Gruppenisomorphismen Definition: Seien (G, ) und (G`,∗) zwei

Gruppenisomorphismen
-Sophiane Yahiatene-
Definition: Seien (G,◦) und (G’,∗) zwei Gruppen. Sie heißen isomorph, falls es eine
Abbildung φ : G −→ G0 gibt, die folgende Bedingungen erfüllt:
1. φ ist bijektiv
2. φ(g1 ◦ g2 ) = φ(g1 ) ∗ φ(g2 ) ∀g1 , g2 ∈ G
Wichtige Eigenschaften:
1. Es existiert eine Umkehrabbildung φ−1 mit den oben genannten Eigenschaften.
Beweis: Die erste Eigenschaft ist klar. Um die zweite zu beweisen, wähle g10 , g20 ∈
G0 mit φ(g1 ) = g10 und φ(g2 ) = g20 . So gilt:
φ−1 (g10 ∗ g20 ) = φ−1 (φ(g1 ) ◦ φ(g2 )) = φ−1 (φ(g1 ◦ g2 )) = g1 ◦ g2 = φ−1 (g10 ) ∗ φ−1 (g20 )
Also gilt G ∼
= G0 ⇔ G0 ∼
= G.
2. φ(eG ) = eG0
Beweis:
φ(eG ) = φ(eG ◦ eG ) = φ(eG ) ∗ φ(eG ) ⇔ eG0 = φ(eG )
3. φ(g n ) = φ(g)n ∀g ∈ G, n ∈ N
Beweis:
φ(g n ) = φ(g) ∗ ... ∗ φ(g) = φ(g)n
4. ord(g) = ord(φ(g)) ∀g ∈ G
Beweis:
Sei g 0 ∈ G mit φ(g) = g 0 und n := ord(g). So gilt g 0n = φ(g)n = φ(g n ) = φ(eG ) = eG0 .
Sei l ≤ n mit g 0l = eG0 . So gilt φ(g n ) = eG0 = g 0l = φ(g)l = φ(g l ).
Da φ injektiv ist gilt eG = g n = g l . Aus der Minimalität der Ordnung folgt l = n.
5. φ(g −1 ) = φ(g)−1 ∀g ∈ G
Beweis:
eG0 = φ(eG ) = φ(g ◦ g −1 ) = φ(g) ∗ φ(g −1 )
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Weitere Eigenschaften:
1. Sei G die von g und G’ die von g’ erzeugte Gruppe, d.h. G = {g 0 , g 1 , g 2 , ...} und
G0 = {g 00 , g 01 , g 02 , ...}. So ist φ : G → G0 , g n 7→ g 0n für n ∈ N ein Isomorphismus,
falls |G| = |G0 |.
Beweis:
φ ist bijektiv, da φ−1 : G0 → G, g 0n 7→ g n ist die U mkehrabbildung
φ(g l ◦ g m ) = φ(g l+m ) = g 0l+m = g 0l ∗ g 0m = φ(g l ) ◦ φ(g m )
2. Chinesischer Restsatz
Sei n = pe11 · ... · pess die Primfaktorzerlegung von n, so sind folgende Abbildungen
Isomorphismen:
Z/nZ → Z/pe11 Z × ... × Z/pe11 Z
a + nZ 7→ (a + pe11 Z, ..., a + pess Z)
(Z/nZ )∗ → (Z/pe11 Z )∗ × ... × (Z/pe11 Z )∗
a + nZ 7→ (a + pe11 Z, ..., a + pess Z)
3. Verknüpfungstabellen
Hat man die Verknüpfungstabellen zweier Gruppen erstellt, so sieht man leicht
anhand der Struktur, ob diese isomorph sind.
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