Beweis. (der restlichen Ausagen von Satz (15.5)):
(5): gilt nach Satz (14.9),(2),(3), weil A+ eine spezielle g-Inverse ist.
(8): A ∼ (m, n) und Rg (A) = n ⇒ A hat die Vollrangfaktorisierung A = AIn
⇒ A+ = In> (A> AIn> )−1 A> = (A> A)−1 A>
Satz(15.4)
Damit folgt: A+ A = (A> A)−1 A> A = In .
A ∼ (m, n) ⇒ A> ∼ (n, m). Mit Rg (A> ) = Rg (A) = m folgt:
A> hat die Vollrangfaktorisierung A> = A> Im
>
> −1
⇒ (A> )+ = Im
(AA> Im
) A = (AA> )−1 A.
Satz(15.4)
Nach (4) gilt: (A> )+ = (A+ )> , also folgt (A+ )> = (AA> )−1 A
⇒ A+ = [(AA> )−1 A]> = A> [(AA> )−1 ]> = A> [(AA> )> ]−1 = A> (AA> )−1
Damit folgt: AA+ = AA> (AA> )−1 = Im .
(13): Wegen Eigenschaft (4) für A+ ist (AA+ )> = AA+ . Damit folgt:
AA+ = (AA+ )> = (A+ )> A> = (A> )+ A> = A+ A
A> =A
(4)
(15): Sei C = A · B. Es gilt nach Voraussetzung: A ∼ (m, n), B ∼ (n, m) und
Rg (A) = n = Rg (B). Nach Satz (7.4) gilt:
Rg (A) + Rg (B) −n ≤ Rg (C) ≤ min{ Rg (A), Rg (B)}
|
{z
}
| {z } | {z }
=n
=n
=n
⇒ n ≤ Rg (C) ≤ n ⇒ Rg (C) = n.
Daher hat C die Vollrangfaktorisierung C = A · B.
Nach Satz (15.4) ist daher:
(AB)+ = C + = B > (A> CB > )−1 A> = B > (A> ABB > )−1 A>
= B > (BB > )−1 (A> A)−1 A> = B + A+ .
{z
}|
{z
}
|
=B +
=A+
Denn: B ∼ (n, m) und Rg (B) = n ⇒ B + = B > (BB > )−1 und
(8)
A ∼ (m, n) und Rg (A) = n ⇒ A = (A> A)−1 A> .
+
(8)
(17): (A> A)+ A> = A+ (A> )+ A> = A+ (A+ )> A> = A+ (AA+ )>
=
M −P −E(3)
(16)
+
+
A AA
=
M −P −E(2)
(4)
+
A .
A> (AA> )+ = At op(A> )+ A> = At op(A+ )> A> = (A+ A)> A+
=
M −P −E(4)
(16)
+
+
A AA
=
M −P −E(2)
(4)
+
A .
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