Die Geschichte von den Zahlen

~ Die Geschichte von den Zahlen ~
Es war einmal ein dummes Volk. Das ging auf eine lange
Reise...
Dort traf es eine Menge schlaue Leute, die sonderbare Zeichen
auf Papier schrieben.
Mit diesen Zeichen konnte man Dinge zählen und sogar
rechnen.
Der König aber war ein schlauer Mann, und er
wollte das Zählen mit dem fremden
Zeichenalphabet erlernen...
“Wie viele Zeichen habt ihr und welche sind das?“,
fragte der König.
,
„Okay, ich verstehe. 0 schreibt ihr,
wenn ihr gar nix habt und 1, wenn nur
einer da ist, 2 wenn man zwei Sachen
hat und am Ende dann 9 für neun.
Die schlauen Leute sagten: „Wir kennen zehn
verschiedene Schriftzeichen. Da gibt es:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9.
Aber was macht ihr, wenn es mehr als
neun Sachen sind?“
Das waren schon alle.“
,
...
“Zehn Ritter...“
Da sagten die Gelehrten: „Dann machen wir ein
Bündel aus zehn einzelnen Dingen und schreiben
eine 1, aber mit einer 0 hintendran.
„Aha, ihr bildet für alle Sachen, die ihr zählt,
Häufchen mit zehn Stück drin. Und dann zählt ihr
die Häufchen“, erwiderte der König.
Das bedeutet dann einmal zehn Dinge.“
„ Mal sehen, ob ich das auch kann!“
„...und noch einmal zehn Ritter. Äääh,
das sind zweimal zehn Ritter? Also: 20"
+
=
Da war der König sehr erstaunt.
Noch etwas unsicher fragte er schließlich: „Aber
was macht man, wenn noch welche übrig bleiben,
nachdem man die Zehnerbündel abgezählt hat?“
„Kein Problem. Die schreibt man einfach dazu,
genauso, wie man es macht, wenn man weniger
als zehn Dinge zu zählen hat.
Schau her!“
„Das sind zweimal zehn Ritter und noch
drei dazu. Macht also: 23“.
+
+
=
Der König grinste zufrieden. Einerseits, weil er das System
der Zehner-Häufchen nun verstanden hatte, und anderseits, weil er glaubte,
den schlauen Herren nun den großen Fehler im System offenbaren zu können.
“Ihr irrt, euer Majestät. Unser
System hört nie auf zu funktionieren. Wir können immer noch etwas dazu
zählen, egal wie groß die Zahl bereits ist.
Seht her: Wir machen es mit den Zehner-Bündeln genauso, wie wir es
schon einmal mit den einzelnen Dingen gemacht haben. Wir bündeln sie
zu einem noch größeren Bündel. Zehn Zehner-Bündel sind ein HunderterBündel. Das schreibt man dann so: 100.“
Und er sagte: „Ich kann euer System nicht gebrauchen. Ich habe zu viele
Ritter in meinen Diensten. Denn was soll ich machen, wenn ich neun ZehnerBündel gebildet habe und noch neun einzelne dazu? Das sind dann 99. Und
nun kann ich keinen mehr hinzuzählen, das ist nix für mich!“
+
=
=
OOOOHHHH!!!!
„Und, lieber König, natürlich kann man
dieses große Bündel auch wieder zu
einem noch viel größeren Bündel
zusammenfassen. Immer zehn Bündel
sind das nächstgrößere Bündel. Zehn
Hunderter- sind ein Tausender-Bündel.
Zehn Tausender- sind..."
“Bitte hört auf, hört auf, ihr seid mir über. Wahrlich,
man nennt euch zu recht die schlauen Leute. Habt ihr doch eine
Methode ersonnen, mit der man alle Dinge dieses Universums zählen
und aufschreiben kann. Man kann einzelne Dinge zu Bündeln
zusammenfassen, man kann die Bündel wieder in ihre Einzelteile
zerlegen. Man kann die Bündel zusammenzählen oder voneinander
abziehen, ohne die Einzelteile zählen zu müssen. Braucht man ein
neues, größeres Bündel, fasst man zehn Bündel zusammen, und schon
hat man wieder eine Menge Raum zum Zählen.
Ich bin beeindruckt. Man wird dieses System auf der ganzen Welt
benutzen, da bin ich mir sicher. Und ich fange gleich an, meinen
ganzen Haushalt zu bündeln und zu zählen.“
Also: Ich habe ein Schloss. Ääh, schade, das ist aber wenig, da brauche ich ja gar kein Bündel
packen. Na ja, mal sehen, was haben wir da noch. Ach ja, wie viele Blumen habe ich denn im
Schloss. Ja, das sind viele, oh, sehr viele, da muss gebündelt werden. Ohne Unterlass. Ich fange
gleich an: 10, 20, 30, plus 3 macht 33...
~ Und wenn er nicht gestorben ist, dann bündelt er noch heute! ~
Lerne aus der Geschichte
- Beim Zählen fasst man einzelne Dinge zu Bündeln zusammen. Auf Deinem Rechenbrett sieht das dann so aus.
Die ‚I’-Spalte ist die Einer-Spalte
Hier zählt jeder für sich
Die ‚X’-Spalte ist die Zehner-Spalte.
Das sind 10 mal ein einer
Die ‚C’-Spalte ist die Hunderter-Spalte.
Das sind 10 mal 10 Ritter
Übrigens,
kannst Du Dir vorstellen, wie viele Menschen auf der Welt leben? Nein. Um eine so große Zahl darstellen zu können, brauchen wir nur vier von Deinen
Rechenbrettern aneinanderzulegen. Sieh her:
Auf der Erde leben ungefähr 6.500.000.000 Menschen.
Diese superlange Zahl spricht man: Sechs Milliarden und fünfhundert Millionen.
~ Arbeitsbuch ~
zur
„Geschichte von den Zahlen“
Wer ein richtiger Herrscher sein will, muss fleißig das Rechnen mit
den Zahlen üben. Das weiß der König ganz genau.
Gott sei Dank hat er ja das Rechenbrett.
Schneller zählen durch Bündelung
Du kannst die Anzahl von Dingen schneller zählen, wenn du die Sachen zu Bündeln zusammenfasst. Mache es wie die schlauen Leute und bilde am besten
Zehner-Bündel.
10er-Häufchen bilden
Hier liegen unheimlich viele grüne Steinchen rum. Auch ein König muss
schon sehr genau hinschauen, um die Anzahl zu bestimmen. Wenn du
aber immer zehn Steine wegnimmst und dafür einen großen roten
hinlegst, sieht das ganze schon viel einfacher aus.
Nun brauchst du nur noch die roten und dann die grünen Steine zu zählen.
Zehn grüne werden zu
1 roten und 3 grüne bleiben übrig.
=
Es sind also: Einmal zehn Stück + drei einzelne, macht = 13 Steine.
Versuchen wir es noch einmal. Ich habe die Steine diesmal etwas
ordentlicher hingelegt. Wie bei den Rittern aus der Geschichte liegen hier
immer fünf Steine dicht nebeneinander. So kann man sie leichter zählen.
Nach dem Bündeln haben wir
=
2 rote und 4 grüne.
Es sind also: Zweimal zehn Stück + vier einzelne macht = 24 Steine.
Hier kannst du es einmal selber probieren. Zähle immer 10 grüne Steine ab und ersetze sie durch einen roten.
TIPP: Was du schon gezählt hast, kannst du mit einem Bleistift abstreichen.
Übungsaufgabe: Wie viele rote Steine kann ich bilden?
Male das Ergebnis in die Tabelle
=
?
Male das Ergebnis in die Tabelle
=
Achtung: Lösung nächste Seite.
?
Na, hat das bei dir auch so ausgesehen?
Lösung: Wie viele rote Steine kann ich bilden?
Wir haben sechsmal fünf grüne Steine in drei Zehner umgewandelt. Die
übrigen grünen Steine reichen für einen weiteren Zehner nicht aus.
Das Ergebnis lautet: 3 rote und 4 grüne = 34 Steine.
=
Wir haben zweimal fünf grüne Steine in einen Zehner umgewandelt. Die
übrigen grünen Steine reichen für einen weiteren Zehner nicht aus.
Das Ergebnis lautet: 1 roter und 8 grüne = 18 Steine
=
Das Bündeln kann man immer weiter fortsetzen
Der König hat Sorge, dass er nicht alle seine Ritter zählen kann. Das ist nicht der Fall, wie du weißt. Man kann das Bündeln immer weiter fortsetzen. Auch die
roten Steine kann man zusammenfassen, wenn man zehn Stück zusammenzählt.
10 mal 10 machen einen ganz Großen
Das sind jetzt superviele grüne Steine. Wollte man alle zählen, würde das
schon eine zeitlang dauern. Wir können uns aber die Sache durch das
Bündeln erleichtern. Wir brauchen wirklich nicht alle Steine zu zählen, um
die Anzahl der Steine zu kennen. Schau her:
Zähle immer zehn ab und lege eine roten dafür hin. Denke daran, dass
zwei Fünfer-Rollen zehn Stück ergeben.
=
Zwischenergebnis: 10 mal 10 rote.
Ordentlich angeordnet, lassen sich die zehn roten zu einem neuen Bündel
zusammenfassen.
Wir haben
10 rote, das macht
gelben.
Das Ergebnis lautet: 10 mal 10 Steine = 100 Steine.
=
Keine Angst vor großen Zahlen
Der König hatte also unrecht mit seiner Befürchtung, er könne nicht alle Ritter zählen. Man braucht gar nicht viele Steine, um eine große Anzahl von Rittern
darzustellen. Schau mal, wie das geht.
Viele Ritter mit wenig Steinen
Wir haben 4 grüne Steine, zwei rote und einen von den ganz großen
gelben. Das sind:
Ein Gelber
Zwei Rote
Vier Grüne
= 10 Zehner
= 2 Zehner
= 4 Einzelne
Das Ergebnis lautet: 124 Ritter
=
=
=
=
100
20
4
Zahlen auf dem Rechenbrett eintragen
Du kannst deine grünen, roten und gelben Steinhäufchen auf dein Rechenbrett übertragen. Das Rechenbrett bündelt auch die Zahlen. Wie das funktioniert,
kannst du hier sehen.
Für jede Farbe gibt es hier ein Spalte.
- Die ‚C’-Spalte ist für die gelben Steine.
- Die ‚X'-Spalte ist für die roten Steine.
- Die ‚I’-Spalte ist für die grünen Steine.
Schau dir im folgenden an, wie das geht.
Siehst du in jede Spalte kommt eine Farbe.
=
Übrigens: Um das Rechenbrett zu benutzen,
brauchst du keine verschiedenfarbigen Steine.
Auch müssen die Steine nicht unterschiedlich
groß sein. Um die Zahl richtig ablesen zu
können, kommt es nur darauf an, wo die
Steine liegen und wie viele es sind.
Benutze also dein Rechenbrett mit deinen
Murmeln. Unwichtig, ob die Murmeln bunt,
klein oder groß sind. Die Murmeln sollten nur
die richtige Größe haben, damit sie nicht von
deinem Brett rollen
=
Hier kannst du noch ein bißchen üben. Übertrage die Steine auf dein Rechenbrett.
Übung: Übertrage die Steine auf dein Rechenbrett
Das ist eigentlich ziemlich einfach. Weißt du noch, wo welche Steine
hingehören?
=
Ach, und weil es so schön war, gleich noch mal!
=
Achtung: Lösung nächste Seite.
Hast du es auch so gemacht?
Lösung: Übertrage die Steine auf dein Rechenbrett
Die drei grünen gehören in die ‚I’-Spalte und der eine rote in die ‚X’-Spalte.
Das Ergebnis lautet: 13
=
Hier noch mal zur Erinnerung, wie viel das eigentlich in Ritter ist:
Die vier grünen gehören in die ‚I’-Spalte und die zwei roten in die ‚X’-Spalte
Das Ergebnis lautet: 24
Hier noch mal zur Erinnerung, viel das eigentlich in Ritter ist:
=
Übung macht den Meisterbündler.
Bestimme die Anzahl der Ritter mit Hilfe Deines Rechenbrettes. Beachte, dass Du nicht alle Ritter einzeln zählen musst. Zähle zunächst die kompletten ZehnerBündel und trage die Anzahl der Bündel in die ‚X’-Spalte ein. Bleiben dann noch Ritter übrig, zähle auch diese und füge sie in die ‚I’-Spalte hinzu.
TIPP: Sind mindestens fünf Ritter beieinander, stehen diese dicht zusammen in einer Gruppe. Zwei Fünfer-Gruppen sind ein Zehner-Bündel. Genau wie bei den
Fingern an Deinen beiden Händen.
1.)
2.)
3.)
4.)
5.)
6.)
Zähle dann die Murmeln in den Spalten auf dem Brett und schreibe für jede Spalte die Anzahl der Murmeln in die Tabelle.
ACHTUNG: Lösung nächste Seite.
Lösungen für kleine Meisterbündler.
Hast Du auch alles so gemacht, wie Seine Majestät Alfons der Viertel-Vor-Zwölfte?
2.)
1.)
3.)
Diese Gruppe ist nicht groß
genug für ein Bündel. Es
bleiben also alle als Rest
übrig. Macht sechs.
Hier haben wir ein komplettes
Zehner-Bündel und keinen
weiteren Rest.
Ein Bündel + 3 Rest.
4.)
5.)
Zwei komplette ZehnerBündel und 0 Rest.
6.)
Hier finden wir ein ZehnerBündel und noch 6 einzelne
Ritter.
Das ist die größte
Gruppe mit zwei ZehnerBündeln und noch einem
einzelnen Ritter dazu.
Rechnen mit dem Rechenbrett
Das Rechenbrett wäre kein „Rechenbrett“, wenn es nicht auch beim Rechnen helfen würde. Man kann es zum Zusammenzählen und zum Abziehen verwenden.
Dein Mathematiklehrer würde vielleicht sagen: Plus- und Minus-Rechnung oder auch Addition und Subtraktion.
1+2=3
Lege zunächst eine 1 auf Dein Brett. Das ist die erste Zahl. Da Du kein zweites Brett hast, musst
Du die zweite Zahl im Kopf bilden oder auf Papier schreiben.
Zähle nun die entsprechenden Spalten zusammen. Das heißt: Alle Murmeln aus der C-Spalte
zusammenzählen, alle Murmeln aus der X-Spalte zusammenzählen und zum Schluss die Murmeln
aus der I-Spalte.
=
Da die C- und die X-Spalte leer sind, kann man das schnell zusammenzählen. Es bleibt hier
natürlich bei 0. Aber in der I-Spalte finden wir eine Murmel und müssen zwei weitere Murmeln
dazuzählen. Das Ergebnis ist also: 3.
Es ist übrigens egal, in welcher Reihenfolge Du die Spalten zusammenzählst. Das Ergebnis bleibt
immer dasselbe.
10+3=13
Nun wollen wir mal etwas mutiger sein und größere Zahlen zusammenrechnen.
- Die C-Spalte ist auf beiden Brettern leer. Bleibt also leer.
- Ein Zehner-Bündel + 0 Zehner Bündel macht ein Zehner-Bündel in der X-Spalte.
- 0 Einer + drei Einer macht drei Einer in der I-Spalte.
Das Ergebnis lautet: 13
=
12+3=15
Und noch einmal zur Übung.
- Die C-Spalte ist auf beiden Brettern leer. Bleibt also leer.
- Ein Zehner-Bündel + 0 Zehner Bündel macht ein Zehner-Bündel.
- Zwei Einer + drei Einer macht fünf Einer.
Das Ergebnis lautet: 15
=
Meine Spalte ist voll, was mache ich dann noch mal?
Na ja, was macht man, wenn ein Spalte voll ist? Man bündelt zehn Stück und benutzt die nächste Spalte. Das haben wir doch in der „Geschichte von den Zahlen“
gelernt.
9+1=10
Du siehst: Die I-Spalte ist voll. Hier liegen neun Murmeln rum. Nun soll noch eine dazukommen. Da
9+1 = 10 sind, hast Du ein neues Zehner-Bündel. Lege also eine Murmel in die nächste Spalte und
nehme die restlichen vom Brett.
So macht man das in jeder Spalte.
=
Im folgenden findest Du noch ein paar Beispiele zum Rechnen mit Spaltenübertrag.
8+3=11
- Die C-Spalte ist auf beiden Brettern leer. Bleibt also leer.
- Die X-Spalte ist auf beiden Brettern leer. Bleibt also zunächst auch leer.
ACHTUNG: In der I-Spalte hast Du nur noch Platz für eine Murmel. Du sollst aber drei
hinzulegen.
- Lege also zunächst eine hinzu. Gut, geht.
=
Zwischenergebnis: 9 auf dem Brett, zwei noch zu verarbeiten.
- Dann nehme die nächste Murmel. Geht nicht, denn die Spalte ist voll. Aber mit dieser einen und
den neun auf dem Brett sind es nun zehn Stück. Nun legst Du eine Murmel in die X-Spalte und
nimmst die anderen vom Brett.
Zwischenergebnis: 1 mal Zehn, eine noch Rest.
=
- Das ist jetzt aber einfach. Es ist wieder viel Platz in der I-Spalte. Lege also die letzte Murmel dort
hin, und Du bist fertig.
Das Endergebnis lautet: 11.
=
12+9=21
- Die C-Spalte ist auf beiden Brettern leer. Bleibt also leer.
- In der X-Spalte haben wir eine Zehn und sonst nix. Bleibt also erst mal so.
ACHTUNG: In der I-Spalte ist nicht genug Platz für alle Murmeln. Wie viel passen rein?
- Es passen 7 Murmeln in die I-Spalte, dann ist sie voll.
Zwischenergebnis: 1 Zehner + 9 in der I-Spalte, zwei noch zu verarbeiten.
=
- Und nun kommt der Übertrag.
- Nehme eine Murmel zu den neun in der I-Spalte hinzu.
- Dann hast du zehn. Nimm sie vom Brett und lege dafür eine in die X-Spalte.
Oh, hier liegt ja schon eine. Das macht gar nix, dann haben wir eben zwei Zehner.
Zwischenergebnis: 2 mal Zehn, einer noch Rest.
=
- Jetzt ist wieder Platz in der I-Spalte. Lege also die letzte Murmel dort hin, und Du bist fertig.
Das Endergebnis lautet: 21.
=
to be continued ...

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