Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 7.2) Subtraktion 7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen Didaktik der Arithmetik – Subtraktionsverfahren Vorlesung: Lernen und Anwenden von Arithmetik Universität Münster Vorkenntnisse von Schulanfängern: Im Vergleich zur Addition sind die Vorkenntnisse der Schulanfänger niedriger als vergleichbare Aufgaben zur Addition. Trotzdem lösen fast 50 % aller Schulanfänger die folgende Subtraktionsaufgabe richtig: „Ein Kind hat 10 € im Portmonee. Es kauft eine Brille für 8 €. Wie viel € bleiben übrig?“ Die Untersuchungen zeigen jedoch auch, dass die Vorkenntnisse von Klasse zu Klasse variieren, weshalb jeder Lehrer schnell die Kenntnisse bezüglich der Addition und Subtraktion ermitteln muss und somit den Unterricht in der Anfangsphase differenziert gestalten muss. 2 3 Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 7.2) Subtraktion 7.2) Subtraktion Lösungswege von Schulanfängern - Zählstrategien: Lösungswege von Schulanfängern - Zählstrategien: Wenn bei der Lösung von Subtraktionsaufgaben Zählstrategien angewendet werden können, unterscheiden wir in 2 Typen: (a) Subtraktion durch Abziehen (oder Wegnehmen): Anna hat 8 Bonbons. Sie gibt ihrer Freundin Sophie 5 Bonbons. Wie viele Bonbons bleiben ihr noch? Symbolische Form: 8-5= (b) Subtraktion durch Ergänzen: Sophie hat 5 Bonbons. Wie viele Bonbons muss Sophie bekommen, um insgesamt 8 Bonbons zu haben? Symbolische Form: 5+ =8 Roland Jordan 7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen 7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen Didaktik der Arithmetik in der Grundschule Roland Jordan 4 Welcher Lösungsweg zu wählen ist, ist stark kontextabhängig und hängt zudem von den gegebenen Zahlen ab: So ist 41-3 das Abziehen, bei 41-38 das Ergänzen sinnvoll. Bei den Zählstrategien wird weiter unterschieden in: Æ Zählstrategien mit Materialeinsatz Æ Reine Zählstrategien Roland Jordan 1 Didaktik der Arithmetik in der Grundschule Didaktik der Arithmetik in der Grundschule Zählstrategien mit Materialeinsatz (am Beispiel 8-5= bzw. 5+ =8): (a) Wegnehmen: Es werden insgesamt 8 Plättchen etc. hingelegt. Dann 5 Plättchen entfernt und die verbliebenen Plättchen werden dann ausgezählt, um die Lösung der Subtraktionsaufgabe zu erhalten: 1.) 8 Elemente hinlegen: 2.) 5 Elemente wegnehmen: 3.) Lösung durch Auszählen: ○○○○○○○○ ○○○ ○○○ ○○○○○ Statt Plättchen oder anderes Material zu verwenden, können auch die Finger als Elemente benutzt werden! 5 Roland Jordan 7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 7 7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen 7.2) Subtraktion Zählstrategien mit Materialeinsatz (am Beispiel 8-5= bzw. 5+ =8): (b) Ergänzen: Es werden zunächst 5 Plättchen etc. hingelegt. Dann werden weitere Plättchen ergänzt, bis insgesamt 8 Plättchen liegen. Die Anzahl der hinzugefügten Plättchen liefert die Lösung der Subtraktionsaufgabe: 1.) 5 Elemente hinlegen: ○○○○○ 2.) Elemente hinzulegen, bis 8 Elemente liegen: ○○○○○●●● 3.) Lösung durch Auszählen ●●● der hinzugefügten Elemente: 6 Roland Jordan Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 7.2) Subtraktion 7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1 Reine Zählstrategien ohne Materialeinsatz (am Beispiel 8-5= ): Unterschiedliche Subtraktionsaufgabentypen zu (7-3=4): (a) Rückwärtszählen (bis zu einer gegebenen Zahl): Beispiel: 7,6,5. „Ich zähle bis zur 5 um 3 Schritte zurück, also 8-5=3 (b) Rückwärtszählen (um eine gegebene Zahl von Schritten): Beispiel: 7 (1 weniger), 6 (2 weniger), 5 (3 weniger), 4 (4 weniger), 3 (5 weniger), also 8-5=3. (c) Vorwärtszählen: Beispiel: 6 (1 mehr), 7 (2 mehr), 8 (3 mehr), also 8-5=3. Problem: Bei allen 3 Strategien, weichen die Ergebnisse oft um 1 nach oben oder unten ab, da die Eckzahlen 8 bzw. 5 mitgezählt werden!!! Roland Jordan 7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen 7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen 7.2) Subtraktion 8 (a) Anne hat 7 Bonbons. Sie gibt ihrer Freundin 3 Bonbons. Wie viele Bonbons bleiben ihr noch? (b) Anne hat einige Bonbons. Sie gibt hiervon ihrer Freundin 3 Bonbons. Sie behält noch 4 Bonbons übrig. Wie viele Bonbons hatte Anne ursprünglich? (c) Anne hat 7 Bonbons. Sie gibt hiervon ihrer Freundin einige Bonbons. Danach hat sie noch 4 Bonbons. Wie viele Bonbons hat Anne ihrer Freundin gegeben? (d) Anne hat 3 Bonbons. Sie bekommt von ihrer Freundin einige Bonbons. Danach hat sie 7 Bonbons. Wie viele Bonbons hat sie bekommen? (e) Anne hat 7 Bonbons. Ihre Freundin hat 3 Bonbons. Wie viele Bonbons hat die Freundin weniger? (f) Anne hat insgesamt 7 Bonbons und zwar 3 Karamellbonbons und einige Pfefferminzbonbons. Wie viele Pfefferminzbonbons hat sie? Roland Jordan 2 Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1 Klassifikation von Subtraktionsaufgabentypen zu (7-3=4): Studie von Elsbeth Stern1: Die Tatsache dass alle Aufgabentypen auf die selbe Subtraktionsaufgabe führen bereitet den Schülern einige Schwierigkeiten. Je nach Aufgabenstellung können folgende Subtraktionshandlungen durchgeführt werden: Æ Abziehen (a), (b), (c) (dynamisch) Æ Ergänzen (d) (dynamisch) Æ Vergleichen (e) (statisch) Æ Vereinigen (f) (statisch) 9 Roland Jordan 7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 11 7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen 7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1 10 Elsbeth Stern kategorisiert in ihrer Abhandlung zum Thema „Warum werden Kapitänsaufgaben "gelöst"?“ solche Aufgaben in 3 Aufgabentypen mit insgesamt 12 Unterkategorien. Die Aufgabentypen sind: Æ Kombinationsaufgaben Æ Austauschaufgaben Æ Vergleichsaufgaben Bei den Tests zeigte sich, dass vor allem Vergleichsaufgaben mit unbekannter Referenzmenge für deutsche Erstklässler schwer zu lösen sind (vgl. nächste Seite). 1Stern, Elsbeth, 1992: Warum werden Kapitänsaufgaben "gelöst"? Das Verstehen von Textaufgaben aus psychologischer Sicht, In: Der Mathematikunterricht, Jahrgang 38 (1992), Heft 5: Psychologie und Mathematik II, S. 7-29. Roland Jordan Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1 7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1 Studie von Elsbeth Stern1: Kombinationsaufgabe, Typ CB2 nach Stern: Darstellungsformen für die Subtraktion: Maria und Hans haben zusammen 8 Murmeln. Maria hat 7 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Hans? (Lösungsquote deutscher Erstklässler: 55 %) Austauschaufgabe, Typ CH4 nach Stern: Maria hatte 8 Murmeln. Dann gab sie einige Hans. Jetzt hat Maria 3 Murmeln. Wie viele Murmeln hat sie Hans gegeben? (Lösungsquote deutscher Erstklässler: 49 %) Vergleichsaufgaben, Typ CP6 nach Stern: Maria hat 4 Murmeln. Sie hat 3 Murmeln weniger als Hans. Wie viele Murmeln hat Hans? (Lösungsquote deutscher Erstklässler: 16 %) 1 Stern, Elsbeth, 1992: Warum werden Kapitänsaufgaben "gelöst"? Das Verstehen von Textaufgaben aus psychologischer Sicht, In: Der Mathematikunterricht, Jahrgang 38 (1992), Heft 5: Psychologie und Mathematik II, S. 7-29. Roland Jordan 7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen 7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 12 Wie schon beim Erwerb des „Kleinen 1+1“ sollen die Schülerinnen zunächst genügend Erfahrungen mit der Subtraktion im Zahlenraum von 10 bis 12 sammeln, bevor dann heuristische Strategien angewendet werden können. Das erfolgt wie auch bei der Addition durch Übungen mit Æ enaktiven, Æ ikonischen und Æ symbolischen Darstellungsformen. Roland Jordan 3 Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1 7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1 Enaktive Darstellungsformen für die Subtraktion: Ikonische Darstellungsformen für die Subtraktion: Man kann von einer vorgegebenen Anzahl von Gegenständen einige entfernen, oder auch von einem gegebenen Geldbetrag etwas kaufen. Bei solchen Handlungen wird die Subtraktion anschaulich in Handlungen "übersetzt". Derartige Handlungen sind gerade für jüngere Kinder sehr wichtig, da diese den mathematischen "Gegenstand" im eigentlichen Sinne des Wortes "begreifen" müssen. 13 Roland Jordan 15 Bei der ikonischen Darstellung handelt es sich um Abbildungen, die den Sachverhalt - hier die Subtraktion - veranschaulichen sollen. Da Schulbücher unvermeidlich auf bildliche Darstellungen zurückgreifen müssen, ist dieser Aspekt besonders bedeutsam. Das Problem dieser Veranschaulichung besteht darin, dass die Subtraktion in unserer Vorstellung eine Handlungsfolge darstellt, Abbildungen aber immer nur Zustände wiedergeben. Die verschiedenen Formen der Darstellung lassen sich trennen in Æ einphasige, Æ zweiphasige sowie Æ dreiphasige. 14 Roland Jordan Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1 7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1 Ikonische Darstellungsformen für die Subtraktion: Ikonische Darstellungsformen für die Subtraktion: 7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen 7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen 7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen Didaktik der Arithmetik in der Grundschule Beispiel für eine einphasige ikonische Darstellung: Abbildung: einphasige ikonische Darstellung der Subtraktion (entnommen aus: Leininger, P.; Ernst, G. et al. (1999): Nussknacker 1. Leipzig, Stuttgart, Düsseldorf: Ernst Klett Grundschulverlag, S.3) Roland Jordan 16 Beispiel für eine zweiphasige ikonische Darstellung: Abbildung: zweiphasige ikonische Darstellung der Subtraktion (entnommen aus: Eidt, H.; Lammel, R. et al. (2001): Denken und Rechnen 1. Braunschweig: Westermann Schulbuchverlag, S.52) Roland Jordan 4 Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1 7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1 Ikonische Darstellungsformen für die Subtraktion: Symbolische Darstellungsformen für die Subtraktion: 7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen 7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen Didaktik der Arithmetik in der Grundschule Beispiel für eine dreiphasige ikonische Darstellung: Abbildung: dreiphasige ikonische Darstellung der Subtraktion (entnommen aus: Grassmann, M. (Hrsg.) (2002): Primo 1 - Mathematik Teil A. Hannover : Schroedel Verlag, S.54) 17 Roland Jordan 19 Dabei können die Platzhalter bei Subtraktionsaufgaben an drei Stellen stehen: Æa-b= ÆaÆ =b -a=b 18 Roland Jordan Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1 7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1 Beispiel für die symbolische Darstellungsform für die Subtraktion: Heuristische Strategien: 7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen 7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen Didaktik der Arithmetik in der Grundschule Bei der symbolischen Darstellung der Subtraktion schreibt man Terme auf, etwa 8 - 7, oder schreibt Gleichungen wie 14 - = 6. Abbildung: symbolische Darstellungsform Typ a - b = (entnommen aus: Eidt, H.; Lammel, R. et al. (2001): Denken und Rechnen 1. Braunschweig: Westermann Schulbuchverlag, S.101 ) Abbildung: symbolische Darstellungsform Typ a - = b (entnommen aus: Grassmann, M. (Hrsg.) (2002): Primo 1 - Mathematik Teil A. Hannover: Schroedel Verlag, S. 54) Abbildung: symbolische Darstellungsform Typ -a = b (entnommen aus: Grassmann, M. (Hrsg.) (2002): Primo 1 - Mathematik Teil A. Hannover: Schroedel Verlag, S. 44) Roland Jordan 20 Nachdem die Schüler durch die verschiedenen Darstellungsformen einen sicher Subtraktionsaufgaben im 10-12er Zahlenraum durchführen können, sollten schnell heuristische Verfahren in den Vordergrund gestellt werden. Folgende heuristische Strategien spielen bei der mündlichen Subtraktion eine Rolle: Æ Analogieaufgaben Æ Nachbaraufgaben Æ Halbierungsaufgaben / Fasthalbierungsaufgaben Æ Schrittweises Rechnen Æ Umkehraufgaben Roland Jordan 5 21 Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1 Heuristische Strategien – Analogieaufgaben: Heuristische Strategien – Nachbaraufgaben: 7-5=2, also analog 17-5=12. Die Gültigkeit dieser Analogiebildung kann am Rechenrahmen oder Rechenfeld gut begründet werden: Abbildung: heuristische Strategien, Analogieaufgaben (entnommen aus: Mosel-Göbel, D.; Stein, M. (Hrsg) (2001): Leonardo 1. Frankfurt am Main: Verlag Moritz Diesterweg, S.80) Roland Jordan 7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 23 7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen 7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1 Die Lösung der Aufgabe 14-5 erfolgt durch die leicht zu lösende Aufgabe 15-5. 15-5=10, daher 14-5=9. Ausgehend von der leichten Aufgabe 15-5 lassen sich somit die Nachbaraufgaben 14-5, 16-5, 15-4 und 15-6 schnell lösen. Abbildung: heuristische Strategien, Nachbaraufgaben (entnommen aus: Eidt, H.; Lammel, R. et al. (2001): Denken und Rechnen 1. Braunschweig: Westermann Schulbuchverlag, S.99) 22 Roland Jordan Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1 7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1 Heuristische Strategien – Halbierungs- und Fasthalbierungsaufgaben: Heuristische Strategien – Schrittweises Rechnen: Ausgehend von Halbierungsaufgaben wie z.B. 12-6 oder 14-7, die von den Schülern relativ schnell beherrscht werden, lassen sich dann Fasthalbierungsaufgaben (also spezielle Nachbaraufgaben) schnell lösen: Æ 13-6 wird auf die Halbierungsaufgabe 12-6 zurückgeführt, zum Ergebnis 1 addiert. Æ Analog können die Aufgaben 11-6 bzw. 12-5 gelöst werden… Roland Jordan 7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen 7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 24 Komplexe Rechnungen beispielsweise mit Zehnerüberschreitung werden schrittweise gerechnet mit Zehn bzw. Zehnerzahlen als Bezugspunkt. 14-6 wird also aufgespaltet in14-4=10 (zurück zum vollen Zehner) und 10-2 (Abziehen vom vollen Zehner). Abbildung: heuristische Strategien, schrittweises Rechnen (entnommen aus: Rinkens, H.-D.; Hönisch, K. (Hrsg.) (1998): Welt der Zahl 1. Hannover: Schroedel Verlag, S.86) Roland Jordan 6 Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 7.2.1.1) Subtraktion im 20er Raum – Kleines 1-1 7.2.1.1) Subtraktion im 100er Raum Heuristische Strategien – Umkehraufgaben: Schwierigkeitsstufen im 100erRaum: Die Schüler sollten schnell erkennen, dass die Subtraktion die Umkehroperation der Addition ist. Das hat zur Folge, dass die Schüler neben dem „Kleinen 1+1“ nicht auch noch das „Kleine 1-1“ komplett auswendig beherrschen müssen. Aufgaben wie 17-9 können durch Rückgriff auf die Aufgabe 8+9=17 des „Kleinen 1+1“ gelöst werden – ohne erneute Rechnung erhalten die Schüler somit das Ergebnis 17-9=8. 17-9=8 Tauschaufgabe Umkehraufgabe 8+9=17 17-8=9 Umkehraufgabe Tauschaufgabe 9+8=17 25 Roland Jordan 27 26 Abbildung: Schülerfehler bei der Subtraktion im 100er Raum (entnommen aus: Roth, S. 146) Roland Jordan Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 7.2.1.1) Subtraktion im 100er Raum 7.2.1.1) Subtraktion im 100er Raum - Schülerfehler Heuristische Strategien: Die Subtraktion ist nach zahlreichen Untersuchungen von Grassmann für die Schüler schwerer wie die Addition. Das beruht auf 7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen 7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen 7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen Didaktik der Arithmetik in der Grundschule Die im 20er Raum erarbeiteten heuristischen Strategien haben im Hunderterraum eine noch größere Bedeutung. Es sind: (a) Analogieaufgaben (b) Schrittweises Rechnen (c) Umkehraufgaben (d) Nachbaraufgaben / Halbierungsaufgaben (weniger wichtig) (e) Gleichsinniges Verändern Roland Jordan 28 Æ Defiziten im Rückwärtszählen und vor allem Æ eine nicht ausreichende Verdeutlichung des Zusammenhanges zwischen Addition und Subtraktion Die meisten Fehler bei der mündlichen Subtraktion treten analog zur Addition in den beiden Fehlergruppen Æ Fehler bei der Erfassung des Stellenwertes von Ziffern Æ Rechenrichtungsfehler auf. Roland Jordan 7 Didaktik der Arithmetik in der Grundschule Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 8.1) Halbschriftliches Rechnen 7.2.1.1) Subtraktion im 100er Raum - Schülerfehler Abbildung: Schülerfehler bei der Subtraktion im 100er Raum (entnommen aus: Roth, S. 169) Roland Jordan 8) Schriftliche Rechenverfahren Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 31 Dazu Oehl: „Halbschriftliche Rechenformen ergeben sich immer dann, wenn zur Lösung einer Aufgabe zwei oder mehr Rechenschritte erforderlich sind und wenn diese Teilschritte in irgendeiner Form schriftlich fixiert werden.“ Abbildung: Halbschriftliches Rechnen (entnommen aus: Padberg, S. 159) 30 Roland Jordan Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 8.1) Halbschriftliches Rechnen 8.1.2) Halbschriftliches Rechnen - Subtraktion Beim halbschriftlichen Rechnen Strategien des halbschriftlichen Rechnens: Æ werden im Gegensatz zum schriftlichen Rechnen (Ziffernrechnen) Besonderheiten der vorliegenden Zahlen ausgenutzt (meist im Zahlenraum bis 1.000) Æ werden flexibel passende Rechenstrategien eingesetzt. Bauer beschreibt das wie folgt: „Halbschriftliches Rechnen ist ein flexibles, je auf die Besonderheit der vorliegenden Aufgaben und des Zahlenmaterials bezogenes Rechnen unter Verwendung geeigneter Strategien. Es werden Zwischenschritte, Zwischenrechnungen, Zwischenergebnisse fixiert […] sowie Rechengesetze und Rechenvorteile ausgenutzt.“ Roland Jordan 8) Schriftliche Rechenverfahren 29 8) Schriftliche Rechenverfahren 7) Nichtschriftliche Rechenverfahren - Kopfrechnen Wann werden Halbschriftliche Rechenverfahren eingesetzt? 32 Die halbschriftlichen Rechenverfahren für die Subtraktion, die bei Schülerlösungen angewendet werden können in fünf Hauptstrategien unterschieden werden. Zu den vier Strategien, die schon bei der Addition angewendet werden, also Æ Schrittweises Rechnen Æ Stellenweises Rechnen Æ Hilfsaufgabe Æ Vereinfachen tritt die Strategie des Ergänzens auf. Roland Jordan 8 Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 8.1.2) Halbschriftliches Rechnen - Subtraktion Strategien des halbschriftlichen Rechnens: Strategien des halbschriftlichen Rechnens: Häufigkeit der Strategien in Schulbüchern: (1) Schrittweises Rechnen – Symbolische Notationsmöglichkeiten: Æ Die Strategie des Schrittweisen Rechnens wird in sämtlichen Schulbüchern thematisiert (ca. 50 % der Schulbücher beschränkt sich sogar auf diese Strategie). Æ Die Strategie Hilfsaufgabe wird wesentlich seltener angesprochen Æ noch seltener die Strategien des Vereinfachen und Schrittweisen Rechnen. 33 Roland Jordan 8) Schriftliche Rechenverfahren Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 8) Schriftliche Rechenverfahren 8.1.2) Halbschriftliches Rechnen - Subtraktion - 26 = 58 84 - 26 = 58 84 - 20 = 64 84 - 4 = 80 64 - 6 = 58 80 - 22 = 58 Æ Ebenso bietet sich die Notation mit Hilfe des Rechenstrichs an. Æ Hintergrund dieser Strategie ist die Regel zum Auflösen vom „Minusklammern“: 84-26 = 84-(20+6) = (84-20)-6 Roland Jordan Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 8.1.2) Halbschriftliches Rechnen - Subtraktion 8.1.2) Halbschriftliches Rechnen - Subtraktion Strategien des halbschriftlichen Rechnens: Strategien des halbschriftlichen Rechnens: (2) Stellenweises Rechnen: (3) Hilfsaufgabe: Diese Strategie wird aufgrund der vielen Schwierigkeiten nur in wenigen Schulbüchern thematisiert. Siehe dazu folgende Beispiele: Durch Auf- oder Abrunden des Subtrahenden auf den nächsten vollen Zehner bzw. Hunderter (alternativ durch eine Analogieaufgabe) kann eine Differenz mittels einer Hilfsaufgabe bestimmt werden. (a) (b) 530 - 240 = 300 - 500 - 200 30 - 40 10 550 - 240 = 300 + 10 = = 290 310 500 - 200 50 35 84 34 8) Schriftliche Rechenverfahren 8) Schriftliche Rechenverfahren Didaktik der Arithmetik in der Grundschule - Symbolische Notationsformen (Rechenstrich auch denkbar!): (a) Aufrunden des Subtrahend 84 - 28 = 56 81 - 22 = 59 84 - 30 = 54 81 - 20 = 61 56 61 - 2 = 59 54 40 Roland Jordan 36 (b) Abrunden des Minuenden + 2 = Roland Jordan 9 37 Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 8.1.2) Halbschriftliches Rechnen - Subtraktion 8.1.2) Halbschriftliches Rechnen - Subtraktion Strategien des halbschriftlichen Rechnens: Strategien des halbschriftlichen Rechnens: (4) Vereinfachen: (5) Ergänzen: Veränderung der Ausgangsaufgabe, so dass das Ergebnis unverändert bleibt. Die Strategie beruht auf dem Gesetz der Konstanz der Differenz bei gleichsinniger Veränderung von Subtrahend und Minuend. Diese Strategie greift auf die Deutung der Subtraktion als Ergänzen zurück: Vom Subtrahenden wird schrittweise zum Minuenden ergänzt. Symbolische Notationsform: 84 - 28 = 56 86 - 30 = 56 Æ Durch das gleichsinnige Verändern kann gleichzeitig schon die schriftliche Subtraktion im Sinne der Erweiterungstechnik vorbereitet werden. Roland Jordan Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 8) Schriftliche Rechenverfahren 8) Schriftliche Rechenverfahren Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 38 Symbolische Notationsform: (a) 530 - 240 = 90 + 200 = 290 330 530 (b) 530 - 240 = 290 240 + 90 = 330 330 + 200 = 530 240 + 290 = 530 Roland Jordan Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 8.1.2) Halbschriftliches Rechnen - Subtraktion 8.1.2) Halbschriftliches Rechnen - Subtraktion Strategien des halbschriftlichen Rechnens: Strategien des halbschriftlichen Rechnens - Schulbuchbeispiel: 39 Æ Durch diese Strategie kann die schriftliche Subtraktion im Sinne der Auffülltechnik vorbereitet werden. Æ Die Strategie bietet sich vor allem dann an, wenn Minuend und Subtrahend „dicht“ beieinander liegen. Æ Dennoch greifen die Kinder bei einer Aufgabe wie 701-698 selten auf diese Strategie zurück. Roland Jordan 8) Schriftliche Rechenverfahren 8) Schriftliche Rechenverfahren (5) Ergänzen: 40 Abbildung: Halbschriftliches Subtrahieren entnommen aus: Wittmann, E.; Müller, G. (Hrsg.) (2002): Das Zahlenbuch. Mathematik im 2. Schuljahr, S.72) Roland Jordan 10 Didaktik der Arithmetik in der Grundschule Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 8.1.2) Halbschriftliches Rechnen - Subtraktion 8.1.8) Aufgaben zum halbschriftlichen Rechnen Strategien des halbschriftlichen Rechnens - Schulbuchbeispiel: Berechnen Sie folgende Aufgaben mittels der angegebenen halbschriftlichen Rechenstrategie im Sechsersystem: 8) Schriftliche Rechenverfahren 8) Schriftliche Rechenverfahren Aufgabe 2 – Subtraktion Abbildung: Halbschriftliches Subtrahieren entnommen aus: Eidt, H.; Lammel, R. et al. (2002): Denken und Rechnen 3. Braunschweig: Westermann Schulbuchverlag, S.41) 41 Roland Jordan Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 42 Roland Jordan 8.1.8) Aufgaben zum halbschriftlichen Rechnen 8.1.8) Aufgaben zum halbschriftlichen Rechnen Aufgabe 2 (a): Aufgabe 2 (b): 43246- 2346 43246 - 43246 - 46 = 43206 43206 - 206 = 43006 43006 - 106 = 42506 42506 - 2006 = 40506 Stellenweises Rechnen: 8) Schriftliche Rechenverfahren 8) Schriftliche Rechenverfahren 43246 – 2346 55306 – 31426 43256 – 32546 33246 – 25546 34216 – 24536 Didaktik der Arithmetik in der Grundschule Schrittweises Rechnen: 43 (a) Schrittweises Rechnen: (b) Stellenweises Rechnen: (c) Hilfsaufgabe: (d) Vereinfachen: (e) Ergänzen: 2346 = 40506 Roland Jordan 44 55306- 31426 55306 - 31426 = 20006+4006-106-26 50006 - 30006 = 20006 5006 - 1006 = 4006 306 - 406 = -106 06 - 26 = -26 = 24006-106-26 = 23506-26 = 23446 Roland Jordan 11 Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 8.1.8) Aufgaben zum halbschriftlichen Rechnen 8.1.8) Aufgaben zum halbschriftlichen Rechnen Aufgabe 2 (c): Aufgabe 2 (e): 43256- 32546 Ergänzen: 43256 - 32546 = 10316 43256 - 33006 = 10256 10256 + Aufgabe 2 (d): Vereinfachen: 26 = 8) Schriftliche Rechenverfahren Hilfsaufgabe: 10316 33246- 25546 33246 - 25546 = 3306 33306 - 30006 = 3306 45 Roland Jordan 8) Schriftliche Rechenverfahren Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 47 34216- 24536 34216 - 24536 + 24536 = 5246 46 = 25016 25016 + 206 = 25216 25216 + 5006 = 34216 24536 + 5246 = 34216 46 Roland Jordan Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 8.2) Schriftliches Rechnen 8.2) Schriftliches Rechnen Während beim mündlichen und halbschriftlichen Rechnen mit Zahlen gerechnet wird, Normalverfahren des schriftlichen Rechnens: wird beim schriftlichen Rechnen stellengerecht mit den betreffenden Ziffern gerechnet. Die Ergebnisse werden nach genau festgelegten Regeln ziffernweise ermittelt. Die Gesamtrechnung wird in einzelne, leichte Teilrechnungen zerlegt. Abbildung: Schriftliche Addition (entnommen aus: Das Zahlenbuch 3, S.61) Roland Jordan Grundsätzlich gibt es auch bei den schriftlichen Rechenverfahren verschiedene Rechenwege. 8) Schriftliche Rechenverfahren 8) Schriftliche Rechenverfahren Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 48 Greift man jedoch je Rechenoperation jeweils ein bestimmtes schriftliches Rechenverfahren heraus und normiert hier die Verfahrensschritte sowie ggf. zusätzlich die Notationsform und sogar die Sprechweise , dann nennen wir dieses ein Normalverfahren des schriftlichen Rechnens. Roland Jordan 12 Didaktik der Arithmetik in der Grundschule Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 8.2) Schriftliches Rechnen 8.2) Schriftliches Rechnen – Stärken Schriftliches Rechnen als Algorithmus: Stärken des schriftlichen Rechnens: Ein Algorithmus ist „eine endliche Abfolge von eindeutig bestimmten Elementaranweisungen, die den Lösungsweg eines Problems exakt beschreiben,“ und die schrittweise garantiert zur richtigen Lösung führt. Bemerkung: Die Begriffe schriftliches Rechnen, Algorithmus und Normalverfahren hängen eng zusammen, sie sind jedoch keine Synonyme. Æ breite Einsetzbarkeit: 8) Schriftliche Rechenverfahren 8) Schriftliche Rechenverfahren Für das schriftliche Rechnen ist neben dem Ziffernweisen Rechnen der Einsatz eines Algorithmus charakteristisch. Æ Wenn ein Verfahren für eine Rechenart beherrscht wird, kann es für beliebig große Zahlen eingesetzt werden. Æ Förderung in die Einsicht des Aufbaus des dezimalen Stellenwertsystems Æ Vereinfachung des Rechnen mit großen Zahlen Æ Kenntnis des Kleinen 1+1 und Kleinen 1x1 reicht aus Æ Synergieeffekte im Zusammenhang mit ähnlichen halbschriftlichen Rechenverfahren (Stellenweises Rechnen) Æ Hohe Rechensicherheit / weniger Fehler aufgrund der schematischen und einprägsamen Abfolge der Einzelschritte 49 Roland Jordan Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 50 Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 8.2) Schriftliches Rechnen – Stärken 8.2) Schriftliches Rechnen – Schwächen Stärken des schriftlichen Rechnens: Schwächen des schriftlichen Rechnens: Æ Zerlegung der Zahlen in Stellenwerte Æ Durch das schriftliche Rechnen mit natürlichen Zahlen, werden die Voraussetzungen für das spätere Rechnen in den umfassenden Zahlbereichen der rationalen und reellen Zahlen auf der Grundlage von Dezimalbrüchen gelegt Æ Algorithmen bilden eine der zentralen Leitideen des Unterrichts. Schüler sehen schon im Grundschulalter, dass komplexe Rechenverfahren algorithmisiert werden können Roland Jordan 8) Schriftliche Rechenverfahren 8) Schriftliche Rechenverfahren Æ Leichte Vergleichbarkeit von Schülerlösungen 51 Roland Jordan 52 Æ Zahlen werden nicht mehr als Ganzes gesehen Æ Schwerwiegende Fehler (Größenordnung des Ergebnisses) werden von den Schülern nicht mehr erkannt Æ Ergebnisse werden „blind“ akzeptiert Æ Schriftliche Rechenverfahren verführen dazu, sie ständig anzuwenden, auch wenn andere Verfahren schneller sind Æ Schriftliche Verfahren können rein mechanisch ohne Einsicht in die Zusammenhänge korrekt durchgeführt werden. Roland Jordan 13 8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion 8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion Im Gegensatz zur schriftlichen Addition gibt es bei der schriftlichen Subtraktion viele verschiedene, stark unterschiedliche Verfahren. Überblick über die Subtraktionsverfahren: (a) (b) 16 - 7 = 9 8 13 - 5 = 8 2 5 - 3 = 2 16 - 7 = 9 12 - 4 = 4 - 2 = (d) 7 + 9 = 16 7 + 9 = 16 4 + 8 = 12 5 + 8 = 13 2 + 2 = 4 3 + 2 = 5 Roland Jordan 8) Schriftliche Rechenverfahren Didaktik der Arithmetik in der Grundschule Die Subtraktionsverfahren lassen sich anhand von zwei Gesichtspunkten typisieren: 8) Schriftliche Rechenverfahren Beispiel: Die Aufgabe 536-247=289 wird mit folgenden Schülerformulierungen gelöst: (c) 53 Didaktik der Arithmetik in der Grundschule (1) Art der Berechnung der Differenz: Æ Abziehen (Wegnehmen), also in Minussprachweise, oder durch Æ Ergänzen (Hinzufügen), also in Plussprechweise. (2) Art der Durchführung des Übertrags: Æ Entbündeln (sogenannte Entbündelungs- oder Borgetechnik) Æ gleichsinniges Verändern des Minuenden und Subtrahenden (sogenannte Erweiterungstechnik) Æ Auffüllen des Subtrahenden zum Minuenden (sogenannte Auffülltechnik) 54 Roland Jordan Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion 8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion Überblick über die Subtraktionsverfahren: Übertragstechniken – Entbündelungstechnik (Borgetechnik): Durch Kombination des Abziehens und Ergänzens mit den drei Übertragstechniken entstehen fünf verschiedene Subtraktionsverfahren (nicht sechs, da sich das Auffüllen nur mit dem Ergänzen kombinieren lässt): Entbündeln Erweitern Auffüllen Abziehen (a) (b) – Ergänzen (c) (d) (e) 8) Schriftliche Rechenverfahren 8) Schriftliche Rechenverfahren Didaktik der Arithmetik in der Grundschule Bemerkung: Alle fünf Verfahren werden im Unterricht eingesetzt! 55 Roland Jordan 56 Abbildung: Übertragstechnik - Entbündelungstechnik (Borgen) (entnommen aus: Roth, S. 242) Roland Jordan 14 Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion 8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion Übertragstechniken – Entbündelungstechnik (Borgetechnik): Vorteile der Entbündelungstechnik mit Abziehen: Sprechweise: Æ Die Begründung des Verfahrens ist für die Schüler leicht verständlich, da das Entbündeln eng mit dem Umbündeln bei der Addition zusammenhängt. (a) 3 Einer – 5 Einer geht nicht. Ich entbündele einen Zehner. Das sind 10 Einer. 13 Einer – 5 Einer = 8 Einer. 8) Schriftliche Rechenverfahren 8) Schriftliche Rechenverfahren Didaktik der Arithmetik in der Grundschule (b) 5 Zehner – 2 Zehner = 3 Zehner. (c) 2 Hunderter – 1 Hunderter = 1 Hunderter. Bemerkung: Die Entbündelungstechnik wird in der Regel mit dem Abziehen kombiniert (Verfahren (a)). 57 Roland Jordan Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 58 Æ Die Entbündelungstechnik lässt sich enaktiv und ikonisch gut veranschaulichen. Æ Nach geeigneten Vorarbeiten können die Schüler die Entbündelungstechnik selbst entdecken. Æ Die Entbündelungstechnik lässt sich durch halbschriftliches Rechnen vorbereiten. Æ Umformungen werden ausschließlich vom Minuenden vorgenommen. Der Zahlwert bleibt jedoch auch dort unverändert. Roland Jordan Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion 8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion Nachteile der Entbündelungstechnik mit Abziehen: Schulbuchbeispiele der Entbündelungstechnik (Borgen) mit Abziehen: 59 Æ Problemlösung: Zerlegung der Aufgabe in mehrere Aufgaben Æ Die Lösung von Aufgaben mit mehreren (Zwischen)-Nullen ist relativ kompliziert – und daher fehleranfällig – und muss als Sonderfall ausführlich behandelt werden. Æ Beispiel: 400-245 (vgl. Schulbuchbeispiel) Roland Jordan 8) Schriftliche Rechenverfahren 8) Schriftliche Rechenverfahren Æ Subtraktionsaufgaben mit mehreren Subtrahenden erfordern bei der Lösung in einer Rechnung häufiger mehrfache Entbündelungen. 60 Abbildung: Entbündelungstechnik (Borgen) mit Abziehen (entnommen aus: Denken und Rechnen 3. S.74 Roland Jordan 15 Didaktik der Arithmetik in der Grundschule Didaktik der Arithmetik in der Grundschule Schulbuchbeispiele der Entbündelungstechnik (Borgen) mit Abziehen: Übertragstechniken – Erweiterungstechnik: 61 8) Schriftliche Rechenverfahren 8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion 8) Schriftliche Rechenverfahren 8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion Abbildung: Entbündelungstechnik (Borgen) mit Abziehen (entnommen aus: Denken und Rechnen 3. S.75 Roland Jordan Abbildung: Übertragstechnik - Erweiterungstechnik (entnommen aus: Roth, S. 241) Roland Jordan Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion 8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion Übertragstechniken – Erweiterungstechnik: Übertragstechniken – Erweiterungstechnik: Sprechweise: Der Erweiterungstechnik liegt das Gesetz von der Konstanz der Differenz zugrunde: (a) 5+ =3 geht nicht. Ich „erweitere“ oben mit zehn Einern und unten mit einem Zehner. 5 Einer + 8 Einer = 13 Einer. 8) Schriftliche Rechenverfahren 8) Schriftliche Rechenverfahren Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 62 (b) 3 Zehner + 3 Zehner = 6 Zehner. (c) 1 Hunderter + 1 Hunderter = 2 Hunderter. Ist in einer Stellenwertspalte ein Übertrag erforderlich, so werden hier also Minuend und Subtrahend um den gleichen Betrag vergrößert („erweitert“), wodurch die Differenz unverändert bleibt. Bemerkung: Die Erweiterungstechnik kann sowohl mit dem Abziehen als auch mit dem Ergänzen kombiniert werden. In Deutschland wird sie in der Regel mit dem Ergänzen kombiniert. 63 Roland Jordan 64 Roland Jordan 16 Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion 8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion Vorteile der Erweiterungstechnik kombiniert mit dem Ergänzen: Nachteile der Erweiterungstechnik kombiniert mit dem Ergänzen: Æ Diese Technik kann gut enaktiv und ikonisch veranschaulicht werden Æ Ein wirkliches Verständnis dieser Technik kann kaum erreicht werden. Das anspruchsvolle Gesetz von der Konstanz der Differenz wird benötigt. Æ Aufgaben mit Nullen bilden keinen Sonderfall Æ Aufgaben mit mehreren Subtrahenden lassen sich ohne größere Probleme lösen 8) Schriftliche Rechenverfahren 8) Schriftliche Rechenverfahren Didaktik der Arithmetik in der Grundschule Æ Eine selbstständige Entdeckung des Ableitungsweges durch die Schüler ist kaum möglich. Æ Die Endform der Kurzschreibweise lässt die entscheidende Idee des „Erweiterns“ nicht mehr sichtbar werden. Æ Durch die Abänderung im Minuenden und Subtrahenden wird die ursprüngliche Aufgabe stark verändert. Æ Die Sprechweise beim Ergänzen ist problematisch. 65 Roland Jordan Didaktik der Arithmetik in der Grundschule Roland Jordan Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion Schulbuchbeispiel der Erweiterungstechnik mit dem Ergänzen: Schulbuchbeispiel der Erweiterungstechnik mit dem Ergänzen: 8) Schriftliche Rechenverfahren 8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion 8) Schriftliche Rechenverfahren 67 66 Abbildung: Erweiterungstechnik mit Ergänzen (entnommen aus: Das Mathebuch 3, S.64) Roland Jordan 68 Abbildung: Erweiterungstechnik mit Ergänzen (entnommen aus: Das Mathebuch 3, S.64) Roland Jordan 17 Didaktik der Arithmetik in der Grundschule Didaktik der Arithmetik in der Grundschule Schulbuchbeispiel der Erweiterungstechnik mit dem Ergänzen: Übertragstechniken – Auffülltechnik: 69 8) Schriftliche Rechenverfahren 8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion 8) Schriftliche Rechenverfahren 8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion Abbildung: Erweiterungstechnik mit Ergänzen (entnommen aus: Das Mathebuch 3, S.64) Roland Jordan Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 70 Abbildung: Übertragstechnik - Auffülltechnik (entnommen aus: Roth, S. 240) Roland Jordan Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion 8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion Übertragstechniken – Auffülltechnik: Vorteile der Auffülltechnik: 71 (a) 5 Einer + 8 Einer = 13 Einer. Das sind die geforderten 3 Einer und ein Zehner für die nächste Spalte. 8) Schriftliche Rechenverfahren 8) Schriftliche Rechenverfahren Sprechweise: (b) 3 Zehner + 3 Zehner = 6 Zehner. (c) 1 Hunderter + 1 Hunderter = 2 Hunderter. Bemerkungen: (i) Bei dieser Technik wird der Minuend nicht verändert! (ii) Die Auffülltechnik kann nur mit dem Ergänzen kombiniert werden! Roland Jordan 72 Æ Die Grundidee des Auffüllens ist naheliegend, nämlich das schrittweise Auffüllen vom Subtrahend zum Minuend. Æ Minuend und Subtrahend bleiben bei dieser Technik unverändert. Æ Aufgaben mit Zwischennullen im Minuend sind besonders leicht zu lösen. Æ Subtraktionsaufgaben mit mehreren Subtrahenden lassen sich ohne große Probleme lösen Roland Jordan 18 Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion 8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion Nachteile der Auffülltechnik: Schulbuchbeispiel der Auffülltechnik: Æ Das Verfahren ist für die Schüler schwer zu verstehen: Zunächst Auffüllen zur nächsthöheren Einheit, dann Umbündeln, danach weiteres Auffüllen bis zur Zielzahl. Æ Ikonische und enaktive Veranschaulichung ist problematisch, da das Ergebnis der Aufgabe nach einer Handlung nicht sichtbar ist. Æ Die endgültige Sprechweise lässt den Auffüllvorgang nicht sichtbar werden, die Sprechweise ist problematisch. 73 Roland Jordan Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 74 Abbildung: Auffülltechnik (entnommen aus: Zahlenbuch 3, S. 71) 8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion Schulbuchbeispiel der Auffülltechnik: Fehler bei der schriftlichen Subtraktion: 8) Schriftliche Rechenverfahren 8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion Abbildung: Auffülltechnik mit Ergänzen (entnommen aus: Leonardo 3, S. 99) Roland Jordan Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 8) Schriftliche Rechenverfahren 75 8) Schriftliche Rechenverfahren 8) Schriftliche Rechenverfahren Didaktik der Arithmetik in der Grundschule Roland Jordan 76 Bei den empirischen Untersuchungen zu den Fehlertypen bei der schriftlichen Subtraktion wird in systematische und typische Fehler unterschieden: (a) Ein Fehler wird bei einem bestimmten Schüler als systematischer Fehler bezeichnet, wenn dieser Schüler den betreffenden Fehler bei mindestens der Hälfte aller in Frage kommender Aufgaben macht. (b) In einer empirischen Untersuchung wird ein Fehler als typischer Fehler bezeichnet, wenn dieser Fehler in der untersuchten Stichprobe insgesamt relativ häufig unterläuft. Roland Jordan 19 Didaktik der Arithmetik in der Grundschule Didaktik der Arithmetik in der Grundschule Systematische Fehler bei der Erweiterungstechnik mit Ergänzen: Systematische Fehler bei der Auffülltechnik: Folgende Fehler treten am häufigsten auf: Folgende Fehler treten am häufigsten auf: (1) Spaltenweise Unterschiedsbildung (2) Generell kein Übertrag (3) Kein Übertrag in die leere Stelle (4) Übertrag bei Subtraktion zweier gleicher Ziffern (1) (2) 5 4 3 7 - 2 0 9 1 (3) 5 3 4 - 3 4 6 6 3 7 5 2 6 9 (4) 7 8 6 - 9 2 7 9 4 - 8) Schriftliche Rechenverfahren (2) Kein Übertrag zur Neun (3) Kein Übertrag zur Null (4) Kein Übertrag in die leere Stelle (1) 2 0 2 1 Roland Jordan (2) 7 0 3 2 7 1 7 Didaktik der Arithmetik in der Grundschule - 78 4 3 8 (3) 1 5 0 3 - 3 4 5 3 9 6 1 1 1 7 (4) 5 4 3 7 - 2 0 9 1 3 4 4 6 7 8 6 - 9 2 7 9 4 Roland Jordan Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion 8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion Typische Fehler bei der Erweiterungstechnik mit Ergänzen: Typische Fehler bei der Auffülltechnik: Nach einer Untersuchung von Kühnhold und Padberg treten bei der Erweiterungstechnik folgende typische Fehler am häufigsten auf: Nach einer Untersuchung von Henke treten bei der Auffülltechnik folgende typische Fehler am häufigsten auf: (1) Übertragsfehler (2) Rechenrichtungsfehler (3) Perseverationsfehler (4) Fehler mit der Null (5) 1+1-Fehler (6) Falsche Rechenoperation (Addition statt Subtraktion) 79 (1) Keine Ergänzung zur Null im Minuenden 5 7 3 8 8) Schriftliche Rechenverfahren 77 8) Schriftliche Rechenverfahren 8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion 8) Schriftliche Rechenverfahren 8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion (1) Übertragsfehler (2) 1+1-Fehler (3) Fehler mit der Null (4) Rechenrichtungsfehler (5) Fehler durch unterschiedliche Stellenanzahl (6) Perseverationsfehler Roland Jordan 80 Roland Jordan 20 Didaktik der Arithmetik in der Grundschule Didaktik der Arithmetik in der Grundschule 8.2.2) Schriftliches Rechnen – Subtraktion 8.2.3) Aufgaben zum schriftlichen Rechnen Einflussfaktoren auf Fehler bei der schriftlichen Subtraktion – Überblick: Berechnen Sie folgende Aufgaben zur Subtraktion mittels der angegebenen Übertragstechnik im Sechsersystem: 81 8) Schriftliche Rechenverfahren 8) Schriftliche Rechenverfahren Aufgabe zur schriftlichen Subtraktion Abbildung: Einflussfaktoren auf Fehler bei der schriftlichen Subtraktion (entnommen aus: Roth, S. 254) Roland Jordan 82 (a) Borgetechnik bzw. Entbündelungstechnik: (b) Borgetechnik bzw. Entbündelungstechnik: (c) Erweiterungstechnik: (d) Auffülltechnik: 243526 – 124456 3500126 – 2234146 33626 – 24546 421356 – 334436 Roland Jordan Didaktik der Arithmetik in der Grundschule Berechnen Sie folgende Aufgaben zur Subtraktion mittels der angegebenen Übertragstechnik im Sechsersystem: Aufgabe zur schriftlichen Subtraktion 8) Schriftliche Rechenverfahren (a) Borgetechnik bzw. Entbündelungstechnik: (b) Borgetechnik bzw. Entbündelungstechnik: (c) Erweiterungstechnik: (d) Auffülltechnik: 83 243526 – 124456 3500126 – 2234146 33426 – 24546 421356 – 334436 + 0 1 2 3 4 5 10 0 0 1 2 3 4 5 10 1 1 2 3 4 5 10 11 2 2 3 4 5 10 11 12 3 3 4 5 10 11 12 13 4 4 5 10 11 12 13 14 5 5 10 11 12 13 14 15 10 10 11 12 13 14 15 20 Roland Jordan 21
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