Bruchteile in Figuren

21
Bruchteile in Figuren
D221-01
Lösungen
1
A, B
Figur
1 23 45
Fläche Teilfigur
1 2
s 2 __12   s 2 __41   s 2 __81   s 2 __
    s
16
15 2
31 2
Summes 2 __32   s 2 __74   s 2 __
    s  __   s
8
16
C
Die Folge der Teilflächen wird immer halbiert und strebt gegen 0.
Die Folge der Flächensummen wird immer um die Hälfte des Restes,
der bis 2s 2 fehlt, grösser und strebt gegen 2s 2.
2
A
B
5. Figur: 100
6. Figur: 144
n-te Figur: (2n) 2
C
5. Figur: 35
6. Figur: 48
n-te Figur: (n+1) 2 – 1
D
Es wird eine immer kleiner werdende Fläche zu einem Viertel der Quadratfläche
(rot im Beispiel von Figur 5) addiert.
3
A
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n
1
z
2
4
u
__
  8  
12
 __
   
A
__
  3  
 __48  
D
__
  1  
 __41  
2
4
2
2
4
3
4
5
6
7
6
8
10
12
14
16
 __
   
20
 __
   
24
 __
   
28
 __
   
12
32
 __
   
14
5
 __
   
12
6
 __
   
16
7
 __
   
20
8
 __
   
24
9
 __
   
28
 __61  
 __18  
1
 __
   
10
1
 __
   
12
1
 __
   
14
6
8
10
B
2n + 2
u = _____
 4n + 4
  
  =  _____
   
= 2 ∙ ____
 
 n + 1
  
 = 2 + __
 n2  
n
n
2n
C
1
A = ____
 n + 2
  
  =  __14  +  __
   
4n
2n
D
1
D = __
 2n
   
E
u 10 = 2,2 u 20 = __
 42
  
u 200 = 2,01 u 500 = 2,004
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Bruchteile in Figuren
D221-01
Lösungen
4
A
Der Umfang nähert sich dem Wert 2.
B
Die Fläche nähert sich dem Wert __
 14   .
C
Die Differenz nähert sich dem Wert 0.
5
Individuelle Lösungen
6
A, B
Figur 1
Flächeninhalt: 1
Umfang: 4
Figur 2
Flächeninhalt: 1 + 4 · ( __21  ) 2 = 2
Umfang: 4 + 4 · 4 · ( __21  ) = 12
Figur 3
11
Flächeninhalt: 2 + 4 · 3 · ( __14  ) 2 = 2 + __
 34  =  __
   
4
Umfang: 12 + 4 · 3 · 4 · __
 41  = 12 + 12 = 24
Figur 4
9
53
11
1 2
Flächeninhalt:  __
   + 4 · 3 · 3 · ( __  ) = __
 11
   +  __   =  __   
4
4
8
16
16
Umfang: 24 + 4 · 3 · 3 · 4 ·  __18  = 24 + 18 = 42
Figur 5
239
53
1 2
27
Flächeninhalt:  __
  + 4 · 3 · 3 · 3 · ( __   ) = __
 53
  +  __  =  ___  
 
16
16
16
64
64
1
Umfang: 42 + 4 · 3 · 3 ·3 · 4 ·  __
   = 42 + 27 = 69
16
Figur n
9
3 n–2
27
A n = 1 + 1 + __
 34  +  __
   +  __  + … + (  __  ) 4
16
64
81
27
u n = 4 + 16 · __
 12  + 16 ·  __34  + 16 · __
 89  + 16 ·  __
  + 16 ·  __  + …
32
16
81
3 n–2
27
= 4 + 8 + 8 ·  __32  + 8 ·  __49  + 8 ·  __
   + 8 ·  __  + … + 8 · ( __  ) 8
2
16
C
Der Flächeninhalt strebt gegen 5.
Der Umfang wird immer grösser und strebt gegen unendlich.
D
s n = 1 + 1 + __
 21  + (  __12  ) 2 + (  __12  ) 3 + … + ( __12  ) n – 2
1
1 n–2
= 1 + 1 + __
 12  +  __14  +  __18  +  __
   + … + (  __  ) 2
16
Der Wert von s n strebt gegen 3. Das Blatt muss mindestens die dreifache Länge
und Breite des ursprünglichen Quadrats aufweisen.
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Bruchteile in Figuren
D221-01
Lösungen
7
Die folgenden Ergebnisse gelten bei einer Seitenlänge des Ausgangsquadrates von 1.
A
u n = 4 · 3 n – 1
Der Umfang verdreifacht sich von Figur zu Figur und wird unendlich gross.
A n = 1 · 2 n – 1
Der Flächeninhalt verdoppelt sich von Figur zu Figur und wird unendlich gross.
B
u n = 4 · ( __
  53  ) n – 1
Der Umfang vergrössert sich von Figur zu Figur mit dem Faktor __
 53   und
wird unendlich gross.
A n = ( __
  59  ) n – 1
Der Flächeninhalt verkleinert sich von Figur zu Figur mit dem Faktor __
 59   und wird
unendlich klein, strebt also gegen null.
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