Institut für Technische und Numerische Mechanik Prof. Dr.-Ing. P. Eberhard apl. Prof. Dr.-Ing. M. Hanss Technische Mechanik III WS 2015/16 A4.1 Aufgabe 1: Eine Kiste (Punktmasse mk) liegt auf einem Eisenbahnwagen, der aus einer Platte (Masse mp) und 2 Radsätzen besteht. Jeder mp mk 2ām r ÏÏÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏÏ a Radsatz besteht aus zwei Rädern (homogene Vollscheiben, Masse je Vollscheibe mr, Radius R), die durch eine masselose Achse verbunden sind. Für die Coulombsche Reibung zwischen Kiste und Platte ist der Reibungswinkel ρ = 10° . Die Verhältnisse der Massen sind mp : mk : mr = 3 : 2 : 1. Wie groß darf der Winkel α einer schiefen Ebene höchstens sein, wenn die Kiste auf dem herunterrollenden Wagen liegen bleiben soll? a) Wie viele Teilkörper besitzt das System? n=2 n=4 n=6 b) Zeichnen Sie in der folgenden Abbildung die eingeprägten Kräfte und die nach dem Schnittprinzip entstehenden Reaktionskräfte ein. y ÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏ z ÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏ ÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏ c) Welche Schnittkraft ist für das Liegenbleiben der Kiste maßgebend und welcher Gleichung bzw. Ungleichung genügt sie? (1) ________________________ d) Liegt eine ebene Bewegung in einer Hauptträgheitsebene aller Teilkörper vor? ja nein Institut für Technische und Numerische Mechanik Prof. Dr.-Ing. P. Eberhard apl. Prof. Dr.-Ing. M. Hanss Technische Mechanik III WS 2015/16 A4.2 e) Wie groß sind die Beschleunigungen und Winkelbeschleunigungen aller Teilkörper? Alle Beschleunigungen sollen durch die Kistenbeschleunigung z ausgedrückt werden. ay Teilkörper ω az z Kiste Platte Radsätze f) Für welche Koordinaten müssen die Grundgleichungen zur Berechnung der interessierenden Schnittkräfte angeschrieben werden? Kräfte− gleichgewicht Teilkörper x y Drallsatz bezüglich S Impulssatz z x y z x y z Kiste Platte Radsätze g) Wie groß ist das Trägheitsmoment einer Kreisscheibe (Masse m, Radius R) bezüglich einer Achse, die parallel zur x−Achse ist und durch den Massenmittelpunkt geht? J = ____________________ h) Wie lauten die äußeren Kräfte auf die Teilkörper und die Momente auf die zwei Radsätze bezüglich ihres Schwerpunktes? F ky = F kz = F pz = F r1z = F r 2z = ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ M S1 x = M S2x = ___________________________ ___________________________ Institut für Technische und Numerische Mechanik Prof. Dr.-Ing. P. Eberhard apl. Prof. Dr.-Ing. M. Hanss i) Technische Mechanik III WS 2015/16 A4.3 Schreiben Sie die erforderlichen Grundgleichungen für die einzelnen Teilkörper an. ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ j) mp + mk + 4 mr mp + mk + 6 mr (4) (5) (6) (7) (8) g sin α . (9) Wie groß darf der Winkel α höchstens sein, damit die Kiste liegen bleibt? tan α ≤ l) (3) Beweisen Sie durch Elimination der Reaktionskräfte, dass die Kistenbeschleunigung den folgenden Wert besitzt z = k) (2) __________ Welcher Zahlenwert ergibt sich für den Winkel α? α = 22.06 ° α = 44.12 ° α = 88.24 ° m) Der Impulssatz lässt sich auch für das Gesamtsystem anwenden, wobei neben der Gewichtskraft nur die Reaktionskräfte der Ebene auf die Radsätze einen Beitrag zu den äußeren Kräften liefern. Ergänzen Sie die folgende Gleichung für die z−Koordinate des Impulssatzes ( n) ___________ ) z = (m p + m k + 4 m r ) g sin α + ____________ (10) Eliminieren Sie die Reaktionskräfte der Radsätze in (10) und vergleichen Sie das Ergebnis mit (9).
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