Das Lösen von linearen Gleichungen

Lineare Gleichungen
Lineare Gleichungen formen wir so um, dass wird die Lösung unmittelbar
ablesen können.
z.B. x = 3
Es sind jedoch nur solche Umformungen erlaubt, welche die Gleichheit von
rechter und linker Seite einer Gleichung nicht verändern.
Man darf auf beiden Seiten der Gleichung
- den gleichen Term addieren.
- den gleichen Term subtrahieren.
- mit der gleichen Zahl multiplizieren (außer mit Null).
- durch die gleiche Zahl dividieren (außer durch Null).
Wir müssen dabei immer die entgegengesetzte Rechnung durchführen.
Auf beiden Seiten der Gleichung wurde die Zahl 13 subtrahiert.
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Auf beiden Seiten der Gleichung wurde die Zahl 8 addiert.
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Beide Seiten der Gleichung wurden durch die Zahl 4 dividiert.
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Beide Seiten der Gleichung wurden mit der Zahl 3 multipliziert.
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„Kochrezept“ für das Lösen von linearen Gleichungen
Beim Lösen von Linearen Gleichung arbeiten wir immer die Lösungsschritte in
einer festen Reihenfolge ab. Dabei können einzelne Schritte wegfallen.
0. Ausgangsgleichung richtig abschreiben
1. Klammern auflösen
2. Summanden auf beiden Seiten der Gleichung ordnen
3. Zusammenfassen
4. quadratische Variable entfernen
5. den kleineren x-Wert entfernen
6. die Zahl auf der x-Seite entfernen
7. mit dem Nenner der Zahl vor x multiplizieren
8. durch die Zahl vor x teilen
Nach dem Berechnender Lösung müssen wir eine Probe durchführen.
Dazu ersetzen wir das x in der Ausgangsgleichung durch den Lösungswert.
Beispiel 1:
2x + 5 + x + 2 = 4x + 21 – 2 - 3x
Schritt 2 (Ordnen)
2x + x + 5 + 2 = 4x - 3x + 21 – 2
Schritt 3 (Zusammenfassen)
3x + 7
= x + 19
⏐- x
Schritt 5 (kleineren x-Wert entfernen)
2x + 7
= 19
⏐- 7
Schritt 6 (Zahl auf der x-Seite entfernen)
2x
= 12
⏐: 2
Schritt 7 (durch die Zahl vor x teilen)
x
= 6
Probe:
2x
+ 5 + x + 2 = 4x
2 ⋅ 6 + 5 + 6 + 2=
12 + 5 + 6 + 2 =
25
=
25
=
+ 21 – 2 - 3x
4 ⋅ 6 + 21 – 2 - 3 ⋅ 6
24 + 21 – 2 - 18
45 – 20
25
Weil die rechte und die linke Seite übereinstimmen,
wissen wir nun, das die Zahl 6 die richtige Lösung ist.
L = {6}
€
€
(Diese Zeile wird nicht geschrieben.)
Das x wir durch die Zahl 6 ersetzt.
Beispiel 2:
1
7 x +12 = 7x + 20
−7x
Schritt5
4
1
x +12 = 20
−12
Schritt6
4
1
x =8
⋅4
Schritt7
4
x = 32

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