Terminologie
Ein-dimensionale lineare Wellengleichung
Harmonische Wellen
Beispiel 1
Beispiel 2
Gruppengeschwindigkeit
Wellenpaket
Quellen
Lineare Wellen
Eine Einführung
Larissa Laumann
Johannes Gutenberg Universität Mainz
29. Oktober 2012
Larissa Laumann
Lineare Wellen
Terminologie
Ein-dimensionale lineare Wellengleichung
Harmonische Wellen
Beispiel 1
Beispiel 2
Gruppengeschwindigkeit
Wellenpaket
Quellen
Inhaltsverzeichnis I
1
Terminologie
2
Ein-dimensionale lineare Wellengleichung
Superpositionsprinzip
Allgemeine Lösung
3
Harmonische Wellen
Allgemeine Lösung
Definition der Parameter
Stehende Welle
Verallgemeinerung
4
Beispiel 1
Linearisierte Korteweg-de Vries Gleichung
Larissa Laumann
Lineare Wellen
Terminologie
Ein-dimensionale lineare Wellengleichung
Harmonische Wellen
Beispiel 1
Beispiel 2
Gruppengeschwindigkeit
Wellenpaket
Quellen
Inhaltsverzeichnis II
5
Beispiel 2
Klein-Gordon Gleichung
Kombination von zwei Wellen
6
Gruppengeschwindigkeit
Klein-Gordon Gleichung
7
Wellenpaket
Eine weitere Verallgemeinerung
Entwicklung nach einer langen Zeit
Methode der stationären Phase
8
Quellen
Larissa Laumann
Lineare Wellen
Terminologie
Ein-dimensionale lineare Wellengleichung
Harmonische Wellen
Beispiel 1
Beispiel 2
Gruppengeschwindigkeit
Wellenpaket
Quellen
Terminologie
Amplitude: maximale Auslenkung einer Welle
Frequenz:
Anzahl der vollständigen Schwingungen in
einem festen Zeitintervall
Wellenkamm: Höchster Punkt der Welle
Wellental:
Tiefster Punkt der Welle
Wellenlänge: Abstand zwischen zwei Punkten einer
Phase
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Lineare Wellen
Terminologie
Ein-dimensionale lineare Wellengleichung
Harmonische Wellen
Beispiel 1
Beispiel 2
Gruppengeschwindigkeit
Wellenpaket
Quellen
Terminologie
Larissa Laumann
Lineare Wellen
Terminologie
Ein-dimensionale lineare Wellengleichung
Harmonische Wellen
Beispiel 1
Beispiel 2
Gruppengeschwindigkeit
Wellenpaket
Quellen
Superpositionsprinzip
Allgemeine Lösung
Ein-dimensionale lineare Wellengleichung
∂2φ
1 ∂2φ
=
∂x2
c2 ∂t2
φ
x
t
c
=
=
=
=
Auslenkung
Position auf der Saite
Zeit
Wellengeschwindigkeit
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Lineare Wellen
(1)
Terminologie
Ein-dimensionale lineare Wellengleichung
Harmonische Wellen
Beispiel 1
Beispiel 2
Gruppengeschwindigkeit
Wellenpaket
Quellen
Superpositionsprinzip
Allgemeine Lösung
Ein-dimensionale lineare Wellengleichung
Superpositionsprinzip
Das Prinzip der Superposition sagt aus, dass wenn φ = φ1 und
φ = φ2 Lösungen von (1) sind, dann ist auch
a1 φ1 + a2 φ2
mit beliebigen Konstanten a1 und a2 eine Lösung. Desweiteren
gilt, wenn φ(x, t; K) mit beliebiger Konstante K eine Lösung
ist, dann ist auch
Z ∞
φ(x, t; K) dK
−∞
eine Lösung.
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Lineare Wellen
Terminologie
Ein-dimensionale lineare Wellengleichung
Harmonische Wellen
Beispiel 1
Beispiel 2
Gruppengeschwindigkeit
Wellenpaket
Quellen
Superpositionsprinzip
Allgemeine Lösung
Ein-dimensionale lineare Wellengleichung
Allgemeine Lösung
φ(x, t) = f (x − ct) + g(x + ct)
ist die allgemeine Lösung mit f und g beliebigen Funktionen.
Für g = 0 erhält man
φ(x, t) = f (x − ct)
mit t = 0 erhält man als Anfangswert φ = f (x). Für x = x0
erhält man φ0 = f (x0 ). Für x = x1 erhält man
x1 = x0 + ct ⇒ x0 = x1 − ct
⇒ f (x1 − ct) = f (x0 )
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Lineare Wellen
Terminologie
Ein-dimensionale lineare Wellengleichung
Harmonische Wellen
Beispiel 1
Beispiel 2
Gruppengeschwindigkeit
Wellenpaket
Quellen
Superpositionsprinzip
Allgemeine Lösung
Ein-dimensionale lineare Wellengleichung
Larissa Laumann
Lineare Wellen
Terminologie
Ein-dimensionale lineare Wellengleichung
Harmonische Wellen
Beispiel 1
Beispiel 2
Gruppengeschwindigkeit
Wellenpaket
Quellen
Allgemeine Lösung
Definition der Parameter
Stehende Welle
Verallgemeinerung
Harmonische Wellen
Allgemeine Lösung
φ(x, t) = A ei(kx−ωt)
φ =
A =
k =
ω=
Auslenkung
Amplitude
Kreiswellenzahl
Kreisfrequenz
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Lineare Wellen
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Ein-dimensionale lineare Wellengleichung
Harmonische Wellen
Beispiel 1
Beispiel 2
Gruppengeschwindigkeit
Wellenpaket
Quellen
Allgemeine Lösung
Definition der Parameter
Stehende Welle
Verallgemeinerung
Harmonische Wellen
Definition der Parameter
ω
c
ω
f :=
2π
c
2πc
2π
λ := =
=
f
ω
k
k :=
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Lineare Wellen
Terminologie
Ein-dimensionale lineare Wellengleichung
Harmonische Wellen
Beispiel 1
Beispiel 2
Gruppengeschwindigkeit
Wellenpaket
Quellen
Allgemeine Lösung
Definition der Parameter
Stehende Welle
Verallgemeinerung
Harmonische Wellen
Stehende Welle
φ(x, t) = A cos(kx − ωt) + A cos(kx + ωt)
= 2 A cos(kx) cos(ωt)
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Lineare Wellen
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Ein-dimensionale lineare Wellengleichung
Harmonische Wellen
Beispiel 1
Beispiel 2
Gruppengeschwindigkeit
Wellenpaket
Quellen
Allgemeine Lösung
Definition der Parameter
Stehende Welle
Verallgemeinerung
Harmonische Welle
Stehende Welle
Larissa Laumann
Lineare Wellen
Terminologie
Ein-dimensionale lineare Wellengleichung
Harmonische Wellen
Beispiel 1
Beispiel 2
Gruppengeschwindigkeit
Wellenpaket
Quellen
Allgemeine Lösung
Definition der Parameter
Stehende Welle
Verallgemeinerung
Harmonische Wellen
Verallgemeinerung
⇒
ω = ω(k)
ω(k)
cp (k) =
k
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Lineare Wellen
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Ein-dimensionale lineare Wellengleichung
Harmonische Wellen
Beispiel 1
Beispiel 2
Gruppengeschwindigkeit
Wellenpaket
Quellen
Allgemeine Lösung
Definition der Parameter
Stehende Welle
Verallgemeinerung
Harmonische Welle
Verallgemeinerung-Terminologie
Phasengeschwindigkeit: Geschwindigkeit einer einzelnen
Welle
Gruppengeschwindigkeit: Gesamtgeschwindigkeit von
zusammengesetzen Wellen
Dispersionsrelation:
Zerstreuung von Wellen
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Lineare Wellen
Terminologie
Ein-dimensionale lineare Wellengleichung
Harmonische Wellen
Beispiel 1
Beispiel 2
Gruppengeschwindigkeit
Wellenpaket
Quellen
Linearisierte Korteweg-de Vries Gleichung
Beispiel 1
Linearisierte Korteweg-de Vries Gleichung
∂u
∂u
∂3u
+ α
= β
∂t
∂x
∂x3
mit der Dispersionsrelation
ω(k) = α k + β k 3
und der Phasengeschwindigkeit
cp (k) = α + β k 2 .
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Lineare Wellen
Terminologie
Ein-dimensionale lineare Wellengleichung
Harmonische Wellen
Beispiel 1
Beispiel 2
Gruppengeschwindigkeit
Wellenpaket
Quellen
Linearisierte Korteweg-de Vries Gleichung
Beispiel 1
Linearisierte Korteweg-de Vries Gleichung
Als Lösung erhält man
u(x, t) = A cos(k x − (αk + βk 3 ) t).
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Lineare Wellen
Terminologie
Ein-dimensionale lineare Wellengleichung
Harmonische Wellen
Beispiel 1
Beispiel 2
Gruppengeschwindigkeit
Wellenpaket
Quellen
Klein-Gordon Gleichung
Kombination von zwei Wellen
Beispiel 2
Klein-Gordon Gleichung
2
∂2u
2 ∂ u
−
α
+ β2 u = 0
∂t2
∂x2
mit der Dispersionsrelation
p
ω(k) = ± α2 k 2 + β 2 .
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Ein-dimensionale lineare Wellengleichung
Harmonische Wellen
Beispiel 1
Beispiel 2
Gruppengeschwindigkeit
Wellenpaket
Quellen
Klein-Gordon Gleichung
Kombination von zwei Wellen
Beispiel 2
Klein-Gordon Gleichung
Als Lösung erhält man
u(x, t) = A cos(k x −
Larissa Laumann
p
α2 k 2 + β 2 t).
Lineare Wellen
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Ein-dimensionale lineare Wellengleichung
Harmonische Wellen
Beispiel 1
Beispiel 2
Gruppengeschwindigkeit
Wellenpaket
Quellen
Klein-Gordon Gleichung
Kombination von zwei Wellen
Beispiel 2
Zusammengesetzte Lösung
Als Lösung für die Klein-Gordon Gleichung erhält man
u = A sin[kx − ω(k)t] + A sin[(k + δk)x − ω(k + δk)t]
die Dispersionsrelation muss
ω(k + δk) = ω(k) + δkω 0 (k) + O((δk)2 )
p
erfüllen, mit ω(k) = ± α2 k 2 + β 2 .
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Lineare Wellen
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Ein-dimensionale lineare Wellengleichung
Harmonische Wellen
Beispiel 1
Beispiel 2
Gruppengeschwindigkeit
Wellenpaket
Quellen
Klein-Gordon Gleichung
Kombination von zwei Wellen
Beispiel 2
Zusammengesetzte Lösung
Für δk << k ergibt sich
1
2
0
u(x, t) = 2 A cos
δk(x − ω (k)t) sin(kx−ω(k)t)+O(δk)
2
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Lineare Wellen
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Ein-dimensionale lineare Wellengleichung
Harmonische Wellen
Beispiel 1
Beispiel 2
Gruppengeschwindigkeit
Wellenpaket
Quellen
Klein-Gordon Gleichung
Gruppengeschwindigkeit
Klein-Gordon Gleichung - Herleitung ihrer Energiegleichung
Z
x2
2
Z
x2
(ut utt + β ut u) dx =
x1
∂
⇔
∂t
α2 ut uxx dx
x1
Z
x2
x1
1 2
(u + α2 u2x + β 2 u2 ) dx = α2 [ut ux ]xx21
2 t
für ut = 0 an den Punkten x1 und x2 , dann
Z x2
1 2
E=
(ut + α2 u2x + β 2 u2 ) dx
2
x1
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Lineare Wellen
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Ein-dimensionale lineare Wellengleichung
Harmonische Wellen
Beispiel 1
Beispiel 2
Gruppengeschwindigkeit
Wellenpaket
Quellen
Klein-Gordon Gleichung
Gruppengeschwindigkeit
Klein-Gordon Gleichung - Herleitung ihrer Energiegleichung
Setze nun
x1 (t) = −
π
+ ω 0 (k)t,
δk
x2 (t) =
π
+ ω 0 (k)t
δk
und differenziere, dann erhält man
Z x2 (t)
dE
=
(ut utt + α2 ux uxt + β 2 uut ) dx
dt
x1 (t)
x (t)
1
+ ω 0 (k) u2t + α2 u2x + β 2 u2 x21 (t)
2
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Lineare Wellen
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Harmonische Wellen
Beispiel 1
Beispiel 2
Gruppengeschwindigkeit
Wellenpaket
Quellen
Klein-Gordon Gleichung
Gruppengeschwindigkeit
Klein-Gordon Gleichung - Herleitung ihrer Energiegleichung
x2 (t)
dE
1 0
2
2 2
2 2
2
⇒
= ω (k)(ut + α ux + β u ) + α ux ut
dt
2
x1 (t)
die Lösung der Klein-Gordon Gleichung war
1
2
0
u ≈ 2 A cos
δk(x − ω (k)t) sin(kx − ω(k)t)
2
⇒
dE
=0
dt
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Lineare Wellen
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Ein-dimensionale lineare Wellengleichung
Harmonische Wellen
Beispiel 1
Beispiel 2
Gruppengeschwindigkeit
Wellenpaket
Quellen
Eine weitere Verallgemeinerung
Entwicklung nach einer langen Zeit
Methode der stationären Phase
Wellenpaket
Eine weitere Verallgemeinerung
Wellenpaket: räumlich und zeitlich begrenztes
Wellensystem
Ein Wellenpaket besitzt die Form
Z ∞
φ(x, t) =
A(k)ei(kx−ω(k)t) dk
−∞
für den Anfangswert t = 0 erhält man
Z ∞
φ(x, 0) =
A(k)eikx dk
−∞
Z ∞
1
⇒A(k) =
φ(x, 0)e−ikx dx
2π −∞
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Harmonische Wellen
Beispiel 1
Beispiel 2
Gruppengeschwindigkeit
Wellenpaket
Quellen
Eine weitere Verallgemeinerung
Entwicklung nach einer langen Zeit
Methode der stationären Phase
Wellenpaket
Entwicklung nach einer langen Zeit
Für die konstante Geschwindigkeit v = xt ergibt sich
Z ∞
φ=
A(k) eit(kv−ω(k)) dk.
−∞
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Harmonische Wellen
Beispiel 1
Beispiel 2
Gruppengeschwindigkeit
Wellenpaket
Quellen
Eine weitere Verallgemeinerung
Entwicklung nach einer langen Zeit
Methode der stationären Phase
Wellenpaket
Methode der stationären Phase
Z
∞
I(λ) =
f (s) eiλg(s) ds
−∞
mit λ >> 1 lässt sich approximieren mit einer
Taylorreihenentwicklung von f und g in der Nähe von
stationären Punken, wo g 0 (s) = 0 ist. Angenommen dort ist
nur ein solcher Punkt an s = s0 , dann ist
Z ∞
1
00
2
iλg(s0 )
I(λ) ≈ f (s0 ) e
ei 2 λg (s0 )(s−s0 ) ds
−∞
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Lineare Wellen
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Harmonische Wellen
Beispiel 1
Beispiel 2
Gruppengeschwindigkeit
Wellenpaket
Quellen
Eine weitere Verallgemeinerung
Entwicklung nach einer langen Zeit
Methode der stationären Phase
Wellenpaket
Methode der stationären Phase
Angenommen g 00 (s0 ) 6= 0, setze
r
z = (s − s0 )
1 00
λ|g (s0 )|
2
und man erhält
iλg(s0 )
I(λ) ≈ f (s0 ) e
2
00
λ|g (s0 )|
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12 Z
∞
−∞
Lineare Wellen
eiz
2 sgn{g 00 (s
0 )}
dz
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Harmonische Wellen
Beispiel 1
Beispiel 2
Gruppengeschwindigkeit
Wellenpaket
Quellen
Eine weitere Verallgemeinerung
Entwicklung nach einer langen Zeit
Methode der stationären Phase
Wellenpaket
Methode der stationären Phase
iπ
Durch Trennung der Veränderlichen z = e± 4 Z erhält man
Z ∞
Z ∞
iπ √
2
±iz 2
± iπ
dz = 2 e 4 ;
e
e−Z dZ = e± 4 π
−∞
0
iλg(s0 )
⇒I(λ) ≈ f (s0 ) e
Larissa Laumann
2π
λ|g 00 (s0 )|
12
Lineare Wellen
π
ei 4 sgn{g
00 (s
0 )}
.
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Harmonische Wellen
Beispiel 1
Beispiel 2
Gruppengeschwindigkeit
Wellenpaket
Quellen
Eine weitere Verallgemeinerung
Entwicklung nach einer langen Zeit
Methode der stationären Phase
Wellenpaket
Lösung eines Wellenpakets
An dem stationären Punkt k = k0 und mit der
erhält man
Geschwindigkeit v = dω
dk
itk0 v−ω(k0 )
φ ≈ A(k0 ) e
Larissa Laumann
2π
00
t|ω (k0 )|
21
Lineare Wellen
π
e−i 4 sgn{ω
00 (k
0 )}
.
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Ein-dimensionale lineare Wellengleichung
Harmonische Wellen
Beispiel 1
Beispiel 2
Gruppengeschwindigkeit
Wellenpaket
Quellen
Quellen & Literatur
Billingham, J.; King, A.C.: Wave Motion. Cambridge
University Press, 2001.
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Harmonische Wellen
Beispiel 1
Beispiel 2
Gruppengeschwindigkeit
Wellenpaket
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Vielen Dank für Ihre
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Larissa Laumann
Lineare Wellen

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