Mit Simulationen Wissen erwerben, vertiefen und anwenden

Mit Simulationen Wissen erwerben, vertiefen und anwenden
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Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung
1
2
Erläuterung und Realisierung von Simulationen am Beispiel
„Zentraler elastischer - und zentraler unelastischer Stoß“
3
Modellbildung und physikalische Grundlagen
3
2.1
2.1.1 Zentraler elastischer Stoß
3
2.1.2 Zentraler unelastischer Stoß
6
3
7
Bemerkungen zu den Simulationsbeispielen der Mathematik
3.1 Gewinnschwelle – Gewinngrenze
7
3.2 Simulation mit der Kosten- und Preisabsatzfunktion
8
3.3 Cournotscher Punkt
8
4
9
Bemerkungen zu den Simulationsbeispielen der Chemie
4.1 Konvertierungsgleichgewicht
9
4.2 Ausbeute bei der Konvertierung
10
5
Zufällige Simulation: Kenntnisse anwenden und vertiefen
11
6
Schlussfolgerungen aus unserem Projekt
12
2
1.Einleitung
Mit unserem Projekt wollen wir Möglichkeiten aufzeigen, um das Lernen noch
wirkungsvoller zu gestalten. Deshalb haben wir ein Demonstrations- und Übungsprogramm
entwickelt, um Themen der quantitativen Chemie, der experimentellen Physik und der
Anwendung der Mathematik in der Wirtschaft darzustellen und anzuwenden.
Dabei haben wir die Simulation als Programmierprinzip verwendet, um Experimente oder
komplexe Vorgänge mittels mathematischer Methoden am Rechner nachzuvollziehen. Wir
sind von folgenden Voraussetzungen ausgegangen:
• Die Kosten der Modellerstellung und Simulation sind nur ein Bruchteil dessen, was
bei ähnlich umfassender Untersuchung mit realen oder analogen physikalischen
Modellen aufzuwenden wäre.
•
Eine Dynamik, die zur Systemzerstörung führen würde, hinterlässt im Computer
überhaupt keine Konsequenzen: Das Simulationsprogramm kann nach wie vor
weiterverwendet werden. Damit wird auch gerade eine umfangreiche Untersuchung
gefährlicher Systementwicklungen möglich.
• Der zeitliche Ablauf des dynamischen Verhaltens kann erheblich gerafft und verkürzt
oder – bei in der Natur sehr schnell ablaufenden Vorgängen – auch, falls notwendig,
erheblich gedehnt werden, so dass genaue Beobachtungen möglich wären.
• Das reale System wird keinerlei Risiko unterzogen. Messungen oder Eingriffe am
realen System sind nicht notwendig.
Die erste allgemein bekannte gewordene Anwendung der Systemsimulation zur Erforschung
von vernetzten Regelkreisen, war die Studie Grenzen des Wachstums (1972) von D.H. und
D.L. Meadows, die auf der Systemdynamik von J.W. Forrester (ab 1968) beruhte. Die Studie
von Meadows ist inzwischen Wissenschaftsgeschichte geworden; sie sagte – basierend auf
den Daten von 1900 – einen Zusammenbruch der Weltwirtschaft zwischen 2060 und 2070
voraus.
Das Aufkommen der Chaostheorie (ab 1980) ließ das Interesse an nicht vorhersagbaren, stark
von den Anfangsbedingungen abhängigen, dynamischen Systemen anwachsen, z.B. die
Lorenz-Gleichungen.
Insbesondere durch die Weiterentwicklung der Computertechnik ist es möglich geworden,
virtuelle Welten zu simulieren. Diese Technik wird Virtual Reality (VR) genannt. Damit ist
bereits heute möglich, virtuell mit einem Flugzeug über die Marsoberfläche zu fliegen oder
einen Rundgang durch die noch nicht wiederhergestellte Nicolaikirche in Gardelegen zu
machen.
Zielstellung
Durch konsequente Anwendung der Unterprogrammtechnik soll eine übersichtliche
Programmstruktur erreicht werden. Die Entwicklung der Prozeduren garantiert das Programm
aus mehreren Moduln aufzubauen. Dabei sind besonders gemischte Entwicklungsstrategien
zu nutzen, die grundsätzlich die Schrittfolge der Top-down-Strategie („von oben nach unten“)
•
•
•
Entwerfen der Systemarchitektur
Entwerfen der Modularstrukturen
Entwerfen der Moduln
beibehält.
Schema für die Systemarchitektur:
3
Start
Hauptmenü
•
•
•
•
Chemie
Physik
Mathematik/ Wirtschaft
Spielerisch – Wissen festigen und überprüfen
Abbruch
In Abweichung von der strengen Top-down-Strategie waren beim Entwerfen der
Modularstrukturen im gewissen Umfang Bottum-up-Vorgehensweisen ( „von unten nach
oben“) neben der grundsätzlichen Top-down-Orientierung mit zugelassen.
In vier Units sind die Schwerpunkte des Projektes zusammengefasst, die durch Anklicken
der zugehörigen SpeedButton aufgerufen werden.
Entwerfen der Modularstrukturen
Chemie
• Konvertierungsgleichgewicht
• Ausbeute
Physik
• Elastischer Stoß
• Unelastischer Stoß
• Ballistisches Pendel
• Aufgaben
• Zusammenfassung
Mathematik/ Wirtschaft
• Gewinnschwelle/ Gewinngrenze
• Preisabsatz
• Preisabsatzfunktion
• Cournotscher Punkt
• Zusammenfassung
Spielerisch – Wissen vertiefen und überprüfen
• Angemessene Fragen
• Anspruchsvolle Fragen
Entwerfen der Moduln
Es wird unter DELPHI das PageControl genutzt. So können für die Darstellung der Beispiele
überlappende neue Seiten verwendet werden. Die Funktionen und Prozeduren, die öfter
benötigt werden, sind unter implementation vorangestellt.
Verzweigungen und Schleifen werden im Programmtext durch Einrückungen deutlich
hervorgehoben. Auch mit Kommentaren kann der gestaltete Programmtext später noch
gelesen und verstanden werden.
4
2. Erläuterung und Realisierung von Simulationen am Beispiel
„Zentraler elastischer und zentraler unelastischer Stoß“
2.1 Modellbildung und physikalische Grundlagen
Am Beispiel „Zentraler elastischer Stoß und zentraler unelastischer Stoß“ soll die
Modellbildung und Simulation erläutert werden. Die erste Phase der Modellbildung hat sich
mit dem Erkennen und der Darstellung der verhaltensrelevanten Systemstruktur zu befassen.
Es ist zu klären, welche Größen auch in das Modellsystem übernommen werden müssen, um
damit die Entwicklung des Realsystems des Modellierungszwecks einigermaßen gültig
beschreiben zu können. Es gilt also die wichtigsten Systemgrößen und ihre Verknüpfungen zu
identifizieren. Ausgangspunkt einer jeden Systemuntersuchung ist zunächst eine verbale,
umgangssprachliche Beschreibung des darzustellenden Sachverhalts. Dieses Wissen wird aber
selten ausreichen, um ein System gültig darzustellen. Fast immer müssen zusätzliche
Informationen, Messdaten, statistische Erhebungen usw. die verbale Systembeschreibung
ergänzen und präzisieren. Das Wortmodell für unser Beispiel „Zentraler elastischer Stoß und
zentraler unelastischer Stoß“ könnte etwa wie folgt lauten:
Als Stoß bezeichnet man in der Physik alle die Vorgänge, bei denen zwei oder mehrere
Körper kurzzeitig miteinander Wechsel wirken und dadurch ihren Bewegungszustand ändern.
Beispiele für Stöße sind der Abschlag eines Tennisballs (Wechselwirkung Ball – Schläger),
der Abschuss eines Fußballs (Wechselwirkung Fuß – Ball), der Zusammenstoß zweier Autos
(Wechselwirkung Auto1 – Auto2) oder das Auftreffen eines Geschosses auf einen Körper.
Wir betrachten nachfolgend nur Stöße zwischen zwei Körpern, die ein abgeschlossenes
System bilden. Damit gilt für alle diese Stöße der Impulserhaltungssatz. Nach der
Energiebilanz unterscheidet man zwischen elastischen und unelastischen Stößen. Nach der
gegenseitigen Lage der Körper bei der Wechselwirkung kann man zwischen zentralen und
nicht zentralen Stößen unterscheiden. Wir beschränken uns bei unseren Simulationen auf
zentrale Stöße.
2.1.1 Zentraler elastischer Stoß
Bei einem zentralen elastischen Stoß treten nur elastische Wechselwirkungen auf. Das
bedeutet, dass die mechanische Energie vor dem Stoß genauso groß ist wie nach dem Stoß.
Darüber hinaus ist der Gesamtimpuls vor dem Stoß genauso groß wie nach dem Stoß.
Größen, Zusammenhänge
m0 Masse von Körper1,m1 Masse von Körper2;
v0,v1 Geschwindigkeiten vor dem elastischen Stoß;
u0,u1 Geschwindigkeiten nach dem elastischen Stoß.
Damit gelten für den elastischen Stoß:
(E)
0,5m0 v02 + 0,5m1v12 = 0,5m0 u 02 + 0,5m1u12
(I)
m0 v 0 + m1v1 = m0 u 0 + m1u1
Aus (E) folgt
2
2
2
2
m0 (v 0 − u 0 ) = m1 (u1 − v1 ) bzw.
m0 (v 0 + u 0 )(v 0 − u 0 ) = m1 (u1 + v1 )(u1 − v1 )
(I) ergibt nach Umstellung:
5
m0 (v 0 − u 0 ) = m1 (u1 − v1 )
Auflösen nach u1 und Einsetzen in (I) ergibt eine Beziehung für u0.
u1 = v0 + u0 - v1
m0 v0 + m1v1 = m0 u 0 + m1 ( v 0 + u 0 - v1 )
m0 v0 + m1v1 = m0 u 0 + m1 v 0 + m1 u 0 - m1 v1 )
m0 v0 + m1v1 − m1 v 0 + m1 v1 = u 0 (m0 + m1 )
2m1v1 + ( m0 - m1 )·v 0 = u 0 (m0 + m 1 )
u0 = ( 2m1v1 + (m0 - m1 )·v0 ) : (m0 + m1 )
In analoger Weise ermitteln wir u1.
u1 = (2 m0 v0 + (m1 – m0)·v1) : (m0+ m1)
Oberfläche (Bild 1)
Alle für die Programmentwicklung wichtigen Schritte haben wir schriftlich fixiert. In
den Programmtext haben wir Kommentare vorwiegend durch Doppelslash gekennzeichnet.
Verzweigungen und Schleifen machen wir in unserem Programmtext durch Einrückungen
deutlich. Sowohl für den elastischen als auch für den unelastischen Stoß verwenden wir für die
Bewegungssimulation die Prozedur
procedure stoss_zeichnen(v0,v1,u0,u1: integer);
Falls der Kommentartext mehrere Zeilen lang ist, haben wir geschweifte Klammern benutzt.
Für den Anfang der Prozeduren haben wir Stern und runde Klammern eingesetzt. So haben wir
für den Startbutton des elastischen Stoßes folgende Prozedur geschrieben.
(***START-BUTTON-Elastisch***)
procedure TFormK2.Btn_elast_StartClick(Sender: TObject);
6
var v0,v1,v0_bew,v1_bew,m0,m1: integer;
u0,u1: single;
//v0; v1: Geschw. vor dem Stoß
//u0; u1: Geschw. nach dem Stoß
//m0; m1: Massen der Körper
begin
v0:= strtoint(edit_elast_korper0_v.text);
v1:= strtoint(edit_elast_korper1_v.text);
m0:= strtoint(edit_elast_korper0_m.text);
m1:= strtoint(edit_elast_korper1_m.text);
//Intervall 5<v<30
if (v0<5) or (v1<5) or (v0>40) or (v1>40) then begin
messagedlg('Intervall beachten! 10<v<30',mtwarning,[mbok],0);
exit;
end;
if (m0<1) or (m1<1)
then begin
messagedlg('Intervall beachten! m>10',mtwarning,[mbok],0);
exit;
end;
//Bei Bewegung nach links: Geschw. negativ setzen
if rb_elast_korper0_l.checked then v0:= -v0;
if rb_elast_korper1_l.checked then v1:= -v1;
//Geschw. nach dem Stoß berechnen
u0:= -(((2*m1)*v1+(m0-m1)*v0)/(m0+m1));
u1:= ((2*m0)*v0+(m1-m0)*v1)/(m0+m1);
//Button ein/ausschalten
btn_elast_stop.Enabled:= true;
btn_elast_start.enabled:= false;
//Schleife starten
an:= true;
//Prozedur für die Simulation des elastischen und unelastischen Stoßes
stoss_zeichnen(v0,v1,round(u0),round(u1));
//Button ein/ausschalten
btn_elast_stop.Enabled:= false;
btn_elast_start.enabled:= true;
//Ausgabe der Geschwindigkeiten
Label_elast_korper0_u.Caption:= floattostrf(abs(u0),fffixed,10,2) +' m/s';
Label_elast_korper1_u.Caption:= floattostrf(abs(u1),fffixed,10,2) +' m/s';
end;
Mit der Prozedur procedure TFormK2.Paint_elast_untergrPaint(Sender: TObject);
ist für einen zentralen Stoß gewährleistet, dass die Verbindungsgerade der Schwerpunkte
beider Körper auf der Berührungsfläche, die sich beim Stoß ausbildet, senkrecht steht.
procedure TFormK2.Paint_elast_untergrPaint(Sender: TObject);
7
var i: byte; //Laufvariable
begin
//Bodenlinie
paint_elast_untergr.canvas.moveto(0,60);
paint_elast_untergr.canvas.lineto(paint_elast_untergr.width,60);
//diagonale Streifen
for i:= 0 to 65 do begin
paint_elast_untergr.Canvas.MoveTo(i*10,61);
paint_elast_untergr.canvas.lineto(i*10-7,73);
end;
end;
Die zwei Körper, die sich aufeinander zu bewegen, werden durch zwei Quader (zur
Unterscheidung blau und rot) veranschaulicht, von denen die Seitenansicht zu erkennen ist.
Test:
Es kann gut der Sonderfall des elastischen Stoßes veranschaulicht werden, wenn gleiche
Massen (m0 = m1) der Körper1 und Körper2 vorhanden sind. Dann ist schön zu erkennen,
wie die Körper ihre Geschwindigkeit austauschen.
2.1.2 Zentraler unelastischer Stoß
Bei einem zentralen unelastischen Stoß, z.B. bei einem Auffahrunfall, treten keine
elastischen Wechselwirkungen auf. Die Körper bewegen sich nach dem Stoß mit einer
gemeinsamen Geschwindigkeit weiter. Der Impuls ist vor dem Stoß genauso groß wie
nach dem Stoß. Nimmt man an, dass sich beide Körper längs einer Geraden in der
gleichen Richtung bewegen, dann gilt:
Impuls vor dem Stoß = Impuls nach dem Stoß
m0·v0 +m1·v1 = (m0 + m1)·u
Damit kann man die Geschwindigkeit beider Körper nach dem Stoß berechnen.
u = (m0·v0 +m1· v1) : (m0+m1)
Beim unelastischen Stoß ist die kinetische Energie nach dem Stoß
0,5·(m0+m1)·u²
kleiner als vor dem Stoß
0,5·m0·v0² + 0,5·m1·v1²
Die Differenz
0,5·m0·v0² + 0,5·m1·v1² - 0,5·(m0+m1)·u²
wird offenbar in andere Energieformen wie Verformungsenergie und Wärmeenergie
8
umgewandelt und steht als kinetische Energie nach dem Stoß nicht mehr zur Verfügung.
Diese Differenz soll in unserem Projekt auch ausgegeben werden.
Oberfläche (Bild 3)
3. Bemerkungen zu den Simulationsbeispielen der Mathematik
3.1 Gewinnschwelle – Gewinngrenze
Der Gewinn eines Betriebs errechnet sich aus der Differenz des erzielten Erlöses und der
entstandenen Kosten zur gleichen Produktionsmenge. Bei Aufnahme der Produktion sind die
Kosten zunächst höher als die Erlöse, der Betrieb befindet sich in der Verlustzone. Bei einer
bestimmten Produktionsmenge geht der Betrieb von der Verlustzone in die Gewinnzone über;
bei dieser Produktionsmenge, die man als Gewinnschwelle bezeichnet, sind Erlöse und
Kosten gleich, die Erlös- und Kostenkurve schneiden sich an dieser Stelle. Bei ertragsgesetzlichem Kurvenverlauf gibt es einen zweiten Schnittpunkt der Erlös- und Kostenkurve
im ersten Quadranten. Er kennzeichnet den Übergang von der Gewinn- in die zweite Verlustzone und wird als Gewinngrenze bezeichnet.
Beispiel: E(x) = -0,1x²+1,6x ist die Erlösfunktion eines Elektroartikelherstellers.
K(x) = mx + 0,4 ist die zugehörige Kostenfunktion. Durch den Einsatz guter Technik konnte
der Anstieg der Kostenfunktion gesenkt werden. Mit E(x) = -0,1x²+1,6x und der linearen
Kostenfunktion K(x) = mx + 0,4 ist eine Simulation durchzuführen, so dass Gewinnschwelle, Gewinngrenze und die dazugehörigen Geldeinheiten der graphischen Darstellung zu
entnehmen sind (0,3 < m < 1,2). Beobachten Sie dabei, wie sich Gewinnschwelle und- grenze mit
steigenden Werten von m verändern.
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(Bild 4)
3.2 Simulation mit der Kosten- und Preisabsatzfunktion
Beispiel: Für den Produzenten einer Werkzeugmaschine ergeben sich die gesamten
Produktionskosten nach der Kostenfunktion K(x) = 4000x + 32000; x ∈ [0:10]. Die
Preispolitik erfolgt auf der Grundlage einer linearen Preisabsatzfunktion. Bei einem Angebot
von x Stück kann ein Stückpreis von p(x) erzielt werden, wobei gilt p(x) = -4000x + 40000
• Die Graphen der Kostenfunktion, Preisabsatzfunktion, Erlösfunktion und
Gewinnfunktion sind darzustellen.
• Allgemein gilt: K(x) = m1. x + n1 und p(x) = m2. x + n2
Durch den Einsatz von Computern und besonderem Material können die Anstiege der
Kostenfunktion und Preisabsatzfunktion verändert werden. Beobachten Sie dabei, wie
sich Gewinnschwelle und- grenze, gewinnmaximale Ausbringungsmenge und maximaler
Gewinn bei Verkleinerung der Anstiege verändern (0,2 <m1 <0,8; -0,7<m2<-0,3).
(Bild 5)
3.3 Cournotscher Punkt
Der Cournotsche Punkt ist der Punkt auf dem Graphen der Preisabsatzfunktion eines
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Monopolisten, der an der Stelle der gewinnmaximalen Ausbringungsmenge liegt und den zu
ihr gehörenden Preis angibt. Durch den Einsatz neuer Maschinen kann der Anstieg der
Kostenfunktion sukzessive in Zehntelschritten von 0,7 auf 0,2 gesenkt werden. Beobachten
Sie an dieser Simulation, wie sich der Cournotsche Punkt ändert.
In einer Zusammenfassung werden Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Cournotscher Punkt
gefestigt.
(Bild 6)
Für alle Simulationsbeispiele der Mathematik werden drei Prozeduren eingesetzt:
// Koordinatensystem: procedure KoSys;
//Simulation Lineare Funktion
procedure Linear(xgrenze,m2,n2:real);
// Simulation Quadratische Funktion
procedure Quad(xgrenze,m,n,c:real);
4. Bemerkungen zu den Simulationsbeispielen der Chemie
4.1 Konvertierungsgleichgewicht
Bei der Vergasung kohlenstoffhaltiger Rohstoffe mit Luft und Wasserdampf entsteht ein
Gasgemisch, das vor allem Kohlenmonoxid, Stickstoff und Wasserstoff enthält. Das Gasgemisch ist als Synthesegas zur Herstellung von Ammoniak und Methanol geeignet.
CO
+
H2O
< === >
CO2
+
H2
Dieses Verfahren heißt Konvertierung. Mit unserem Simulationsprogramm wollen wir zeigen,
wie mit Hilfe der Gleichung des Massenwirkungsgesetzes und der bekannten Gleichgewichtskonstanten die in der Produktion zu erwartenden Ergebnisse der Konvertierung berechnet
werden können.
11
Oberfläche (Bild 7)
4.2 Ausbeute bei der Konvertierung
Wird in der Produktion oder im Labor ein bestimmter Stoff hergestellt, so ist die Ausbeute
eine wichtige Kenngröße für die Effektivität der Stoffherstellung. Die Ausbeute eines
Reaktionsproduktes ist der Quotient aus der entstandenen Stoffmenge und der für den
vollständigen Umsatz eines Ausgangsstoffes berechneten Stoffmenge dieses
Reaktionsproduktes. Häufig gibt man die Ausbeute in Prozent an. Dann muss der Quotient
noch mit 100 multipliziert werden.
Oberfläche und Test (Bild 8)
12
5. Zufällige Simulation: Kenntnisse anwenden und vertiefen
Angemessene Fragen und anspruchsvolle Fragen
Oberfläche (Bild 9)
13
Mit dem Zufallsgenerator werden aus den Fächern Chemie, Physik und Mathematik
zunächst fünf angemessene Fragen ausgewählt, dann zwei anspruchsvolle Fragen.
Beispiele für angemessene Fragen:
1. Was passiert wenn Kohlendioxid aus dem Reaktionsprodukt entfernt wird?
Mögliche Antworten werden eingeblendet:
antw1txt:='geringerer Wassereinsatz';
antw2txt:='mehr Wasserstoff entsteht';
antw3txt:='Keine Änderung';
antw4txt:='mehr Kohlenmonoxideinsatz';
2. Was ist der Cournotsche Punkt auf dem Graphen der Preisabsatzfunktion ?
antw1txt:='Das Betriebsminimum';
antw2txt:='Gewinnschwelle';
antw3txt:='Gewinngrenze';
antw4txt:='Liegt an der Stelle der gewinnmaximalen Ausbringungsmenge';
3. Wer wird als "Vater der Raumfahrt" bezeichnet ?
antw1txt:='Der deutsche Forscher Wernher von Braun (1912-1977)';
antw2txt:='Der amerikanische Physiker Robert Goddard (1882-1945)';
antw3txt:='Der russische Wissenschaftler Konstantin. E. Ziolkowski (1857-1935)';
antw4txt:='Der deutsche Forscher Hermann Oberth (1894-1989)';
Für die ausgewählte Antwort wird das entsprechende Panel gelb gefärbt, für eine falsche
Antwort erscheint es rot, die richtige Antwort wird dann im grünen Panel hervorgehoben.
Beispiel für anspruchsvolle Fragen:
Ein ballistisches Pendel wird durch den Einschuss einer Luftgewehrkugel
um 21mm gehoben. Der Pendelkörper wiegt 250 g, die Gewehrkugel 0,5 g.
Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der Gewehrkugel in m/s.
Hinweis: Ergebniseingabe = ### ohne Einheit
Bei diesen Fragen muss man sich schon Notizen machen, um die Lösung zu ermitteln. Zum
Abschluss der Übung wird eine entsprechende Auswertung eingeblendet.
6. Schlussfolgerungen aus unserem Projekt
Die Tatsache, dass Computer schnell und genau jede mathematische oder logische
Formulierung in beliebiger Kombination abarbeiten können, erweitert die Möglichkeit
der Modellbildung und Simulation auf alles, was sich – in welcher Form auch immer –
formalisieren und damit rechenfähig darstellen lässt. Damit sind in fast allen Bereichen
menschlicher Erfahrung neue Möglichkeiten entstanden, um bisher kaum überschaubare
komplexe dynamische Entwicklungen auch modellhaft darzustellen, zu simulieren, besser
zu verstehen und besser mit ihnen umzugehen als bisher. Die Darstellung von Verhalten
durch Computersimulationsmodelle hat in zwischen fast alle anderen Darstellungsmöglichkeiten, die früher einmal eine Rolle spielten (wie hydraulische, elektrische,
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mechanische Analogien), abgelöst.
Indem Wissenschaft und Forschung sich bemühen, verallgemeinerbare Prinzipien und
Prozesse in der Realität zu identifizieren, erstellen sie Modelle, die wiederum der
angewandten Forschung und Technik zur Untersuchung und Simulation neuer
Möglichkeiten dienen.
Jüngste technische Entwicklungen zeigen, dass – wie bereits im realitätstreuen Simulators
eines Flugzeuges – Computersimulationen in Zukunft an vielen Stellen den Menschen als
mitagierendes System sehr viel mehr einbeziehen werden als bisher. Über Bildschirmhelm
und elektronische Handschuhe hat er die Möglichkeit bekommen, in einer simulierten
Scheinwelt greifbare Erfahrungen zu sammeln – in einer Welt, die schließlich nur in den BitZuständen einiger weniger Computerchips besteht. Die Zukunft wird zeigen müssen, ob und
in welchen Bereichen das vollständige Hineintauchen in simulierte Scheinwelten zur
menschlichen Entwicklung einen Beitrag leisten kann. In vielen Wissensbereichen wird das
Verfahren der Modellbildung und Simulation genutzt, so dass ein einheitlicher Ansatz
erkennbar wird, der sich nicht nach Fachdisziplinen unterscheidet. Deshalb haben wir drei
verschiedene Bereiche gewählt, um Vorteile der Simulation zu zeigen: Mathematik, Physik
und Chemie.
Für die Konvertierung von Kohlenmonoxid gilt
CO + H2O ⇔ CO2 + H2
Für das Gleichgewicht gilt das Massenwirkungsgesetz, so dass der Quotient
cCO2 ·c H 2
· Grundlage für die Simulation wird und gute Kenntnisse über quadratische
Kc =
cCO ·c H 2O
Gleichungen verlangt.
Aber auch bei der Simulation „Gewinnschwelle/Gewinngrenze“ sind gute Kenntnisse über
quadratische Gleichungen erforderlich. Denn ein Gleichsetzen von E(x) = -0,1x²+1,6 und der
Kostenfunktion K(x) = mx + 0,4
führt auf x1,2 = 8 – 5m ±
25m² − 40m + 60 .
Eine Verallgemeinerung der Ergebnisse mit der Kostenfunktion K(x) = m1·x + n1 und der
Preisabsatzfunktion p(x) = m2·x + n2 nach der Darstellung mit Hilfe der Prozeduren
// Kostenfunktion
Linear(200,m1,n1);
// Preisabsatzfunktion
Linear(200,m2,n2);
führt nun leicht auf die allgemeine Kennzeichnung von Gewinnschwelle und Gewinngrenze.
Da der Cournotsche Punkt auf dem Graphen der Preisabsatzfunktion liegt, und zwar an der Stelle
der gewinnmaximalen Ausbringungsmenge, besteht die Möglichkeit z.B. mithilfe der
quadratischen Ergänzung aus G(x) = m2·x² + n2·x – (m1·x + n1) die Abszisse des Cournotschen
Punktes zu ermitteln oder mit der 1.Ableitung von G(x):
m1 − n 2
G´(x) = 2·m2·x + n2 – m1 => 2·m2·x + n2 – m1 = 0 => x =
2·m2
Deshalb kann diese Aufgabe schon für Schüler ab der Jahrgangsstufe 9 gelöst werden.
Neben der Simulation des zentralen elastischen Stoßes und des zentralen unelastischen Stoßes mit
entsprechenden Geschwindigkeiten und Massen von quaderförmigen Körpern in vorgegebenen
Intervallen können auch Spezialfälle gut veranschaulicht werden.
Beispiel:
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Beim Rangieren auf einem waagerecht verlaufenden geraden Streckenabschnitt stößt ein
Güterwagen I elastisch auf einen ruhenden Güterwagen II bzw. ein Personenkraftwagen I stößt
frontal auf einen ruhenden Personenkraftwagen II. Der Zusammenstoß kann als unelastischer Stoß
angesehen werden. Die Massen m1 und m2 beider Wagen sowie die Geschwindigkeit des Wagens
I vor dem Stoß werden als bekannt vorausgesetzt.
Ermitteln Sie die Ergebnisse für die Fälle m1 = m2 und m2 = 2m1.
Wie kann man den Bewegungszustand der Güterwagen nach dem Stoß für beide Spezialfälle
beschreiben?
Eine besonders anspruchsvolle Anwendung des unelastischen Stoßes ist die Simulation zur
Bestimmung der Geschossgeschwindigkeit mit dem ballistischen Pendel, z.B. ein Holzklotz, in den
das Geschoss eindringen kann und in dem es stecken bleibt. Dann liegt ein unelastischer Stoß vor.
Betrachtet man das Geschoss und den Holzklotz als abgeschlossenes System, so gilt der
Impulserhaltungssatz. Das Geschoss habe die Masse m0 und die Geschwindigkeit v0. Das
ballistische Pendel habe die Masse m1. Nach dem Auftreffen des Geschosses beträgt die
gemeinsame Geschwindigkeit von Geschoss und Pendel u. Der Gesamtimpuls vor dem Auftreffen
des Geschosses ist m0·v0, unmittelbar nach dem Auftreffen des Geschosses (m0+m1)·u. Es gilt
m0 + m1
u
also: m0·v0 = (m0+m1)·u => v0 =
(1)
m0
Die gemeinsame Geschwindigkeit u lässt sich indirekt bestimmen: Durch das Auftreffen des
Geschosses gerät das ballistische Pendel in Schwingungen. Seine kinetische Energie wird in
potentielle Energie umgewandelt. Der Schwerpunkt des Pendels erreicht eine bestimmte Höhe h.
Dann gilt nach dem Energieerhaltungssatz: 0,5(m0+m1)u² = (m0+m1)·g·h => u = 2 g·h (2)
Setzt man (2) in (1) ein, so erhält man die Geschossgeschwindigkeit:
v0 =
m0 + m1
2 g·h
m0
Auch Aufgaben, die mit dem Simulationsprogramm gut demonstriert werden können, tragen zum
besseren Verständnis der Anwendung der Erhaltungssätze (Energieerhaltungssatz und
Impulserhaltungssatz) bei.
(Bild 10)
16
Die Simulation der Stoßvorgänge erfolgt in der Prozedur
procedure stoss_zeichnen(v0,v1,u0,u1: integer);
Dabei wird eine repeat-until- Schleife verwendet, in der die folgende Anweisung dringend
erforderlich ist, da ansonsten die Schleife nicht „mitbekommen“ würde, wenn sich die
Variable an in False geändert hat.
//Änderung übernehmen
application.processmessages;
until (frame>400) or (not an) or (pos1>560) or (pos0<16);
In einer Zusammenfassung, die als überlappende letzte Seite zur Physik gewählt werden kann,
können mit der Simulation von Kugeln die Kenntnisse zu den Stoßvorgängen gefestigt und
angewandt werden.
(Bild 11)
Für den Lernprozess erweist es sich als sehr nützlich, auch die zufällige Simulation einzusetzen.
Deshalb ist neben den deterministischen Simulationen in den Fächern Chemie, Physik und
Mathematik auch die zufällige Simulation für alle drei Fächer angewandt worden, um sich
spielerisch Kenntnisse anzueignen und zu vertiefen.
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Literaturverzeichnis
[01] H. Bossel: Modellbildung und Simulation, Vieweg, Wiesbaden, 1992
[02] A. Engel: Mathematisches Experimentieren mit dem PC, Klett, Stuttgart, 1991
[03] F. Piefke: Simulation mit dem Personalcomputer, Hüthig Buch Verlag Heidelberg, 1991
[04] D. Herrmann: Algorithmen für Chaos und Fraktale, Addison - Wesley, Bonn, 1994
[05] D. Herrmann: C++ für Naturwissenschaftler, Addison – Wesley, Bonn, 1997
[06] Fachhochschulreife Mathematik Wirtschaft, Cornelsen, 2007
[07] Weber, Zillmer: Mathematik Sekundarstufe II, PAETEC GmbH, 1999
[08] Rahmenrichtlinien des Landes Sachsen – Anhalt/ Gymnasium
Mathematik / Physik / Chemie
[09] Mathematik Sachsen – Anhalt Band1 – Analysis, Cornelsen Verlag, 2005
[10] Dobrenz / Kowalski: Borland Delphi 7, Karl Hauser Verlag München Wien
[11] Metzler Physik, Schroedel Schulbuchverlag GmbH, Hannover, 1998
[12] Meyer / Schmidt: Physik / Lehrbuch für Klasse 11, PAETEC GmbH, 2004
[13] Oberstufe Physik / Sachsen – Anhalt 11, Cornelsen 2003
[14] Physikalische Chemie, Lehrbuch für Sekundarstufe II, Volk und Wissen Verlag GmbH,
Berlin 1995
[15] Chemie, Lehrbuch für Klasse 12, Volk und Wissen Verlag GmbH, Berlin 1991
[16] elemente, Chemie II, Unterrichtswerk für die Sekundarstufe II, Ernst Klett
Schulbuchverlag, 1993
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