Vom Anteile bestimmen zur Multiplikation von Brüchen, in

SEKI I UNTERRICHT
MATTHIAS
GLADE
SCHINK
/ ANDREA
VomAnteilebestimmen
zur Multiplikation
von Brüchen
EinWegmit System:fortschreitende
Schematisierung
Brüche sind zum Rechnenda - diese
Erfahrungmachenviele Schtilerinnen
und Sch ü l er .S ie k önnen e rfo l g re i c h
Brüche formal multiplizieren - aber
nur wenige könnensich inhaltlich etwas daruntervorstellenund sich zu einem gegebenen
Term eine passendeSituation ausdenken(Prediger2009).
Deshalbsollte man im Unterricht
zunächstaufder inhaltlichenEbenearbeiten und die Kalkülebeneerst nachgeschaltetals,,Denk"-Entlastungfür
inhaltlich verstandeneKonzepte einführen.Wie kommt man im Unterricht
vom inhaltlichen Denken zur Rechenregel?Was bedeutetdas für das Systematisierenund Sichern?
Grundidee
derfortschreitenden
Schematisierung
Die Idee,Schülerinnenund Schülerdie
Rechenregeldurch eine,fortschreitentle Sc'lrematisierung"(Treffers 1983
und 1987)ihrerindividuellenHerangehensweisen
entwickelnzu lassen,wird
an einer Unterrichtsreihe(Hinführung
zur MLrltiplikation von Brüchen als
Anteil-vom-Anteil-Nehmen)erläutert
(ausPrediger/Schink/Schneider/Verschragen2012). Das in Abb.1 angedeutetePhasenschema
verdeutlichtdie
Schritteder Schematisierungund lässt
sich fi.ir die Gestaltungunterschiedlicher Lernsequenzen
nutzen.
LERNGRUPPE:
6.-T.Schuljahr
IDEE: Erstwerden
Anteile
vonAnteilen
gebildet,
dann
wirdschrittweise
abstrahiert
biszurMultiolikationsreoel
fürBrüche
zeichnerisches
Bestimmen
von
Anteilen,
S.45
0NLINE-MATERIAL:
einleitendeAufgabenunter
www.mathematik-lehren.de
Heft164
auswählen
V0RKENNTNISSE:
GleichwertiqkeitvonBrüchen
ZEITBEDARF:
ca.6Unterrichtsstunden
türdieReihe
AllgemeinesPhasenschema
KonkreteUnterrichtsreihe
Phase1
Inhaltliches
Erkundeneinesreichhaltigen
Kontextes- mit lntegrationkognitiver
Konflikte,Einführunglernförderlicher
Anschauungsmittel
und zielführender
Fokussierungen
Einstiegmit Problemfragen:
Wie vieleKinderlebenunterwelchenBedingungen?
Wie lese ich Rechteckbilder
von Anteilenvon Anteilen?
Was ist hier das Ganze,auf das sich der Anteil bezieht?
Warumhabenwir hier unterschiedliche
Ergebnisse?
Wie muss oräzisiert
werden?
Phase2
Lösungswegevereinfachenund formalisieren- mit Ermöglichungdes wiederholtenAustauschsunterLernenden
Wie kann man Anteilevon Anteileneinfacherbestimmen?
Brauchtman immereineZeichnuno?Gibt es eine Reoel?
Phase3
ErstesFormulieren
der Regel
Phase4
Zurückbinden:
die gefundeneRegel
anschaulichbegründen
Wie kann man die gefundeneRegelan den Bildernerklärenund so
den Kalkülrechtfertigen?
Gibt es nur ein Bild,oder auch mehrere?
Phase5
Erarbeiten
alternativerVorstellungen
(inhaltliche
Verknüpfung)
Ergänzende
Vorstellung
zur Multiplikation
von Brüchen:
Wie bestimmeich Flächeninhalte?
Was habendiesemit dem ,,Anteil
vom Anteil"zu tun?
Phase6
Üben,Klassenarbeit:
immerwieder
auf verschiedenenMathematisierungsniveausaktivierenund verknüofen
Beispielaufgabe:
Gi b ei n B i l dund ei neS i tuati onzul mal tan.
Abb.1: Phasenmodell
zurfortschreitenden
- nichtstrengin zeitlicher
Schematisierung
Abfolgezu denken(angelehnt
an Treffers1987,prediger2OO9)
mathematiklehren 164| 2011
Erkunden
imKontext
Die Schülerinnenund Schülererkunden im Kontext ,,Kinderweltweit" Anteile von Anteilen, indem sie sich zunächstin Rechteckbildern
zu Statistiken orientierenund dieseinterpretieren
(0nline-Material).
Sie treffenAussagen,
wie z.B. ,,Die graueFlächeim Rechteck steht für alle Kinder, die in Entwicklungsländernleben" und erkennen,wie wichtig es ist, genauzu schauen, auf welchesGanzesich ein Anteil
b e z ieht ( P has e1) . A n s c h l i e ß e n db e stimmen sie selbstAnteile von Antei-
IndividuelleBilder
I undoavonI
len, indem sie ersteeigeneRechteckbilder zu Schulbesuchsquoten
in anderen Ländernanferti-een.
In d i eser ersten P hase w erden
Rechteckbilderinterpretiertund erste
Bilder gezeichnet- zum Teil mit vorgegebenenRechtecken.in die die gefo rd e rt enA ntei l e gut hi nei npassen.
Die Maße der Rechteckesind jedoch
oft echteVielfacheder Nenner,um ein
bloßesZuordnen der Zahlen im Bild
und im Term zu verhindernund die Lös u n g s wegeni cht zu früh unnöti g zu
vereinheitlichen.
Bilder strukturiertwahrnehmenund
auf Strukturelementereduzieren:
Kalkül entdecken
] unodavonJ
r-.
r
Carla: ,,DasGanzein 6 Teilezerschneiden.JedesTeilzu einemneuen
Ganzenumgeknetetund einesdavon
wiederin 6 Teilezerschnitten."
H a mi t:,,D assi nd6 + 6 + 6 = 18
Kästchen."
I und davon]
I
u____'
Anton: ,,lchteilezwei Mal in dieser
Ri ch tu ng. "
Hamit: ,,Längemal Breite"
Abzählendzum Anteil
5 uno OaVOn5
1.1
I undoavonJ
Hamit: ,,lchbrauchenur das Rechteck
zeichnen- sonst nix."
Tatjanar,,lchzähle alle Kästchenab,
das sind 20 Kästchen.1 von 20."
Kalkülnutzen
Hamit:,,lchrechneeinfach
die
Nenner
mal."
Kürzen entdecken
Kalkül an Vorstellungrückbinden
-\t
,ts --,1FE
Jules: ,,lchnehmeganz einfache
Kastenmaße."
I
H a m i t:,,l c hkannes mi r auchohne
zeichnenvorstellen.
Warte,ich male
dir ein Bild,das dazu passt,wie ich
das denke."
Abb.2: IndividuelleVielfaltbeim Anteil-vom-Anteil-Nehmen
44
Entwicklung
lormalerer
Strukturen
Die Rechteckbilderund derenDeutungen verändernsich im Laufe der Lernprozesse:Es wird ökonomischergezeichnet,verschiedeneRichtungendes
Einzeichnenswerden ausprobiertund
die Bilder zunehmendmit mathematischenStrukturengedeutet.
S chl i eßl i chsrel l t si ch d ie Fr age
nacheiner,,einfacheren"
Berechnungsmöglichkeit für den Anteil vom Anteil,
die die Lernendenfinden, wenn sie die
Strukturenihrer eigenenBilder analysierenund Zusammenhänge
zwischen
Bild und Aufgabe herstellenoder stärker auf die Zahlen schauen.Erste Vermutungenwerdenangestellt,selbstgeprüft und in der Gruppeverglichen.
So entstehtdie Regel ,,Zcihlerntal
Zciltler: Nenner ntal Nenner" (Phase 3, A ufgaben i m A rbei tsbt at1)t in
einem Prozessdes wiederholtenAushandelnsund wird nicht losgelöstvon
der eigenenVorstellungsweltgelernt.
Im gemeinsamenRingen um einfachere Lösungen werden immer wieder Argumenteauf unterschiedlichen
Mathemati si erungsni veau
s einanmit
der verknüpft und auf das ausgewählte Anschauungsmittel
- hier die Rechteckbilder- bezogen:Die Bilder sind
Vorstellungshilfe,Argumentationshilfe beim Aushandelnund Veranschaulichungshilfebeim Erklärender sefundenenRegel (Phase4).
ZweiSchüler
imBlick
r-l
+
Abb.2zeigt einige Schülerarbeiren,
die
während der Bearbeitungentstanden
sind: IndividuelleBilder zum Bestimmen des Anteils vom Anteil. Jederin
der Klassekann auf seinemNiveau im
konkretenKontext eigene,zunächstinformelle, Lösungsansätze
fi nden.
Jules
undDavids
erste
Zugänge
Den Phasen2bis 4 gehenwir am konkreten Lernprozesszweier Gesamtschüler2genauernach. David und Jules haben die erste Phaseder Lernsequenz bereits durchlaufenindem sie
Anteile aus verschachteltenRechteckbildern ablasenund über die Rolle des
Ganzendiskutierten.Zur Aussage,,In
Somaliageht nur ein Drittel der Kinder
mathematik lehren 164 2011
'
Name
Anteileineinanderschachteln
G'
st
v,
o,
tt
Anteilekann man ineinanderschachtelnund auf das atteGanzebeziehen.
1. Erkläre
dieBildervonlinksnachrechts.
Schreibe
für jedesBildauf,wasdasGanzeist.
2 . Wiekannmandie Lösung
fr aus
demrechtenBildablesen?
iliil-ilu
3. Suchedir zwei Lernpartner.
Vergleichteure Erklärungenaus Aufgabe2 und
formulierteinenEintragfür euerHeft.
NochmehrAnteilebestimmen
1. a) Erwürfledir mit zweiodervierWürfelnselbstweitereAufgabenzum Üben.
Beispiel
1:
e
Beispiel
2:
$re
e
bedeutet:
Bestimme
I unddavon
].
und
e
e
bedeutet:
I undoavon
f.
b) Kannstdu die Aufgabenauchohnezu zeichnenlösen?
2- a) In welchesder drei Rechteckekönntest
du am bestenI von ] einzeichnen?
BegründedeineWahl.
b) Übertragedas passendeRechteckin
dein Heftund zeichneJ von ] ein.
c) Wie groß ist dannj von j bezogenauf
das ganzeRechteck?
3 . Kannstdu aus dem Beispielin Aufgabe2eineallgemeine
Regelaufschreiben,
wie manAnteilevom Anteilbestimmt?
Überlegedazu:was hatdasErgebnismitder zahl derKästchen
zu tun?
WashatdasErgebnismitder ZahlderZeilenund Spaltenim Rechteck
zu tun?
.E
o
c;
-q
I
o
@
Zeichnedas gleicheRechteckwie in Aufgabe2 nocheinmalund markiere von .
f
f
Wie viele Kästchenhat dein Rechteck?Wie viele Kästchensind nun markielt?
Wie groß ist also der gesuchteAnteilam gesamtenRechteck?
Formuliere
auchhiereineallgemeineRegel.
z6
ü3
>.9
o;
o,-
Mit den Überlegungen
ausAufgabe4 hastdu eineRegelgefunden,wie man
ohneBildauchzum Beispiellvonf bestimmenkann.
Folgende
Fragenhelfendir beider Begründung
der Regel:
WievieleSpaltenundZeilenkanndasRechteck
haben?
WievieleKästchen
hates danninsgesamt?
Wievieledavonsindmarkiert?
WiegroßistalsoderAnteilvom Rechteck?
David
Jul es
I aller Kinder und davon die Hälfte
Ersteindividuelle
Zugänge
I unddavonJ
Untersuchen
von Rechteck und Zahlen:Von
Vielfachendes Nenners
als Seitenlänge
zum
Entdeckendes Kürzens
Man kann Kästchenzusammenfassen
I unddavonl
Das einJachsteRechteck
n e n m en
Man kann Bruchekürzen
(,,Daskann man dann besserdurchteilen."). Dann bestimmenbeideden Anteil vom Anteil als tvgt. Abb.3).Auf
f,
den Impuls: ,,Kcutnman das auch ein.facher aufschreiben?" finden beide
den Ausdruck
f,.
Jul es: ,,Man hätte ei nf ach alles
durch 3 rechnen können." Er kürzt,
löst alsosymbolisch.David strukturiert
sein Bild gedanklichum und vergröbert die Kästcheneinteilung:,,Ich habe
einfach die ganzeDreierreihegenommen.statthalt die Kästchen."
Jules,,Durchteilungsproblem"
und
die Frage nach der Vereinfachunghaben di e bei den dazu anger egt ,die
Struktur des Rechteckbildesgenauer zu betrachtenund mit den Zahlen
i n der A ufgabenstel l ung
zu ver knüpfen: Ab der fblgendenstrukturgleichen
Aufgabe verwendenbeide die Zah\en
im Nennerund nicht mehr echteVielfachedieserZahlen als Höhe und Breite desRechtecks(Abb.3mittig u. oben).
lmUnterricht
A bb. 3:
An dieserStelle begegnetman vielen
D a v i d su n d J u l e s W eq zu m An te ilvo m An te il
Ansätzen.die sich im Grad der Mathematisierungstarkunterscheiden:
Einige zählen noch Kästchenaus (Abb.2,
zur Grundschule- die anderenmüssen im Unterricht.jccloch
nichtökonomisch Tatiana),andereaddierenzeilenweise
arbeiten.Nach der Grundschulegeht entdecktwerden.Hicr helfenVorstruk- (Abb.2,Hamit1) oder steigendirekt mit
die Hälfte der Grundschulkinder
auf die turierungendurch Arbeitsaufträge(s. der von David und Jules am Ende geweiterführendeSchule" entwickeln sie Arbeilsblatt
1 ) oclelunterstützende
HinnutztenökonomischerenForm ein.
unabhängigvoneinanderdie Zeichnun- w e i s e (vgl . K asten
1t. D i e H ori zontal Wichtig ist es hier, den Austausch
genin A bb. 3.
Vertikal-StruktLrrierLrng
von David und zwischen den Lernendenanzuregen,
Jules stellt bereits Zahlbeziehun- Juleshatdenltllteil. dasssieder räum- um die Weiterentwicklung
der je eigegen z wis c hend e m e i n e n An te i l u n d lich simultanenAul't'assung
der Multinen Zugängevoranzutreiben.Das nutzt
der einen Seitenlängedes Rechtecks plikationam niichstetr
kor.nrnt
und sich auch dem, der das Muster bereitsmulher',denn die horizontaleEinteilung die Rechenregel
nrit rhl gut entdecken tiplikativ deutet,indem er sich z. B. im
wählt er bewusst(,,In der Länge habe 1 ä s s t.Zuden.rl assensi ch B i l der für
A ustauschmi t dem zei l enweiseAdich 9 Kästchengemacht,weil das kann Nichtstammbri,ichc
nur in dieserDar- dierendenan eine andereVorstellung
man besserdurch 3 teilen.").Die ver- stellungeinfacl.r
stnlktuneren.
zur Multiplikation erinnernkann. Datikale Einteih.rnghat er hingegen,,einzu bedarf es wechselnderFormen von
fach so, zack, ohne Zählen" probiert Jules
finden
undDavid
Partner-und Kleingruppenarbeitund
und Glück gehabt.
ökonomischere
Darstellungen
wechselnderGesprächspartner.
A l s nächstesbesti n.rnren
di e bei den
lmUnterricht
J u n g e nI uon l . JLrl est' erti gterneut Jules
undDavid
lösen
sichvomBild
Zu Anteilen von Anteilen können ver- e i n 9 x 8' R echteckan. besti mmt des B ei de bearbei tennoch zwei weit er e
{
schiedene
Bilder gezeichnet
werden:
R e c htecksnnd stutzt:..D urchzutei l en A ufgabender Form: ..W i eviel sind j
. W er nut z tRe c h te c k m
e it einer
i s t d a sP robl em... j etzt durch5 ... ei ne von {?". Wiederwerdensie zum ScheHorizontal-Vertikal-Strukturierung? andereGröße briiuchteman. Hm. die matisierenangeregt:,,Kann man das
. Wer strukturiertseineBilder nur in
Längeist gut."
auch ohne das Zeichnenvon Bildern
einerRichtung(s.Anton in Abb.2)?
D avi ds E mpfehl un-t(..Ich w ürde machen?" Die beidenJungenverste. Wer nutzt Kreisbilder?
bei der Größe5 nehrnen.
weil 5.") wird
hen das als Aufforderung, die nächste
Die VorzügeunterschiedlicherDarstel- von Jules sofort auf-segriffen
und zur Aufgabe im Kopf zu lösen. David gelungenzum FindeneinerRegelkönnen Verbesserun-u
der Zeichnung genutzt lingt es,Julesbestätigt.Sie erklären:
46
mathematiklehren r64 I 201i
WISSENSWERT
Jules:..Ichhabemir dasRechteck
bildlich
vorgestellt
unddannsoein Strich."
Breiteund 4 Kästchen
David:..5Kästchen
Tiefe."
Jules:,,Dassinddann20 insgesamt."
David:..UnddavonI Kästchen.
dassind
--L."
- und setztwieder an, die Regelinhalr
lich erklärenzu lassen(Phase
4) ...
TypischeSchematisierungsimpulse
JulesundDavid
erklären
nocheinmal
Die beiden erfahren gerade die entlastendeWirkung des Rechenkalküls
l s c h n e l l eA n twort zur A ufgabeI und
l-L
,l
Das Lösen ohne Anschauungsmittel d a v o ni : ..2 m a l 4 (i stt 8. * . Ganzei nkann eine Verinnerlichungder vorher fach!"). Sie werden dannjedoch aufgetätigtenHandlungenund damit einen gefordert,die gefundeneRegel zu beweiterenAbstraktionsschrittforcieren. gründen,um den Kalkül direkt wieder
Manche benötigen auch nur Teile der an das inhaltlicheDenken rückzubinbildlichen Darstellung(Hamit in Abb.2
den ,,2 Breite, 4 Tiefe und davon die
verwendetnur den Rahmendes Recht- H ä l fteu n d d a v o ndann] ..." (D avi A l
ecks). Das Denken der Kinder nutzt
immer mathematischere
und ökonomi- lm Unterricht
schereStrukturen.Julesgelingt es so. Das Einfordern einer Erklärung (,,8rkltire ant Bild, wieso deine Regelfunkeine Regel zu formulieren:
riottiert") ist für das Sicherndes inhaltJules:,,Wennman das im Kopf rechnen lichen Verständnisses
der Regel funwill, mussmandie unterenzusammen damental(vgl. Winter 1999,Prediger
rechnen,
dassind20, ... alsomalrech- 2009). Sonstfußt die Erkenntnisvielnen.[...] I . I istja I unddann5 .4 ist leicht nur auf dem Hörensagenoder
.l
20.Dannhatmana_L
undsovielegehen dem Erkennenvon Zahlbeziehungen.
dannzur weiterführenden
Schuleoder (WerdengenügendgelösteAufgaben
in der symbolischenDarstellungverwashaltin demBeispielgefragtist."
glichen, stellen die LernendenempiDavid will ihn korrigieren: Wenn der risch fest. dass man immer das ProZähler I ist. muss man nur die Nenner dukt der Zähler und der Nennerbildet.)
malnehmen.Juleslässtsich daraufein. Beim Aufschreibender eigenenErklärung. helfenFragenund Begriffe:
So wird noch keine Regelfür alle Brüche,sondernnur eine für den gründlich . ..Wo findestdu die Zahlen aus
der gerechneten
Aufgabe im Bild?"
durchdachtenSpezialfall der Stammbrüche formuliert. Jules wird gezwun- . ..Benutzefür deineAntwort die Begen, ein Niveau zurückzugehen.Es
griffe Spalten,Zeilen und Anteil."
(wie bei i und
kommt zwar nicht zu einem diskursi- Fiir Nichtstammbrüche
wird zunächsteine ,rii.i.kven Abgleich und insofernzu keinem aavon
J)
Vergleich der beiden liegendeSchematisierungsstufe
systematischen
eingeStandpunkte,aber Jules nimmt diese norlmen, da die Regel unbekanntist.
S i ch t d a m it das er s t eM a l e i n . (Se i n e Das äußereRechteck zu zeichnen.zu
allgemeineSicht reaktivierter später deutenund mit der symbolischenEbene der Zahlen zu verknüpfen,ist eher
an Nichtstammbrüchen.
)
Bei diesererstenRegel-Formulie- kein Problem.Dassaberauchden Zahrung argumentiertJulesformal auf die
len im Zähler eine Rechteckstruktur
mathematischenStrukturenbezogen, entspricht,muss wieder neu im Zeichdie er in seinerinhaltlichenDeutung nerischenentwickelt und zunehmend
mathematischer
aber selbstan den vorgegebenenKonbeschriebenwerden.
text zurückbindet.
lm Unterricht
Vermutlich wärejetzt schonlangeeine
Regel,,durchgesickert".
Mancherhätte sein Werk für beendet erklärt, da er
die Regelja jetzt kennt. Den Moment,
in dem ein Schüler den gewinnbringendenSchritt wie Julestut, bekommt
man als Lehrkraft leider meistnicht mit
mathematiklehren i64 | 2011
Vom Inhaltzum Kalkül
Fazit:
hinaus
ÜberdasBeispiel
Wichtige Bedingungenfür einengelingendenUnterricht sind hier erkennbar:
. Zeit, eigeneIdeen zu entwickeln.
. Möglichkeitenzum intensiven
Austausch,der in Unterrichtsgesprächenangeleitetwird (Kasten1)
Vergleichtuntereinander.
Erklärteinander.
Kannman das auch einfacher/mathematischerschreiben/ lösen?
Kannman das auch ohne Bilder/ohne
Anschauungsmittel
lösen?
Kannstdu eine Regelfinden?
lst das immerso? Warumist das
immerso? Erläuterean einemBild
oder einerGeschichte.
. auchnach Erarbeitender Regeln
immer wieder Darstellungsebenen
miteinanderverknüpfen.
Der Kalkül gewinnt durch das eigene
Handeln mit Rechteckbildernan Sinnhaftigkeit (Prediger/ Glade/ Schmidt
2011).
Anmerkungen
1. Das Unterrichtsmaterial
ist im KOSIMAProjektentstanden.A. Schinkhat an der
Entwicklung
der Lernumgebung,,Kinder
weltweit"mitgearbeitet;
M. Glade hat die
Erprobungbegleitetund ausgewertet.
2. DieDokumentation
entstammt
einemlnterview,das in einemForschungsprojekt
zur
von SchematisierungsproUntersuchung
zessendurchgeführt
wurde.
Literatur
Prediger,
S. (2009):Inhaltliches
Denkenvor Kalkül - Ein didaktisches
Prinzipzur Vorbeugungund Förderung
bei Rechenschwierigkeiten.- In: Fritz,A./Schmidt,S. (Hrsg.):
FördernderMathematikunterricht
in der
Sek.l. Beltz,Weinheim,
S.213-234.
Prediger,S./Glade,M./Schmidt,U. (2011):
Wozurechnenwir mitAnteilen?
Herausforderungender Sinnstiftung
am schwierigen
Beispielder Bruchoperationen.
Erscheint
in: PM Heft37.
Prediger,S./Schink,A./Schneider,C./Verschraegen,
J. (inVorbereitung
2012):Kin- In:
der weltweit- Anteilein Statistiken.
mathewerkstatt
6. Cornelsen,
Berlin.
Treffers,
A. (1983):Fortschreitende
SchematiWeg zur schriftlisierung.Ein natürlicher
und Division
im 3. und
chenMultiolikation
- In:mathematik
4. Schuljahr.
lehrenHeft1,
Friedrich
Verlag,Velber,S.16-20.
Treffers,
A Model
A. (1987):Three
Dimensions.
in Matheof Goaland TheoryDescription
- TheWiskobasProject.
maticsInstruction
Reidel,Dordrecht.
mehrEinWinter,
H. (1999):MehrSinnstiftung,
im Mathesicht,mehr Leistungsfähigkeit
am Beispielder
matikunterricht,
dargestellt
(Stand14.08.2010)
Bruchrechnung
http://blk.mat.uni-bayreuth.de/material/
db/37lbruchrechn
ung.pdf
47

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