
Æ werden flexibel passende Rechenstrategien eingesetzt.
Bauer beschreibt das wie folgt:
„Halbschriftliches Rechnen ist ein flexibles, je auf die Besonderheit der
vorliegenden Aufgaben und des Zahlenmaterials bezogenes Rechnen
unter Verwendung geeigneter Strategien. Es werden Zwischenschritte,
Zwischenrechnungen, Zwischenergebnisse fixiert […] sowie
Rechengesetze und Rechenvorteile ausgenutzt.“
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8) Schriftliche Rechenverfahren
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8) Schriftliche Rechenverfahren
7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen
Wann werden Halbschriftliche Rechenverfahren eingesetzt?
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Die halbschriftlichen Rechenverfahren für die Subtraktion, die bei
Schülerlösungen angewendet werden können in fünf Hauptstrategien
unterschieden werden. Zu den vier Strategien, die schon bei der
Addition angewendet werden, also
Æ Schrittweises Rechnen
Æ Stellenweises Rechnen
Æ Hilfsaufgabe
Æ Vereinfachen
tritt die Strategie des Ergänzens auf.
Roland Jordan
8
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8.1.2) Halbschriftliches Rechnen - Subtraktion
Strategien des halbschriftlichen Rechnens:
Strategien des halbschriftlichen Rechnens:
Häufigkeit der Strategien in Schulbüchern:
(1) Schrittweises Rechnen – Symbolische Notationsmöglichkeiten:
Æ Die Strategie des Schrittweisen Rechnens wird in sämtlichen
Schulbüchern thematisiert (ca. 50 % der Schulbücher beschränkt
sich sogar auf diese Strategie).
Æ Die Strategie Hilfsaufgabe wird wesentlich seltener angesprochen
Æ noch seltener die Strategien des Vereinfachen und Schrittweisen
Rechnen.
33
Roland Jordan
8) Schriftliche Rechenverfahren
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
8) Schriftliche Rechenverfahren
8.1.2) Halbschriftliches Rechnen - Subtraktion
-
26
=
58
84
-
26
=
58
84
-
20
=
64
84
-
4
=
80
64
-
6
=
58
80
-
22
=
58
Æ Ebenso bietet sich die Notation mit Hilfe des Rechenstrichs an.
Æ Hintergrund dieser Strategie ist die Regel zum Auflösen vom
„Minusklammern“: 84-26 = 84-(20+6) = (84-20)-6
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8.1.2) Halbschriftliches Rechnen - Subtraktion
8.1.2) Halbschriftliches Rechnen - Subtraktion
Strategien des halbschriftlichen Rechnens:
Strategien des halbschriftlichen Rechnens:
(2) Stellenweises Rechnen:
(3) Hilfsaufgabe:
Diese Strategie wird aufgrund der vielen Schwierigkeiten nur in wenigen
Schulbüchern thematisiert. Siehe dazu folgende Beispiele:
Durch Auf- oder Abrunden des Subtrahenden auf den nächsten vollen
Zehner bzw. Hunderter (alternativ durch eine Analogieaufgabe) kann
eine Differenz mittels einer Hilfsaufgabe bestimmt werden.
(a)
(b)
530
-
240 = 300 -
500
-
200
30
-
40
10
550 - 240 = 300 + 10 =
= 290
310
500 - 200
50
35
84
34
8) Schriftliche Rechenverfahren
8) Schriftliche Rechenverfahren
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
-
Symbolische Notationsformen (Rechenstrich auch denkbar!):
(a) Aufrunden des Subtrahend
84
-
28
=
56
81
-
22
= 59
84
-
30
=
54
81
-
20
= 61
56
61
-
2
= 59
54
40
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36
(b) Abrunden des Minuenden
+
2
=
Roland Jordan
9
37
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8.1.2) Halbschriftliches Rechnen - Subtraktion
8.1.2) Halbschriftliches Rechnen - Subtraktion
Strategien des halbschriftlichen Rechnens:
Strategien des halbschriftlichen Rechnens:
(4) Vereinfachen:
(5) Ergänzen:
Veränderung der Ausgangsaufgabe, so dass das Ergebnis unverändert
bleibt. Die Strategie beruht auf dem Gesetz der Konstanz der Differenz
bei gleichsinniger Veränderung von Subtrahend und Minuend.
Diese Strategie greift auf die Deutung der Subtraktion als Ergänzen
zurück: Vom Subtrahenden wird schrittweise zum Minuenden ergänzt.
Symbolische Notationsform:
84
-
28
= 56
86
-
30
= 56
Æ Durch das gleichsinnige Verändern kann gleichzeitig schon die
schriftliche Subtraktion im Sinne der Erweiterungstechnik vorbereitet
werden.
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8) Schriftliche Rechenverfahren
8) Schriftliche Rechenverfahren
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Symbolische Notationsform:
(a) 530
-
240 = 90 + 200
=
290
330
530
(b)
530
-
240
= 290
240 +
90
= 330
330 +
200
= 530
240 +
290
= 530
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8.1.2) Halbschriftliches Rechnen - Subtraktion
8.1.2) Halbschriftliches Rechnen - Subtraktion
Strategien des halbschriftlichen Rechnens:
Strategien des halbschriftlichen Rechnens - Schulbuchbeispiel:
39
Æ Durch diese Strategie kann die schriftliche Subtraktion im Sinne der
Auffülltechnik vorbereitet werden.
Æ Die Strategie bietet sich vor allem dann an, wenn Minuend und
Subtrahend „dicht“ beieinander liegen.
Æ Dennoch greifen die Kinder bei einer Aufgabe wie 701-698 selten auf
diese Strategie zurück.
Roland Jordan
8) Schriftliche Rechenverfahren
8) Schriftliche Rechenverfahren
(5) Ergänzen:
40
Abbildung: Halbschriftliches Subtrahieren entnommen aus:
Wittmann, E.; Müller, G. (Hrsg.) (2002): Das Zahlenbuch. Mathematik im 2. Schuljahr, S.72)
Roland Jordan
10
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
8.1.2) Halbschriftliches Rechnen - Subtraktion
8.1.8) Aufgaben zum halbschriftlichen Rechnen
Strategien des halbschriftlichen Rechnens - Schulbuchbeispiel:
Berechnen Sie folgende Aufgaben mittels der angegebenen
halbschriftlichen Rechenstrategie im Sechsersystem:
8) Schriftliche Rechenverfahren
8) Schriftliche Rechenverfahren
Aufgabe 2 – Subtraktion
Abbildung: Halbschriftliches Subtrahieren entnommen aus:
Eidt, H.; Lammel, R. et al. (2002): Denken und Rechnen 3. Braunschweig: Westermann Schulbuchverlag, S.41)
41
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42
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8.1.8) Aufgaben zum halbschriftlichen Rechnen
8.1.8) Aufgaben zum halbschriftlichen Rechnen
Aufgabe 2 (a):
Aufgabe 2 (b):
43246- 2346
43246
-
43246
-
46
= 43206
43206
-
206
= 43006
43006
-
106
= 42506
42506
-
2006 = 40506
Stellenweises Rechnen:
8) Schriftliche Rechenverfahren
8) Schriftliche Rechenverfahren
43246 – 2346
55306 – 31426
43256 – 32546
33246 – 25546
34216 – 24536
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
Schrittweises Rechnen:
43
(a) Schrittweises Rechnen:
(b) Stellenweises Rechnen:
(c) Hilfsaufgabe:
(d) Vereinfachen:
(e) Ergänzen:
2346 = 40506
Roland Jordan
44
55306- 31426
55306
-
31426
=
20006+4006-106-26
50006
-
30006
=
20006
5006
-
1006
=
4006
306
-
406
=
-106
06
-
26
=
-26
= 24006-106-26 = 23506-26 = 23446
Roland Jordan
11
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
8.1.8) Aufgaben zum halbschriftlichen Rechnen
8.1.8) Aufgaben zum halbschriftlichen Rechnen
Aufgabe 2 (c):
Aufgabe 2 (e):
43256- 32546
Ergänzen:
43256
-
32546 =
10316
43256
-
33006 =
10256
10256
+
Aufgabe 2 (d):
Vereinfachen:
26
=
8) Schriftliche Rechenverfahren
Hilfsaufgabe:
10316
33246- 25546
33246
-
25546 =
3306
33306
-
30006 =
3306
45
Roland Jordan
8) Schriftliche Rechenverfahren
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
47
34216- 24536
34216
-
24536
+
24536 = 5246
46
= 25016
25016
+
206
= 25216
25216
+
5006
= 34216
24536
+
5246
= 34216
46
Roland Jordan
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
8.2) Schriftliches Rechnen
8.2) Schriftliches Rechnen
Während beim mündlichen und halbschriftlichen Rechnen mit Zahlen
gerechnet wird,
Normalverfahren des schriftlichen Rechnens:
wird beim schriftlichen Rechnen stellengerecht mit den
betreffenden Ziffern gerechnet.
Die Ergebnisse werden nach genau festgelegten Regeln ziffernweise
ermittelt. Die Gesamtrechnung wird in einzelne, leichte Teilrechnungen
zerlegt.
Abbildung: Schriftliche Addition (entnommen aus: Das Zahlenbuch 3, S.61)
Roland Jordan
Grundsätzlich gibt es auch bei den schriftlichen Rechenverfahren
verschiedene Rechenwege.
8) Schriftliche Rechenverfahren
8) Schriftliche Rechenverfahren
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
48
Greift man jedoch je Rechenoperation jeweils ein bestimmtes
schriftliches Rechenverfahren heraus und normiert hier die Verfahrensschritte sowie ggf. zusätzlich die Notationsform und sogar die
Sprechweise , dann nennen wir dieses ein
Normalverfahren des schriftlichen Rechnens.
Roland Jordan
12
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
8.2) Schriftliches Rechnen
8.2) Schriftliches Rechnen – Stärken
Schriftliches Rechnen als Algorithmus:
Stärken des schriftlichen Rechnens:
Ein Algorithmus ist „eine endliche Abfolge von eindeutig bestimmten
Elementaranweisungen, die den Lösungsweg eines Problems exakt
beschreiben,“ und die schrittweise garantiert zur richtigen Lösung führt.
Bemerkung:
Die Begriffe schriftliches Rechnen, Algorithmus und Normalverfahren
hängen eng zusammen, sie sind jedoch keine Synonyme.
Æ breite Einsetzbarkeit:
8) Schriftliche Rechenverfahren
8) Schriftliche Rechenverfahren
Für das schriftliche Rechnen ist neben dem Ziffernweisen Rechnen der
Einsatz eines Algorithmus charakteristisch.
Æ Wenn ein Verfahren für eine Rechenart beherrscht wird, kann
es für beliebig große Zahlen eingesetzt werden.
Æ Förderung in die Einsicht des Aufbaus des dezimalen Stellenwertsystems
Æ Vereinfachung des Rechnen mit großen Zahlen
Æ Kenntnis des Kleinen 1+1 und Kleinen 1x1 reicht aus
Æ Synergieeffekte im Zusammenhang mit ähnlichen halbschriftlichen
Rechenverfahren (Stellenweises Rechnen)
Æ Hohe Rechensicherheit / weniger Fehler aufgrund der
schematischen und einprägsamen Abfolge der Einzelschritte
49
Roland Jordan
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
50
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
8.2) Schriftliches Rechnen – Stärken
8.2) Schriftliches Rechnen – Schwächen
Stärken des schriftlichen Rechnens:
Schwächen des schriftlichen Rechnens:
Æ Zerlegung der Zahlen in Stellenwerte
Æ Durch das schriftliche Rechnen mit natürlichen Zahlen, werden die
Voraussetzungen für das spätere Rechnen in den umfassenden
Zahlbereichen der rationalen und reellen Zahlen auf der Grundlage
von Dezimalbrüchen gelegt
Æ Algorithmen bilden eine der zentralen Leitideen des Unterrichts.
Schüler sehen schon im Grundschulalter, dass komplexe Rechenverfahren algorithmisiert werden können
Roland Jordan
8) Schriftliche Rechenverfahren
8) Schriftliche Rechenverfahren
Æ Leichte Vergleichbarkeit von Schülerlösungen
51
Roland Jordan
52
Æ Zahlen werden nicht mehr als Ganzes gesehen
Æ Schwerwiegende Fehler (Größenordnung des Ergebnisses)
werden von den Schülern nicht mehr erkannt
Æ Ergebnisse werden „blind“ akzeptiert
Æ Schriftliche Rechenverfahren verführen dazu, sie ständig
anzuwenden, auch wenn andere Verfahren schneller sind
Æ Schriftliche Verfahren können rein mechanisch ohne Einsicht in die
Zusammenhänge korrekt durchgeführt werden.
Roland Jordan
13
8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion
8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion
Im Gegensatz zur schriftlichen Addition gibt es bei der schriftlichen
Subtraktion viele verschiedene, stark unterschiedliche Verfahren.
Überblick über die Subtraktionsverfahren:
(a)
(b)
16
-
7
= 9
8
13
-
5
= 8
2
5
-
3
= 2
16
-
7
=
9
12
-
4
=
4
-
2
=
(d)
7
+
9
=
16
7
+
9
= 16
4
+
8
=
12
5
+
8
= 13
2
+
2
=
4
3
+
2
= 5
Roland Jordan
8) Schriftliche Rechenverfahren
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
Die Subtraktionsverfahren lassen sich anhand von zwei Gesichtspunkten
typisieren:
8) Schriftliche Rechenverfahren
Beispiel:
Die Aufgabe 536-247=289 wird mit folgenden Schülerformulierungen
gelöst:
(c)
53
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
(1) Art der Berechnung der Differenz:
Æ Abziehen (Wegnehmen), also in Minussprachweise, oder durch
Æ Ergänzen (Hinzufügen), also in Plussprechweise.
(2) Art der Durchführung des Übertrags:
Æ Entbündeln (sogenannte Entbündelungs- oder Borgetechnik)
Æ gleichsinniges Verändern des Minuenden und Subtrahenden
(sogenannte Erweiterungstechnik)
Æ Auffüllen des Subtrahenden zum Minuenden
(sogenannte Auffülltechnik)
54
Roland Jordan
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion
8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion
Überblick über die Subtraktionsverfahren:
Übertragstechniken – Entbündelungstechnik (Borgetechnik):
Durch Kombination des Abziehens und Ergänzens mit den drei
Übertragstechniken entstehen fünf verschiedene Subtraktionsverfahren
(nicht sechs, da sich das Auffüllen nur mit dem Ergänzen kombinieren
lässt):
Entbündeln
Erweitern
Auffüllen
Abziehen
(a)
(b)
–
Ergänzen
(c)
(d)
(e)
8) Schriftliche Rechenverfahren
8) Schriftliche Rechenverfahren
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
Bemerkung:
Alle fünf Verfahren werden im Unterricht eingesetzt!
55
Roland Jordan
56
Abbildung: Übertragstechnik - Entbündelungstechnik (Borgen) (entnommen aus: Roth, S. 242)
Roland Jordan
14
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion
8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion
Übertragstechniken – Entbündelungstechnik (Borgetechnik):
Vorteile der Entbündelungstechnik mit Abziehen:
Sprechweise:
Æ Die Begründung des Verfahrens ist für die Schüler leicht
verständlich, da das Entbündeln eng mit dem Umbündeln bei der
Addition zusammenhängt.
(a) 3 Einer – 5 Einer geht nicht.
Ich entbündele einen Zehner. Das sind 10 Einer.
13 Einer – 5 Einer = 8 Einer.
8) Schriftliche Rechenverfahren
8) Schriftliche Rechenverfahren
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
(b) 5 Zehner – 2 Zehner = 3 Zehner.
(c) 2 Hunderter – 1 Hunderter = 1 Hunderter.
Bemerkung:
Die Entbündelungstechnik wird in der Regel mit dem Abziehen
kombiniert (Verfahren (a)).
57
Roland Jordan
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
58
Æ Die Entbündelungstechnik lässt sich enaktiv und ikonisch gut
veranschaulichen.
Æ Nach geeigneten Vorarbeiten können die Schüler die
Entbündelungstechnik selbst entdecken.
Æ Die Entbündelungstechnik lässt sich durch halbschriftliches Rechnen
vorbereiten.
Æ Umformungen werden ausschließlich vom Minuenden
vorgenommen. Der Zahlwert bleibt jedoch auch dort unverändert.
Roland Jordan
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion
8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion
Nachteile der Entbündelungstechnik mit Abziehen:
Schulbuchbeispiele der Entbündelungstechnik (Borgen) mit Abziehen:
59
Æ Problemlösung: Zerlegung der Aufgabe in mehrere Aufgaben
Æ Die Lösung von Aufgaben mit mehreren (Zwischen)-Nullen ist relativ
kompliziert – und daher fehleranfällig – und muss als Sonderfall
ausführlich behandelt werden.
Æ Beispiel: 400-245 (vgl. Schulbuchbeispiel)
Roland Jordan
8) Schriftliche Rechenverfahren
8) Schriftliche Rechenverfahren
Æ Subtraktionsaufgaben mit mehreren Subtrahenden erfordern bei der
Lösung in einer Rechnung häufiger mehrfache Entbündelungen.
60
Abbildung: Entbündelungstechnik (Borgen) mit Abziehen (entnommen aus: Denken und Rechnen 3. S.74
Roland Jordan
15
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
Schulbuchbeispiele der Entbündelungstechnik (Borgen) mit Abziehen:
Übertragstechniken – Erweiterungstechnik:
61
8) Schriftliche Rechenverfahren
8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion
8) Schriftliche Rechenverfahren
8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion
Abbildung: Entbündelungstechnik (Borgen) mit Abziehen (entnommen aus: Denken und Rechnen 3. S.75
Roland Jordan
Abbildung: Übertragstechnik - Erweiterungstechnik (entnommen aus: Roth, S. 241)
Roland Jordan
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion
8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion
Übertragstechniken – Erweiterungstechnik:
Übertragstechniken – Erweiterungstechnik:
Sprechweise:
Der Erweiterungstechnik liegt das Gesetz von der Konstanz der
Differenz zugrunde:
(a) 5+=3 geht nicht.
Ich „erweitere“ oben mit zehn Einern
und unten mit einem Zehner.
5 Einer + 8 Einer = 13 Einer.
8) Schriftliche Rechenverfahren
8) Schriftliche Rechenverfahren
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
62
(b) 3 Zehner + 3 Zehner = 6 Zehner.
(c) 1 Hunderter + 1 Hunderter = 2 Hunderter.
Ist in einer Stellenwertspalte ein Übertrag erforderlich,
so werden hier also Minuend und Subtrahend um den
gleichen Betrag vergrößert („erweitert“), wodurch die
Differenz unverändert bleibt.
Bemerkung:
Die Erweiterungstechnik kann sowohl mit dem Abziehen als auch mit
dem Ergänzen kombiniert werden. In Deutschland wird sie in der Regel
mit dem Ergänzen kombiniert.
63
Roland Jordan
64
Roland Jordan
16
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion
8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion
Vorteile der Erweiterungstechnik kombiniert mit dem Ergänzen:
Nachteile der Erweiterungstechnik kombiniert mit dem Ergänzen:
Æ Diese Technik kann gut enaktiv und ikonisch veranschaulicht werden
Æ Ein wirkliches Verständnis dieser Technik kann kaum erreicht
werden. Das anspruchsvolle Gesetz von der Konstanz der Differenz
wird benötigt.
Æ Aufgaben mit Nullen bilden keinen Sonderfall
Æ Aufgaben mit mehreren Subtrahenden lassen sich ohne größere
Probleme lösen
8) Schriftliche Rechenverfahren
8) Schriftliche Rechenverfahren
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
Æ Eine selbstständige Entdeckung des Ableitungsweges durch die
Schüler ist kaum möglich.
Æ Die Endform der Kurzschreibweise lässt die entscheidende Idee des
„Erweiterns“ nicht mehr sichtbar werden.
Æ Durch die Abänderung im Minuenden und Subtrahenden wird die
ursprüngliche Aufgabe stark verändert.
Æ Die Sprechweise beim Ergänzen ist problematisch.
65
Roland Jordan
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
Roland Jordan
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion
Schulbuchbeispiel der Erweiterungstechnik mit dem Ergänzen:
Schulbuchbeispiel der Erweiterungstechnik mit dem Ergänzen:
8) Schriftliche Rechenverfahren
8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion
8) Schriftliche Rechenverfahren
67
66
Abbildung: Erweiterungstechnik mit Ergänzen (entnommen aus: Das Mathebuch 3, S.64)
Roland Jordan
68
Abbildung: Erweiterungstechnik mit Ergänzen (entnommen aus: Das Mathebuch 3, S.64)
Roland Jordan
17
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
Schulbuchbeispiel der Erweiterungstechnik mit dem Ergänzen:
Übertragstechniken – Auffülltechnik:
69
8) Schriftliche Rechenverfahren
8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion
8) Schriftliche Rechenverfahren
8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion
Abbildung: Erweiterungstechnik mit Ergänzen (entnommen aus: Das Mathebuch 3, S.64)
Roland Jordan
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
70
Abbildung: Übertragstechnik - Auffülltechnik (entnommen aus: Roth, S. 240)
Roland Jordan
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion
8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion
Übertragstechniken – Auffülltechnik:
Vorteile der Auffülltechnik:
71
(a) 5 Einer + 8 Einer = 13 Einer.
Das sind die geforderten 3 Einer und ein Zehner
für die nächste Spalte.
8) Schriftliche Rechenverfahren
8) Schriftliche Rechenverfahren
Sprechweise:
(b) 3 Zehner + 3 Zehner = 6 Zehner.
(c) 1 Hunderter + 1 Hunderter = 2 Hunderter.
Bemerkungen:
(i) Bei dieser Technik wird der Minuend nicht verändert!
(ii) Die Auffülltechnik kann nur mit dem Ergänzen kombiniert
werden!
Roland Jordan
72
Æ Die Grundidee des Auffüllens ist naheliegend, nämlich das
schrittweise Auffüllen vom Subtrahend zum Minuend.
Æ Minuend und Subtrahend bleiben bei dieser Technik unverändert.
Æ Aufgaben mit Zwischennullen im Minuend sind besonders leicht zu
lösen.
Æ Subtraktionsaufgaben mit mehreren Subtrahenden lassen sich ohne
große Probleme lösen
Roland Jordan
18
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion
8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion
Nachteile der Auffülltechnik:
Schulbuchbeispiel der Auffülltechnik:
Æ Das Verfahren ist für die Schüler schwer zu verstehen: Zunächst
Auffüllen zur nächsthöheren Einheit, dann Umbündeln, danach
weiteres Auffüllen bis zur Zielzahl.
Æ Ikonische und enaktive Veranschaulichung ist problematisch, da das
Ergebnis der Aufgabe nach einer Handlung nicht sichtbar ist.
Æ Die endgültige Sprechweise lässt den Auffüllvorgang nicht sichtbar
werden, die Sprechweise ist problematisch.
73
Roland Jordan
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
74
Abbildung: Auffülltechnik (entnommen aus: Zahlenbuch 3, S. 71)
8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion
Schulbuchbeispiel der Auffülltechnik:
Fehler bei der schriftlichen Subtraktion:
8) Schriftliche Rechenverfahren
8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion
Abbildung: Auffülltechnik mit Ergänzen (entnommen aus: Leonardo 3, S. 99)
Roland Jordan
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
8) Schriftliche Rechenverfahren
75
8) Schriftliche Rechenverfahren
8) Schriftliche Rechenverfahren
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
Roland Jordan
76
Bei den empirischen Untersuchungen zu den Fehlertypen bei der
schriftlichen Subtraktion wird in systematische und typische Fehler
unterschieden:
(a) Ein Fehler wird bei einem bestimmten Schüler als systematischer
Fehler bezeichnet, wenn dieser Schüler den betreffenden Fehler bei
mindestens der Hälfte aller in Frage kommender Aufgaben macht.
(b) In einer empirischen Untersuchung wird ein Fehler als typischer
Fehler bezeichnet, wenn dieser Fehler in der untersuchten Stichprobe
insgesamt relativ häufig unterläuft.
Roland Jordan
19
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
Systematische Fehler bei der Erweiterungstechnik mit Ergänzen:
Systematische Fehler bei der Auffülltechnik:
Folgende Fehler treten am häufigsten auf:
Folgende Fehler treten am häufigsten auf:
(1) Spaltenweise Unterschiedsbildung
(2) Generell kein Übertrag
(3) Kein Übertrag in die leere Stelle
(4) Übertrag bei Subtraktion zweier gleicher Ziffern
(1)
(2)
5 4 3 7
-
2 0 9 1
(3)
5 3 4
-
3 4 6 6
3 7 5
2 6 9
(4)
7 8 6
-
9 2
7 9 4
-
8) Schriftliche Rechenverfahren
(2) Kein Übertrag zur Neun
(3) Kein Übertrag zur Null
(4) Kein Übertrag in die leere Stelle
(1)
2 0 2 1
Roland Jordan
(2)
7 0 3
2 7 1 7
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
-
78
4 3 8
(3)
1 5 0 3
-
3 4 5
3 9 6
1 1 1 7
(4)
5 4 3 7
-
2 0 9 1
3 4 4 6
7 8 6
-
9 2
7 9 4
Roland Jordan
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion
8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion
Typische Fehler bei der Erweiterungstechnik mit Ergänzen:
Typische Fehler bei der Auffülltechnik:
Nach einer Untersuchung von Kühnhold und Padberg treten bei der
Erweiterungstechnik folgende typische Fehler am häufigsten auf:
Nach einer Untersuchung von Henke treten bei der Auffülltechnik
folgende typische Fehler am häufigsten auf:
(1) Übertragsfehler
(2) Rechenrichtungsfehler
(3) Perseverationsfehler
(4) Fehler mit der Null
(5) 1+1-Fehler
(6) Falsche Rechenoperation (Addition statt Subtraktion)
79
(1) Keine Ergänzung zur Null im Minuenden
5 7 3 8
8) Schriftliche Rechenverfahren
77
8) Schriftliche Rechenverfahren
8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion
8) Schriftliche Rechenverfahren
8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion
(1) Übertragsfehler
(2) 1+1-Fehler
(3) Fehler mit der Null
(4) Rechenrichtungsfehler
(5) Fehler durch unterschiedliche Stellenanzahl
(6) Perseverationsfehler
Roland Jordan
80
Roland Jordan
20
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion
8.2.3) Aufgaben zum schriftlichen Rechnen
Einflussfaktoren auf Fehler bei der schriftlichen Subtraktion – Überblick:
Berechnen Sie folgende Aufgaben zur Subtraktion mittels der
angegebenen Übertragstechnik im Sechsersystem:
81
8) Schriftliche Rechenverfahren
8) Schriftliche Rechenverfahren
Aufgabe zur schriftlichen Subtraktion
Abbildung: Einflussfaktoren auf Fehler bei der schriftlichen Subtraktion (entnommen aus: Roth, S. 254)
Roland Jordan
82
(a) Borgetechnik bzw. Entbündelungstechnik:
(b) Borgetechnik bzw. Entbündelungstechnik:
(c) Erweiterungstechnik:
(d) Auffülltechnik:
243526 – 124456
3500126 – 2234146
33626 – 24546
421356 – 334436
Roland Jordan
Didaktik der Arithmetik in der Grundschule
Berechnen Sie folgende Aufgaben zur Subtraktion mittels der
angegebenen Übertragstechnik im Sechsersystem:
Aufgabe zur schriftlichen Subtraktion
8) Schriftliche Rechenverfahren
(a) Borgetechnik bzw. Entbündelungstechnik:
(b) Borgetechnik bzw. Entbündelungstechnik:
(c) Erweiterungstechnik:
(d) Auffülltechnik:
83
243526 – 124456
3500126 – 2234146
33426 – 24546
421356 – 334436
+
0
1
2
3
4
5
10
0
0
1
2
3
4
5
10
1
1
2
3
4
5
10 11
2
2
3
4
5
10 11 12
3
3
4
5
10 11 12 13
4
4
5
10 11 12 13 14
5
5
10 11 12 13 14 15
10 10 11 12 13 14 15 20
Roland Jordan
21

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