Folien 4

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Untergruppen, Faktorgruppen, Ideale, Restklassenringe und Homomorfismen
Wir verallgemeinern den Übergang von Z zu Z/m.
Sei im folgenden G eine (additiv geschriebene) abelsche Gruppe, H eine Untergruppe.
Definition 7.1 Sei a ∈ H. Die Nebenklasse von a modulo H, auch mit (a mod H)
bezeichnet, ist die Teilmenge a + H = {a + h | h ∈ H} von G.
Frage: Ist dieser Begriff eine Verallgemeinerung des Begriffs der Restklasse a + mZ?
A) Klar.
B) Die beiden Begriffe haben ja wohl kaum etwas miteinander zu tun.
Antwort: A.
Analog zu den Restklassen a + mZ gilt:
Satz 7.2 a) Jedes a ∈ G liegt in genau einer Nebenklasse modulo H.
b) Jede Nebenklasse modulo H hat so viele Elemente wie H.
Beweis:
a) Zunächst gilt a ∈ a + H, da 0 ∈ H.
Sei etwa a ∈ b + H und a ∈ c + H, d.h. es gebe h1 , h2 ∈ H mit a = b + h1 = c + h2 , Dann
gilt für jedes h ∈ H, dass b + h = (b + h1 ) + (h − h1 ) = c + h2 + h − h1 ∈ c + H ist. Somit
ist b + H ⊂ c + H. Die Inklusion c + H ⊂ b + H ist genauso zu beweisen.
b) Die Abbildung H → a + H, h 7−→ a + h ist bijektiv. Sie ist nämlich surjektiv nach
Definition von a + H. Und da aus a + h1 = a + h2 in der Gruppe G die Gleichung h1 = h2
folgt, ist die Abbildung auch injektiv.
Definition 7.3 Mit [G : H] wird die Anzahl der Nebenklassen modulo H bezeichnet. Sie
heißt Index von H (in G).
Satz 7.4 Es ist #G = [G : H] · #H.
(Dies gilt auch, falls #G = ∞ ist, wenn man
∞ · n = n · ∞ = ∞ · ∞ = ∞ für n ∈ N1 definiert. Es ist auch richtig im Sinne des
Produktes von möglicherweise unendlichen Kardinalzahlen.)
Insbesondere gilt #H | #G, wenn G endlich ist.
Beweis: Es gibt nach Definition [G : H] Nebenklassen, die alle so viele Elemente wie
H haben.
58
Folgerung 7.5 a) Für x ∈ G, G endlich, gilt ord(x) | #G.
b) Insbesondere ist (#G) · x = 0.
Beweis: a) ord(x) = #hxi und hxi ist eine Untergruppe von G.
b) Dies folgt aus a) und 5.12 d).
Wir erhalten die zahlentheoretische
Folgerung 7.6 (Euler) Sei k ∈ Z teilerfremd zu m ∈ N1 . Dann ist k ϕ(m) ≡ 1 (mod m).
Beweis: Nach 4.19 und 4.22 ist (k mod m) ein Element der (multiplikativ geschriebenen) Einheitengruppe (Z/m)∗ von Z/m. Diese hat ϕ(m) Elemente. Wende 6.5 b) an.
Speziell für eine Primzahl p erhalten wir die (historisch ältere)
Folgerung 7.7 ( Kleiner Satz“ von Fermat)
”
a) Wenn p - k, so ist k p−1 ≡ 1 (mod p).
b) Für beliebige k ∈ Z ist k p ≡ k (mod p).
Beweis: a) Gilt wegen ϕ(p) = p − 1.
b) folgt für k 6≡ 0 (mod p) aus a) und ist für k ≡ 0 (mod p) trivial.
Will man den kleinen Fermat“ in der Schule beweisen, kann man es wie folgt tun:
”
Satz: Für p prim und 1 ≤ k ≤ p − 1 ist der Binomialkoeffizient kp durch p teilbar.
Denn der Zähler von p!/(k!(p − k)! ist durch p teilbar, der Nenner nicht. –
Es folgt: Für p prim und a, b ∈ Z gilt: (a + b)p ≡ ap + bp (mod p)
In Z/p lässt sich jedes Element als Summe von 1-en schreiben. Dort ist also ap = (1 +
· · · + 1)p = 1p + · · · + 1p = a.
Definition 7.8 a) Mit G/H wird die Menge der Nebenklassen modulo H bezeichnet.
b) Die kanonische Abbildung κ : G → G/H wird durch
κ(a) = a + H definiert.
7.9
Analog zu 4.9 erhalten wir den
59
Satz 7.10 Seien eine abelsche Gruppe G und eine Untergruppe H gegeben. Für a, b ∈ G
sind folgende Aussagen äquivalent:
(i) (a mod H) = (b mod H), d.h. κ(a) = κ(b);
(ii) a ∈ (b mod H);
(iii) b ∈ (a mod H);
(iv) (a mod H) ∩ (b mod H) 6= ∅;
(v) a − b ∈ H;
(vi) a und b liegen in derselben Nebenklasse.
Der Beweis stimmt mit dem von 4.9 fast buchstäblich überein.
Definition 7.11 Man sagt, a ist kongruent zu b modulo H“, und schreibt
”
a ≡ b (modH) oder a ≡ b (H), wenn a, b, H die äquivalenten Aussagen von 6.10 erfüllen.
Die Kongruenzrelation genügt offenbar folgenden Gesetzen:
a) a ≡ a (mod H),
b) a ≡ b (mod H) =⇒ b ≡ a (mod H),
c) a ≡ b (mod H), b ≡ c (mod H) ⇒ a ≡ c (mod H).
d) Ist H 0 eine weitere Untergruppe von G mit H ⊂ H 0 , so gilt die Implikation
a ≡ b (mod H)
=⇒
a ≡ b (mod H 0 ).
e) a ≡ a0 (mod H), b ≡ b0 (mod H) ⇒ a + b ≡ a0 + b0 (mod H).
7.12
ren:
Wie in 4.13 können wir wegen 6.12 e) auf der Menge G/H eine Addition definie(a mod H) + (b mod H) := (a + b mod H).
Bemerkungen 7.13 Mit der oben angegebenen Addition ist G/H eine abelsche Gruppe.
H = (0 mod H) ist das neutrale Element, und (−a mod H) ist zu (a mod H) invers.
Ferner ist κ : G → G/H ein Homomorfismus, der sogenannte kanonische Homomorfismus.
Definition 7.14 G/H, mit der oben angegebenen Addition, heißt die Faktorgruppe (oder
Restklassengruppe) von G modulo H (oder von G nach H).
60
Beispiel 7.15 Sei G := (Z/9)∗ = {1, 2, 4, 5, 7, 8}. Sei H := h4i.
2
3
Es ist 4 = 7, 4 = 1, also H = {1, 4, 7} eine Gruppe von 3 Elementen. Da #G = 6,
muss [G : H] = 2 sein. Die Nebenklassen nach H sind H selbst und 2 · H. Denn immer
ist H eine Nebenklasse nach H und 2 · H = 2, 8, 5} ist das Komplement von H. Es ist
G/H ∼
= Z/2.
2
3
4
5
6
Übrigens ist G zyklisch. Denn 2 = 4, 2 = 8 = −1, 2 = −2 = 7, 2 = −4 = 5, 2 = 1̌.
Beachte (Z/8)∗ ist nicht zyklisch, wohl aber (Z/9)∗
Satz 7.16 Wenn G zyklisch ist, so ist es auch jede Faktorgruppe G/H von G. Ist z ein
Erzeuger von G, so ist (z mod H) ein solcher von G/H.
Beweis: Wenn G = {nz | n ∈ Z} gilt, dann erst recht
G/H = {nz + H | n ∈ Z} = {n (z mod H) | n ∈ Z}.
Bemerkung 7.17 Zusammen mit 14 ergibt sich: Ist G eine zyklische Gruppe, H eine
Untergruppe, so sind H sowie G/H ebenfalls zyklisch. Die Umkehrung ist i.a. falsch.
Beachte jedoch 7.14.
7.18 Bemerkungen(für den nicht abelschen Fall, die in diesem Buch nicht gebraucht
werden):
Man muss ein wenig vorsichtig sein, will man obige Betrachtungen auf nicht (notwendig)
kommutative Gruppen verallgemeinern. Man hat dann zwischen Linksnebenklassen aH
und Rechtsnebenklassen Ha zu unterscheiden (multiplikative Schreibweise!).
Satz 6.2 behält seine Gültigkeit, wenn man ihn entweder auf Linksnebenklassen oder auf
Rechtsnebenklassen anwendet. Hingegen kann aH ∩ Hb 6= ∅ sein und trotzdem aH 6= Hb
gelten.
Es gibt ebenso viele Rechts- wie Linksnebenklassen nach H. Die Abbildung aH 7−→
Ha−1 = {x−1 | x ∈ aH} gibt eine bijektive Zuordnung von der Menge der Links- auf die
Menge der Rechtsnebenklassen.
(Hingegen wird durch aH 7−→ Ha keine Abbildung definiert; denn aus aH = bH folgt
nicht allgemein Ha = Hb!)
Man kann also den Index [G : H] mit Links- oder mit Rechtsnebenklassen definieren.
Satz 6.4 bleibt erhalten und auch das Korollar 6.5. Insbesondere ist x#G = 1 (multiplikative Schreibweise) für x ∈ G.
Satz 6.8 gilt ohne die Voraussetzung, G sei abelsch.
61
Satz 6.10 gilt für Linksnebenklassen, wenn man (v) durch b−1 a ∈ H ersetzt. Für Rechtsnebenklassen gilt er, wenn man (v) durch ab−1 ∈ H ersetzt.
Auf G/H kann man genau dann eine kanonische Gruppenstruktur erklären, wenn aH =
Ha für alle a ∈ G gilt. In diesem Falle heißt H ein Normalteiler von G. Jede Untergruppe
einer abelschen Grupe ist ein Normalteiler.
Im folgenden wollen wir eine wichtige Beziehung zwischen den Begriffen Faktorgruppe
und Gruppenhomomorfismus (5.6) beschreiben.
Definition 7.19 Sei f : G → H ein Gruppenhomomorfismus. Der Kern von f ist die
Menge
ker(f ) := {a ∈ G | f (a) = 0H }.
Das Bild von f ist die Menge
im(f ) := f (G) := {f (a) | a ∈ G}.
Bemerkungen 7.20 a) ker(f ) ist eine Untergruppe von G und im(f ) eine solche von H.
Denn wegen f (0G ) = 0H (5.7) ist 0G ∈ ker(f ), 0H ∈ im(f ). Und wegen f (a − b) =
f (a) + f (−b) = f (a) − f (b) ist sowohl ker(f ) als auch im(f ) gegen Differenzenbildung
abgeschlossen.
b) Für a, b ∈ G gilt f (a) = f (b) genau dann, wenn f (a − b) = 0, d.h. a − b ∈ ker(f ) ist.
Insbesondere ist f genau dann injektiv, wenn ker(f ) = {0} ist.
7.21 Satz (Homomorfiesatz, Verallgemeinerung von 5.9):
Sei f : G → H ein Homomorfismus abelscher Gruppen und U ⊂ G eine Untergruppe von
G mit U ⊂ ker(f ). Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Homomorfismus g : G/U →
H derart, dass das Diagramm
f
−→
G
κ
&
H
%
g
G/U
kommutativ ist, d.h. f = g ◦κ gilt. Hierbei ist κ die kanonische Abbildung. Wenn U =ker(f )
ist, ist g injektiv. D.h. es gibt einen Isomorfismus G/ker(f ) ∼
= im(f ).
Beweis: Seien a, b ∈ G. So gilt a ≡ b (mod ker(f )) genau dann, wenn f (a) = f (b)
ist (6.20 b). Da U ⊂ ker(f ), folgt aus a ≡ b (mod U ), dass a ≡ b (mod ker(f )), d.h.
f (a) = f (b) ist. Deshalb ist die Abbildung g : G/U → H durch g((a mod U )) :=
f (a) wohldefiniert. Da mithin g vermittels f definiert ist, sieht man sowohl, dass g ein
Homomorfismus, als auch, dass g ◦κ = f ist. Ferner folgt im(f ) = im(g).
Die Eindeutigkeit von g folgt so: Wenn g 0 ◦ κ = f ist, so ist
62
g 0 (a mod U ) = g 0 ◦ κ(a) = f (a); d.h. g 0 = g.
Sei jetzt U = ker(f ) und g((a mod U )) = g((b mod U )), d.h.
f (a) = f (b). Dann ist a − b ∈ ker(f ) = U , also
(a mod U ) = (b mod U ). Somit ist g injektiv und bildet G/ ker(f ) bijektiv, also isomorf
auf im(g) = im(f ) ab.
Bemerkung (für den nichtabelschen Fall, die ebenfalls in diesem Buch nicht gebraucht
wird):
Seien in 6.19ff G und H nicht notwendig abelsch. Dann ist ker(f ) ein Normalteiler. Satz
6.21 bleibt richtig, wenn man zusätzlich voraussetzt, U sei ein Normalteiler.
Wie sieht die Sache bei Ringen aus? Ganz ähnlich, da diese ja bezüglich der Addition
Gruppen sind.
Definition 7.22 Ein Ideal eines Ringes A ist eine Teilmenge I von A mit folgenden
Eigenschaften:
1) I ist bzgl. der Addition eine Untergruppe von A;
2) für a ∈ A und x ∈ I gilt ax ∈ I.
Bemerkung 7.23 Eine Untergruppe H der additiven Gruppe von Z ist bereits ein
Ideal. Denn für a ∈ Z, x ∈ H gilt ax = ±(x + x + . . . + x).
Die Ideale von Z sind also die Mengen mZ.
Definitionen 7.24 a)
Ein Ringhomomorfismus ist eine Abbildung von Ringen:
f :A→B
mit
(i) f (a + b) = f (a) + f (b), d.h. f ist ein Homomorfismus der additiven Gruppen,
(ii) f (ab) = f (a) · f (b);
(iii) f (1A ) = 1B .
b)
Der Kern eines solchen Ringhomomorfismus ist
ker(f ) := {a ∈ A | f (a) = 0B }.
b)
Das Bild von f ist
im(f ) := f (A) = {f (a) | a ∈ A}.
d)
Ein Isomorfismus von Ringen ist ein bijektiver Ringhomomorfismus.
63
Bemerkungen 7.25 a) Der Kern eines Ringhomomorfismus f : A → B ist ein Ideal von
A.
Denn zunächst stimmt der Kern von f als Ringhomomorfismus mit dem von f als Homomorfismus der additiven Gruppen überein, ist also eine Untergruppe der additiven Gruppe
von A.
Wenn ferner x ∈ ker(f ) und a ∈ A ist, gilt
f (ax) = f (a) · f (x) = f (a) · 0 = 0, also ax ∈ ker(f ).
b) Das Bild eines Ringhomomorfismus f : A → B ist ein Unterring von B .
c) Die kanonische Abbildung κ : Z → Z/m ist ein Ringhomomorfismus mit dem Kern
mZ.
Satz 7.26 Sei I ein Ideal des Ringes A. In der Faktorgruppe (der additiven Gruppen) A/I
kann man (auf kanonische Weise) eine Multiplikation (A/I) × (A/I) → A/I einführen,
derart dass
1) A/I ein Ring und
2) der kanonische Gruppenhomomorfismus κ : A → A/I ein Ringhomomorfismus wird.
Beweis:
Die Vorschrift
(a mod I) · (b mod I) := (ab mod I)
ist wohldefiniert. Seien nämlich a ≡ a0 (mod I) und b ≡ b0 (mod I). Dann ist ab − a0 b0 =
ab − a0 b + a0 b − a0 b0 = (a − a0 )b + a0 (b − b0 ) ∈ I, da a − a0 , b − b0 ∈ I und I ein Ideal ist.
Es folgt ab ≡ a0 b0 (mod I).
Die Ringgesetze in A/I folgen unmittelbar aus ihrer Gültigkeit in A.
Offenbar ist (1 mod I) ein neutrales Element für die Multiplikation in A/I.
Die Abbildung κ : A → A/I, κ(a) = (a mod I) ist bekanntlich (6.14) ein Homomorfismus
der additiven Gruppen. Nach der oben gegebenen Definition der Multiplikation in A/I
und weil (1 mod I) die Eins in A/I ist, ist κ auch ein Ringhomomorfismus.
Sei I ein Ideal von Z. Dann ist – wie wir bereits wissen – I = mZ für ein m ∈ Z, und es
ist Z/mZ = Z/m.
Satz 7.27 (Homomorfiesatz für Ringe) Sei f : A → B ein Ringhomomorfismus und I ein
Ideal von A mit I ⊂ ker(f ). Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorfismus
g : A/I → B derart, dass das Diagramm
f
A
−→
B
κ &
%g
A/I
kommutativ ist, d.h. f = g ◦κ gilt. Hierbei ist κ die kanonische Abbildung.
Wenn I = ker(f ) ist, ist g injektiv. D.h. es gibt einen Isomorfismus A/ker(f ) ∼
= Im(f )
64
Beweis: Aus dem entsprechenden Satz und Beweis über abelsche Gruppen (6.21) wissen wir bereits, dass man
g(a mod I) = f (a) definieren muss und dass dies wohldefiniert ist. Ferner ist g ein Homomorfismus für die additiven Gruppen und f = g ◦ κ. Schließlich ist noch
g((a mod I) · (b mod I)) = g(ab mod I) = f (ab) =
f (a) · f (b) = g(a mod I) · g(b mod I) und
g(1A mod I) = f (1A ) = 1B , also g ein Ringhomomorfismus. Das beweist den Satz.
Folgerung 7.28 Seien m, n ∈ N, m|n. Dann wird durch
(a mod n) 7−→ (a mod m)
ein surjektiver Ringhomomorfismus
Z/n → Z/m
definiert.
Beweis: Seien κ : Z → Z/n und κ0 : Z → Z/m die kanonischen Homomorfismen. Nach
6.29 gibt es genau einen Homomorfismus g : Z/nZ/m, so dass
κ0
−→ Z/m
κ &
%g
Z/n
Z
kommutativ ist. Aus g ◦ κ = κ0 folgt
g(a mod n) = g(κ(a)) = κ0 (a) = (a mod m).
Frage: Z ist eine Untergruppe von Q. Ist Z auch ein Ideal des Ringes Q?
A) Ja.
B) Nein.
/ Z. Bezüglich der Addition ist
Antwort: Nein. Denn 1 ∈ Z, 12 ∈ Q, aber 12 · 1 = 12 ∈
Q/Z eine Gruppe. Aber die Multiplikation auf Q definiert keine solche auf Q/Z. Die
Nebenklassen 12 + Z und 32 + Z stimmen überein. Aber
1 1
1
1 3
3
· = und · =
2 2
4
2 2
4
liegen nicht in derselben Nebenklasse modulo Z.
Frage: {0} und Q sind offenbar Ideale von Q. Gibt es noch weitere?
65
A) Ja.
B) Nein.
Antwort: Nein. Wäre nämlich I ein solches und m/n ∈ I − {0}. Dann gehört jedes
kn m
beliebige k/l ∈ Q zu I. Denn lm
· n = kl .
Das sieht so aus, als ob jeder Körper K nur die Ideale {0} und K hat.
Frage: Ist das so?
Antwort: Ja.
Ist nämlich I ⊂ K ein Ideal mit a ∈ I, a 6= 0. Dann gilt für beliebige b ∈ K, dass
b = (ba−1 )a ∈ I.
Frage: Gilt auch die Umkehrung, d.h. hat ein kommutativer Ring A nur die Ideale {0}
und A, ist dann A = {0} oder A ein Körper?
Antwort: Ja. Sei nämlich 1 6= 0 in A und a ∈ A, a 6= 0. Dann ist Aa := {ba | b ∈ A}
ein Ideal von A, das nicht gleich dem Nullideal ist. Also ist Aa = A. Somit gibt es ein
b ∈ A mit ba = 1, also ein multiplikativ Inverses.
66
8
Direkte Produkte, Chinesischer Restsatz
Definition 8.1 Seien G1 , . . . , Gn (bzw. A1 , . . . , An ) endlich viele Gruppen (bzw. Ringe).
Das
direkte Produkt
n
n
Y
Y
Gi = G1 ×. . .×Gn (bzw.
Ai = A1 ×. . .×An ) ist als Menge das kartesische Produkt.
i=1
i=1
Die Verknüpfungen +, · sind komponentenweise definiert:
(x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) := (x1 + y1 , . . . , xn + yn ),
(x1 , . . . , xn ) · (y1 , . . . , yn ) := (x1 · y1 , . . . , xn · yn ).
Bei additiv geschriebenen abelschen Gruppen schreibt man auch
Man sieht sofort, dass
Elemente von
n
Y
Gi ,
n
Y
i=1
Gi = G1 ⊕ . . . ⊕ Gn
i=1
statt
G1 × . . . × Gn und spricht von direkter Summe.
n
Y
n
M
!
Ai
wieder eine Gruppe (ein Ring) ist. Das neutrale
i=1
Gi ist (0G1 , . . . , 0Gn ), wo 0Gi das neutrale Element von Gi bezeichnet,
i=1
das multiplikativ neutrale Element von
n
Y
Ai ist (1A1 , . . . , 1An ).
i=1
Bemerkung 8.2 Ein Ringhomomorfismus von A nach B ist insbesondere ein Homomorfismus für die additiven Gruppen der Ringe. Deshalb ist f (0) = 0. Hingegen folgt
f (1A ) = 1B nicht allgemein aus f (ab) = f (a) · f (b).
Beispiel: f : A → A × B, a 7−→ (a, 0), wo B nicht isomorf zum Nullring ist.
Bemerkung 8.3 Seien f1 , . . . , fn Gruppen- (Ring-) Homomorfismen
fi : B → Ai ,
so erhält man auf kanonische Weise einen Gruppen- (Ring-) Homomorfismus
(f1 , . . . , fn ) : B →
n
Y
Ai
i=1
durch
(f1 , . . . , fn )(x) := (f1 (x), . . . , fn (x)) .
n
\
Hierfür gilt: ker(f1 , . . . , fn ) =
kerfi .
i=1
67
Dass dieses beides so ist, liegt an der Definition des direkten Produktes.
Satz 8.4 (Chinesischer Restsatz Sun Tsu, Chhin Chiu–Shao Seien m1 , . . . , mn ∈ N1
paarweise teilerfremd. (D.h. für i 6= j sei ggT(mi , mj ) = 1.) Die kanonischen Homomorfismen
κi : Z → Z/mi
induzieren auf kanonische Weise einen surjektiven Homomorfismus:
Z→
n
Y
(Z/mi )
i=1
und einen Isomorfismus
n
Y
G : Z/m1 · . . . · mn →
(Z/mi ).
∼
=
i=1
Beweis:
Betrachte den oben definierten Homomorfismus
n
Y
F := (κ1 , . . . , κn ) : Z →
(Z/mi ).
i=1
Sein Kern besteht nach 7.3 aus allen a ∈ Z, für die m1 |a, m2 |a, . . . und mn |a gilt. Dies
ist aber (wegen 2.6) gleichbedeutend mit m1 · . . . · mn |a, da die mi paarweise teilerfremd
sind. Somit ist
ker F = m1 · . . . · mn Z.
Nach dem Homomorfiesatz (6.29) wird also durch F ein injektiver Homomorfismus induziert:
n
Y
G : Z/m1 · . . . · mn →
(Z/mi )
i=1
Da Start“ und Ziel“ von G die gleiche endliche Anzahl von Elementen haben, nämlich
”
”
m1 · .Q
. . · mn , ist G auch surjektiv. Und hieraus folgt die Surjektivität der Abbildung
Z → ni=1 (Z/mi ).
Folgerung 8.5 Seien m1 , . . . , mn paarweise teilerfremde ganze Zahlen 6=
a1 , . . . , am ∈ Z beliebig. Dann hat das Kongruenzsystem
x ≡ ai
(mod mi )
0 und
(i = 1, . . . , n)
eine Lösung, d.h. es gibt ein x ∈ Z, welches alle n angegebenen Kongruenzen erfüllt. Die
Lösung ist bis auf Kongruenz modulo m1 · . . . · mn eindeutig bestimmt.
68
Beweis: Die Existenzaussage folgt aus der Surjektivität, die Eindeutigkeitsaussage aus
der Injektivität der Abbildung G.
Bemerkung 8.6 Seien A1 , . . . , An Ringe. Ein Element
(a1 , . . . , an ) ∈ A1 × . . . × An ist genau dann eine Einheit in A1 × . . . × An , wenn jedes ai
Einheit in Ai ist. Mit anderen Worten:
(A1 × . . . × An )∗ = A∗1 × . . . × A∗n .
Dies liegt daran, dass die Multiplikation komponentenweise definiert ist.
Folgerung 8.7 Seien m1 , m2 ∈ N1 zueinander teilerfremd. Dann ist
ϕ(m1 · m2 ) = ϕ(m1 ) · ϕ(m2 ).
Beweis:
Es ist
also
Z/m1 m2 ∼
= (Z/m1 ) × (Z/m2 ),
(Z/m1 m2 )∗ ∼
= (Z/m1 )∗ × (Z/m2 )∗ .
Aus der Gleichheit der Elementezahlen letztgenannter Mengen folgt die Behauptung. Folgerung 8.8 Sei m ∈ N1 und m = pr11 · . . . · prnn die Primfaktorzerlegung von m mit
paarweise verschiedenen p1 , . . . , pn und mit ri ≥ 1. Dann ist
Y 1
r1 −1
rn −1
ϕ(m) = (p1 − 1)p1 · . . . · (pn − 1)pn
=m·
1−
.
p
p∈P, p|m
Beweis: Die erste Gleichung ergibt sich aus 4.24 d), wo ϕ(pr ) berechnet wurde, und
7.7.
Die zweite Gleichung folgt aus (p − 1)pr−1 = pr (1 − 1/p).
Bemerkung 8.9 Die zweite Formel für ϕ(m) benötigt offenbar etwas weniger Information über m als die erste. (Man muss nur die Primzahlen kennen, die m teilen, und braucht
vp (m) nicht genauer zu bestimmen.) Bis heute ist kein schnelleres Verfahren, ϕ(m) zu
bestimmen, bekannt.
Frage: Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Nullstellen α, β eines quadratischen Polynoms x2 + ax + b und seiner Koeffizienten?
A) Ein sehr komplizierter.
B) α + β = −a, αβ = b.
69
C) αβ = a, α + β = b.
B) ist richtig.
Sind nämlich α und β die Nullstellen von x2 + ax + b, so ist X 2 + ax + b = (x − α)(x − β) =
x2 − (α + β)x + αβ.
Frage: Ist m ein Produkt zweier verschiedener Primzahlen, so kann man aus m und ϕ(m)
durch das Lösen einer quadratischen Gleichung diese Primfaktoren bestimmen. Wie?
Ist m = pq mit verschiedenen Primzahlen p, q, so ist ϕ(m) = (p−1)(q−1) = pq−(p+q)+1.
Also p + q = pq + 1 − ϕ(m) = m + 1 − ϕ(m). Dann sind p und q die Nullstellen von
x2 + (ϕ(m) − m − 1)x + m. Beachte: Bei großen Primzahlen geht es viel schneller, die
entsprechende quadratische Gleichung zu lösen, als die Primfaktoren von m zu finden.
Das bedeutet: Im wesentlichen ist es gleich aufwendig die Primfaktoren einer großen Zahl
m zu bestimmen wie ϕ(m) zu berechnen.
Frage: Seien G1 , G2 ) zyklische Gruppen. Ist dann G1 × G2 auch zyklisch?
A) Immer.
B) Manchmal.
C) Nie, es sei denn G1 oder G2 ist die 0-Gruppe.
70
Antwort: B.
Dies werden wir jetzt klären.
Wenn man beim Chinesischen Restsatz die multiplikative Struktur vergisst, erhält man
die
Folgerung 8.10 Seien G1 , . . . , Gn endliche zyklische Gruppen mit paarweise teilerfremden Ordnungen. Dann ist G1 × . . . × Gn zyklisch.
Wenn jeweils zi ein Erzeuger von Gi ist, so ist (z1 , . . . , zn ) ein solcher von G1 × . . . × Gn
– und natürlich umgekehrt.
∼
=
Beweis: Wir haben Isomorfismen gi : Z/mi → Gi mit gi (1) = zi . Also gibt es einen
Isomorfismus:
∼
=
g : (Z/m1 ) × . . . × (Z/mn ) → G1 × . . . × Gn ,
g(a1 , . . . , an ) = (g1 (a1 ), . . . , gn (an )) .
Diesen Isomorfismus verkette man mit dem Isomorfismus
∼
=
f : Z/m1 · . . . · mn → (Z/m1 ) × . . . × (Z/mn ),
für den f (1) = (1, . . . , 1) gilt, und man erhält die Behauptungen.
Bemerkung 8.11 Man kann die Sache auch vom anderen Ende her betrachten. Sei G
eine zyklische Gruppe mit #G = m1 · . . . · mn , wo die
mi paarweise teilerfremde natürliche Zahlen sind. Dann ist
G ∼
= Z/m1 · . . . mn ∼
= (Z/m1 ) × . . . × (Z/mn ). D.h. G ist direkt zerlegbar“ (auf nicht
”
triviale Weise), wenn mindestens 2 der mi größer als 1 sind.
Bemerkungen 8.12 Sei G1 × G2 ein direktes Produkt zweier abelscher Gruppen G1 , G2 .
Dann ist G1 × {0} = {(x, 0) | x ∈ G1 } eine zu G1 isomorfe Untergruppe von G1 × G2 .
Ferner ist die Projektion
p2 : G1 × G2 → G2 , (x, y) 7−→ y ein surjektiver Homomorfismus mit dem Kern G1 × {0}.
Nach dem Homomorfiesatz erhält man die Isomorfie (G1 × G2 )/(G1 × {0}) ∼
= G2 . Die
beiden Untergruppen G1 × {0} und {0} × G2 haben die Eigenschaften
(G1 × {0}) ∩ ({0} × G2 ) = {0G1 ×G2 },
(G1 × {0}) + ({0} × G2 ) = G1 × G2 .
Hiervon gibt es eine Umkehrung:
71
Lemma 8.13 Seien H1 , H2 Untergruppen einer abelschen Gruppe G mit
H1 ∩ H2 = {0},
H1 + H2 = G.
Dann ist G ∼
= H1 × H2 . Genauer gilt: Die Abbildung
f : H1 × H2 → G, (a, b) 7−→ a + b
ist ein Isomorfismus.
Beweis: Offenbar ist f ein Homomorfismus. Aus
H1 + H2 = G folgt, dass f surjektiv ist.
Die Injektivität von f erhält man aus H1 ∩ H2 = {0} wie folgt: Seien a ∈ H1 , b ∈ H2
und (a, b) ∈ ker(f ), d.h. a + b = f (a, b) = 0. Dann ist a = −b ∈ H2 , somit a ∈ H1 ∩ H2 .
Deshalb ist a und damit b gleich Null.
ker(f ) = {0} heißt aber, dass f injektiv ist.
Definition 8.14 Sei G eine add. Gruppe, a ∈ Z. Die Homothetie von a auf G ist die
Abbildung ha : G → G, x 7→ ax.
Man zeigt unmittelbar, dass jede Homothetie ein Gruppenhomomorfismus ist.
Lemma 8.15 Sei G0 eine additiv geschriebene abelsche Gruppe, y ∈ G0 endlicher Ordnung und m ein Vielfaches dieser Ordnung. Ist dann a ≡ 1 (mod m), so ist ay = y.
Beweis:
Es ist a = 1 + km, also ay = 1 · y + km · y, und der letzte Summand gleich 0.
Satz 8.16 Seien G eine endliche abelsche Gruppe, H eine Untergruppe, mit ggT(#H, [G :
H]) = 1.
a) Dann ist G zu H × (G/H) isomorf.
b) Sind zusätzlich H und G/H zyklisch, so ist es auch G.
In diesem Fall ist ein Element z ∈ G ein Erzeuger von G genau dann, wenn (z mod H)
ein solcher von G/H und [G : H] · z ein solcher von H ist.
Achtung: Dieser Satz gilt nicht für nichtabelsche Gruppen!
Beweis: a) Sei #(G/H) = m, #H = n und e ∈ Z so gewählt, dass e ≡ 1 (mod m)
und e ≡ 0 (mod n) ist. Dies geht auf Grund des chinesischen Restsatzes.
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Betrachte die Abbildung he : G → G, x 7→ ex. Behauptung: Das Bild he (G) =: G0 ist
isomorf zu G/H.
Dazu genügt es, ker(he ) = H zu zeigen. Denn dann hat man folgendes Diagramm:
h
e
−→
G
κ
&
G
% h0
G/H
mit injektivem h0 .
Es ist aber H ⊂ ker(he ). Denn da e ∈ nZ und n = #H ist, gilt ex = 0 für alle x ∈ H. Ist
umgekehrt x ∈ ker(he ), d.h. ex = 0. Dann gilt auch für die Nebenklasse x = x + H, dass
ex = 0 in G/H ist. Da nach Konstruktion e = 1 + km für ein k ∈ Z ist, gilt auch ex = x.
Mithin ist x = 0. Das heißt aber x ∈ H.
G hat somit die Untergruppen H und G0 ∼
= G/H. Aus der Teilerfremdheit ihrer Ordnun0
0
gen, folgt H ∩ G = {0}, also H + G = H ⊕ G0 . Da #(H ⊕ G0 ) = (#H)(#G0 ) = (#H)[G :
H] = #G, folgt H ⊕ G0 = G.
b) Wenn nun H und G0 ∼
= G/H zyklisch von teilerfremden Ordnungen sind, ist G = H ⊕G0
zyklisch nach 7.10.
Beweis der Behauptung: Sei x0 ∈ G so gewählt, dass
x0 = x0 + H ein Erzeuger der zyklischen Gruppe G/H ist. Mit m := [G/H] gilt mx0 = 0,
d.h. z := mx0 ∈ H.
Satz 8.17 Seien G1 , . . . , Gn endliche abelsche Gruppen der Ordnungen m1 , . . . , mn .
Wenn G1 × . . . × Gn zyklisch ist, so ist auch jedes Gi zyklisch, und die m1 , . . . , mn sind
paarweise teilerfremd.
Beweis: Die Gi sind isomorf zu Untergruppen von G1 ×. . .×Gn (vgl. 7.12), also zyklisch
nach 5.14.
Sei jetzt i, j ∈ {1, . . . , n}, i 6= j. Dann ist auch Gi × Gj isomorf zu einer Untergruppe
mi · mj
von G1 × . . . × Gn , also zyklisch. Sei d := ggT(mi , mj ) und k :=
(das sogenannte
d
kleinste gemeinsame Vielfache). Dann ist
m
mi
j
k · (a, b) =
mi a,
mj b = (0, 0) = 0
d
d
für alle a ∈ G
i ,m bm∈ Gj . Ein Erzeuger z von Gi × Gj hat aber die Ordnung mi · mj . Es
i j
folgt mi · mj , also d = 1.
d
Frage: Gibt es überhaupt nichtzyklische abelsche Gruppen?
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Antwort: Ja. Beispiel (Z/2) × (Z/2). Diese Gruppe hat 4 Elemente, aber kein Element
der Ordnung 4.
Folgerung 8.18 Sei p ∈ P, n ∈ N1 . Dann ist die additive Gruppe von Z/pn , also erst
recht der Ring Z/pn nicht direkt zerlegbar. D.h. wenn Z/pn ∼
= G1 × G2 mit abelschen
Gruppen Gi ist, so ist G1 oder G2 trivial, d.h. besteht nur aus einem Element.
Beweis:
geben.
Andernfalls müsste es teilerfremde ganze Zahlen m1 , m2 > 1 mit m1 · m2 = pn
Folgerung 8.19 Sind m1 , m2 ∈ N1 nicht teilerfremd, so gibt es keinen surjektiven Gruppenhomomorfismus
f : Z → Z/m1 × Z/m2 .
Beweis:
zyklisch.
Einerseits ist f (Z) ∼
= Z/ker(f ) zyklisch, andererseits Z/m1 × Z/m2 nicht
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