POR - Pohlsches Rad und Chaos

POR - Pohlsches Rad und Chaos
Anfängerpraktikum 2, 2006
Janina Fiehl
Daniel Flassig
Gruppe 129
Einleitung
Viele Probleme der klassischen Mechanik werden in guter Näherung als linear beschrieben. Bekannte Beispiele
sind einfache elektrische Schaltungen wie z.B. Schwingkreise, eine Vielzahl einfacher mechanischer
Schwingungsprobleme (z.B. eine Masse am Federpendel) oder einfache Problemstellungen der Hydrodynamik.
Bei den meisten dieser Systeme, macht die klassische Mechnik jedoch starke Idealisierungen, um sie als linear
behandlen zu können: meist wird die Reibung Reibung linear idealisiert oder komplett vernachlässigt. Bei
Stömungen verzichtet man gerne auf die Betrachtung der Wirbelbildung, außerdem werden meist homogene
Materialien oder sogar Massenpunkte betrachtet. Diese vereinfachungen lassen sich vielfach rechtfertigen
rechtfertigen, da es nur zu leichten Abweichungen gegenüber den theoretisch rigorosen Werten kommt.
Andere Probleme lassen sich jedoch überhaupt nicht als lineare Differentialgleichung darstellen und können meist
nicht mehr in mathematisch geschlossener Form gelöst werden. Sie heißen nichtlineare Systeme.
Wird das System von eindeutigen physikalischen Gesetzen gelenkt , sodass seine Trajektorie theoretisch eindeutig
vorhersagbar ist, so spricht man von einem deterministischen System und eventuell deterministischem Chaos.
Enthält das System Zufallsparameter (z.B. Rate des radioaktivern Zerfalls einer Substanz), so ist es nicht
deterministisch.
Es bestehen erhebliche Unterschiede zwischen linearen und nichtlinearen Problemen: während bei einem
klassischen, harmonischen Oszillator – dem typischen linearen Problem – die Schwingungsparameter wie etwa die
Frequenz unabhängig sind von der aktuellen Amplitude, besteht in nichtlinearen Systemen häufig ein direkter
Zusammenhang. Oft führen auch kleinste Veränderungen in den Startwerten zu erheblichen Veränderungen der
Trajektorie – im Gegensatz zu linearen Problemen, die nicht überproportional stark von ihrer ursprünglichen
Trajektorie abweichen. Es ist außerdem möglich, dass ein nichtlineares System mit mehreren Frequenzen
gleichzeitig schwingt. Allgemein kann man sagen, dass das Superpositionsprinzip für nichtlineare Systeme im
Allgemeinen nicht gilt.
Nichtlineare Systeme treten in der Natur wesentlich häufiger auf, da eine Vielzahl von Nichtlinearitäten wie etwa
inhomogenen Massen oder Masseverteilungen oder nichtperiodische Antriebskräfte zusammen kommen, und/oder
Näherungen wie z.B. die Kleinwinkelnäherungen nicht mehr zutreffen.
Zu Beginn des Versuches wird ein Pohlsches Rad in seiner linearen Idealisierung betrachtet und es werden
typische Kennzeichen eines harmonischen Schwingers ermittelt, die Frequenz, Dämpfung und Abklingzeit. Dies
wird einmal mithilfe von Messdaten, die von Hand aufgenommen wurden, und einmal mithilfe von
computergestützter Messung durchgeführt. Außerdem wird das Resonanzverhalten des linearen Systems mit
äußerem Antrieb untersucht.
Im zweiten Versuchsteil wird, wie in der Anleitung [A] beschrieben, die Nichtlinearität des Systems durch das
Anbringen einer zusätzlichen Masse erreicht (damit tritt eine inhomogene Massenverteilung auf). Die daraufhin
eintretenden Veränderungen in seinem Verhalten werden mithilfe von Phasenraumdiagrammen (die auf der
Grundlage von mit dem Computer am System gesammelten Daten entstehen) verdeutlicht. Auch dabei
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2
unterscheiden wir wieder zwischen dem nichtlinearen System ohne und mit äußerem Antrieb. Bei Ersterem wird
das Ausschwingverhalten qualitativ untersucht, bei letzterem werden die charakteristische Zustände der ersten und
zweiten Bifurkation und des Chaos beobachtet.
Versuchsbeschreibung
Alle Versuche werden an dem Pohlschen Rad,wie es in der Anleitung [A], Abbildung 4 gezeigt ist, durchgeführt.
Im ersten Versuchsteil wird das Rad, das als ein lineares System beschrieben werden kann, zunächst nicht von
außen angetrieben, sondern von Hand ausgelenkt. Dabei und für die folgenden Versuche wird ein Bremsstrom von
0.308 A angelegt.
Mithilfe einer Stoppuhr wird die Zeit gemessen, die das Rad benötigt, um zehn Schwingungen durchzuführen.
Diese Messung wird fünf Mal ausgeführt. Danach wird für zehn Schwingungen jeweils das Maximum der
Amplitude pro Schwingung mit dem Auge abgelesen (vier Messdurchgänge). Aus diesen Daten werden im
Folgenden die Frequenz, Dämpfung und Abklingzeit des Systems berechnet.
Mithilfe des Programms „Porstream“ werden im Folgenden Messwerte computergestützt aufgenommen. Dabei
handelt es sich um Datentupel bestehend aus der Zeit und Werten proportional zur Auslenkung und
Geschwindigkeit des Rades.
Mithilfe dieser Daten werden die Werte, die zuvor durch händische Versuche ermittelt wurden, nochmals
berechnet.
Danach wird das Pendel durch einen Motor mit verstellbarer Frequenz angetrieben, um das Resonanzverhalten zu
beobachten. In verschieden großen Schritten (an der vermuteten Resonanzfrequenz Schritte von 0,005 Hz, sonst
0.05 Hz oder zum Ende der Messung 0.1 Hz) wird die Frequenz des Motors variiert und die dazugehörige
Maximalamplitude am Zeiger des Rades abgelesen.
Zunächst mit Hilfe einer händischen Zeichnung im Praktikum, dann in der Ausarbeitung mithilfe von
Mathematica, wird aus den so gemessenen Daten eine Resonanzkurve gezeichnet, aus der sich die
Resonanzfrequenz und Halbwertsbreite des Drehpendels ermitteln lassen.
Im zweiten Versuchsteil wird ein zusätzliches Gewicht am Rad angebracht. Wie in [A] beschrieben, verliert das
System dadurch seinen linearen Charakter (ist nicht mehr durch eine lineare Differentialgleichung zu beschreiben).
Der Motor ist bei der ersten Messung ausgeschaltet und das nichtlineare Ausschwingverhalten des Pendels wird
beobachtet. Dabei wird das Pendel zu Beginn des Versuchs einmal nach rechts und einmal nach links ausgelenkt.
Wieder werden Daten während der Schwingung mithilfe des Computers erfasst.
Zuletzt wird bei einem konstanten Antrieb mit einer Frequenz von 0.275 Hz und variabler Dämpfung das
Verhalten des Pendels im Phasenraumdiagramm am PC beobachtet. Das Ziel ist, anhand der Trajektorie im
Phasenraum unterschiedliche Verhaltensweisen des nichtlinearen Systems zu beobachten und aufzuzeichnen. Auf
die dabei beobachteten Verhaltensweisen werden wir in der Auswertung von Versuchsteil 2 zurückkommen.
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Versuchsauswertung
à Versuche zum linearen Oszillator
ü Visuelle Beobachtungen
Wie oben beschrieben, wird zuerst der lineare gedämpfte Schwinger betrachtet. Bei allen dazugehörigen
Messungen betrug der Dämpfungsstrom 0.308 A. Um die Eigenfrequenz des gedämpften Oszillators zu
bestimmen, wird er bei einer beliebigen Anfangsauslenkung losgelassen. Mit einer Stoppuhr wird die Zeit Tn
gemessen, die er für n = 10 Schwingungen benötigt. Diese Messung wird 5 mal durchgeführt. Aus dem Mittelwert
T n der gemessenen Zeiten wird die Frequenz bestimmt als
¯
f = n ê Tn = 0.539 s−1
(1)
Aus der Standardabweichung des Mittelwerts DTn auf einem Vertrauensniveau von 68 % wird der statistische
Fehler der Frequenz nach Gauß ermittelt:
∆fstat =
n
∆Tn = 0.002 s−1
¯ 2
Tn
(2)
Da das Zeit-Stoppen von Hand ausgeführt wurde, muss auch eine systematische Verzögerung der Reaktion
diskutiert werden. In unserem Fall wurde die Stoppuhr von derselben Person betätigt, die den Schwinger auslöste.
Daher ist beim Starten der Messung keine Verzögerung zu erwarten. Das Ende der Zeitmessung ist jedoch als
Reaktion auf eine Beobachtung potentiell mit einer systematischen Verzögerung von ca. DTsyst = 0.3 s behaftet.
Dies führt zu einem systematischen Fehler der Frequenz von
∆fsyst =
n
∆Tsyst = 0.009 s−1
¯ 2
Tn
(3)
Sodass der gesamt Fehler der Frequenz
∆f = ∆fstat + ∆fsyst = 0.011 s−1
(4)
ist.
Um die Dämpfung des Oszillators zu bestimmen, wird wieder dessen Ausschwingverhalten beobachtet. Diesmal
wird jedes Maximum jn der Auslenkung auf der am Gerät angebrachten Winkelskala abgelesen. Die
Periodendauer T = 1 ê f ist bekannt, sodass tn = n T + t0 . Aus der Schwingungs-Gleichung folgt
ϕi = ϕ0
−λ tn
(5)
Logarithmisieren ergibt
ln@ϕi D = −λ tn + c
(6)
Logarithmisiert man also die Winkel-Auslenkungen und trägt sie auf den Zeiten ab, so lässt sich die Dämpfung als
negative Steigung der Regressionsgeraden ablesen. Beispielhaft sind in Figure 1 die erste valide Messreihe und
ihre Regressionsgerade eingezeichnet.
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lnHϕê1°L
4
Messreihe 1 zur Dämpfung
5
4.5
4
3.5
2.5
5
7.5
10
12.5
15
2.5
Figure 1
Da das Ablesen der Winkel am sich bewegenden Pendel relativ ungenau ist, wurden fünf Messreihen durchgeführt
– da die erste jedoch unvollständig ist, wird sie nicht ausgewertet. Für die anderen vier wurde jeweils eine
Regressionsgerade samt Fehler in Mathematica bestimmt:
λk
0.170
0.159
0.150
0.150
∆λk
0.005
0.003
0.003
0.003
Table 1
Die Dämpfungskonstante l und ihr Konfidenzbereich Dlsyst ergeben sich durch gewichtete Mittelwert-Bildung,
wobei als Wichtungs-Faktoren die inversen Quadrate der Abweichungen Dlk verwendet werden.
λ = 0.155 s−1
∆λsyst = 0.001 s−1
(7)
Außerdem tritt eine systematische Verzerrung der Zeitskala durch einen potentiellen Fehler der verwendeten
Periodendauer auf.
λ∝
Hln ϕL
(8)
t
Da der Zusammenhang linear ist, gilt
λ = cp
1
(9)
T
mit der Proportionalitäts-Konstante c p . Der systematische Fehler, der aus der Unsicherheit der angenommenen
Periodendauer herrührt ist also
∆λsyst = cp
1
∆T =
λ
∆T = 0.003 s−1
wobei DT = IDTn + DTsyst M ë n. Insgesamt also
T2
T
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(10
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5
λ = H0.155 ± 0.004L s−1
(11
ü Computergestützte Auswertung
Der Versuchsaufbau zum Pohlschen Rad enthielt einen elektrischen Ausgang, an dem eine zur Position des Rades
proportionale Spannung abgegeben wurde. Diese wurde über einen analog-digital Wandler mit dem Computer
aufgezeichnet. Die vom Computer ausgelesenen Werte liefern eine Skala, die bis auf einen Nullpunktsfehler
proportional zur Auslenkung des Rades ist. Dieser Nullpunktsfehler kann bestimmt werden, wenn man abwartet
bis das gedämpfte Pendel zur Ruhe gekommen ist. Bei unserer Messung ergibt sich ein Nullpunktsfehler von
∆Y0 = 0.02
y
(12
Ausschingen des gedämpften Oszillators
6
4
2
5
10
15
20
25
-2
-4
-6
Figure 2
Figure 2 zeigt die um diesen Nullpunktsfehler korrigierte Messreihe. Die einzelnen Messpunkte werden
stückweise linear interpoliert. Aus den Nullstellen der Auslenkung kann man nun wieder die Periodendauer
bestimmen. Um den Fehler dieser Vorgehensweise abschätzen zu können, wird für zehn aufeinanderfolgende
Perioden ihre Dauer einzeln bestimmt. So lässt sich nicht nur die mittlere Periodendauer berechnen, sondern auch
eine Schätzung für den statistischen Fehler in Form der Standardabweichung des Mittelwertes angeben.
T = H1.859 ± 0.004L s
(13
Damit ergibt sich eine Frequenz von
f = H0.538 ± 0.001L s
(14
Dieser Wert stimmt erstaunlich gut mit unserer Messung nach Augenmaß überein.
Ganz analog zur visuellen Messung kann auch aus dieser Messreihe die Dämpfung bestimmt werden. Dazu
werden die Messpunkte der Minima und Maxima der Schwingung ausgewählt. Wieder werden die Beträge der
Amplituden logarithmisiert und gegen ihre jeweiligen Messzeiten aufgetragen (siehe Figure 3).
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lnHyL
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6
Comp.−Messung Dämpfung
1
5
10
15
20
25
-1
-2
Figure 3
Mit Mathematica werden die Regressionsgerade und ihr Fehler bestimmt. Daraus ergibt sich für die Dämpfung
λ = H0.155 ± 0.001L s−1
(15
Dieser ist mit unserer manuellen Messung identisch. Allerdings ist der Konfidenzbereich bei der
Computergestützten Messung kleiner.
ü Messung der Resonanzkurve
Nun wird der gedämpfte Oszillator mit einer variablen Frequenz angetrieben. Für verschiedene
Antriebsfrequenzen wird bei stationärer Schwingung auf der am Gerät angebrachten Winkelskala die MaximalAmplitude abgelesen. Diese Messpunkte ergeben zusammen ein Bild der Resonanzkurve.
ϕ @°D
Resonanzkurve
70
60
50
40
30
20
10
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Figure 4
Aus der Resonanzkurve lassen sich wichtige Charakteristika des angetriebenen Oszillators ablesen. Seine
Resonanzfrequenz – also die Frequenz größter Amplitude – beträgt:
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7
fRes = H0.545L s−1
(16
Dies ist etwas größer als die gemessene Eigenfrequenz des nicht angetriebenen gedämpften Schwingers. Dies
scheint im Widerspruch zu den theoretischen Rechnungen zu stehen. Allerdings lässt sich kaum eine Aussage über
die Unsicherheit dieses Wertes machen und die Kurve in Figure $ zeigt, dass das Maximum der Resonanzkurve
relativ weit ausgedehnt ist.
Der Abstand der beiden Schnittpunkte der Resonanzkurve mit der Geraden j = jmax ë
2 entspricht der
doppelten Halbwertsbreite. Diese ergibt sich aus unseren Messungen zu
∆ωHalb = 2 π ∆fHalb = 2 π ∗ 0.024 ∗ rad s−1 = 0.150 ∗ rad s−1
(17
∆ωHalb ∗ τ = ∆ωHalb ê λ = 0.97
(18
Multipliziert man diesen Wert mit der Lebensdauer t = 1 ê l, so erhält man
Dies ist hinreichend nahe bei 1, um zu verifizieren, dass Gleichung (9) aus der Praktikumsanleitung für diesen
Versuchsaufbau mit der verwendeten Dämpfung gültig ist. Eine genauere Fehlerbetrachtung ist leider nicht
möglich, da die Halbwertsbreite nur graphisch bestimmt wurde.
ü Eichung der Computer-Skala
Für drei verschiedene Frequenzen mit hinreichend unterschiedlichen Amplituden wurde jeweils eine Sequenz der
stationären Schwingung am Computer aufgenommen. Der Vergleich der am Computer gemessenen MaximalAmplitude mit dem am Gerät abgelesenen Winkel führt zu einer Eichung der Skala.
ϕ
Eichung der Digitalen Skala
80
0
60
0.500 Hz
40
0.450 Hz
20
0.750 Hz
0.5
1
1.5
2
2
Figure 5
Durch die vier Messpunkte wird eine Regressionsgerade bestimmt (Mathematica). Diese wird bei allen folgenden
Graphiken zur Transformation der Winkel- und Winkelgeschwindigkeits-Skala verwendet.
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8
à Beobachtungen am nichtlinearen Oszillator
ü Ausschwingverhalten
Das Ausschwingverhalten des nichtlinearen Pendels im Phasenraumdiagramm sieht, wie in Figure 7 zu sehen ist,
dem eines linearen Pendels in Figure 6 auf den ersten Blick ähnlich. Der erste gravierende Unterschied ist jedoch,
dass das nichtlineare Pendel, je nachdem, ob es zu Beginn des Versuches zur rechten oder zur linken Seite
ausgelenkt war, zu einer Ruhelage auf der rechten oder linken Seite strebt, während beim linearen Pendel nur eine
Ruhelage zur Verfügung stand.
Der zweite wichtige Unterschied besteht darin, dass sich die Trajektorie im Phasenraum nicht mehr in kreisenden,
sondern eher in asymmetrischen Bahnen zum Ruhepunkt strebt. Für unser Pendel bedeutet das, dass seine
Bewegung nicht mehr symmetrisch verläuft, sondern es in seiner Bewegung zu einer Seite wesentlich weiter
"ausschwingt".
ω
150
100
50
α
0
-50
-100
-150
-100
-50
0
50
100
150
Figure 6
ω
100
50
α
0
-50
-100
-100
0
100
200
150
100
50
0
-50
-100
-200 -100
Figure 7
ü Bifurkationen
Als Bifurkationspunkt des Systems wird ein Wert bezeichnet, ab dem sich in dem beobachteten System die,
eventuell überlagerten, Verhaltensmöglichkeiten verdoppeln. In unserem Fall bedeutet das, dass sich mehrere
Schwingungsfrequenzen überlagern. Im Phasenraumdiagramm wird dies durch das Auftreten von 2 (erste
Bifurkation) bzw. 4 (zweite Bifurkation) "Schleifen" in der Trajektorie deutlich.
Im Versuch konnten wir eine erste Bifurkation deutlich aufzeichnen:
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9
30
20
10
0
-10
-20
-100
-80
-60
-40
-20
Figure 8
Es war uns allerdings leider trotz langwidriger Messungen nicht möglich, eine stabile zweite Bifurkation
aufzuzeichnen.
ü Chaotisches Verhalten
Sehr häufig zeigte das System hingegen chaotisches Verhalten, wobei wir zwischen zwei Zuständen
unterscheiden. Zunächst dem Zustand des "stabilen Chaos", bei dem eine Trajektorie zwar stabil durchlaufen wird,
sich aber weder einer Bifurkation noch einem anderen regelmäßigen Schwingungsverlauf zuordnen lässt, zum
Beispiel wenn die Trajektorie drei "Schleifen" durchläuft, wie in Figure 9 zu sehen:
ω
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-100
-50
0
50
1
Figure 9
Bei dem letzten beobachteten Fall handelt es sich um chaotisches Verhalten, bei dem keine Trajektorie im
Phasenraum stabil durchlaufen wird, sondern sie sich ständig ohne eine äussere Einwirkung ändert.
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10
ω
40
20
0
-20
-40
-100
-50
0
50
Figure 10
Referenzen
[A]
Praktikumsanleitung
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10

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