Steckbrief zum systematischen Probieren

Steckbrief zum systematischen Probieren
Du kennst das sicher: Du sollst eine
Textaufgabe lösen und weißt nicht, wie du
vorgehen sollst. Du findest einfach keinen
Ansatz, an das Problem heranzugehen.
Beim Problemlösen können dir
sogenannte Problemlösestrategien eine
Orientierung bieten. Das systematische
Probieren ist eine solche Problemlösestrategie. Diese Strategie wirst du in
diesem Steckbrief anhand von Problemen
kennen- und anwenden lernen.
Beispiel 1: Kleingeld
Wie viele Möglichkeiten gibt es, 1 Euro in
5- und 10- Cent-Stücke umzuwechseln,
wenn dabei jede Münze mindestens
einmal benutzt wird?
© Cornelsen Verlag Scriptor, Berlin • Problemlösen lernen im Mathematikunterricht
Versuche die Aufgabe zunächst selbst zu
lösen und schau dir erst dann die Lösung
an!
Bei dieser Aufgabe bietet es sich an, alle
Möglichkeiten 1 Euro in 5- und 10-CentStücke zu wechseln, durchzuprobieren.
1
Anzahl
10-CentStücke
1
Anzahl
5-CentStücke
18
2
2
16
3
3
14
4
4
12
5
5
10
6
6
8
7
7
6
8
8
4
9
9
2
Möglichkeit
Zunächst starten wir mit einem 10-CentStück. Daraus ergibt sich die Differenz von
90 Cent zu einem Euro. Diese füllen wir
mit 18 5-Cent-Stücken auf. Anschließend
erhöhen wir die Anzahl der 10-CentStücke jeweils um eins und bestimmen die
fehlende Anzahl der 5-Cent-Stücke. Daraus
186 Steckbrief zum systematischen Probieren
ergeben sich genau 9 Möglichkeiten 1
Euro in 10- und 5-Cent-Stücke zu
wechseln.
Unsere Strategie bei dieser Aufgabe war
also, eine der gesuchten Größen
systematisch zu variieren und die zweite
Größe entsprechend anzupassen. Man
spricht hierbei auch von
Fallunterscheidung.
Diese systematische Vorgehensweise
erleichtert die Arbeit und ermöglicht dir
einen Überblick über die bereits
verwendeten Möglichkeiten. Es ist daher
sinnvoll, solche oder ähnliche Probleme
durch systematisches Ausprobieren
anzugehen. Dazu ist es notwendig, dass du
dir im Vorfeld überlegst, wie du die
verfügbaren Informationen vorteilhaft
strukturierst.
Hierzu kann eine Tabelle hilfreich sein.
Merke:
Beim systematischen Probieren hat man
es mit Fallunterscheidungen zu tun.
Beispiel 2: Schlüssel
Du sollst für eine Freundin von zu Hause
ihre Badesachen mit zum See nehmen. Sie
drückt dir ihren Schlüsselbund in die Hand
und vergisst zu sagen, welcher Schlüssel
die Haustür öffnet. Da am Schlüsselbund
deiner Freundin ca. 15 Schlüssel hängen
und du schnell zum See möchtest, machst
du dir schon auf dem Weg Gedanken, wie
du am schnellsten an die Badesachen
gelangst. Suche nach
Merkmalen der Schlüssel, die
dir helfen, nicht passende
Schlüssel auszusortieren.
1) Schlüsselgröße
2) ________________________________
3) ________________________________
4) ________________________________
5) ________________________________
6) ________________________________
Webcode: PM230747-014
Merke:
- Ordne Informationen vorteilhaft
- Triff eine Vorauswahl infrage
kommender Lösungen
- Probiere effektiv aus
Diese Beispiele haben gezeigt, was
systematisches Probieren meint und in
welchen Situationen es hilfreich sein kann,
systematisch vorzugehen. Häufig führt in
Problemsituationen systematisches
Probieren alleine nicht zum Ziel.
Zusätzliche heuristische Hilfsmittel –
Tabelle, informative Figur, Gleichung –
können hilfreich sein, die Situation zu
reduzieren und sich das Problem besser
vorzustellen.
Die folgende Aufgabe zeigt dir noch
einmal, wie man Informationen mithilfe
einer Tabelle ordnet und aufschreibt.
Aufgabe 1: Fliesen
Familie Müller möchte ihre rechteckige
Küche mit gleich großen quadratischen
Fliesen auslegen. Im Baumarkt finden sie
einen Restposten mit 32 dunklen und 48
hellen Fliesen, der besonders günstig
angeboten wird. „Das passt ja genau,
wenn wir die hellen Kacheln in die Mitte
legen und die dunkleren außen herum“,
sagt Vater Müller. Wie viele Fliesen
müssen jeweils in der Breite und in der
Länge gelegt werden?
Länge
Breite
innere Fliesen
1
48
daraus ergibt
sich
äußere Fliesen
passt?
102
nein
2
Vorteile des Hilfsmittels Tabelle:
- Übersichtlichkeit
- hilft, Möglichkeiten nicht zu vergessen
- schnelleres Erkennen einer Systematik
der Ergebnisse
In der folgenden Aufgabe kannst du die
kennengelernten Problemlösestrategien
anwenden. Dokumentiere deinen
Lösungsweg!
Aufgabe 2: Kerzen
Zwei Kerzen brennen mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten ab: Kerze A ist 36 cm
lang und brennt mit 3 cm pro Stunde ab,
Kerze B ist 10 cm lang und brennt mit 1 cm
pro Stunde ab. Wann sind beide Kerzen
gleich lang?
Welchen Lösungsweg hast du gewählt?
Hast du bei diesem Problem systematisch
probiert? Alternativ könntest du zu dem
genannten Problem für jede Kerze eine
Gleichung aufstellen oder eine
informative Figur anfertigen. Löse nun das
Problem auch mithilfe einer Gleichung
oder einer informativen Figur, falls du
diesen Lösungsweg nicht gewählt hattest.
Schau dir anschließend die dargestellten
Lösungswege an. Was fällt dir auf?
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Hast du somit die Anzahl der
möglicherweise passenden Schlüssel
reduziert, musst du nur noch die Schlüssel
ins Schloss stecken, die deiner Meinung
nach in Frage kommen. Du hast also den
Aufwand reduzieren können und gelangst
schneller zu einer Lösung.
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Lösungsweg mithilfe einer informativen
Figur:
Vorteile des Hilfsmittels Informative
Figur:
- „Zeichnung“ zum besseren Verständnis
- enthält alle wichtigen Informationen
- Lösungen können visualisiert werden
Lösungsweg mithilfe einer Gleichung:
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Kerze A: y = 36 – 3x
Kerze B: y = 10 – x
Durch Gleichsetzen der beiden rechten
Seiten gelangst du zu dem Ergebnis, dass
die beiden Kerzen nach 13 Stunden die
gleiche Länge erreicht haben.
An dieser Stelle der Problembearbeitung
solltest du dein Ergebnis mit der realen
Situation überprüfen, denn nach
13 Stunden Brenndauer sind die Kerzen
- 3cm lang! Diese „Lösung“ zeigt dir, dass
das unüberlegte Arbeiten mit Gleichungen
an Grenzen stoßen kann, wenn nicht
zusätzlich zum mathematischen Modell
die reale Situation (positive Kerzenlängen)
beachtet wird. Ein graphischer
Zusammenhang oder systematisches
Probieren mithilfe einer Tabelle zeigen dir,
dass die beiden Kerzen bereits nach 12
Stunden ihre gemeinsame Länge, nämlich
0 cm erreicht haben!
188 Steckbrief zum systematischen Probieren
Vorteile des Hilfsmittels Gleichung:
- Verknüpfung von Informationen
- Problem kann vereinfacht werden
Auch im Alltag kann dir das systematische
Probieren helfen, Probleme zu lösen.
Möchtest du zum Beispiel Frühstückseier
kochen und weißt nicht, wie lange ein Ei
kochen muss, bis es die richtige Härte hat,
bleibt dir, sofern du auf dich alleine
gestellt bist, nichts anderes übrig, als es
einfach auszuprobieren – jedoch nicht
irgendwie nach Versuch - Irrtum, sondern
systematisch. So findest du schneller
heraus, wie lange ein Ei kochen muss.
Auch hier kannst du eine gewisse
Übersichtlichkeit wahren, wenn du mit
Tabellen arbeitest.
Übungen
Die folgenden Aufgaben geben dir Gelegenheit, die kennengelernten Strategien zum
Bearbeiten von Problemen, insbesondere das systematische Probieren, anzuwenden und
Erfahrungen im Lösen von Problemen zu sammeln.
Aufgabe 4: Mützenaufgabe
Einmal zeigte der Lehrer im
Mathematikunterricht den Schülern fünf
Kappen: drei schwarze und zwei rote.
Horst, Bernd und Ulrike mussten sich auf
drei hintereinanderstehende Stühle setzen.
Die Verdunkelung wurde
heruntergelassen, das Licht gelöscht, und
der Lehrer setzte jedem der Schüler eine
der Kappen auf. Danach wurde das Licht
wieder eingeschaltet. Natürlich durfte sich
keiner der drei Schüler bei dem Experiment
umdrehen, sodass Horst nur die Kappen
von Bernd und Ulrike, Bernd nur die Kappe
von Ulrike und Ulrike keine der Kappen
sehen konnte. Jetzt wurde Horst gefragt,
ob er eine schwarze oder eine rote Kappe
trage. Er antwortete, dass er es nicht
genau sagen könne. Bernd, der Horsts
Antwort gehört hatte, gab die gleiche
Antwort wie Horst. Ulrike jedoch konnte
aus den beiden Antworten von Horst und
Bernd auf die Farbe ihrer Kappe schließen.
Welche Farbe war es?
Aufgabe 5: Tresor
Du hast die Chance, bei einem Gewinnspiel
im nahe gelegenen Einkaufszentrum
teilzunehmen. Um an den im Tresor
liegenden Gewinn zu kommen, musst du
einen 10-stelligen Code eingeben, von dem
du Folgendes weißt:
- der 1-stellige, von links gezählte Anfang
des Codes ist durch 1 teilbar.
- der 2-stellige, von links gezählte Anfang
des Codes ist durch 2 teilbar.
- der 3-stellige, von links gezählte Anfang
des Codes ist durch 3 teilbar.
- der 4-stellige, von links gezählte Anfang
des Codes ist durch 4 teilbar.
- der 5-stellige, von links gezählte Anfang
des Codes ist durch 5 teilbar.
- der 6-stellige, von links gezählte Anfang
des Codes ist durch 6 teilbar.
- der 7-stellige, von links gezählte Anfang
des Codes ist durch 7 teilbar.
- der 8-stellige, von links gezählte Anfang
des Codes ist durch 8 teilbar.
- der 9-stellige, von links gezählte Anfang
des Codes ist durch 9 teilbar.
- der gesamte Code ist durch 10 teilbar.
Welcher Code öffnet den Tresor, wenn jede
Ziffer nur einmal verwendet werden darf?
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Aufgabe 3: Papier schneiden
Gegeben ist ein Stück Papier. Es wird in 8
oder 12 beliebige Stücke zerschnitten.
Jedes der entstandenen Stücke darf man
wieder in 8 oder 12 Stücke schneiden oder
unzerschnitten lassen usw.
a) Kann man auf diese Weise 60 Stücke
bekommen?
b) Betrachte deinen Lösungsweg. Was fällt
dir bezüglich beliebiger Stückzahl größer
als 60 auf?
Steckbrief zum systematischen Probieren 189
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Aufgabe 6: Alter des Bischofs
Ein Pfarrer sagt zum Organisten: „Heute
waren nur drei Leute in der Kirche.“
Organist: „Wie alt waren denn die drei?“
Pfarrer: „Also, wenn du die jeweiligen Alter
miteinander multiplizierst, dann ergibt das
2450. Zusammengenommen sind sie so alt
wie du.“
Organist: „Hmm, also mit diesen
Informationen kann ich das ja wohl noch
nicht lösen!“
Pfarrer: „Ach ja, ich muss noch erwähnen,
dass alle drei jünger waren als unser
Bischof!“
Organist: „Aha, jetzt hab ich‘s!“
Wie alt ist der Bischof?
190 Steckbrief zum systematischen Probieren
Fazit
Häufig ist Ausprobieren eine der ersten
Tätigkeiten bei der Suche nach einer
Lösung. Diese Methode ist nicht
„unmathematisch“. Viele Mathematiker
wenden diese Strategie an, um eine
Vorstellung von der Lösung zu bekommen,
die sie beweisen möchten. Das
systematische Probieren kann unter
Verwendung der verschiedenen Hilfsmittel
(Tabelle, informative Figur, Gleichung) wie
folgt zusammengefasst werden: Zuerst
sammeln wir die relevanten
Informationen, ordnen sie und probieren –
falls möglich – im Anschluss systematisch
die in Frage kommenden Kombinationen
aus. Die Strategie liefert nicht immer eine
exakte Lösung, sie kann jedoch sehr
hilfreich auf dem Weg einer
Lösungsfindung sein.
Lösungen
Länge
Aufgabe 4: Mützenaufgabe
Alle möglichen Kombinationen
daraus ergibt
sich
Breite
innere Fliesen
äußere Fliesen
passt?
Horst Bernd Ulrike
1
48
102
nein
R
R
S
2
24
56
nein
R
S
R
3
16
42
nein
R
S
S
4
12
36
nein
S
R
R
6
8
32
ja
S
R
S
8
6
32
ja
S
S
R
12
4
36
nein
S
S
S
16
3
42
nein
24
2
56
nein
48
1
102
nein
Aufgabe 3: Papier schneiden
In 12 Stücke
In 8 Stücke
0
1
2
3
4
5
6
0
1
12
23
34
45
56
67
1
8
19
30
41
52
63
74
2
15
26
37
48
59
70
3
22
33
44
55
66
4
29
40
51
62
73
5
36
47
58
69
6
43
54
65
7 8 9 10
50 57 64 71
61 68
72
Die Tabelle gibt alle möglichen Anzahlen
von Papierstücken bis einschließlich 74 an.
Die Zahl 60 tritt dabei nicht auf. Da alle
Zahlen von 61 bis 67 in der Tabelle zu
finden sind, genügt allein ein
Weiterarbeiten nach rechts, um jede
beliebige Anzahl von Papierstücken größer
als 60 zu erhalten.
Horst ist Bernd ist
unsicher unsicher
entfällt
entfällt
entfällt
Die erste Antwort sagt uns, dass Bernd
und Ulrike nicht beide rote Mützen
aufhaben (dann hätte Horst schwarz). Die
zweite Antwort sagt uns, dass Ulrike keine
rote Mütze aufhat (dann hätte Bernd
schwarz). Ulrike hat also eine schwarze
Mütze auf.
Aufgabe 5: Tresor
Wir wissen, dass der Code aus zehn Ziffern
besteht:
X X X X X X X X X X
Der gesamte Code muss durch 10 teilbar
sein, also kommt nur die Null als letzte
Ziffer in Frage. Die fünfte Ziffer von links
muss durch 5 teilbar sein, dies ist nur für
die Null und die 5 der Fall, da die Null
schon besetzt bleibt nur die 5:
X X X X 5 X X X X 0
Die 2., 4., 6. und 8. Ziffer müssen gerade
sein, da sie durch 2, 4 6 oder 8 teilbar sein
müssen, dementsprechend sind die 1., 3.,
7. und 9. Ziffer ungerade.
Durch systematisches Ausprobieren und
Ausschließen kommt man auf die
Kombination:
3 8 1 6 5 4 7 2 9 0
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Aufgabe 1: Fliesen
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Aufgabe 6: Alter des Bischofs
Das Alter der drei Kirchenbesucher soll
natürlich und ganzzahlig angenommen
werden. Durch Probieren erhält man 20
verschiedene Fälle.
192 Steckbrief zum systematischen Probieren
Da der Organist die Aufgabe mit diesen
Informationen noch nicht lösen kann,
muss er 64 Jahre alt sein. Denn nur wenn
die Summe 64 beträgt, ist die Lösung nicht
eindeutig. Die zusätzliche Information
besagt, dass der Bischof älter als 49 Jahre
sein muss. Wäre der Bischof 51 Jahre oder
älter, kämen wieder beide Möglichkeiten
für das Alter der Kirchenbesucher infrage
und es gäbe wieder keine Eindeutigkeit.
Da aber die Aufgabe jetzt lösbar sein soll,
kann der Bischof nur 50 Jahre alt sein.

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