Übersicht über Übungen und Aufgaben Nebenfach Physik Hochschule Bremerhaven WS 2005/2006 Hendrik Sander 1 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 4 2 Übung 1 2.1 Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Beispiel 1 - Jule Vernes Kanone zum Mond . . . . . 2.3 Umrechnung von Einheiten . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Beispiel 2 - Energie eines fahrenden Lastwagens . . . 2.5 Impuls und Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Beispiel 3 - Zusammenstoß von Lkw und Pkw . . . . 2.7 Elastischer und inelastischer Stoß . . . . . . . . . . . 2.8 Der Impuls als Vektorgröße . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Beispiel 3 - Zusammenstoß von Lkw und Pkw in zwei 5 . . . . . . . 5 . . . . . . . 5 . . . . . . . 7 . . . . . . . 8 . . . . . . . 8 . . . . . . . 9 . . . . . . . 10 . . . . . . . 10 Dimensionen 11 3 Aufgabenzettel 3.1 Aufgabe 1 . 3.2 Aufgabe 2 . 3.3 Aufgabe 3 . 3.4 Aufgabe 4 . 3.5 Aufgabe 5 . 3.6 Aufgabe 6 . 3.7 Aufgabe 7 . 4 Musterlösung 4.1 Aufgabe 1 4.2 Aufgabe 2 4.3 Aufgabe 3 4.4 Aufgabe 4 4.5 Aufgabe 5 4.6 Aufgabe 6 4.7 Aufgabe 7 1 . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 12 12 13 13 13 13 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 16 16 17 17 18 18 5 Aufgabenzettel 2 20 5.1 Aufgabe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.2 Aufgabe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 5.3 5.4 5.5 5.6 Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe 3 4 5 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 21 21 21 Kapitel 1 Vorwort Die Kapitel über die Übungen sind Zusammenstellungen der Übungen mit mehreren Gruppen. Es kann daher vorkommen, daß Punkte behandelt werden, an die Sie sich nicht erinnern, weil diese Frage in einer anderen Gruppe gestellt wurde. 4 Kapitel 2 Übung 1 2.1 Einheiten Es kann nicht eindringlich genug darauf hingewiesen werden, wie wichtig die Beherrschung der Einheiten und ihrer Umwandlungen ineinander ist. Wer nicht weiß, das z.B. N = kg m s−2 kann diese Einheit weder wiedererkennen, wenn sie in anderer Form auftritt noch beurteilen, ob das Ergebnis einer Rechnung richtig ist. Grundsätzlich soll in allen Rechnungen mit Einheiten gerechnet werden. So ist es möglich, Rechenfehler schon anhand der falschen Einheit des Ergebnisses zu bemerken. Ein beliebter Fehler ist es z.B. eine Quadrierung zu unterlassen. Wer die kinetische Energie ausrechnen will (E = 1/2 m v 2 )und ein Ergebnis mit der Einheit kg m s−1 erhält, muß bemerken, daß dies ein Impuls ist und keine Energie und die Rechnung dementsprechend kontrollieren. Wer ohne Einheiten rechnet oder diese nicht beherrscht, wird dies nicht bemerken und vermeidbare Fehler machen. In diesem Zusammenhang möchte ich auf die Seite der Physikalisch-TechnischenBundesanstalt hinweisen. Dort kann unter http://www.ptb.de/de/publikationen/ download.html ein Text über die Verwendung von Einheiten in Deutschland heruntergelden werden. Darin sind alle SI-Einheiten und Ihre Bedeutung angegeben, alle sonst irgendwie in Verwendung befindlichen Einheiten (inkl. der brit./amerik. Einheiten !) sowie die Umrechung untereinander. Außerdem werden gute Hinweise über die Verwendung z.B. in Veröffentlichungen gegeben. 2.2 Beispiel 1 - Jule Vernes Kanone zum Mond In seinem Roman Reise um den Mond”beschreibt Jule Verne, wie die Raumfahrer mit einer riesigen Kanone zum Mond geschossen werden. Ausgehend von 5 diesem Gedanken soll berechnet werden, ob die Raumfahrer das überleben könnten. Wir nehmen an, die Kanone sei 1 km lang und die beschleunigung erfolgt gleichmäßig. Die gewünschte Endgeschwindigkeit betrage 11 km/s. Das Ergebnis soll in vielfachen der Erdbeschleunigung g angegeben werden. Die erste Formel die uns einfällt ist s = 1/2 a t2 (2.1) Darin kommt die gesuchte Beschleunigung a vor, die Strecke s (hier 1 km) ist auch bekannt. Was fehlt ist die Zeit t, die das Geschoß (bzw. Raumschiff) im Rohr verbringt. Wenn wir die Durchschnittsgeschwindigkeit während der Beschleunigung wissen können wir diese Zeit ausrechnen. Da die Beschleunigung gleichmäßig sein soll1 können wir diese geschindikeit einfach als Mittelwert von Anfangs- und Endgeschwindigkeit berechnen: v̄ = vA + vE 0m/s + 11000m/s = = 5500m/s 2 2 (2.2) Mit dieser Geschwindigkeit braucht das Geschoß t= s 1000m 1 = = s v 5500m/s 5, 5 (2.3) jetzt brauchen wir nur noch Formel 2.1 nach a umformen und einsetzen: s = 1/2 a t2 ⇔ a = 2s 2 · 1000m = 60500m/s2 = 1 t2 ( 5,5 s)2 (2.4) Sieht schon mal ziemlich heftig aus. Fehlt noch die Umwandlung in g. Aus 1g = 9, 81m/s2 folgt 60500m/s2 = 6167g (2.5) Die armen Raumfahrer wären reichlich platt. Frage: Muß die Erdbeschleungigung berücksichtigt werden? Antwort: Hängt natürlich von der gewünschten Genauigkeit ab. Hier in unserer Fragestellung macht ein g mehr oder weniger keine merklichen Unterschied und kann daher weggelassen werden. Geht es darum, mit dem Geschoß einen bestimmten Punkt auf dem Mond zu treffen, sollte dieses eine g sicher berücksichtigt werden, da man auf diese Entfernung einen erheblichen Fehler bekäme. Das Problem auf einer gegebenen Strecke eine bestimmte Geschwindigkeit zu erreichen oder auf dieser Strecke zum Stillstand zu kommen stellt sich immer wieder. Daher hier kurz die allgemeine herleitung einer Formel, mit der man dies leicht errechnen kann: Bekannt ist s = 1/2 a t2 (2.6) s ist im Problem gegeben und t errechnet sich, wie oben ausgeführt s t = vA +vE 2 1 Wichtig, sonst müßten wir ein Integral über die Beschleunigungspahse aufstellen! 6 (2.7) Da wir aber immer im Stillstand starten oder enden vereinfacht sich dies zu t= 2s v (2.8) eingesetzt in 2.6, umgeformt und vereinfacht2 a= v2 2s (2.9) Das gibt uns für diese Art Beschleunigungs- und Bremsprobleme eine schnelle Antwort. 2.3 Umrechnung von Einheiten Üblicherweise liegen die Umrechnungsfaktoren in der Form Zahl1 Einheit1 = Zahl2 Einheit2 vor. Wer sich unsicher ist, sollte sich ein einfaches Schema angewöhnen (Bsp.: 1g = 9, 81m/s2 ; 60500m/s2 =?g: 1. Die Gleichung so umstellen, daß die vorhandene Einheit links und die gewünschte Einheit rechts des Gleichheitszeichens ist (1g = 9, 81m/s2 ⇒ 9, 81m/s2 = 1g). 2. Die gesamte Gleichung durch die linke Seite teilen (9, 81m/s2 = 1g ⇒ 1 = 1 s2 9,81 g m ). 3. Mit einer 1 kann jederzeit multipliziert werden. Da der Umrechnungsfaktor nun ebenfalls gleich 1 ist, kann auch mit diesem beliebig3 multipliziert werden. Angewendet auf das Ergebnis bedeutet dies: 2 1 60500m/s2 = 60500m/s2 · 1 = 60500 sm2 · 9,81 g sm = 60500 9,81 g = 6167g. Die bisherigen Einheiten kürzen sich trefflich weg und über bleibt nur die gewünschte neue Einheit. Häufig wird z.B. auch die Umwandlung von km/h in m/s gebraucht. Nach dem Schema: 1000m 1 km h = 3600s Steht schon in der gewünschten Folge. Also 1m h 1 = 3,6s km Aus 90 km/h werden damit 90km/h = 90km/h · 1 = 90 2 Versuchen km 1m h · = 25m/s h 3, 6s km (2.10) sie die Umformung einmal selber nachzuvollziehen. Es ist nicht so schwer. als einmal zu multiplizieren ist zwar erlaubt und möglich, macht aber keinen Sinn. Da würde alles nur noch komplizierter... machen wir also nicht. 3 Mehr 7 2.4 Beispiel 2 - Energie eines fahrenden Lastwagens Welche kinetische Energie hat ein fahrender Lastwagen und wie lange könnte man damit eine elektrische Heizplatte eines Herdes betreiben? Ok, erstmal die Daten: v = 80 km/h, m = 40 t, P = 2000 W Zur kinetischen Energie gibt es die Formel Ekin = 1/2 m v 2 (2.11) Einsetzen ergibt 1 ·40000kg·(22, 2m/s)2 = 9876543, 210J ≈ 9, 9M J 2 (2.12) Mit P · t = E errechnen wir Ekin = 1/2 40t (80km/h)2 = 4 9876543, 210J 9, 9M J = = 4938s ≈ 1h22min 2000W 2000Js−1 (2.13) Die Energie reicht also ungefähr um ein anspruchsvolleres Essen zu kochen oder vielleicht zweimal Eintopf. Mehr nicht. 2.5 Impuls und Impulserhaltung Frage: Was ist der Impuls? Antwort: Der Impuls ist definiert als das Produkt von Geschwindigkeit und Masse. Der Impuls ist eine vektorielle Größe. Man kann ihn sich vorstellen als eine Ausdrucksform der Massenträgheit. Er gibt an, welcher Aufwand getrieben werden muß, um einen bewegten Körper in den Ruhezustand zu bringen, genauer, welche Kraft ich anwenden muß, um einen bewegten Körper in einer gegebenen Zeit zu stoppen. Der Impuls ist eine besondere Größe, eine Erhaltungsgröße. Das heißt, das sich in einen geschlossenen System5 der Gesamtimpuls niemals ändert. Dies gilt auch für die Energie. Aber die Energie kann in unterschiedlichen Formen auftreten und diese können ineinander umgewandelt werden und sich dabei gelegentlich der Messung entziehen. Dies kann mit dem Impuls niemals passieren. Bei mechanischen Problemen ist also die Impulserhaltung das Erste, an was man bei einer möglichen Lösung denken sollte. 4 Umwandlung der km/h in m/s mittels Einheitenumwandlung, s. 2.10 geschlossenes System ist eines, welches mit nichts außerhalb des Systems wechselwirkt. Gilt strenggenommen nur für das Universum als ganzes, kann aber näherungsweise guten Gewissens für viele fast vollständig isolierte System angenommen werden. 5 Ein 8 2.6 Beispiel 3 - Zusammenstoß von Lkw und Pkw Hier soll einmal untersucht werden, wie sich ein System aus zwei Körpern verhält, die inelastisch zusammenstoßen. Es sind dies ein Lkw und ein Pkw. Erstmal wieder die Daten: vL = 80km/h ; mL = 40t vP = −150km/h ; mP = 1t Wir definieren die positive Richtung als nach rechts, dann fährt der Lkw also nach rechts und der Pkw nach links. Als erstes rechnen wir die Einzel und Gesamtimpulse aus: PL = 22, 22m/s · 40000kg = 888, 9 · 103 kgm/s PP = −41, 7m/s · 1000kg PG = PL + PP = −41, 7 · 103 kgm/s = 847, 2 · 103 kgm/s Die beiden stossen jetzt also frontal und ungebremst zusammen6 . Direkt nach dem Crash bewegen sich beide Fahrzeuge wie ein einziger Körper weiter (inelastischer Stoß). Die Masse ändert sich nicht und da wir den Gesamtimpuls kennen, können wir ausrechnen, wie die beiden sich weiterbewegen: vG = PG /mG = 847, 2 · 103 kgm/s = 20, 66m/s = 74, 4km/h 41 · 103 kg (2.14) Das Gesamtfahrzeug bewegt sich also mit 74,4 km/h nach rechts. Während des Zusammenstoßes mußte der Lastwagenfahrer aus seiner Sicht eine Geschwindigkeitsänderung von -5,6 km/h aushalten, der Pkw-Fahrer in der gleichen Zeit dagegen -224,4 km/h. Sieht nicht gut aus... Wenn wir zusätzlich annehmen, die Pkw-Knautschzone wäre 1m und die des Lkw 0,5m, dann können wir auch noch kurz mittels Formel 2.9 die aufgetretenen Beschleunigungen ausrechnen: aL = v2 (5, 6km/h)2 (1, 56m/s)2 = = = 0, 8m/s2 2s 2 · 1, 5m 3m (2.15) Für den Lkw-Fahrer sieht es gut aus. Die auftretende Beschleunigung ist kleiner als 1/10 der Erdbeschleunigung. Kein Problem, solange das Fahrerhaus heil bleibt. (224, 4km/h)2 (62, 33m/s)2 aP = = = 1295m/s2 (2.16) 2 · 1, 5m 3m Das ist das mehr als 130-fache der Erdbeschleunigung. Keine Chance, selbst wenn die Fahrgastzelle heil bliebe. Versuchen Sie doch mal auszurechnen, was rauskommt, wenn wir das Vorzeichen 6 Dazu reicht es, auf der Landstraße in einer Kurve wegen überhöhter Geschwindigkeit auf die Gegenfahrbahn zu kommen. Ist die Sicht schlecht, ist’s passiert. 9 der Pkw-Geschwindigkeit ändern. Dann würde der Pkw von hinten auf den Lastwagen drauffahren7 . 2.7 Elastischer und inelastischer Stoß Ein elastischer Stoß ist dann gegeben, wenn sowohl die Impulserhaltung gilt, als auch die mechanische Energie erhalten bleibt. Die beiden Körper prallen voneinander ab und bewegen sich danach wieder unabhängig voneinander. Einen idealen elastischen Stoß gibt es in der Realität nicht, es wird immer etwas Energie in andere Energieformen umgewandelt, meist Wärme. Man kann diesem Ideal aber sehr nahe kommen, so daß in manchen Fällen diese Näherung erlaubt ist. Ein inelastischer Stoß ist gegeben, wenn die beiden Körpern nicht voneinander abprallen, sondern sich als ein Körper weiterbewegen. Dabei gilt natürlich weiterhin die Impulserhaltung, aber ein Teil der kinetischen Energie wird in z.B. Verformungsenergie8 umgewandelt. Wären unser Kfz ideal elastische Körper, würden sie bei Zusammenstößen voneinander abprallen. Wäre das gut? Dazu betrachten wir ein letztes Mal den o.g. Zusammenstoß. Wenn Impulserhaltung und Erhaltung der kinetischen Energie gilt, erhalten wir folgende Formeln: PL,v + PP,v mL vL,v + mP vP,v Impuls vorher = PL,n + PP,n = mL vL,n + mP vP,n = Impuls nachher (2.17) EL,v + EP,v 2 2 mL vL,v + mp vP,v Energie vorher = EL,n + EP,n 2 2 = mL vL,n + mp vP,n = Energie nachher (2.18) Wir suchen zwei Werte, nämlich die zwei Geschwindigkeiten der Fahrzeuge nach der Kollision. Außerdem haben wir zwei Gleichungen, die Aufgabe ist also exakt lösbar. Am Ende findet man, daß die Geschwindigkeitsänderungen für beide Fahrer noch größer sind als beim inelastischen Stoß. Rechnen sie es ruhig einmal nach. 2.8 Der Impuls als Vektorgröße Da der Impuls das Produkt eines Vektors (Geschwindigkeit) und eines Skalares (Masse) ist, ist der Impuls selber auch eine Vektorgröße! Die Impulserhaltung 3 7 Das korrekte Ergebnis ist P G = 930, 6 · 10 kgm/s; vG = 22, 7m/s = 81, 7km/h; aL = 0, 075m2S < 1/100 g; aP = 120m/s2 > 12 g. Ev. merkt das der Lkw-Fahrer garnicht. Wetten für den Pkw-Fahrer sollte man besser noch nicht abschließen. Sieht viel besser aus, ist aber immer noch heftig. Falls bei Ihnen andere Werte herauskommen, überprüfen sie Ihre Rechnung nochmal. 8 und endet dann allerdings auch als Wärme. 10 gilt für alle Impulskomponenten unabhögig voneinander! Also: Px1 + Px1 + Px1 + . . . + Pxn constx Px ~ P~ = Py = Py1 + Py1 + Py1 + . . . + Pyn = consty = const constz Pz1 + Pz1 + Pz1 + . . . + Pzn Pz (2.19) Dies wollen wir an einem weiteren Beispiel erläutern. 2.9 Beispiel 3 - Zusammenstoß von Lkw und Pkw in zwei Dimensionen Die Geschwindigkeiten seien unverändert, aber der Lkw fährt in positiver xRichtung, während der Pkw in positiver y-Richtung unterwegs ist. Mit welcher Geschwindigkeit und in welcher Richtung sind beide nach einem unelastischen Stoß unterwegs? Die Impulse sind jetzt ¶ ¶ µ µ 888, 9 · 103 kg m s−1 22, 22m s−1 ~ (2.20) · 40000kg = PL = 0kg m s−1 0m s−1 für den Lkw und ¶ ¶ µ µ 0kg m s−1 0m s−1 · 1000kg = P~P = 41, 7 · 103 kg m s−1 41, 7m s−1 für den Pkw. Der Gesamtimpuls ist also µ ¶ 888, 9 · 103 kg m s−1 ~ PG = 41, 7 · 103 kg m s−1 (2.21) (2.22) Wie gehabt brauchen wir jetzt nur den Gesamtimpuls durch die Gesamtmasse teilen und erhalten die Geschwindigkeit nach dem Stoß, diesmal als Vektorgröße. Einsetzen ergibt µ ¶ 888, 9 · 103 kg m s−1 v~G = /41000kg = (2.23) 41, 7 · 103 kg m s−1 11 Kapitel 3 Aufgabenzettel 1 Bitte bearbeiten sie die Aufgaben selbständig. Abschreiben bringt keine Vorteile, hier wird nichts bewertet. Aber nur selbst bearbeitete Aufgaben haben eine positiven Lerneffekt. Natürlich sollen sie über die Aufgaben reden und diskutieren, aber bitte lösen sie diese dann im eigenen Interesse alleine! In der nächsten Übungsstunde besprechen wir dann die richtigen Lösungen und können alle aufgetretenen Fragen beantworten. Es wäre schön, wenn sich für jede Aufgabe jemand fände, der sie an der Tafel vorrechnet oder erklärt, egal ob richtig oder falsch. Aber in ihrer zukünftigen Laufbahn werden sie noch oft vor einen Publikum Erklärungen abgeben müssen und je eher man damit anfängt, desto besser. 3.1 Aufgabe 1 Für jedes dargestellte Weg-Zeit-Diagramm gebe man an, ob die Beschleunigung positiv, gleich null oder negativ ist. (t horizontal, x vertikal) 3.2 Aufgabe 2 Zeichnen Sie die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit für das gegebenene Beschleunigungs-Zeit-Diagramm. Die Anfangsgeschwindigkeit soll 0 m/s sein. 12 3.3 Aufgabe 3 Nehmen Sie an ein Mann springt aus 24,5 m Höhe in ein Sprungkissen der Dicke 2,0 m. Dieses wird bei dem Vorgang auf maximal 0,5 m zusammengedrückt. Wie groß ist der Betrag der mittleren Beschleunigung bei diesem Abbremsvorgang? 3.4 Aufgabe 4 Eine Stahlkugel springt auf einer Glasplatte ungedämpft mit einer Periodendauer t = 1,0 s auf und ab. Wie hoch springt die Kugel? 3.5 Aufgabe 5 Ein Ball wird horizontal von einem 40 m hohen Turm geworfen und trifft 80 m vom Turm entfernt auf den waagrechten Grund. Wie groß ist der Winkel zwischen Geschwindigkeitsvektor und der Horizontalen direkt vor dem Auftreffen? 3.6 Aufgabe 6 Um die Tiefe eines Brunnens zu bestimmen läßt ein Mann eine Münze in den Brunnen fallen. Er mißt eine Zeit von 2,06 s vom Loslassen der Münze bis er den Aufschlag hört. Wie tief ist der Brunnen? 13 3.7 Aufgabe 7 Rechnen sie die Angaben in der Tabelle in SI-Basiseinheiten um und geben sie an, was da gemessen wird (z.B. Länge, Dichte, etc.): A 5µd G 102 myd/min M 21N m2 /J 13 B 10 nm H 2, 5lb f t/s N 4π km s−1 /mm −2 C 23mP a/(N m ) I 12u c2 O 35lb/f t3 −1 2 −12 D 1Js /c J 10 T h P 1, 7eV E 10−2 ua (kh)−1 K 32µt/(cm3 ) Q 137Hz W s F 280N M d−1 L 83, 4N R 21g c ua NM yd lb ft u eV g 300000 km s − 1 (Lichtgeschwindigkeit) 146 ∗ 106 km (AstronomischeEinheit) 1852 m (N autischeM eile) 91, 4 cm (Y ard) 453, 6 g (pound) 30, 5 cm (f oot) 1, 66 ∗ 10−27 kg (atomareM asseneinheit) 1, 6 ∗ 10−19 J 9, 81 m s − 2 (Erdbeschleunigung) 14 Kapitel 4 Musterlösung 1 4.1 Aufgabe 1 Ein gutes Beispiel für die Anwendung von Ableitungen (s. nächste Übung). Anschaulich formuliert: Im ersten und letzten Fall ist der Graph eine Gerade, die Änderung des Ortes mit der Zeit ist also konstant. Also ist die Geschwindigkeit konstant, daher ist die Beschleunigung gleich null. Im zweiten Fall geht die Bewegung erst von hohen zu niedrigen x-Werten, aber immer langsamer, bis sie zum Stillstand kommt. Dann beginnt die Bewegung wieder in positiver x-Richtung. Die Bewegung in negativer x-Richtung wird also bis auf Null abgebremst und dann in Gegenrichtung wieder erhöht. Die Beschleunigung wirkt also in positiver x-Richtung. Der dritte Fall ist wie der zweite, nur mit umgedrehtem Vorzeichen. a=0 a>0 a<0 15 a=0 4.2 Aufgabe 2 In den Abschnitten mit a=01 bleibt die Geschwindigkeit konstant. In den anderen Abschnitten nimmt die Beschleunigung mit der Zeit zu. Daher ist die Geschwindigkeitsänderung anfangs geringer und später höher. Ein Beispiel für die Anwendung von Integralen (nächste Übung). 4.3 Aufgabe 3 Eine zusammen gesetzte Aufgabe. Zuerst müssen wir wissen, wie schnell der Mann überhaupt ist, wenn er unten ankommt. Da nur die Höhe gegeben ist, bestimmen wir erstmal mit 1 (4.1) s = at2 2 1 Keine Beschleunigung, 0 bis 1, 2 bis 3, 4 bis 5, etc. 16 die Fallzeit. Die Beschleunigung ist natürlich die Erdbeschleunigung: a = g = 9, 81ms−2 Umgestellt nach t also r r 2s 2 · 24, 5m t= = = 2, 23s (4.2) a 9, 81ms−2 Die Fallzeit beträgt also 2,23 s. Nach dieser Zeit hat er (gem. v = a · t) die Geschwindigkeit v = 9, 81ms−2 · 2, 23s = 21, 9ms−1 Kommen wir also zur eigentlichen Frage. Aus 2.9 wissen wir, wie die Bremsung berechnet wird. Einsetzen ergibt a= 4.4 (21, 9ms−1 )2 = 159, 9ms−2 ≈ 16g 2 · 1, 5m (4.3) Aufgabe 4 Über die periodische Bewegung brauchen wir nichts zu wissen, Die einzig interessante Angabe ist, daß ein Sprung 1s dauert. Die halbe Zeit braucht die Kugel für den Weg nach oben, die andere Hälfte für den Weg nach unten. Das Ganze ist also wie ein freier Fall von 0,5 s Dauer. Mit 1 2 at 2 (4.4) 1 9, 81ms−2 (0, 5s)2 = 1, 23m 2 (4.5) s= und a = g = 9, 81ms−2 ergibt sich also s= 4.5 Aufgabe 5 Wir brauchen beide Geschwindigkeitskomponenten zum Zeitpunkt des Aufpralls. 1. Die senkrechte Komponente Der freie Fall beträgt 40 m. Rechnung wie in Aufgabe 3. s= 1 2 at 2 (4.6) a = g = 9, 81ms−2 r t= 2s = a r 2 · 40m = 2, 86s 9, 81ms−2 (4.7) Die Fallzeit beträgt also 2,86 s. Nach dieser Zeit hat der Ball (gem. v = a·t) die Geschwindigkeit v = 9, 81ms−2 · 2, 86s = 28ms−1 17 2. Die waagerechte Komponente Während dieser Zeit hat sich der Ball um 80 m weiter bewegt. Die horizontale Geschwindigkeit beträgt also v= s 80m = = 28ms−1 t 2, 86s (4.8) Auch ohne Winkelfunktionen ist offensichtlich, daß der Winkel 45o beträgt. 4.6 Aufgabe 6 Wie gehabt: 1 2 at 2 (4.9) 1 9, 81ms−2 · (2, 06s)2 = 20, 81m 2 (4.10) s= a = g = 9, 81ms−2 s= 4.7 Aufgabe 7 Wie sie sicher bemerkt haben, kommt man leicht durcheinander, wenn nicht klar ist, welche Einheiten gemeint sind. So lassen sich nm (nanometer) leicht mit NM (Nautische Meilen) verwechseln, m s (meter mal sekunde) mit ms (millisekunde) oder auch min (minuten) mit min (milli-Inch). Gewöhnen sie sich an, nur in SI-Einheiten zu rechnen und Vorsätze wie z.B. nano-, milli- oder Giga- sofort in 10er-Potenzen umzuwandeln. Und falls es immer noch Probleme gibt, gehen sie einfach auf die Basiseinheiten zurück. Dann kann es keine Verwechslungen geben. Was sie dann mit dem Ergebnis machen liegt bei Ihnen, aber wenigstens haben sie erstmal ein korrektes Ergebnis. Und passen sie auf, daß sie nicht Einheiten mit Variablen verwechseln... 18 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R SI-Basiseinheiten 0, 432s 10000m 0, 023 1, 11 · 10−17 s−1 405, 6m s−1 6m s−1 0, 00152m s−1 0, 34587kg m s−1 1, 79 · 10−9 kg m2 s−2 3600s 32000kgm−3 83, 4kg m s−2 21m 1, 257 · 107 s−1 559, 6kgm−3 −19 2, 72 · 10 kg m2 s−2 137kg m2 s−3 206, 01m s−2 Meßgröße Zeit Länge (keine Einheit) Frequenz Geschwindigkeit Geschwindigkeit Geschwindigkeit Impuls Energie Zeit Dichte Kraft Länge Frequenz Dichte Energie Leistung Beschleunigung 19 bequemer/gebräuchlicher 10Km 1, 11 · 10−17 Hz 1, 52mm s−1 1, 79 · 10−9 J 32g (cm)−3 83, 4N 12, 57M Hz 0, 5596g (cm)−3 2, 72 · 10−19 J 137J s−1 = 137W Kapitel 5 Aufgabenzettel 2 Bitte bearbeiten sie die Aufgaben selbständig. Abschreiben bringt keine Vorteile, hier wird nichts bewertet. Aber nur selbst bearbeitete Aufgaben haben einen positiven Lerneffekt. Natürlich sollen sie über die Aufgaben reden und diskutieren, aber bitte lösen sie diese dann im eigenen Interesse alleine! In der nächsten Übungsstunde besprechen wir dann die richtigen Lösungen und können alle aufgetretenen Fragen beantworten. Es wäre schön, wenn sich für jede Aufgabe jemand fände, der sie an der Tafel vorrechnet oder erklärt, egal ob richtig oder falsch. Aber in ihrer zukünftigen Laufbahn werden sie noch oft vor einen Publikum Erklärungen abgeben müssen und je eher man damit anfängt, desto besser. 5.1 Aufgabe 1 Die mathematische Struktur der Bewegungsgleichungen für die Rotationsbewegung entspricht derjenigen der Translationsbewegung. Vervollständigen Sie die nachstehende Tabelle, in der die entsprechenden Größen dieser Analogie einander gegenüberzustellen sind. Translation Weg ? Beschleunigung Kraft ? Impuls 5.2 Rotation ? Winkelgeschwindigkeit ? ? Trägheitsmoment ? Aufgabe 2 Erklären Sie, wie man mit Hilfe von Drehbewegungen gekochte und rohe Eier unterscheiden kann und warum! 20 5.3 Aufgabe 3 In der Übung wird an einem Beispiel erklärt, wie das Trägheitsmoment einer Scheibe berechnet wird. Versuchen sie das für einen dünnen Stab. Die Drehachse ist senkrecht zum Stab durch dessen Mitte. 5.4 Aufgabe 4 Ein ideal dünner Reifen mit der Masse m = 5kg und dem Radius R = 80cm rollt aus der Ruhe eine schiefe Ebene der Höhe h = 250cm herab (kein Schlupf, keine Energieverluste). Wie groß ist seine Geschwindigkeit v am Ende der schiefen Ebene? 5.5 Aufgabe 5 Berechnen Sie die folgenden Ableitungen: A B C D E F G H I 5.6 d dx sin(x) d 3 dt 25t − 8t + 21 d 2 3 dy 5x − 13xy + 8y d 2 dt 12x · cos(7y · t ) d 2 x dx x · e d 8x3 +7x2 +11 dx √ 9x−5 d dx 35x z 3 +π·y·t2 3 d 4 y·t+z 4 − e 37y + 48t · y dx d 3 z dz z + e − cos(z) Aufgabe 6 Ein Zylinder mit einem Trägheitsmoment I0 = 60kg m2 rotiert mit einer Winkelgeschwindigkeit ω0 = 75s−1 . Ein zweiter Zylinder mit dem Trägheitsmoment I2 = 38kg m2 rotiert anfangs nicht und fällt auf den ersten Zylinder. Beide kommen schließlich auf die gemeinsame Winkelgeschwindigkeit ω 0 . Wie groß ist ω 0 ? Wieviel Rotationsenergie wird in Wärme umgewandelt? 21
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