UNIVERSIDAD DE COSTA RICA ´ FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS ´ ESCUELA DE MATEMATICA Departamento Matem´atica Aplicada I Ciclo-2015 La Carta al Estudiante 1 Informaci´ on General Nombre del curso: Matem´ atica para econom´ıa y estad´ıstica I Sigla: MA-0213 Naturaleza del curso: Te´ orico Nro de horas presenciales: 5 Modalidad: Semestral Cr´ editos: 4 Requisito: MA-0125 Correquisito: Ninguno Estimado(a) estudiante: Reciba una cordial bienvenida y esperamos que este curso contribuya significativamente a su formaci´on profesional. En este documento encontrar´a la informaci´on referente a la descripci´on, objetivos, contenidos, evaluaci´ on, cronograma y bibliograf´ıa del curso. Para el mejor aprovechamiento de este curso, el estudiante debe contar con un manejo ´agil de los temas y contenidos de Prec´ alculo que se detallan en http://diagnostico.emate.ucr.ac.cr/, la p´agina del examen de diagn´ostico en matem´atica de esta universidad. El curso tiene 4 cr´editos. De acuerdo con el Reglamento de R´egimen Acad´emico Estudiantil a 4 cr´editos corresponde una dedicaci´ on de 12 horas por semana para el estudiante. De estas 12 horas, aproximadamente 4 horas corresponden a los per´ıodos de lecciones (250 minutos); en consecuencia, 8 horas corresponden a trabajo del estudiante fuera de clases. La informaci´on puede consultarse en http://www.cu.ucr.ac.cr/normativ/definicion credito.pdf. 2 Objetivos generales del curso • Conocer y aplicar la teor´ıa b´ asica del c´alculo diferencial e integral en una variable, para la posterior resoluci´ on de problemas en econom´ıa, estad´ıstica y matem´atica. • Conocer y utilizar adecuadamente el lenguaje y los razonamientos matem´aticos. 1 3 Objetivos espec´ıficos del curso 1. Enunciar y aplicar conceptos y propiedades de l´ımites, continuidad, derivadas, antiderivadas integrales definidas, integrales impropias de funciones de una variable real. 2. Aplicar y demostrar teoremas que involucran conceptos de l´ımites, continuidad, derivaci´ on e integraci´ on. 3. Calcular l´ımites, derivadas e integrales definidas e indefinidas de funciones. 4. Justificar los procedimientos realizados para el c´alculo de l´ımites, derivadas e integrales definidas e indefinidas de funciones elementales. 5. Determinar la continuidad o discontinuidad de una funci´on. 6. Clasificar, en evitables o inevitables, las discontinuidades de una funci´on. 7. Determinar los intervalos de monoton´ıa de una funci´on, sus valores extremos relativos, los intervalos en los que la gr´ afica de la funci´on es c´oncava hacia arriba o hacia abajo, y los puntos de inflexi´ on. 8. Justificar los procedimientos empleados para determinar los intervalos de monoton´ıa de una funci´on, sus valores extremos relativos, los intervalos en los que la gr´afica de la funci´ on es c´oncava hacia arriba o hacia abajo, y los puntos de inflexi´on. 9. Determinar la ecuaci´ on de las as´ıntotas correspondientes a una funci´on. 10. Trazar la gr´ afica de una funci´ on. 11. Resolver problemas que requieran el c´alculo de derivadas de funciones reales. 12. Calcular el ´ area de la regi´ on del plano limitada por dos o m´as curvas. 13. Aplicar t´ecnicas b´ asicas para el estudio de la convergencia de integrales impropias. 3.1 Objetivos a evaluar en cada examen A continuaci´ on se detallan los objetivos a evaluar en cada prueba parcial, para que el estudiante tenga claro de antemano que debe conocer para cada prueba. I parcial 1. Reconocer gr´ aficamente l´ımites (laterales, infinitos y al infinito). ∞ 2. Calcular l´ımites (laterales, infinitos y al infinito) de las formas indeterminadas 00 , ∞ ,∞−∞ y 0 · ∞ mediante f´ ormulas notables, factorizaci´on, racionalizaci´on, definici´on de valor absoluto, l´ımites especiales, identidades trigonom´etricas y propiedades de los l´ımites. 3. Analizar la continuidad de una funci´on a partir de su gr´afica. 4. Clasificar los puntos de discontinuidad de una funci´on a partir de su gr´afica. 5. Analizar la continuidad de una funci´on a partir de su criterio, incluyendo casos de criterio dividido. 2 6. Calcular derivadas de funciones algebraicas, trigom´etricas, trigonom´etricas inversas, logar´ıtmicas y exponenciales a partir de la definici´on o de las propiedades. 7. Analizar la existencia de la derivada de una funci´on en un punto, a partir de su criterio, incluyendo casos de criterio dividido. II parcial 1. Calcular derivadas de orden superior a partir del criterio de la funci´on, incluyendo derivaci´ on impl´ıcita y logar´ıtmica. 2. Calcular l´ımites usando la regla de l’Hopital. 3. Calcular la ecuaci´ on de la recta tangente a una curva dada, que contenga un punto dado cualquiera, incluyendo funciones definidas impl´ıcitamente. 4. Calcular los puntos de una curva donde esta tiene una pendiente espec´ıfica. 5. Resolver problemas de razones de cambio. 6. Identificar los extremos absolutos y relativos de una funci´on a partir de su criterio utilizando las derivadas de la funci´ on. 7. Calcular los puntos cr´ıticos y de inflexi´on de una funci´on a partir de su criterio. 8. Verificar si una funci´ on satisface las hip´otesis del teorema de Rolle y del valor medio en un intervalo dado. 9. Determinar la monoton´ıa y concavidad de una funci´on a partir de los cuadros de variaci´ on de las derivadas. 10. Calcular las as´ıntotas verticales, horizontales y oblicuas de una curva. 11. Desarrollar el estudio completo de una funci´on para hacer el trazo de su gr´afica. Esto incluye: dominio, intersecciones con los ejes, as´ıntotas, monoton´ıa, concavidad, puntos cr´ıticos y de inflexi´on y gr´ afica. 12. Resolver problemas de optimizaci´on donde se involucra conceptos geom´etricos, enfocados a problemas estad´ısticos. 13. Calcular integrales indefinidas que requieran el uso de sus propiedades, f´ormulas de integraci´ on b´asicas, identidades algebraicas y trigonom´etricas, as´ı como la t´ecnica de sustituci´on. III Parcial 1. Calcular integrales definidas usando sumas de Riemann y el teorema fundamental del c´alculo. 2. Calcular integrales de funciones algebraicas, trigom´etricas, trigonom´etricas inversas, logar´ıtmicas y exponenciales. 3. Calcular el ´ area bajo una curva o encerrada entre dos o m´as curvas. 4. Calcular integrales definidas e indefinicas usando las t´ecnicas de sustituci´on, fracciones parciales, sustituci´ on trigonom´etrica, e integraci´on por partes. 5. Estudiar la convergencia de integrales impropias de primera y segunda especie, usando la definici´ on, as´ı como el criterio de comparaci´on al ´ımite. 3 4 Programa del curso 4.1 Tema 1. L´ımites y continuidad. 1. Reconocimiento gr´ afico y definici´ on formal de situaciones de l´ımite. Breve repaso de las gr´ aficas de las funciones elementales: reconocimiento de situaciones de existencia e inexistencia de continuidad y de l´ımite en gr´ aficas completas; justificaci´on. 2. L´ımites laterales hacia un punto. 3. Definici´ on formal de l´ımite y de continuidad de una funci´on en un punto; tipos de discontinuidad. 4. L´ımites infinitos (noci´ on intuitiva, definici´on formal), concepto de as´ıntotas verticales en un punto. L´ımites al infinito: concepto, reconocimiento gr´afico y as´ıntotas horizontales hacia infinito. 5. Propiedades de los l´ımites y de las funciones continuas; an´alisis y justificaci´on de continuidad de una funci´ on en un punto, en un conjunto; c´alculo de l´ımites; problemas con par´ametros. 6. Teorema para el cambio de variable y l´ımites 0/0. 4.2 Tema 2. Razones de cambio y derivadas. 1. Situaciones de l´ımite que conducen a un mismo concepto matem´atico: valor de la derivada de f para un valor x = a dado; problemas de rectas secantes, rectas tangentes y de razones de cambio. 2. Definici´ on de la funci´ on derivada en un intervalo abierto. Derivabilidad implica continuidad. Reconocimiento gr´ afico de la derivabilidad mediante definici´on de derivada en un punto, an´alisis de existencia e inexistencia del valor f 0 (x) para un valor x = a dado. 3. Derivadas de las funciones b´ asicas (sin demostraci´on de las derivadas de seno, exponencial y logaritmo natural). 4. Existencia y f´ ormulas de la derivada de la suma (resta), producto y divisi´on de funciones derivables en un valor dado x = a. 5. A partir de la derivada de sinx, deducci´on de las derivadas de las dem´as funciones trigonom´etricas. 6. Visualizaci´ on de l´ımites como derivadas. Derivada de una funci´on compuesta (Regla de la cadena). 7. Derivadas de orden superior. Visualizaci´on de l´ımites como cocientes de derivadas. Demostraci´ on de la Regla elemental de L’Hopital. Aplicaciones a l´ımites trigonom´etricos y exponenciales. 8. Regla de la Cadena y problemas b´asicos de razones de cambio relacionadas. 9. Regla de la Cadena y derivaci´ on impl´ıcita, derivaci´on de funciones inversas. 10. Derivaci´ on logar´ıtmica. 4 4.3 Tema 3. Teoremas de funciones continuas en un intervalo cerrado. 1. Teorema de los Valores intermedios para funciones continuas; ejemplos de aplicaciones. 2. Teorema de Valores Extremos para funciones continuas en un intervalo cerrado. 3. Teorema d Fermat; optimizaci´ on de funciones continuas en intervalos cerrados. 4. Teorema de Rolle y el Teorema del Valor Medio: justificaci´on intuitiva y justificaci´on formal. 5. Corolarios sobre antiderivadas y: definici´on, c´alculo y gr´aficas de antiderivadas; concepto de ecuaciones diferenciales, resoluci´ on. 6. Corolarios del TVM para determinar monoton´ıa y concavidad. Relaci´on entre las gr´aficas de una funci´ on y las de sus derivadas sucesivas. Trazo de gr´aficas de funciones; condiciones de primero y segundo orden para optimizaci´on sobre intervalos abiertos. 4.4 Tema 4. Integraci´ on. 1. Antiderivadas e integral indefinida. Propiedades. 2. C´alculo de diferenciales y c´ alculo de antiderivadas o integrales indefinidas por sustituci´on. 3. Integraci´ on por partes y fracciones parciales. ´ 4. Areas bajo curvas positivas. La distancia recorrida como el ´area bajo la curva de velocidad positiva. 5. Sumas de Riemann, introducci´ on a l´ımites de sucesiones y a series. Integral definida. 6. Propiedades b´ asicas. Teorema fundamental del c´alculo: c´alculo de integrales definidas. Teorema fundamental del c´ alculo: Funciones definidas mediante integrales; derivaci´on y propiedades. El Teorema del cambio total. 7. C´alculo del ´ area bajo una curva, y ´area entre curvas. 8. Definici´ on de integrales impropias e introducci´on al an´alisis de convergencia de integrales impropias de primera y de segunda especie; teor´ıa y ejemplos. 9. Definici´ on de la funci´ on logaritmo natural como integral definida; introducci´on a la deducci´ on de propiedades de funciones logar´ıtmicas y exponenciales. 5 5 Cronograma Este cronograma es una gu´ıa de la distribuci´on por semana de los contenidos del curso, cada profesor est´a en libertad de exponer los conceptos y realizar la pr´actica que considere necesaria seg´ un su estilo y en el orden que desee, siempre que no altere los contenidos que debe cubrir cada examen parcial. # Semana 1 Fechas Del 09/03 al 13/03 2 Del 16/03 al 20/03 3 Del 23/03 al 27/03 4 5 Del 30/03 al 03/04 Del 06/03 al 10/04 6 Del 13/04 al 17/04 7 Del 20/04 al 24/04 Temas Reconocimiento gr´afico y definici´on formal de situaciones de l´ımite. Breve repaso de las gr´aficas de las funciones elementales: reconocimiento de situaciones de existencia e inexistencia de continuidad y de l´ımite en gr´aficas completas; justificaci´on. L´ımites laterales hacia un punto. Definici´on formal de l´ımite y de continuidad de una funci´on en un punto; tipos de discontinuidad. L´ımites infinitos (noci´on intuitiva, definici´on formal), concepto de as´ıntotas verticales en un punto. L´ımites al infinito: concepto, reconocimiento gr´afico y as´ıntotas horizontales hacia infinito. Propiedades de los l´ımites y de las funciones continuas; an´alisis y justificaci´on de continuidad de una funci´on en un punto, en un conjunto; c´alculo de l´ımites; problemas con par´ametros. Teorema para el cambio de variable y l´ımites 0/0. Situaciones de l´ımite que conducen a un mismo concepto matem´atico: valor de la derivada de f para un valor x = a dado; problemas de rectas secantes, rectas tangentes y de razones de cambio. Definici´on de la funci´on derivada en un intervalo abierto. Derivabilidad implica continuidad. Reconocimiento gr´afico de la derivabilidad mediante definici´ on de derivada en un punto, an´alisis de existencia e inexistencia del valor f 0 (x) para un valor x = a dado. Semana Santa Derivadas de las funciones b´asicas (sin demostraci´on de las derivadas de seno, exponencial y logaritmo natural). Existencia y f´ormulas de la derivada de la suma (resta), producto y divisi´on de funciones derivables en un valor dado x = a. A partir de la derivada de sinx, deducci´on de las derivadas de las dem´as funciones trigonom´etricas. Visualizaci´on de l´ımites como derivadas. Derivada de una funci´on compuesta (Regla de la cadena). Derivadas de orden superior. Visualizaci´on de l´ımites como cocientes de derivadas. Demostraci´on de la Regla elemental de L’Hopital. Aplicaciones a l´ımites trigonom´etricos y exponenciales. Regla de la Cadena y derivaci´on impl´ıcita, derivaci´on de funciones inversas. Derivaci´on logar´ıtmica. 6 # Semana 8 Fechas Del 27/04 al 01/05 9 Del 04/05 al 08/05 10 Del 11/05 al 15/05 11 12 Del 18/05 al 22/05 Del 25/05 al 29/05 13 Del 01/06 al 05/06 14 15 Del 08/06 al 12/06 Del 15/06 al 19/06 16 Del 22/06 al 26/06 17 Del 29/06 al 03/07 Temas Teorema de los Valores intermedios para funciones continuas; ejemplos de aplicaciones. Teorema de Valores Extremos para funciones continuas en un intervalo cerrado. Teorema d Fermat; optimizaci´on de funciones continuas en intervalos cerrados. Corolarios sobre antiderivadas y: definici´on, c´alculo y gr´ aficas de antiderivadas; concepto de ecuaciones diferenciales, resoluci´on. Corolarios del TVM para determinar monoton´ıa y concavidad. Relaci´on entre las gr´aficas de una funci´on y las de sus derivadas sucesivas. Trazo de gr´aficas de funciones; condiciones de primero y segundo orden para optimizaci´on sobre intervalos abiertos. Antiderivadas e integral indefinida. Propiedades. C´ alculo de diferenciales y c´alculo de antiderivadas o integrales indefinidas por sustituci´on. Integraci´on por partes y fracciones parciales. ´ Areas bajo curvas positivas. La distancia recorrida como el ´area bajo la curva de velocidad positiva. Sumas de Riemann, introducci´on a l´ımites de sucesiones y a series. Integral definida. Propiedades b´asicas. Teorema fundamental del c´alculo: c´ alculo de integrales definidas. Teorema fundamental del c´ alculo: Funciones definidas mediante integrales; derivaci´ on y propiedades. El Teorema del cambio total. C´ alculo del ´area bajo una curva, y ´area entre curvas. Definici´on de integrales impropias e introducci´on al an´alisis de convergencia de integrales impropias de primera y de segunda especie; teor´ıa y ejemplos. Definici´on de integrales impropias e introducci´on al an´alisis de convergencia de integrales impropias de primera y de segunda especie; teor´ıa y ejemplos. Definici´on de la funci´on logaritmo natural como integral definida; introducci´on a la deducci´on de propiedades de funciones logar´ıtmicas y exponenciales. 7 6 Evaluaci´ on Se realizar´a tres pruebas cortas y tres ex´amenes parciales. Cada prueba corta tendr´a un valor de 5%. Las pruebas cortas se llevaran a cabo una semana antes de cada prueba parcial, las fechas se comunicaran en la p´ agina del curso. As´ı, los estudiantes ser´an evaluados sumativamente a partir de su desempe˜ no en: Rubro I Parcial II Parcial III Parcial Pruebas cortas NA 6.1 Calendario de ex´ amenes Examen I Parcial Repo I Parcial II Parcial Repo II Parcial III Parcial Repo III Parcial Ampliaci´ on Suficiencia 6.2 % 20 30 35 15 100 Fecha Mi´ercoles 29 de abril Mi´ercoles 6 de mayo Mi´ercoles 3 de junio Mi´ercoles 10 de junio Lunes 6 de julio Martes 7 de julio Martes 14 de julio Martes 14 de julio Hora 8:00 am 5:00 pm 8:00 1:00 pm 1:00 pm 1:00 pm 1:00 pm 1:00 pm Contenidos 1.1-2.7 1.1-2.7 2.8-4.2 2.8-4.2 4.3-4.9 4.3-4.9 Todos Todos Reporte de la nota final Para efectos de promoci´ on rigen los siguientes criterios, los cuales se refieren a la nota de aprovechamiento NA indicada arriba, expresada en una escala de 0 a 10, redondeada, en enteros y fracciones de media unidad, seg´ un el reglamento vigente: • Si NA ≥ 6.75 el estudiante gana el curso con calificaci´on NA redondeada a la media m´as pr´oxima, los casos intermedios como 7.25 se redondean hacia arriba, es decir, 7.5 • Si 5.75 ≤ NA < 6.75, el estudiante tiene derecho a realizar el examen de ampliaci´on, en el cual se debe obtener una nota superior o igual a 7 para aprobar el curso con nota 7, en caso contrario su nota ser´ a 6.0 o 6.5, la m´as cercana a NA. • Si NA < 5.75 pierde el curso. • La calificaci´ on final del curso se notifica a la Oficina de Registro e Informaci´on, en la escala de cero a diez, en enteros y fracciones de media unidad. 6.3 Disposiciones para la realizaci´ on de las evaluaciones El estudiante debe presentarse puntualmente el d´ıa del examen en el aula que fue asignada a su grupo. El estudiante debe traer un cuadernillo de examen y bol´ıgrafo de tinta azul o negra, no se permitir´a hojas sueltas. Tambi´en es indispensable portar alg´ un tipo de identificaci´on con foto (c´edula, licencia de conducir o carn´e universitario) de lo contrario no podr´ a realizar la prueba. En 8 los ex´amenes de este curso se permite u ´nicamente el uso de calculadoras cient´ıficas que no sean programables y que no sean graficadoras. 6.4 Ex´ amenes y pruebas cortas de reposici´ on Aquellos casos de estudiantes con ausencia justificada a un examen o prueba corta, tales como enfermedades (con justificaci´ on m´edica), o choques de ex´amenes (con constancia del Sr. coordinador respectivo), o casos de giras (reportados por escrito) y con el visto bueno del ´organo responsable, podr´an realizar el examen o prueba corta de reposici´on. Para solicitar el examen o prueba corta de reposici´on debe llenar la boleta de justificaci´on (se solicita en la secretar´ıa de la Escuela de Matem´atica), con esta adjuntar la respectiva constancia y entregarla al profesor del grupo correspondiente en los cinco d´ıas h´ abiles siguientes despu´es de realizada la prueba ordinaria. S´ olo los estudiantes autorizados mediante este proceso pueden realizar el examen o prueba corta de reposici´on. La entrega de los documentos no implica la autorizaci´on para hacer el examen o prueba corta de reposici´ on, el profesor debe aprobar la autorizaci´on una vez revisada la documentaci´on. La fecha de reposici´ on de la prueba corta ser´a establecida una vez autorizada la misma. 6.5 Calificaci´ on de ex´ amenes El profesor debe entregar a los alumnos los ex´amenes calificados y sus resultados, a m´as tardar 10 d´ıas h´abiles despu´es de que este se realiz´o, de lo contrario, el estudiante podr´a presentar reclamo ante la coordinaci´ on de la c´ atedra. La p´erdida comprobada de un examen por parte del profesor da derecho al estudiante a una nota equivalente al promedio de sus calificaciones en los otros dos ex´amenes, o a criterio del estudiante, a repetir el examen. 7 Horas de consulta Cada profesor de la c´ atedra dispone de un horario de consulta, para atender a los estudiantes en sus dudas respecto a la materia del curso, as´ı como los ejercicios propuestos para cada secci´on. Cabe aclarar que los estudiantes pueden ir a consulta con cualquier profesor de la c´atedra, en el horario que le sea m´ as favorable. Los horarios de consulta se detallan a continuaci´on: • Jerem´ıas Ram´ırez Jim´enez, Lunes, de 9:30 am a 12:30 pm, Oficina 310 Edificio Nuevo de Matem´ atica. • Cristian Alfaro Carvajal, Viernes, de 3:00 pm a 5:00 pm. 8 Avisos y contacto Cualquier informaci´ on importante relativa al curso ser´a comunicada por la p´agina del curso en Facebook, el nombre de la p´ agina es Ma0213ucr, en la misma se pondr´a a disposici´on de los estudiantes este documento, as´ı como las listas adicionales de ejercicios. tambi´en los avisos relativos a pruebas cortas y parciales, y cualquier otro de importancia. Los avisos relativos a las aulas de ex´amenes tambi´en ser´ an publicados en la pizarra de la c´atedra, en el segundo piso del edificio de F´ısica y Matem´ aticas. 9 9 Estudiaderos El CASE pone a disposici´ on los estudiaderos, estos se llevan a cabo los mi´ercoles a partir de las 8:00 am, y son atendidos por asistentes, en su mayor´ıa estudiantes avanzados de varias carreras, quienes est´an a disposici´ on para atender dudas de diversas ´areas, en temas de teor´ıa y de ejercicios. Se desarrolla en el aula 102 de F´ısica y Matem´atica durante todo el semestre. 10 Profesores de la c´ atedra Grupo 1 2 11 Profesor Jerem´ıas Ram´ırez Jim´enez (Coord) Cristian Alfaro Carvajal Horario [email protected] [email protected] Referencias Las referencias incluidas en esta carta constituye una gu´ıa para el profesor y el estudiante en cuanto al nivel de presentaci´ on de los temas incluidos en el programa. El profesor puede ampliarla con otros libros de referencia de su preferencia. [1] Edwards, C; Penney, D. C´ alculo con trascendentes tempranas, S´etima edici´on, Pearson education. M´exico, 2008. [2] Haeussler, F; Paul, R; Wood, R. Matem´ aticas para administraci´ on y econom´ıa, Doceava edici´on, Pearson education. M´exico, 2008. [3] Larson, R; Hostetler, R; Edwards, B. C´ alculo con geometr´ıa anal´ıtica. Segunda edici´ on, McGraw-Hill. M´exico, 2006. [4] Stewart, J. C´ alculo. Trascendentes tempranas, Thomson. 2008. [5] Sydsaeter, K; Hammond, P. Matem´ aticas para el an´ alisis econ´ omico, Prentice Hall. Madrid, 1996. 10