NTS Kapitel 5: Inductives Verhalten

Kapitel 5
Induktives Verhalten
Viele Transportvorgänge, zum Beispiel das Fliessen von Wasser oder von elektrischer Ladung, unterliegen einem Phänomen, das man Trägheit von Strömen nennen
könnte: wenn sich die Ströme zeitlich ändern, so führt das zu beobachtbaren Phänomenen, zum Beispiel zu Verzögerungen beim Anfahren oder zu Schwingungen und
Resonanz oder in ausgedehnten Systemen zu Wellen—das heisst zu Vorgängen, die
in unseren bisherigen Betrachtungen und Modellen noch nicht vorgekommen sind.
In RC -Modellen, die wir in den Kapiteln 2-4 konstruiert haben, springen Ströme verzögerungsfrei auf einen durch Druckdifferenz (Spannung) und Widerstand
bestimmten Wert; zudem können dort kein Schwingverhalten und keine Wellenausbreitung vorkommen. Es braucht eben dieses zusätzliche Phänomen der Trägheit
von Strömen.
Schwingungen und Wellen werden ausführlich in Kapitel 17 und allgemeiner in Kapitel 19 studiert. Hier geht es zuerst um das Anfahren und Stoppen von Strömen
und wie man dieses Phänomen in dynamische Modelle einbaut. Wenn man in diesen
Modellen gleichzeitig Speicherelemente (kapazitive Elemente) hat, dann ergibt sich
Schwingungsverhalten zwanglos, ohne dass wir uns schon mit der mathematischen
Beschreibung dieses Verhaltens auseinandersetzten müssen.
5.1
Träge Ströme und schwingende Systeme
Im Allgemeinen ist es nicht möglich, Ströme ohne Verzögerung an- oder abzuschalten; es braucht Zeit, sie zu ändern, und sie ändern sich graduell. Dieses Phänomen
nennt man Induktion. Induktive Phänomene treten bei Fluiden, Elektrizität und
Bewegung auf (bei thermischen und chemischen Prozessen braucht es spezielle Umstände, damit man Induktion beobachten kann). In diesem Kapitel studieren wir
einige dieser Vorgänge am Beispiel hydraulischer und elektrischer Systeme.
5.1.1
Starten von Wasserströmen
Ein einfacher Fall des Anfahrens eines (Wasser) Stromes ergibt sich, wenn man
das dünne, horizontale Rohr bei einem dicken mit Wasser gefüllten Tank zuerst
zuhält und dann plötzlich öffnet. Der Wasserstrahl verstärkt sich mehr oder weniger
schnell—und nicht schlagartig—von einem Anfangswert von Null auf den Wert, den
wir aufgrund unserer Diskussion in Kapitel 3 erwarten würde. Die Modelle, die
wir bisher in Kapitel 3 für das Entleeren eines Gefässes oder die Dynamik von
zwei kommunizierenden Gefässen gemacht haben, zeigen aber ein Verhalten wie in
152
Induktives Verhalten
Abb.5.1 ergeben. Bei laminarer Strömung haben wir
(5.1)
IV (0) = 4pR (0) /RV
wobei sich 4pR (0) durch die anfängliche Füllhöhe im Tank ergibt: 4pR (0) =
−4pC (0).
h
Pipe is opened
IV
B
A
t
t
Abbildung 5.1: Wenn man das Rohr öffnet, sollte der Strom laut Widerstandsgesetz gleich
auf den höchsten Wert springen.
Etwas stimmt nicht mit dem Modell—real ergibt sich ein anderes Bild (Abb.5.2).
Der Wasserstrahl aus dem Rohr des Tanks in Abb.5.1 wird langsam stärker. Er
muss ja bei einem Wert von Null beginnen und erreicht erst später die Stärke, die
wir typischerweise beobachten.
∆pAB
1
3
t
Pipe is opened
2
4
IV
1
BBBBBBBBB
BB
B
B
B
B
B
B
0
B
0
0.5
1
1.5
2 t/s
Abbildung 5.2: Das horizontale Rohr an einem Wassertank wird plötzlich geöffnet: der
Wasserstrahl wird immer stärker (Photos links). Das Öffnen des Rohres führt (fast) schlagartig zu einer Erhöhung der Druckdifferenz entlang des Rohres von Null auf den Wert
pA − pB (Abb.5.1). Der Wasserstrom erhöht sich verzögert auf den Wert, den man aufgrund der Druckdifferenz erwarten könnte (Daten aus Video, rechts unten; relative Werte
für die Stromstärke).
Pumpe und horizontales Rohr. Betrachten wir Wasser in einem horizontalen Rohr,
das durch eine Pumpe angetrieben wird (Abb. 5.3). Wir stellen die Pumpe an, sie
baut eine Druckdifferenz 4pP auf, wir halten aber den Finger auf das Rohr bei B.
Das Verhalten—das verzögerte Anfahren des Stromes—ist recht einfach zu verstehen. Am Anfang ist der Strom ja Null, das Wasser fliesst noch nicht. Es braucht
eine Druckdifferenz entlang des Wassers im horizontalen Rohr (von A nach B in
Abb.5.3), um es anzuschieben—weil das Wasser träg ist. Hinten (in Strömungsrichtung) muss der Druck höher sein als vorne. Das ist der Fall, wenn man den Finger
vorne am Rohr wegnimmt. Hinten beim Tank (bei Punkt A) ist der Druck hoch,
5.1 Träge Ströme und schwingende Systeme
153
vorne beim Ausfluss (bei Punkt B) ist der Druck nun plötzlich gleich dem Luftdruck,
also niedriger als bei Punkt A. Mit anderen Worten: entlang des Rohres von A nach
B etabliert sich eine Druckdifferenz (Abb.5.3, oberes Diagramm).
Pump
A
∆pAB
B
IV
pA
pB
t
Fluid in Pipe
IV
Pipe is opened
IV
1
2
pA
pB
t
Building up
of motion
Abbildung 5.3: Wasser wird mit Hilfe eine Pumpe durch ein Rohr getrieben (links oben).
Wenn die Pumpe eine feste Druckdifferenz aufbaut, wird entlang des Rohres von A nach B
eine Druckdifferenz 4pAB im Wasser etabliert, sobald man das Rohr bei B öffnet (rechts
oben). Damit ändert sich die Volumenstromstärke zeitlich von einem Wert gleich Null mit
einer bestimmten Rate (recht unten). Das Prozessdiagramm unten links erklärt bildhaft, was
passiert: im hydraulischen Prozess fliesst das Fluid von einem höheren zu einem tieferen
Punkt, wodurch der induktive Prozess (Beschleunigung des Fluids, Aufbau von Bewegung)
angetrieben wird.
Nun wird das Wasser angeschoben, es beginnt zu fliessen, der Volumenstrom wird
stärker – er ändert sich mit einer bestimmten Rate (Abb.5.3, Diagramm unten).
Es ist anzunehmen, dass sich der Strom schneller ändert (Beispiel 1 im Diagramm
unten in Abb.5.3), wenn die Druckdifferenz höher ist. Im einfachsten Fall können
wir erwarten, dass die Änderungsrate des Volumenstroms proportional zu dieser
Druckdifferenz ist:
dIV ∼ 4pAB ,
dt t=0
f alls IV (0) = 0
(5.2)
Wie schnell sich der Strom ändert, wird bei gegebener Druckdifferenz davon abhängen, wieviel Wasser in einem Rohr angeschoben wird. Ist das Rohr in Abb.5.3
doppelt so lang, so wird die anfängliche Änderungsrate vermutlich nur halb so gross
sein (Beispiel 2 im Diagramm unten in Abb.5.3). Die Menge des Wassers wird also
den Proportionalitätsfaktor in Gl.5.2 beeinflussen.
Hydraulische Induktion und Trägheit der Bewegung
Das induktive Verhalten einer Flüssigkeit beim Fliessen äussert sich also zum Beispiel in der Verzögerung beim Aufsetzen eines Stromes. Wir interpretieren dieses
Phänomen als Folge der Trägheit der Bewegung des Fluids. Körper bewegen sich
träge, weil sie Masse haben (siehe Kapitel 15).
Konzepte
154
Induktives Verhalten
Wie geht es nun weiter? Wenn der Strom stärker wird, steigt die Reibung, und dazu
gehört ein steigender resistiver (widerstandsbehafteter) Druckabfall in Strömungsrichtung im Wasser. Anders gesagt, von der tatsächlichen (realen) Druckdifferenz
in Strömungsrichtung ist nun ein Teil mit dem Strömen selber (und nicht mit der
Veränderung des Stromes) verknüpft. Für die Veränderung des Stromes steht nur
noch ein kleinerer Teil der Druckdifferenz von A nach B zur Verfügung. Als Folge
verringert sich die Änderungsrate des Stromes: der Anstieg wird wie beobachtet
langsamer (Abb.5.4, unten rechts, und reale Daten in 5.2, rechts unten). Das Verhalten beim beim Anfahren eines Volumenstroms in einem Rohr sollte also wie in
Abb.5.4 gezeigt sein.
∆pAB
Pump
A
B
t
Pipe is opened
IV
IV
pA
pB
IV,max
1
2
t
Abbildung 5.4: In Wirklichkeit geht der Strom langsam auf den höchsten Wert. Fall 1 und
2 unterscheiden sich z.B. durch die Länge des Rohres (und damit die Menge des Wassers,
das angeschoben werden muss).
Zwei Phänomene gleichzeitig in einem Element. Wir wissen nun, dass eine messbare Druckdifferenz entlang des Wassers in einem Rohr (zum Beispiel pA − pB in
Abb.5.4) gleichzeitig mit zwei Vorgängen verbunden sein kann: (1) mit dem reibungsbehafteten Fliessen des Wassers und (b) der zeitlichen Änderung des Stromes.
Wir machen uns die Vorstellung, dass sich die Druckdifferenz 4pAB = pB − pA auf
die beiden Vorgänge aufteilt. Die beiden Vorgänge “kämpfen” sozusagen um ihrem
Anteil an der Triebkraft 4pAB . Solange der Strom nicht zu stark und 4pR (die
resistive Druckdifferenz ) nicht zu hoch ist, bleibt ein Teil für die Änderung des
Stromes und umgekehrt. Der Teil, der mit der zeitlichen Veränderung des Stromes
Verknüpft ist, heisst induktive Druckdifferenz 4pL .
Konzepte
Zwei konkurrierende Vorgänge in einem Element
In einem Rohr mit Flüssigkeit können gleichzeitig zwei verschiedene Prozesse ablaufen. Entlang des Rohres—vom Eingang zum Ausgang—gibt es eine reale messbare Druckdifferenz. Die beiden im Rohr gleichzeitig ablaufenden Prozesse “teilen”
sich diese reale Druckdifferenz:
4pAB = 4pR + 4pL
(5.3)
Sie sind einzeln nicht messbar, sie sind gedachte Grössen in einem Modell.
Diese Idee lässt sich in einem Schaltungsbild (hydraulisch oder in elektrischer Analogie) verdeutlichen. Das Element, das aus Wasser und Rohr besteht, funktioniert,
5.1 Träge Ströme und schwingende Systeme
155
als ob es aus einem Widerstandselement und einem Induktionselement besteht, die
hintereinander geschaltet sind. Die Druckdifferenz über beiden Teilen zusammen ist
die Summe der Druckdifferenzen über den beiden Teilelementen (Abb.5.5).
Pump
SYSTEM
SYSTEM
Inductor
IV
pA
Motion p*
IV
pB
Heat
pA
pA
Resistor
∆pL
p*
∆pR
pB
IV
pB
∆pAB = ∆pL + ∆pR
Abbildung 5.5: Ein Fluid in einem (horizontalen) Rohr unterliegt zwei Prozessen: Reibung
und Induktion. Das Phänomen ist von A nach B verteilt, aber wir modellieren die beiden
Prozesse als aufeinander folgend. Zusammen machen 4pL und 4pL die ganze gemessene
Druckdifferenz 4pAB von A nach B aus. Das Prozessdiagramm unten links symbolisiert,
was in den beiden Prozessen passiert. In beiden fliesst das Fluid von einem höheren zu
einem tieferen Druck. Als Folge wird im induktiven Element Bewegung “angeschoben”, im
resistiven Element wird Wärme erzeugt.
1. In welchem Punkt sind die bisherigen (RC ) Modelle des Entleerens eines Tanks
oder der Wechselwirkung von zwei kommunizierenden Gefässen nicht realistisch? Ist
das Modell des Füllens eines Tanks mit Hilfe einer Pumpe vom gleichen Problem
betroffen?
2. Warum kann im Modell des Angleichs von Flüssigkeitsniveaus (wie in Abb.2.10) kein
Über- oder Unterschwingen um das Gleichgewichtsniveau vorkommen?
3. Zeigt das Beispiel des Windkesselmodells in Abb.3.24 oder Abb.4.3 nicht Schwingungen?
4. Wenn wir beim Phänomen der Induktion bei hydraulischen Vorgängen von Trägheit
eines Stromes reden, worin besteht diese Trägheit?
5. Wie hoch ist die Druckdifferenz von A nach B in Abb.5.4, wenn das Rohr geschlossen
ist? Was passiert mit dieser Druckdifferenz, wenn man das Rohr öffnet?
6. Wie hoch ist die Druckdifferenz von Punkt A nach Punkt B im Rohr in Abb.5.4?
Hängt sie davon ab, wie stark der Volumenstrom gerade in einem Moment ist? Oder
davon, wie schnell sich der Strom ändert?
7. Wodurch wird IV,max in Abb.5.4 bestimmt?
8. Funktioniert die Trägheit eines Fluids auch, wenn man plötzlich die Pumpe im Beispiel von Abb.5.4 abstellt? Wie sollte sich das bemerkbar machen? Ist Gl.(5.4) immer
noch anwendbar?
9. In Kapitel 13 (Abb.13.1 und 13.7) kommt ein geneigtes Wasserrohr vor. Inwiefern
ist die Situation ähnlich wie bei einem horizontalen Rohr, bei dem Reibung und
Induktion (Trägheit) vorkommen? Gibt es im geneigten Rohr auch zwei Vorgänge,
die sich eine reale Druckdifferenz teilen?
Fragen &
Übungen
156
Induktives Verhalten
10. Stellen Sie sich vor, das Rohr in Abb.5.4 sei gerade geöffnet worden. Wie hoch ist die
induktive Druckdifferenz in dem Moment? Wie hoch ist die resistive Druckdifferenz?
11. In einem horizontalen Rohr ruht eine Flüssigkeit. Wovon wird es abhängen, wie
schnell sich der Volumenstrom beim Anfahren gerade am Anfang ändert?
12. Sollte in Gl.(5.4) bei weggelassenem Betragszeichen ein Minus-Zeichen auftreten?
Konzepte
Hydraulisches induktives Verhalten
Induktives Verhalten äussert sich in der Verknüpfung von zwei Aspekten. Zum
einen ändert sich ein Strom zeitlich, zum anderen gehört, wie bei jedem Phänomen,
eine Potentialdifferenz dazu. Die induktive Potentialdifferenz ist mit der zeitlichen
Rate, mit der sich der Strom ändert, direkt verknüpft.
Nur die induktive Druckdifferenz 4pL wird für die Änderung des Volumenstroms
verantwortlich gemacht. Im einfachsten Fall sind induktive Druckdifferenz und
Änderungsrate des Stromes proportional zu einander:
dIV 1
(5.4)
dt = LV 4pL
Den Faktor LV nennt mann (hydraulische Induktivität – sie ist ein Mass für die
Trägheit des hydraulischen Elementes. Die Beziehung zwischen induktiver Druckdifferenz und der Änderungsrate des Volumenstroms kann grafisch in einem characteristischen Diagramm dargestellt werden:
dIV
dt
Symbol of
inductor
IV
∆pL
∆pL
Hydraulische Induktion ist mit der Trägheit der Bewegung eines Fluids verbunden.
Was hinter dem Aufbau oder Abbau von “Bewgung” steckt, wird in Kapitel 15
besprochen.
5.1.2
Starten und Stoppen von elektrischen Strömen
Was wir bei Wasser beobachten, sollte eigentlich auch bei elektrischen Phänomen
auftreten: Ströme sollten beim Schliessen eines Stromkreises mehr oder weniger langsam auf den maximalen Wert gehen und nicht (wie in Abb.5.6) ohne Verzögerung
auf diesen Wert springen. Und wenn wir bei fliessender elektrischer Ladung plätzlich
die Spannungsquelle wegnehmen (abschalten), so sollte die Ladung mindestens noch
eine Weile weiter fliessen.
Wenn wir einen einfachen Stromkreis mit einer Spannungsquelle (zum Beispiel einer
Batterie) und einem Widerstandselement (und Drähten) betrachten, dann ergeben
unsere bisherigen Modelle
UR (t) = US (t)
(5.5)
5.1 Träge Ströme und schwingende Systeme
157
1
UR (t)
(5.6)
R
wobei UR (t) die Spannung über dem Widerstandselement ist. Wenn die beiden
Spannungen in unserem Beispiel konstant sind, dann sollte sich nach diesem Modell
ein Verhalten wie in Abb.5.6 ergeben.
IQ (t) =
UR
+
IQ
Close circuit
Close circuit
IQ
R
US
UR
t
t
Abbildung 5.6: Wenn man den Stromkreis schliesst, springt die Stromstärke auf den
Wert, den man mit dem Widerstandsgesetz berechnet.
Das ist unrealistisch. Praktisch ist das Modell, wie unsere Erfahrung zeigt, aber
trotzdem sehr gut brauchbar. Offensichtlich muss die elektrische Stromstärke so
schnell auf den bisher berechneten Wert springen, dass wir in einem normalen Experiment nichts von der Verzögerung merken. Wenn man aber einen langen Draht
zu einer Spule windet (Abb.5.7) und wenn möglich noch einen Eisenstab in die Spule
steckt, dann zeigen sich sehr deutliche Verzögerungen mit der Spule im Stromkreis.
Experiment. Im folgenden Experiment kann man messen, was passiert. Eine Spule wie in Abb.5.7 wird mit einem (externen) Widerstandselement (mit konstantem
Widerstand von 40.0 Ω) und einem Generator zu einem einfachen Stromkreis zusammengesetzt (Schaltungsdiagramm links in Abb.5.8). Die Spannungen über dem
externen Widerstandselement UR,ext und über der Spule Usol werden gemessen (sol
steht für den englischen Ausdruck für Spule: solenoid). Man sieht das Resultat im
Diagramm rechts in Abb.5.8. Dabei wurde bei 1.0 s der Generator auf 5.50 V eingeschaltet und bei 3.7 s wieder abgeschaltet. Man sieht, dass sich beim Einschalten
und Abschalten der Generatorspannung US die Spannungen verzögert zu stationären
Werten hin verändern; die Zeitkonstante der Änderung beträgt gut 0.25 s.
+
Solenoid
Solenoid
US
USol
IQ
IQ,max
t
Abbildung 5.7: Links: Drahtspule. Rechts: Photographie einer Drahtspule (aus einem
langen Kupferdraht gewickelt) mit einem Eisenstab im Innern. Der Eisenstab ist zu einem
geschlossenen Joch ergänzt. Rechts: Spannungsquelle und Spule: wird die Spannungsquelle
angeschaltet, ändert sich die elektrische Stromstärke langsam auf den durch den Drahtwiderstand gegebenen Wert.
Analyse des Experimentes. Die beiden gemessenen Spannungen müssen zusammen die Generatorspannung von 5.50 V (nach 1.0 s) oder 0 V (nach etwa 3.7 s)
158
Induktives Verhalten
6
UR,ext
A
+
US
2
UR,ext
0
USol
Solenoid
USol
4
Voltage / V
Rext
-2
B
0
4
2
6
Time / s
Abbildung 5.8: Beobachtung von Spannungen über einer Spule und einem externen Widerstandselement. Der Generator wird an- und abgeschaltet.
ergeben, was sie auch tun. Dann sehen wir, dass die Spannung über dem externen
Widerstandselement gleich nach dem Anschalten (bei 1 s) immer noch Null ist und
sich langsam auf einen Wert von etwa 2.15 V erhöht—die Form der Kurve ist die
bekannte exponentielle Anpassung an einen neuen stationären Wert.
Die Spannung UR,ext misst indirekt die Stärke des Ladungsstroms durch den (unverzweigten) Stromkreis:
1
IQ =
UR,ext
(5.7)
Rext
Wir können daraus und aus den Messergebnissen schliessen, dass der elektrische
Strom sich verzögert an die schlagartig geänderte Spannungslandschaft anpasst
(Diagramm rechts in Abb.5.9). Nach 3.7 s sinkt dann die Stromstärke exponentiell
(nicht schlagartig!) mit einer Zeitkonstante von 0.25 s auf Null. Die Verzögerungen
sehen mathematisch nach erster Ordnung mit einer Zeitkonstante von 0.25 s aus
(siehe verzögerte Reaktion der Spannung eines Kondensators auf eine schlagartige
Veränderung der Spannung eines Generators, Kapitel 4). Man spricht auch von der
Sprungantwort des Systems auf die sprunghafte Veränderung.
UR,ext
+
US
0.06
A
Current / A
IQ
Rext
Solenoid
0.04
0.02
USol
0
B
0
2
4
6
Time / s
Abbildung 5.9: Die Spannung über dem externen Widerstandselement erlaubt uns, die
Stromstärke im Stromkreis zu berechnen.
Da wir nun die Stromstärke durch den ganzen Stromkreis, also auch durch den
langen Draht, aus dem die Spule gemacht ist, kennen, können wir beginnen, die
Vorgänge in der Spule zu verstehen. Betrachten wir zuerst die stationären Phasen,
zum Beispiel die erste von etwas nach 2 s bis etwa 3.7 s. Da sich dort der Strom
nicht verändert, spielt offensichtlich das neue Phänomen der zeitlichen Veränderung
von Strömen keine Rolle. Wir haben einfach einen langen Draht aus Kupfer, durch
5.1 Träge Ströme und schwingende Systeme
159
den die Elektrizität gleichmässig fliesst. Der Kupferdraht stellt also ein Leiterelement
(Widerstandselement) dar. Da wir die Spannung über diesem Leiterelement für diese
Phase kennen (Usol = URS = 3.44 V), können wir den zugehörigen elektrischen
Widerstand des langen Kupferdrahtes berechnen:
RS =
URS
3.44
Ω = 63.8 Ω
=
IQ
5.39·10−2
Würden wir die Spule als einfaches Widerstandselement betrachten (was wir aber
im Allgemeinen auf keinen Fall dürfen), dann würde zum Strom durch den Draht
mit dem eben berechneten Widerstandswert eine Spannung URS gehören (siehe die
Kurve im Diagramm in Abb.5.10, die bei Null beginnt und die gleiche From wie
die Stromstärke in Abb.5.9 hat). Die Spannung über der Spule ist aber anders, sie
entspricht der gemessenen Kurve, die bei 1 s direkt auf 5.50 V springt (Diagramm
in Abb.5.10).
UR,ext
6
Usol
Voltage / V
4
IQ
URS
2
URS
UL
+
A
Rext
UL
L
0
Usol = UL + URS
Usol
-2
US
UL
-4
URS
RS
B
-6
0
2
4
6
Time / s
Abbildung 5.10: Von den drei Kurven im Diagramm links ist eine gemessen (Usol , diejenige, die bei 1 s von Null auf 5.5 V springt). Die anderen beiden sind berechnet: URS aus
IQ und UL als die Differenz zwischen Usol und URS . Im Schaltungsdiagramm rechts ist nun
die Spule als Serieschaltung von zwei gedachten Elementen dargestellt—einem resistiven
und einem induktiven Element.
Was bedeutet nun die Differenz zwischen der über der Spule gemessenen Spannung
und der durch das Widerstandsverhalten des Drahtes berechneten Spannung UL =
Usol − URS ?
Offensichtlich ist das der Fehler, den wir machen, wenn wir die Spule als reines resistives Element behandeln. Eine Spannung bedeutet gefühlsmässig und auch praktisch, dass etwas passieren kann und wohl auch wird. Der “Fehler” in unserem bisherigen Widerstandsmodell für die Spule heisst also, dass die Spannung UL mit
einem Vorgang verknüpft ist, den wir nicht berücksichtigt haben. Die Spule kann
also mehr, als wir ihr bisher zugetraut haben.
Die Differenz der tatsächlichen Spannung über der Spule (Usol ) und der Spannung
URS (die mit dem Widerstandsverhalten zusammen hängt), tritt immer dann auf,
wenn sich die Stromstärke durch die Elemente und Drähte des einfachen Stromkreises zeitlich ändert. Das suggeriert den Gedanken, dass UL irgendwie mit dem
Änderungsvorgang zusammenhängt. Wenn wir als Mass für den neuen Vorgang messen, wie schnell sich der Strom ändert, so erhält man eine Kurve, die man durch
Multiplikation mit einem Faktor ähnlich wie UL aussieht (Abb.5.11). Das bedeutet,
dass wir erwarten können, dass ein Modell der Form
dIQ
∼ UL
dt
(5.8)
160
Induktives Verhalten
uns weiter helfen wird und die Phänomene beim Anfahren oder Stoppen von Strömen weitgehend erklärt. Wir werden sehen, dass diese Idee tatsächlich funktioniert,
bei einer Spule ohne Eisenkern sogar fast perfekt.
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4
Voltage / V
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2
0
0.2
UL
0.1
dIQ/dt
0.0
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[
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[
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[
[
[
[
[
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[
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[
[
[
[
[
[
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[
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[
[
[
[
[
[
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[
[
[
[
[
[
[
[
[
[
[
[
[
[
[
[
[
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[
[
[
[
[
[
[
[
[ [
[
[
[
[
[
[
[
[
[
[ [
[
[
[
[
[
[
[
[[
[
[
[
[
[
[
[[
[
[
[
[
[[
[
[
[
[
[
-2
-4
-6
0
2
4
dIQ /dt / A/s
6
-0.1
-0.2
6
Time / s
Abbildung 5.11: Die Daten von UL und von dIQ /dt (berechnet aus IQ (t)durch numerische Differentiation und Glättung sind (bis auf einen Skalenfaktor) fast deckungsgleich,
das heisst, wir können in erster Näherung annehmen, dass die beiden Grössen ungefähr
proportional zueinander sind.
Konzepte
Induktives elektrisches Verhalten
Induktives Verhalten äussert sich in der Verknüpfung von zwei Aspekten. Zum
einen ändert sich ein Strom zeitlich, zum anderen gehört, wie bei jedem Phänomen,
eine Potentialdifferenz dazu. Die induktive Potentialdifferenz ist mit der zeitlichen
Rate, mit der sich der Strom ändert, direkt verknüpft. Wie in der Hydraulik kann
man den Zusammenhang grafisch in einem charakteristischen Diagramm darstellen.
IQ
dIQ
dt
IQ
UL
t
dIQ
~ UL
dt
Symbol of
inductor
UL
Elektrischen Induktion und Magnetismus. Das Phänomen der hydraulischen Induktion haben wir mit der Trägheit der Flüssigkeit in Verbindung gesetzt, und die
Trägheit hat mit dem Phänomen der Bewegung (Kapitel 13) zu tun. Wenn ein Fluid
durch eine induktive Druckdifferenz “bergab” fliesst, so treibt sie die Bewegung des
Fluids an. Diese Interpretation ist im Prozessdiagramm in Abb.5.3 visualisiert worden.
Bei elektrischer Induktion geht es nicht um Bewegung, sondern um Magnetismus.
Die Tatsache, dass man die induktive Wirkung durch einen zu einer Spule gewundenen langen Draht und zusätzlich noch mit einem Eisenkern in der Spule massiv
verstärken kann, deutet auf die Kopplung mit Magnetismus hin. So kann man das
dann auch deuten (Abb.5.12): Wenn elektrische Ladung durch ein induktives Element mit der zugehörigen induktiven Spannung “von oben nach unten” fliesst, dann
5.1 Träge Ströme und schwingende Systeme
161
treibt der elektrische Strom die Bildung eines magnetischen Feldes (in der Spule)
an. Verstärkt sich der Strom, so wird das Magnetfeld stärker. Umgekehrt wird beim
Abbau des Magnetfeldes, das durch eine Schwächung des elektrischen Stromes begleitet ist, eine negative elektrische Spannung UL induziert. Der elektrische Strom
fliesst dann bildlich “bergauf”, die Ladung wird gepumpt.
Charge in Solenoid
Charge in Solenoid
IQ
IQ
ϕ1
ϕ2
Building up
of magnetic
field
Building down
of magnetic
field
ϕ2
ϕ1
Abbildung 5.12: Elektrische Induktion ist mit Magnetismus verknüpft (oben: Visualisierung des magnetischen Feldes in einer Spule mit Hilfe von Eisenfeilspänen suggeriert, dass
die Spule, durch die Elektrizität fliesst, ein (Elektro-)Magnet ist). Die Trägheit der Elektrizität ist nicht die selbe wie bei (materiallen) Körpern. Vielmehr ist sie die Folge des
Aufbaus oder Abbaus eines Magnetfeldes, das einen elektrischen Strom begleitet.
13. Warum gilt die Beziehung in Gl.(5.5) für die Schaltung in Abb.5.6?
14. Wie ändern sich die experimentellen Daten im Diagramm in Abb.5.8, wenn man den
Widerstandswert des externen Widerstandselementes vergrössert?
15. Wie bestimmt man am schnellsten den Widerstandswert des Drahtes, aus dem die
Spule im Experiment in Abb.5.8 gemacht ist? Der Wert für den externen Widerstand
ist bekannt.
16. Wie müsste das Diagramm für die Stromstärke in Abb.5.9 aussehen, wenn die Spule
keine induktive Eigenschaft hätte?
17. Man kann die induktive Spannung bei einer Spule nicht (direkt) messen. Wie muss
man vorgehen (Messungen und Berechnungen), um UL doch zu bestimmen?
18. Welche Beobachtung suggeriert, dass die Änderungsrate der elektrischen Stromstärke
bei einem induktiven Effekt proportional zur induktiven Spannung sein könnte?
19. Nehmen Sie an, die Änderungsrate des elektrischen Stromes sei beim induktiven
Effekt proportional zur induktiven Spannung. Welche Bedeutung hat dann der Proportionalitätsfaktor in der Gleichung dIQ /dt = a UL ?
20. Worin besteht die “Trägheit” der Elektrizität? Was für eine Beobachtung suggeriert,
dass elektrische Induktion etwas mit Magnetismus zu tun hat?
21. Wenn elektrische Ladung durch einen geraden Draht fliesst, so baut sich um ihn
ein Magnetfeld auf. Heisst das, dass auch der Transport von Ladung durch einen
geraden Draht dem Phänomen der Induktion unterliegt?
Fragen &
Übungen
162
5.1.3
Induktives Verhalten
Die induktive Zeitkonstante
Das zeitliche Verhalten beim Anfahren eines Stromes sieht gleich wie das des Füllens eines Tanks in einem linearen Modell aus. Die Anfahrkurve ist eine sich einem
neuen stationären Wert anpassende zerfallende Exponentialfunktion. Wir haben solches Verhalten durch eine Zeitkonstante beschrieben (Kapitel 3.4, Box 3.2.2, Kapitel
4.5). Da es sich bisher um kapazitiv-resistives Verhalten handelte, nennt man die
dort eingeführte Grösse eine kapazitive Zeitkonstante. In Analogie dazu verwenden
wir nun eine induktive Zeitkonstante. Im Beispiel des Diagramms in Abb.5.13 ist
das die Zeitspanne, in der der Strom vom Anfangswert auf etwa 63% des Endwertes
steigt (analog: die Zeitspanne, die einem unveränderten anfänglichen Anstieg auf
den Endwert entspricht—was man durch die Konstruktion der Tangente am Anfang erhält). Um die induktive von der kapazitiven Zeitkonstante zu unterscheiden,
schreiben wir τL anstelle von τC .
Wir können uns überlegen, von welchen Grössen des Systems die Zeitkonstante abhängen muss. Die Flüssigkeit im Rohr ist durch zwei Systemgrössen gekennzeichnet:
Widerstandswert und Induktivität. Wenn die Induktivität, die ja ein Mass der Trägheit des Stromes darstellt, wächst, so sollte die Zeitkonstante länger werden. Wenn
der Widerstand grösser ist, dann wird die sich im stationären Zustand einstellende
Stromstärke kleiner, also sollte das Niveau früher erreicht werden: die Zeitkonstante
muss kürzer werden. Im einfachsten Fall ergäbe das
τL =
LV
RV
(5.9)
Diese Beziehung gilt in analoger Form auch in der Elektrizität (die elektrische Induktivität hat die Einheit Henry, H). Dass diese Beziehung für ein lineares System
stimmt, wird weiter unten bewiesen.
IV / m3/s
0.5·10–4
0.63·0.5·10–4
0
0
1
1.5
2 t/s
τL
Abbildung 5.13: Grafische Definition und Bestimmung der Zeitkonstante des verzögerten
Anstiegs des Stromes (Verzögerung erster Ordnung, exponentieller Angleich an das neue
Niveau).
Fragen &
Übungen
22. Wie gross ist die induktive Zeitkonstante beim Anfahren des Wasserstroms in Abb.5.2?
Entsprechen die Daten einer zerfallenden Exponentialfunktion?
23. Die Stromstärke als Funktion der Zeit in Abb.5.13 stammt vom Anfahren des Was-
serstroms aus einem Tank mit einem Radius von 0.125 m. Das Wasser stand am
Anfang 50 cm hoch. Wie gross ist die Induktiviät des Wassers im Rohr?
24. Wie gross sind die induktiven Zeitkonstanten des Anfahrens und Stoppens des elek-
trischen Stromes in Abb.5.9 (vergrösserte Ausschnitte unten)? Sollten die beiden
Werte gleich gross sein? Sind das die selben Zeitkonstanten wie in Abb.5.11?
5.1 Träge Ströme und schwingende Systeme
0.06
Current / A
Current / A
0.06
0.04
0.02
0
0.75
163
0.04
0.02
0
1
1.25 1.5 1.75
Time / s
2
2.25
3.5 3.75
4
4.25 4.5 4.75
Time / s
5
25. Wie sieht das Stromstärke-Zeit Diagramm beim Anfahren eines elektrischen Stromkreises (mit Spannungsquelle, die bei t = 1.0 s auf 5.0 V gestellt wird (vorher null),
und Spule mit elektrischem Widerstand von 2.0 Ω und Induktivität von 2.0 H) aus?
5.1.4
Trägheit von Strömen und Schwingungen
Schwingungsverhalten ist direkt mit dem Phänomen der Trägheit von Strömen verbunden – es braucht induktives Verhalten, damit Schwingungen auftreten können.
Tatsächlich sind in den bisher in den Kapiteln 3 und 4 untersuchten Fällen von hydraulischen und elektrischen Systemen gar keine Schwingungen möglich. In einem
RC System wie den beiden Tanks mit Schlauch in Abb.3.1 ist die Stromstärke des
Wassers immer direkt proportional zum Unterschied der Füllhöhen (Drücke) in den
beiden Tanks. Sobald die hydraulische Spannung zwischen den beiden Speichern
Null geworden ist, ist auch die Stromstärke Null, und die ganze Dynamik stoppt.
Es gibt kein Überschwingen, wie es für eine Schwingung nötig wäre.
In diesem Kapitel wird nur kurz gezeigt, dass die Kombination von Speichern
mit trägen Strömen tatsächlich zu Schwingungen führt. Schwingungsverhalten wird
dann erst in Kapitel 17 eingehend studiert.
Flüssigkeit in einem U-Rohr. Hydraulische Schwingungen kann man sehr einfach
bei Flüssigkeiten in einem U-Rohr beobachten (Abb.5.14). Lenkt man die Flüssigkeit
aus, so dass sie am Anfang im einen Schenkel höher steht als im anderen, dann führt
das Fliessen zu einer Schaukelbewegung.
Level / mm
440
420
400
380
360
0
5
10
15
Time / s
20
Abbildung 5.14: Wenn man anstelle von zwei kommunizierenden Tanks mit dünnem
Verbindungsrohr ein U-Rohr verwendet, schaukelt die Flüssigkeit (Quecksilber) hin und her.
Im Diagramm rechts sieht man eine gedämpfte Schwingung: gemessen wurde die Füllhöhe
in einem der Schenkel des U-Rohrs als Funktion der Zeit.
Das Phänomen fängt mit einem Strom von Null an, der Strom nimmt zu, das Niveau im einen Schenkel nimmt ab und im anderen zu. Wenn dann die beiden Niveaus
gleich geworden sind, stoppt der Vorgang nicht wie bei unseren Beispielen mit zwei
Tanks und einem dünnen Verbindungsrohr (Kapitel 3) – der Flüssigkeitsstrom ist
164
Induktives Verhalten
nicht Null sondern (sozusagen) maximal. Also geht das Fliessen weiter, das Niveau
im ersten Schenkel geht unter die Gleichgewichtslage, das Niveau im anderen Schenkel geht darüber hinaus. Erst wenn im zweiten Schenkel die Füllhöhe (fast) so hoch
wie anfänglich im ersten ist, stoppt der Strom momentan, aber nur um umzukehren.
Erklärung. Das System mit einer Flüssigkeit in einem U-Rohr entspricht im Wesentlichen dem von zwei miteinander verbundenen Tanks (Abb.3.1 und 5.15). Also
besteht es aus zwei Speicherlementen (zwei kapazitiven Elementen) und einem Widerstandselement. Das alleine würde aber die in Abb.5.14 beobachtete Schwingung
nciht erklären, vielmehr würden wir wieder den einfachen Vorgang eines einmaligen Angleichens der Niveaus an das Gleichgewichtsniveau beobachten. Also muss
es zur Erklärung noch ein anderes Modellelement im System geben, nämlich ein
induktives.
Abbildung 5.15: Eine Flüssigkeit in einem U-Rohr verhält sich im Wesentlichen wie in
einem System aus zwei mit einem Schlauch verbundenen Tanks.
Wenn wir annehmen, dass das Fliessen der Flüssigkeit nicht nur der Reibung (Widerstandsverhalten) sondern auch der Trägkeit (induktives Verhalten) unterliegt,
dann kann man die Beobachtungen verstehen. Jeder Schenkel des U-Rohrs ist ein
Tank, die Menge der Flüssigkeit im jeweiligen Schenkel führt zum Druck der Flüssigkeit am Boden, was man als Druckunterschied an einer gedachten Trennfläche
am untersten Punkt interpretieren kann. Diesen Druckunterschied machen wir ganz
am Anfang für das Anfahren des Stroms verantwortlich. Die Flüssigkeit im U-Rohr
stellt gleichzeitig zur Speichermenge auch das fliessende Fluid dar. Wenn dieses träge
ist, dann braucht es eben einen Druckunterschied, damit sich der Strom überhaupt
ändern kann.
Die erste Phase des beobachteten Vorgangs entspricht im Wesentlichen dem Anfahren eines Wasserstroms wie in Abschnitt 5.1.1 besprochen. Wenn der Strom stärker
wird, nimmt die Reibung einen wachsenden Anteil an der Druckdifferenz. Wenn wir
zur vereinfachung der Situation annehmen, dass die Wirkung der Reibung klein ist,
dann wächst der Strom im Prinzip ungehindert weiter. Der Unterschied zwischen
den beiden Beispielen besteht nun aber darin, dass durch die Änderung der Flüssigkeitsmengen in den beiden Schenkeln zur selben Zeit die treibende kapazitive
Druckdifferenz abnimmt. Die für die Änderung des Stromes zur Verfügung stehende
Druckdifferenz wird niedriger, der Strom ändert sich immer langsamer. Schliesslich
sind die Niveaus gleich geworden, und der Strom kann in dem Moment nicht mehr
stärker werden.
Der entscheidende Punkt ist nun, dass das Fluid im Gleichgewicht (Gleichheit der
Flüssigkeitsniveaus) fliesst; der Strom hat sogar ein Maximum erreicht. Also überschiesst die Flüssigkeit, die treibende Druckdifferenz ändert ihr Vorzeichen (und
nimmt dem Betrage nach zu). Also wird der Strom schwächer, bis die Flüssigkeit zu
stehen kommt, wenn sie im zweiten Schenkel die maximale Höhe erreicht hat. Von
da an geht es in umgekehrter Richtung weiter.
Zusammenfassend kann man also sagen, dass wir für die Beobachtungen, dass die
5.1 Träge Ströme und schwingende Systeme
165
Flüssigkeit am Anfang nicht fliesst und angeschoben werden muss, und dass der
Strom bei gleichen Flüssigkeitsniveaus links und rechts nicht Null ist, als Erklärung
das Phänomen der Trägheit der fliessenden Flüssigkeit brauchen. Das zu modellierende System ist also kein RC System sondern ein RCL System.
Tatsächlich braucht es für Schwingungen Speicher und Induktoren, CL Systeme
wären also genügend. Aber beim Fliessen einer Flüssigkeit spielt Reibung immer
auch eine Rolle, also sind die Systeme, die uns interessieren, im Allgemeinen aus
Speichern (C), Induktoren (L) und Widerstandslementen (R) aufgebaut.
Ein elektrischer Schwingkreis. Das selbe Verhalten sieht man, wenn man eine Spule
zwischen zwei Kondensatoren in einen einfachen Stromkreis steckt (Abb.5.16), und
wie schon so oft sind die Erklärungen für die hydraulischen und die elektrischen
Systeme analog. Wenn sich die Spule einfach wie ein Widerstandselement verhalten
würde, so ergäbe es wieder keine Schwingung. Wir kennen das Verhalten aus Kapitel 4.1, Abb.4.1). Es ist genau gleich wie bei zwei Tanks mit einem dünnen Rohr
dazwischen.
4
Solenoid
C2
Usol
UC2
UC / V
C1
UC1
3.5
R
L
3
2.5
2
1.5
0
0.01
0.02 0.03
Time / s
0.04
0.05
Abbildung 5.16: Eine Spule ohne Eisenkern zwischen zwei (verschieden) geladenen Kondensatoren (C1 = 60 µF, C2 = 95 µF) führt zu einer Schwingung der elektrischen Grössen.
Im Diagramm rechts sieht man die gemessenen Spannungen über den beiden Kondensatoren.
Die Tatsache, dass es eine Spule braucht—und dass ein Eisenkern in der Spule den
Effekt verstärkt—deutet darauf hin, dass Induktion an der Schwingung Schuld ist.
Nun hatten wir beim Anfahren von Strömen auch schon mit Induktion zu tun,
aber es gab keine Schwingungen. Deshalb ist induktives Verhalten nur die halbe
Miete: es braucht auch noch Speicher (kapazitives Verhalten), damit eine fluidartige
Grösse wie elektrische Ladung oder Volumen hin- und herpendeln kann. Wie im
hydraulischen Fall sind schwingfähige Systeme CL Systeme oder allgemeiner RCL
Systeme – im Allgemeinen ist das Widerstandsverhalten immer mit dabei.
Blutkreislauf und Schwingungen. Ein wichtiges schwingendes System haben wir in
unserem Körper: den Blutkreislauf. Wenn man den Druck des Blutes in der Aorta, die das Blut aus der linken Herzkammer als erstes aufnimmt, misst, so erhält
man rhythmisch veränderliche Werte. Das alleine ist noch nicht ein Hinweis auf ein
induktives Verhalten. Dass es aber genau dazu kommt, sieht man, wenn man den
Blutstrom in der Aorta nahe an der linken Herzkammer misst (Diagramm oben
rechts in Abb.5.17). Die Tatsache, dass der Blutstrom kurzzeitig ein wenig negativ
wird, ist aber ein untrügerisches Zeichen für die Trägheitswirkung der Flüssigkeit
in der Aorta.
Der Blutkreislauf dient als ein sehr schönes Beispiel für die Kraft der Analogiebetrachtung. Wenn wir uns den Blutkreislauf als hydraulisches System mit Speichern,
166
Induktives Verhalten
Pumpen und Rohren, die sowohl resistives als auch induktives Verhalten ermöglichen, dann kann man hydraulische Modelle als analoge elektrische Modelle darstellen. Man kann zum Beispiel Schaltungen bauen, die physisch eine Rolle analog zum
realen Blutkreislauf spielen. Dynamische Computermodelle der elektrischen Schaltungen sind dann analog zu dynamischen Modellen für den Blutkreislauf (oder auch
für im Labor gebaute physische Modelle eines Blutkreislaufs mit Pumpen, Speichern,
Schläuchen und Ventilen).
300
Pulmonary
circuit
Capillaries
Heart
(right)
Flow / ml/s
200
Aorta
Arteries
IV
100
0
Heart (left)
Veins
-100
0
Systemic
circuit
Capillaries
0.2
US
C1
É É
IV / m3/s
RS
C2
É
É
1.0E-4
É
É
É
É
É
É
IQ
É
É
0.0E+0
IQ
IV
ÉÉ
ÉÉ
2.0E-4
L
0.8
1
3.0E-4
Solenoid
R1
0.4 0.6
Time / s
É
ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ
ÉÉ
R2
É
ÉÉ
É É
É
É
É
É
É
É
É
É
É
É
É
É
ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ
ÉÉ
É
ÉÉÉ
ÉÉÉ ÉÉÉÉÉÉÉÉÉ
ÉÉÉÉÉÉÉÉÉ
É
É
É
É
É
É
ÉÉÉ
-1.0E-4
0
0.2
0.4
0.6
Time / s
0.8
1
Abbildung 5.17: Das Blut, das aus der linken Herzkammer in die Aorta ausgestossen
wird, fliesst dort hin und her (hauptsächlich vorwärts, ein wenig zurück; Blutstrom im Diagramm oben rechts). Eine elektrische Schaltung, mit der man das System aus linker Herzkammer, Aorta und Körperblutgefässen modelliert, führt auf einen schwingenden Strom
ähnlich wie der Blutstrom (IQ als ausgezogene Linie im Diagramm unten rechts im Vergleich zu den Daten des Blutstroms).
Fragen &
Übungen
26. Warum gibt es in RC Systemen keine Schwingungen?
27. Wenn man einem Tank mit Ausfluss Wasser rhytmisch zuführt, so schwingt der Wasserstand. Warum bilden Tank, Schlauch, Zufuhr und Wasser trotzdem kein schwingendes System?
28. Warum kommt es bei den Beispielen von zwei mit einem Schlauch verbundenen
Tanks in Kapitel 2 und 3 nicht zu Schwingungen, obwohl das System im Wesentlichen
gleich wie ein U-Rohr ist?
29. Welcher Prozess führt dazu, dass die Amplitude der Schwingung in Abb.5.14 mit
der Zeit abnimmt?
30. In einem U-Rohr schwingt eine Flüssigkeit wenigstens eine Weile lang. Ist es möglich,
dass eine Flüssigkeit in einem U-Rohr trotzdem nicht schwingt? Ist es möglich, in
einem schwingfähigen System die Parameter so einzustellen, dass das System zum
Gleichgewichtszustand hin “kriecht”?
5.2 Dynamische Modelle und Simulationen
167
31. Wasser schwingt in einem U-Rohr. Zu einem bestimmten Zeitpunkt sind die Füllhö-
hen in den beiden Schenkeln zum ersten Mal gleich. Wie gross ist dann die kapazitive
Druckdifferenz zwischen den beiden Schenkeln? Heisst das, dass das Fluid dann nicht
fliesst?
32. Woran sieht man in den Daten in Abb.5.16, dass die beiden Kondensatoren nicht
die gleiche Kapazität haben? Welcher Kondensator hat die Grössere Kapazität?
33. Welche Systemeigenschaften werden gebraucht, dass es zu Schwingungen kommt?
(Widerstand? Kapazität? Induktivität?)
34. Was für Veränderungen in den gemessenen Daten in Abb.5.16 erwarten Sie, wenn
Sie (a) die Kapazität beider Kondensatoren vergrössern, (b) den Widerstandswert
des Spulendrahtes vergrössern, (c) eine Spule mit grösserer Induktivität nehmen?
35. Zeichnen Sie von Hand so genau wie möglich ein Diagramm, das alle vier Spannungen
entsprechend dem Schaltungsdiagramm in Abb.5.16 als Funktionen der Zeit enthält.
Überzeugen Sie sich über die Zusammenhänge zwischen diesen Grössen.
36. Wie muss das analoge elektrische Schaltungsdiagramm für das U-Rohr in Abb.5.14
aussehen?
Induktion
Transporte (Volumen in der Hydraulik, elektrische Ladung in der Elektrizität,
Impuls und Drehimpuls bei Translations- und Rotationsbewegungen, Entropie bei
thermischen Vorgängen) unterliegen einer Art “Trägheit”: ein Strom ändert sich
nicht einfach so, sondern seine Änderung ist mit einer zugehörigen Potentialdifferenz verbunden:
dI
(5.10)
4ϕL = −L
dt
Man nennt das Phänomen Induktion und die zugehörige Potentialdifferenz induktive Potentialdifferenz. L nennt man die Induktivität eines Elementes; sie misst die
Trägheit des Phänomens. Das Minuszeichen bedeutet, dass ein in Stromrichtung
abnehmendes Potential zu einer Verstärkung des Stromes führt.
5.2
Dynamische Modelle und Simulationen
In diesem Abschnitt werden ein paar dynamische Modelle für Beispiele aufgebaut,
die wir vorher diskutiert haben. Damit sollten wir ein vertieftes Verständnis der
Zusammenhänge—der Grundideen—und des konkreten Verhaltens von Systemen,
speziell von schwingungsfähigen, erhalten. Im folgenden Abschnitt wollen wir durch
Simulation ein wichtiges Phänomen untersuchen, nämlich das der Resonanz.
5.2.1
Wasserstom anfahren
Als erstes dynamisches Modell erstellen wir eines für das Anfahren eines Wasserstroms wie in Abb.5.2. Die Daten stammen von einem Tank mit dünnem horizontalen Rohr. Die anfängliche Füllhöhe des Wassers im Tank beträgt 0.28 m,
also haben wir gleich nachdem das Rohr geöffnet wird eine Druckdifferenz von
4pAB = −2800 Pa entlang des Rohres. Die Messungen haben einen maximalen
Konzepte
168
Induktives Verhalten
Volumenstrom von ziemlich genau 5.0·10−5 m3 /s ergeben. Daraus und aus den Messungen in Abb.5.18 folgern wir, dass die Änderungsrate des Volumenstroms gleich
am Anfang etwa
dIV
5.0·10−5 m3 /s
m3
≈
= 1.7·10−4 2
dt
0.30
s
s
betragen muss. Da wir uns vorstellen, dass diese Änderungsrate vom Unterschied
des Druckes des Wassers am Ende und am Anfang des Rohres herrührt und im
einfachsten Fall wie in elektrischen Stromkreisen proportional zu dieser ist, können
wir mit folgender Idee anfangen:
1
dIV
=−
4pL
dt
LV
(5.11)
4pL ist am Anfang gerade gleich hoch wie die Druckdifferenz 4pAB = −2800 Pa
entlang des Rohres. LV nennen wir die hydraulische Induktivität der Flüssigkeit
im Rohr, das verwendet wurde. Sie misst die Trägheit des Systems beim Anfahren
(generell beim Ändern) des Stromes. Mit den vorhandenen Daten können wir LV
abschätzen:
2
−2800 Pa·s2
4pL
7 Pa·s
≈−
=
1.7·10
LV = −
dIV /dt
m3
1.7·10−4 m3
Das Diagramm eines systemdynamischen Modells für das Anfahren des Stromes
kann in einem erstem Schritt wie in Abb.5.18 rechts aufgebaut werden. Der wichtigste neue Aspekt kommt gleich am Anfang: das Induktionsverhalten führt nicht—wie
andere konstitutive Gesetze—auf eine algebraische Beziehung (zum Beispiel zwischen Strom und Druckdifferenz wie beim resistiven Verhalten) sondern auf eine
differentielle. Wir stellen uns vor, dass die induktive Druckdifferenz zur Änderungsrate der gesuchten Grösse (Stromstärke) führt. Uns interessiert aber natürlich die
Stromstärke selber. Aus diesem Grund brauchen wir im Modell zusätzlich die Darstellung der Integration der Änderungsrate des Stromes, wobei die Änderungsrate
durch die Induktionsbeziehung in Gl.(5.11) gegeben ist.
IV / m3/s
0.5·10–4
B
BB B B B B B B
B
BB
B
B
B
B
B
0
B
0
0.5
1
1.5
2 t/s
Abbildung 5.18: Erster Schritt im Aufbau eines dynamischen Modells zum Anfahren
eines Wasserstroms (rechts). Links sehen wir die schon in Abb.5.2 gezeigten Daten mit der
grafischen Bestimmung der Änderungsrate des Stromes am Anfang.
Die anderen Teile dieses ersten Modells sind sehr einfach. Eine Pumpe (oder in einem
Tank gespeichertes Wasser) setzt eine konstante Druckdifferenz auf. Diese ist gleich
der (negativen) Druckdifferenz 4pAB entlang des Rohres, und da wir im ersten
Schritt Reibung vernachlässigen, ist diese gleich der induktiven Druckdifferenz:
4pL = 4pAB − 0 = −4ppump − 0
5.2 Dynamische Modelle und Simulationen
169
Die Simulation des beschriebenen Modells führt auf eine steigende Gerade, die bei
guter Wahl des Wertes für die Induktivität der Tangente an die Messwerte am
Anfang (wenn der Strom anfängt zu fliessen) entspricht.
Ein Modell, das den ganzen Anfahrvorgang des Wassers im horizontalen Rohr darstellt, muss nur noch durch den Vorgang der Reibung (Widerstandsverhalten, Strömungsverhalten) ergänzt werden (Abb.5.19). Wenn wir der Einfachheit halber annehmen, die Strömung sei laminar, haben wir:
4pR = −RV IV
(5.12)
4pL = 4pAB − 4pR
(5.13)
Mit
haben wir dann das vollständige Modell. Eine Simulation mit LV = 15·106 Pa·s2 /m3
und RV = 55·106 Pa·s/m3 ergibt das im Diagramm in Abb.5.19 (rechts) gezeigte
Resultat, das den gemessenen Daten sehr gut entspricht.
IV / m3/s
0.5·10–4
B
BB B B B B B B
B
BB
B
B
B
B
B
0
B
0
0.5
1
1.5
2 t/s
Abbildung 5.19: Zweiter Schritt im Aufbau eines dynamischen Modells zum Anfahren eines Wasserstroms (links) und Simulationsergebnis (durchgezogene Linie) und Datenpunkte
im Diagramm rechts.
Integration oder Bilanzierung?
Konzepte
Die Integration einer Änderungsrate muss in systemdynamischen Programmen
durch eine Reservoir-Strom Konstruktion dargestellt werden. Das sieht auf den
ersten Blick wie die Darstellung einer Bilanzbeziehung aus, ist aber keine solche—hier wird nicht bilanziert sonder einfach direkt integriert. Die Mathematik
ist zwar die selbe, aber die Bedeutung ist vollkommen anders.
37. Welcher Teil des Diagramms des dynamischen Modells in Abb.5.19 repräsentiert die
konstitutive Beziehung für das Induktionsverhalten?
38. Wie unterscheidet sich in einem Diagramm eines systemdynamischen Modells die
Darstellung einer Bilanz von der einer reinen Integration?
39. Kann man (im Prinzip) jede (zeitliche) Funktion integrieren? Kann man jede Grösse
bilanzieren?
40. Wie gross ist die Zeitkonstante im Modell in Abb.5.19?
41. Wie würde sich die Funktion in Abb.5.19 ändern, wenn die Induktivität der Flüssigkeit zwei mal so gross wäre?
Fragen &
Übungen
170
5.2.2
Induktives Verhalten
Anfahren und Stoppen von elektrischen Strömen
Das Modell für das in Abb.5.8 gezeigte Experiment sollte im Prinzip genau gleich
wie jenes in Abb.5.19 aussehen. Der einzige strukturelle Unterschied besteht darin,
dass wir zwei Widerstandselemente statt nur eines haben (Abb.5.20); und natürlich haben die Variablen andere Namen, und die Parameter haben andere konkrete
Werte.
6
[
[
[
[
[
[
[
[
[
[
[
[
[
[
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[
[
[
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Voltage / V
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-2
-4
0
4
2
6
Time / s
Abbildung 5.20: Modelldiagramm (links), Daten (Punkte im Diagramm) und Simulation
des Modells (durchgezogene Linien) beim Starten und Stoppen eines elektrischen Stromes.
Mit Hilfe des elektrischen Stromes bestimmen wir die beiden resistiven Spannungen
UR,ext und URS :
UR,ext = Rext IQ
(5.14)
URS = Rsol IQ
(5.15)
Aus dem Maschensatz erhalten wir die Spannung über der Spule und daraus schliesslich die induktive Spannung:
Usol = US − UR,ext
(5.16)
UL = Usol − URS
(5.17)
Eine Simulation mit L = 21.4 H ergibt dann das im Diagramm rechts in Abb.5.20
zu sehende Resultat. Es stimm im ersten Teil des Vorgangs sehr gut mit den Daten
überein, nach dem Abstellen der Spannungsquelle aber nicht mehr ganz so gut. Das
rührt daher, dass eine Spule mit einem Eisenkern drin komplexer funktioniert, als
wir bisher angenommen haben. Wenn man die Änderungsrate des Stromes in einem
Diagramm gegen die Induktive Spannung aufträgt, so ergibt sich kein einfaches Bild
wie in Abb.5.19 (rechts): die Beziehung ist nicht linear (man kann sie zum Beispiel
durch ein Polynom dritten Grades annähern).
5.2.3
Elektrisches Windkesselmodell mit Spule
In Abschnitt 5.1.4 wurden Beobachtungen des Schwingungsverhaltens von Blut an
einer Stelle in der Aorta eines Schafes beschrieben, Blut strömt, durch die linke Herzkammer angetrieben, durch die Aorta-Klappe (ein Rückschlagventil) in die elastische
Aorta und von dort in den Körper.
Im Kapitel über hydraulische Systeme (Abschnitt 3.2.4) wurde ein ganz einfaches
Windkesselmodell vorgestellt, das in der Physiologie als Grundlage der Erklärung
5.2 Dynamische Modelle und Simulationen
171
der Funktion der Aorta dient. Eine Pumpe drückt eine Flüssigkeit durch ein Rückschlagventil in einen Speicher. Von dort fliesst sie durch einen langen Schlauch in die
Umgebung. Ein elektrisches System, das zum hydraulischen Windkessel analog ist,
wurde in Abb.4.3 dargestellt und in Abschnitt 4.2.3 modelliert. Diese Modelle zeigen
ganz grob ein ähnliches Verhalten wie das Blut im systemischen Körperkreislauf.
Box 5.1: Integration im Diagramm eines dynamischen Modells
Eine beliebige Funktion der Zeit y (t) kann in systemdynamischen Programmen
mit Hilfe einer Flow-Reservoir Konstruktion integriert werden. Der Flow enthält
y (t), das Reservoir das dazugehöroge Integral. Wenn wir die Änderungsrate dY /dt
einer Funktion Y (t) integrieren, so erhalten wir wieder Y (t):
ˆ
t
(dY /dt) dt
Y (t) = Y (0) +
0
Y(0)
Y(t)
dY/dt
Das Modelldiagramm für die Integration sieht im Wesentlichen gleich wie das für
ein Bilanzgesetz aus, weil in einem Bilanzgesetz die Änderungsrate einer Speichergrösse durch die Summe aller Ströme gegeben ist.
Beim Modell handelt es sich um ein RC-Modell, das aber keine Schwingungen darstellen kann. Um diese nachzubilden, müssen wir die Trägheit des Blutes in der
Aorta abbilden: das Blut schaukelt hin und ein wenig her. Um die Trägheit des
Blutstromes in der Aorta in ein Modell einzubauen, sollte man die Aorta in mindestens zwei Speicher zerlegen, damit im Modell ein Strom zwischen diesen Speichern
das Fliessen in der Aorta nachbilden kann (Abb.5.21, links). Wir wollen nun ein
elektrisches Modell des hydraulischen Windkessels mit zwei Speichern und einem
induktiven Element aufbauen (Abb.5.21, rechts).
Aorta
R1
Left
ventricle
R2
UR2
Arteries and
capillaries
Aortic
valve
US
UC1
C1
RS
L
IQ
Solenoid
C2
R3
Abbildung 5.21: Hydraulisches Windkesselmodell mit zwei Speichern (links) und analoge
elektrische Schaltung (rechts) mit Spannungsquelle, Diode, Spule und Widerstandselementen. Das Widerstandselement R2 dient indirekt der Messung des elektrischen Stromes durch
die Spule.
Das Modell des zentralen Teils der Windkesselschaltung (mittlere Masche in der
Schaltung in Abb.5.21, rechts) ist bis auf das zusätzliche externe Widerstandselement (R2 ) identisch mit dem vorher aufgebauten. Die neuen Teile bestehen im
172
Induktives Verhalten
Wesentlichen aus einem (Zu)Fluss zum Reservoir für Q1 und einem (Ab)Fluss für
Q2 (Abb.5.22). Der Zufluss wird durch das Widerstandselement R1 reguliert:
IQ1 = UR1 /R1 .
Die Spannung UR1 ergibt sich aus dem Maschensatz für die linke Masche der Schaltung:
UR1 = US − UD − UC1 .
Um die Schaltung ähnlich wie den Blutkreislauf funktionieren zu lassen, wir die
Spannung US über der Spannungsquelle von Hand so reguliert, dass sie etwa wie
der Druck in der linken Herzkammer aussieht (siehe Kurve links unten in Abb.5.22).
Die Spannung UD über der Diode setzen wir auf einen festen Wert (etwa 0.7 V), und
die Funktion der Diode wird indirekt modelliert, indem man den elektrischen Strom
IQ1 Null setzt, wenn UR1 negativ wird. Die Spannung über dem Kondensator ergibt
sich auf die bekannte Weise und ist schon im vorhergehenden Modell enthalten.
Die Dritte Masche rechts in Abb.5.21 wird durch den (Ab)Fluss IQ3 modelliert.
Der ist sehr einfach durch den Maschensatz und die konstitutive Beziehung für das
Widerstandselement R3 zu erhalten
UR3 = UC2
IQ3 = UR3 /R3
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Abbildung 5.22: Diagramm des dynamischen Modells für die elektrische Schaltung in
Abb.5.21. US ist die externe treibende Funktion des Modells.
Damit ist das Modell vollständig und kann simuliert werden. Die Ergebnisse für
die Spannungen über den Kondensatoren und über R2 (indirekte Messung von IQ2 )
passen gut zu den gemessenen Daten (Abb.5.23). Die Parameter, die durch die Anpassung an die Daten erhalten werden, stimmen mit auf anderen Wegen gemessenen
gut überein (L = 20 H, siehe Abschnitt 5.2.2; C1 = C2 = 480 µF; UD = 0.80 V). Einzig der elektrische Widerstand der Spule stimmt nicht mit dem statisch gemessenen
überein: wir brauchen RL = 120 Ω (anstelle von RL = 63 Ω), damit die Simulation
funktioniert.
5.2 Dynamische Modelle und Simulationen
173
0.006
4
[
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U
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U/V
2
1
0
0.004
IQ / A
3
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0.002
0
-0.002
-1
5
6
7
5
8
6
7
8
Time / s
Time / s
Abbildung 5.23: Daten und Simulationsergebnisse für das Modell aus Abb.5.22. Links:
Gemessene Spannungen (US wird als Input für das Modell verwendet) und Simulationsergebnis für UC1 (ausgezogene Linie) im Vergleich zu den Messwerten (Punkte für UC1 ).
Rechts: Daten für IQ2 = UR2 /R2 und Simulationsergebnis.
5.2.4
Laden eines Kondensators über eine Diode
In Abschnitt 4.2.3 ist beim Versuch, das charakteristische Verhalten einer Diode
in einem dynamischen Modell einzubauen, auf eine Schwierigkeit stösst: der direkte
Ansatz führt auf eine unerlaubte Zirkelbeziehung (Abb.4.11). Mathematisch gesprochen heisst das, dass im Modell eine (nichtlineare) algebraische Beziehung entsteht,
die spezielle numerische Methoden erfordert, die in vielen Werkzeugen zur Erstellung von dynamischen Computermodellen nicht implementiert werden.
Ein Problem der selben Art tritt auf, wenn wir einen photovoltaischen Generator in einem elektrischen Schaltkreis modellieren wollen. Ein weiteres Beispiel ist
das Problem der Umschaltung zwischen laminaren und turbulenten Strömungen
von Fluiden. Im einfachsten Fall macht man das Kriterim für das Umschlagen von
laminar zu turbulent oder umgekehrt von einer Bedingung abhängig, in der die Geschwindigkeit des Fluids vorkommen – das führt dann zu einer Zirkelbeziehung im
Modell.
Zirkelbeziehungen sind in dynamischen Modellen normal – allerdings nur, wenn
sie eine Rate enthalten, die integriert wird. Das ist bei den bisher aufgetretenen
Rückkopplungskreisen der Fall. Graphisch gesprochen heisst das, dass ein Kreis
eine Konstruktion aus Flow und Reservoir enhalten muss (Abb.5.24).
C
B
C
B
A
A
Abbildung 5.24: Eine direkte zirkuläre Beziehung zwischen einigen normalen Variablen
ist nicht erlaubt (links). Enthält eine Kreisbeziehung mindestens eine Flow-Reservoir Konstruktion, so ist sie erlaubt.
Modellierung der Diode. Man könnte nun einfach eine Flow-Reservoir Beziehung
174
Induktives Verhalten
in den unerlaubten Kreis in Abb.4.11 einbauen und mit diesem mathematischen
Trick das Problem erledigen. Es wäre allerdings befriedigender, wenn wir eine physikalische oder systemische Erklärung für das Problem finden könnten. Tatsächlich
ist es so, dass die charakteristischen Beziehungen (resistive und kapazitive) eine Art
Gleichgewichts- oder statinonäre Beziehung darstellen, wenn sich also zum Beispiel
bei Transporten die Ströme nicht mehr änder. Ändern sie sich, müssten wir sowieso
induktives Verhalten mit einbeziehen. Es macht also physikalisch Sinn, die Diode
als kombiniertes Leitungs- und induktives Element zu modellieren (im oberen Zweig
des Schaltungsdiagramms in Abb.5.25 oben links dargestellt).
Gibt man der Diode (oder genereller der Schlaufe, in der sich die Diode befindet)
ein induktives Element, dann ändert sich der Teil des dynamischen Modells, mit
dem die elektrische Stromstärke im entsprechenden Zweig berechnet wird. Anstadt
das Leitungsverhalten des Widerstandselementes wie in Gl.(4.14) direkt zu nutzen,
wird die Stromstärke indirekt über die Integration der Änderungsrate des Stromes
berechnet. Diese folgt aus dem Verhalten des induktiven Elementes:
1
d
IQ = ULD
dt
L
(5.18)
Diese Teil des Modells ist im Diagramm recht in Abb.5.25 (eingekreist) zu sehen. Der
Schritt von der Änderungsrate des Stromes zur Stromstärke (Integration der Änderungsrate) ist in Box 5.2.3 beschrieben. Das Modell muss nun durch die Berechnung
der induktiven Spannung erweitert werden. Diese erhält man aus der Beziehung
zwischen allen Spannungen im Stromkreis:
ULD = US − UC − UR − UD
L
UD
(5.19)
R
UR
ULD
UC
US
IQ
C
IQ / mA
60
40
20
0
US
U/V
6
Inductive
relation and
integration of
rate of change of
current
4
UC
2
0
0
2
4
6
8
10 Time / s
Abbildung 5.25: Schaltungsdiagrtamm für das Laden eines Kondensators über ein Widerstandselement und eine Diode (oben links). Die diode wird als kombiniertes Element (Leiter
und Induktor) modelliert. Rechts: Systemdynamisches Modelldiagramm für die Schaltung.
Unten links: Simulation mit gepulster Spannung des Generators.
Die Spannung über dem Kondensator ergibt sich wie gewohnt:
UC =
1
Q
C
(5.20)
5.2 Dynamische Modelle und Simulationen
175
und die Spannung über dem Widerstandselement folgt aus der Umkehrung der üblichen Transportbeziehung:
UR = R IQ
(5.21)
Den Ausdruck für die Spannung über der Diode erhält man durch die Umkehrung
der Funktion IQ (UD ) aus Gl.(4.16), die sich algebraisch bewerkstelligen lässt:
1
1
UD = ln
IQ + 1
(5.22)
b
a
Numerische Probleme. Das Modell ist damit komplett, es kann simuliert werden.
Allerdings ergeben sich dabei in vielen Fällen ernsthafte numerische Probleme, die
man geeignet lösen muss. Auf den ersten Blick ist nicht klar, was passier. Wir wissen,
dass die Stromstärke nicht negativ werden sollte – die Diode lässt die Ladung nur
in die eine Richtung durch. Die Beziehung Gl.(5.22) oder Gl.(4.16) sollte zumindest
verhindern, dass die Stromstärke unter den sehr kleinen Wert −a fällt. Das sollte
sich auf das Laden des Kondensators so gut wie nicht auswirken.
Das Problem ist, dass numerische Verfahren, mit denen die Stromstärke durch Integration aus der Änderungsrate bestimmt werden, für die Gegebenheiten unseres
Modells nicht stabil sind. Die Gleichungen des Modells, die die Änderungen der
Variablen beschreiben, werden in Computermodellen numerisch Schritt um Schritt
gelöst. In unserem Modell passiert es sehr leicht, dass der Wert des Stromes bei
der Intgegration negativ wird. Im einfachsten Fall berechnet die Software aus einem
Wert des Stromes den nächstfolgenden (einen kleinen Zeitschritt 4t später) nach
der Regel
IQD,i+1 = IQD,i + dIQ /dt · 4t
(5.23)
Diese Rechenregel, mit der aus einem alten Wert einer Variablen ein neuer erzeugt
wird, nennt man explizite Euler Methode. Neben dieser einfachen Methode gibt es
sehr viele auch sehr viel bessere (genauere, stabilere und effizientere) Methoden zur
Lösung von Anfangswertproblemen (siehe Kapitel 10).
Das Problem passiert beim Abstellen der Generatorspannung, worauf der Strom auf
Null sinken sollte. Ist IQD,i schon fast Null, und ist dIQ /dt relativ stark negativ,
dann wird IQD,i+1 negativ. Das kann man auch nicht verhindern, wenn man zum
Beispiel die Bedingung einfügt, dass dIQ /dt = 0 gesetzt werden soll, wenn IQD,i < 0.
Dann ist das Problem nämlich schon passiert, IQD,i hat einen (viel zu) negativen
Wert, und die folgenden Rechnungen funktionieren nicht mehr.
Man muss deshalb in einem Programm wie Berkeley Madonna dafür sorgen, dass
der Wert von IQD nicht negativ werden kann. Eine Form, das zu verhindern, ist die
folgende Bedingung für dIQ /dt:
(
IF (IQD + U LD /L ∗ DT > 0) THEN dIQ /dt = ULD /L
(5.24)
ELSE dIQ /dt = −c IQD /DT
DT ist dabei der Zeitschritt, der von der numerischen Methode zur Berechnung
eines nachfolgenden Wertes gewählt wird. Man testetmit der Bedingung, ober der
neue zu erwartende Wert für IQD , d.h. IQD,i+1 , positiv bleiben wird. Wenn ja,
dann wendet man die normale Berechnung der Änderungsrate des Stromes mit
Hilfe des Induktionsbeziehung an. Wenn nein, dann berechnet man einen neuen
Wertnach einer Regel, die den Strom exponentiall auf Null fallen lässt. Man sieht
dieses Verhalten in dem vergrössert gezeigten Ausschnitt im Diagramm für IQ in
Abb.5.25. Die dort gezeigte Berechnung wurde mit einem Wert von c = 1 in Gl.(5.24)
durchgeführt. Macht man c grösser, so sinkt IQ schneller auf Null ab.
176
Induktives Verhalten
Noch mehr numerische Probleme. Dabei handelt man sich aber ein generelles numerisches Problem ein, das in unserem Modell sowieso auftritt: Es gibt bestimmte
Änderungen, die sehr schnell erfolgen. Aus rein physikalichen (materiellen) Gründen
sollte man die Induktivität der Diode sehr klein machen. Damit treten aber sehr
schnelle Änderungen der Stromstärke speziell beim Ein- und Ausschalten von Teilen
einer elektrischen Schaltung. Einfache numerische Methoden, wie die in Gl.(5.23)
beschriebene, funktionieren in Fällen, wo bei der Simulation von Modellen gleichzeitig sehr schnelle und (relativ) langsame Änderungen auftreten, nicht mehr – sie
werden instabil. Man braucht dafür angepasste Methoden, die man numerische Methoden für steife Differentialgleichungen nennt. (In BM ist so eine Methode, die
Rosenbrock Methode, eingebaut.)
Für unser Modell bedeuten all die erwähnten Schwierigkeiten, dass man erstens die
Bedingung nach Gl.(5.24) einbauen muss, dass c nicht zu gross und L nicht zu klein
gewählt werden dürfen, und dass man eine Methode für steife Differentialgleichungen
verwenden muss.
5.3
Konzepte und Beziehungen
...
...
Quellen
Induction and Oscillation
Lecture notes and books
· Fuchs H. U. (2010): The Dynamics of Heat. Springer, New York, Chapter
1.6.
· Fuchs H. U. (1995): Inductive Phenomena and Oscillations. Chapter 3 of
Lecture Notes FEHM.
· Hydraulic ram. http://en.wikipedia.org/wiki/Hydraulic_ram.
5.3 Konzepte und Beziehungen
177
Aufgaben
42. Water is at rest in a pipe. As the tap is opened, the pressure difference along the
pipe is 2.0 bar. Initially, the current of water increases at a rate of 2.0 liters/s2. a)
How large is the inductance of the water in the pipe? b) How fast would the current
rise initially if the pipe were twice as long?
43. Water is flowing out of a slender tank through a straight horizontal pipe as in Fig.3.3.
The pipe has a length of 1.75 m, and a radius of 2.0 mm. Initially, the level of water
in the tank is 0.20 m. The graphs in Fig.3.7 show the modeled behavior of the system
with and without taking inductance into account. The flow is laminar at all times. a)
Estimate the inductance and the resistance of the fluid in the pipe. b) Estimate the
inductive and resistive pressure differences for t = 20 s. c) Determine the function
IV(t) after a fairly long time (t > 10 s), and calculate the cross section of the tank.
d) Determine the total pressure difference along the pipe at t = 20 s, and estimate
the volume of water in the tank at that moment.
b. 8E–6
Volume flux / m3/s
Volume flux / m3/s
a. 8E–6
6E–6
4E–6
2E–6
6E–6
4E–6
2E–6
0E–6
0E–6
0
10
20
30
40
0
1
3
2
4
5
t/s
t/s
44. In Example 3.2, a) determine the inductive time constant by graphical means. b)
Compare the result to a determination with the help of Eq.(3.6). c) If the fluid level
in the tank could be kept constant, how long would it take for the current to reach
99% of its final value?
45. Consider the electric circuit shown in the diagram. An ideal inductor is connected in
series to a resistor, having a resistance of 24 W, and both are connected in parallel
to another resistor (72 W). Together the three elements are connected to a battery
of constant voltage (12 V). At t = 0 s the circuit is closed. a) Give a qualitative
sketch of the inductive voltage, i.e. the voltage across the solenoid, as a function of
time. Determine the maximum value of the voltage. b) Give a qualitative sketch of
the current through the first of the resistors. What is the maximum value of the
current? c) Sketch the current through the battery as a function of time.
IQ
+
R1
R2
US
L
178
Induktives Verhalten
46. Pipes having a diameter of 0.60 m lead from an artificial lake down into the valley.
Their length is 350 m. a) What is the hydraulic inductance of a single pipe? b) Water
is flowing through a pipe with a current of 1.0 m3/s. If the current had to be stopped
in 0.10 s, how large would the induced pressure difference be?
47. A long wire is wound up in series on two cardboard pipes. The first has a length of
20 cm and a diameter of 6.0 cm, while the length and the diameter of the second are
10 cm and 4.0 cm, respectively. On the first cardboard pipe, there are 200 windings,
on the second there are 300. Determine the inductance of the setup.
48. . . .
49. . . .
Antworten zu Fragen und Übungen
1. In welchem Punkt sind die bisherigen (RC ) Modelle des Entleerens eines Tanks
oder der Wechselwirkung von zwei kommunizierenden Gefässen nicht realistisch? Ist
das Modell des Füllens eines Tanks mit Hilfe einer Pumpe vom gleichen Problem
betroffen?
Antwort: Die Trägheit des Fluids wurde bisher vernachlässigt – in den Modellen
kommen keine induktiven Elemente vor.
2. Warum kann im Modell des Angleichs von Flüssigkeitsniveaus (wie in Abb.2.10) kein
Über- oder Unterschwingen um das Gleichgewichtsniveau vorkommen?
Antwort: Weil die Trägheit des Fluids vernachlässigt wird. Darum ist die Stromstärke
direkt von der Druckdifferenz entlang des Rohres abhängig – sie und damit der Strom
hat immer das selbe Vorzeichen. Wenn die Druckdifferenz Null geworden ist, ist auch
die Stromstärke Null geworden, und es geht nicht weiter.
3. Zeigt das Beispiel des Windkesselmodells in Abb.3.24 oder Abb.4.3 nicht Schwingungen?
Antwort: Nei, das sind keine Schwingungen, sondern einem nicht schwingfähigen RC
Modell von aussen aufgezwungene rhythmische Veränderungen.
4. Wenn wir beim Phänomen der Induktion bei hydraulischen Vorgängen von Trägheit
eines Stromes reden, worin besteht diese Trägheit?
Antwort: Wenn man das Fliessen von Wasser als mechanisches Phänomen (Bewegung
im Raum) interpretiert, dann wird die Trägheit durch die Masse des Fluids gemessen.
Andere Interpretations (siehe Kapitel 6): Um einen Fluidstrom anzufahren, braucht
es Energie, und um diese bereit zu stellen, braucht es eine (induktive) Druckdifferenz.
5.3 Konzepte und Beziehungen
179
5. Wie hoch ist die Druckdifferenz von A nach B in Abb.5.4, wenn das Rohr geschlossen
ist? Was passiert mit dieser Druckdifferenz, wenn man das Rohr öffnet?
Antwort: Sie ist so hoch wie die Druckdifferenz über der eingeschalteten Pumpe. Im
ersten Moment nach Öffnen des Rohres treibt diese Druckdifferenz den Wasserstrom
an. Danach teilt sie sich auf – für Beschleunigen und für Reiben. Zeitlich bleibt sie
(gesamthaft) konstant.
6. Wie hoch ist die Druckdifferenz von Punkt A nach Punkt B im Rohr in Abb.5.4?
Hängt sie davon ab, wie stark der Volumenstrom gerade in einem Moment ist? Oder
davon, wie schnell sich der Strom ändert?
Antwort: Sie ist immer so hoch wie die Druckdifferenz über der Pumpe.
7. Wodurch wird IV,max in Abb.5.4 bestimmt?
Antwort: Durch Druckdifferenz über Pumpe, das heisst auch von A nach B, und
durch den Strömungswiderstand.
8. Funktioniert die Trägheit eines Fluids auch, wenn man plötzlich die Pumpe im Beispiel von Abb.5.4 abstellt? Wie sollte sich das bemerkbar machen? Ist Gl.(5.4) immer
noch anwendbar?
Antwort: Es wird eine Druckdifferenz von umgekehrtem Vorzeichen (gegenüber Anfahren) induziert. Gleichung gilt in allgemeiner Form (ohne Betragszeichen).
9. In Kapitel 13 (Abb.13.1 und 13.7) kommt ein geneigtes Wasserrohr vor. Inwiefern
ist die Situation ähnlich wie bei einem horizontalen Rohr, bei dem Reibung und
Induktion (Trägheit) vorkommen? Gibt es im geneigten Rohr auch zwei Vorgänge,
die sich eine reale Druckdifferenz teilen?
Antwort: Ja, Reibung und Gravitation.
10. Stellen Sie sich vor, das Rohr in Abb.5.4 sei gerade geöffnet worden. Wie hoch ist die
induktive Druckdifferenz in dem Moment? Wie hoch ist die resistive Druckdifferenz?
Antwort: Induktive Druckdifferenz: maximal (gleich Druckdifferenz von A nach B);
resistive Druckdifferenz: Null.
11. In einem horizontalen Rohr ruht eine Flüssigkeit. Wovon wird es abhängen, wie
schnell sich der Volumenstrom beim Anfahren gerade am Anfang ändert?
Antwort: Von der Menge Fluid im Rohr und vom Querschnitt des Rohres (formal:
Dichte des Fluids, Länge des Rohres, Querschnittfläche des Rohres).
12. Sollte in Gl.(5.4) bei weggelassenem Betragszeichen ein Minus-Zeichen auftreten?
Antwort: Ja.
13. Warum gilt die Beziehung in Gl.(5.5) für die Schaltung in Abb.5.6?
Antwort: Maschensatz (es hat nur zwei Elemente in der Schaltung).
14. Wie ändern sich die experimentellen Daten im Diagramm in Abb.5.8, wenn man den
Widerstandswert des externen Widerstandselementes vergrössert?
Antwort: Der Wert von UR,ext im statinären Zustand geht höher hinauf, der von
Usol hinunter.
15. Wie bestimmt man am schnellsten den Widerstandswert des Drahtes, aus dem die
Spule im Experiment in Abb.5.8 gemacht ist? Der Wert für den externen Widerstand
ist bekannt.
Antwort: Rsol = Rext ·Usol (∞) /UR,ext (∞).
16. Wie müsste das Diagramm für die Stromstärke in Abb.5.9 aussehen, wenn die Spule
keine induktive Eigenschaft hätte?
Antwort: Springt bei t = 1 augenblicklich auf den Maximalwert und dann kurz vor
t = 4 wieder auf Null.
17. Man kann die induktive Spannung bei einer Spule nicht (direkt) messen. Wie muss
man vorgehen (Messungen und Berechnungen), um UL doch zu bestimmen?
Antwort:
180
Induktives Verhalten
18. Welche Beobachtung suggeriert, dass die Änderungsrate der elektrischen Stromstärke
bei einem induktiven Effekt proportional zur induktiven Spannung sein könnte?
Antwort: Vergleich der Formen des zeitlichen Verlaufs von UL und dIQ /dt , die man
aus Versuchsdaten erhält oder herleitet.
19. Nehmen Sie an, die Änderungsrate des elektrischen Stromes sei beim induktiven
Effekt proportional zur induktiven Spannung. Welche Bedeutung hat dann der Proportionalitätsfaktor in der Gleichung dIQ /dt = a UL ?
Antwort: Er sagt, wie “leicht” sich der Strom ändern lässt, er ist also umgekehrt
proportional zur “Trägheit” des Stromes.
20. Worin besteht die “Trägheit” der Elektrizität? Was für eine Beobachtung suggeriert,
dass elektrische Induktion etwas mit Magnetismus zu tun hat?
Antwort: Kopplung mit Magnetismus. Eine Spule funktioniert als Elektromagnet.
21. Wenn elektrische Ladung durch einen geraden Draht fliesst, so baut sich um ihn
ein Magnetfeld auf. Heisst das, dass auch der Transport von Ladung durch einen
geraden Draht dem Phänomen der Induktion unterliegt?
Antwort: Ja, allerdings normalerweise nur sehr schwach.
22. Wie gross ist die induktive Zeitkonstante beim Anfahren des Wasserstroms in Abb.5.2?
Entsprechen die Daten einer zerfallenden Exponentialfunktion?
Antwort: τL ≈ 0.2 s; exponentieller Zerfall zum Maximalwert hin.
23. Die Stromstärke als Funktion der Zeit in Abb.5.13 stammt vom Anfahren des Was-
serstroms aus einem Tank mit einem Radius von 0.125 m. Das Wasser stand am
Anfang 50 cm hoch. Wie gross ist die Induktiviät des Wassers im Rohr?
Antwort: LV ≈ 2·107 Pa·s2 /m3 .
24. Wie gross sind die induktiven Zeitkonstanten des Anfahrens und Stoppens des elek-
trischen Stromes in Abb.5.9 (vergrösserte Ausschnitte unten)? Sollten die beiden
Werte gleich gross sein? Sind das die selben Zeitkonstanten wie in Abb.5.11?
Antwort: 0.25 s und 0.2 s. Wenn die Induktivität von Spule mit Eisenkern konstant
wäre, würde man die gleichen Werte erwarten. Und sie sollten denen in Abb.5.11
entsprechen.
0.06
Current / A
Current / A
0.06
0.04
0.02
0
0.75
0.04
0.02
0
1
1.25 1.5 1.75
Time / s
2
2.25
3.5 3.75
4
4.25 4.5 4.75
Time / s
5
25. Wie sieht das Stromstärke-Zeit Diagramm beim Anfahren eines elektrischen Stromkreises (mit Spannungsquelle, die bei t = 1.0 s auf 5.0 V gestellt wird (vorher null),
und Spule mit elektrischem Widerstand von 2.0 Ω und Induktivität von 2.0 H) aus?
Antwort:
26. Warum gibt es in RC Systemen keine Schwingungen?
Antwort: Weil Trägheit der Ströme vernachlässigt wird. Weil Ströme direkt proportional zur Potentialdifferenz entlang den Leitern sind.
27. Wenn man einem Tank mit Ausfluss Wasser rhytmisch zuführt, so schwingt der Wasserstand. Warum bilden Tank, Schlauch, Zufuhr und Wasser trotzdem kein schwingendes System?
5.3 Konzepte und Beziehungen
181
Antwort: Weil das rhytmische Verhalten von aussen aufgezwungen ist. Das System
verhält sich trotzdem (näherungsweise) wie ein RC-System.
28. Warum kommt es bei den Beispielen von zwei mit einem Schlauch verbundenen
Tanks in Kapitel 2 und 3 nicht zu Schwingungen, obwohl das System im Wesentlichen
gleich wie ein U-Rohr ist?
Antwort: Weil die Induktivität zu klein und der Strömungswiderstand zu gross ist.
29. Welcher Prozess führt dazu, dass die Amplitude der Schwingung in Abb.5.14 mit
der Zeit abnimmt?
Antwort: Reibung (resistives Verhalten).
30. In einem U-Rohr schwingt eine Flüssigkeit wenigstens eine Weile lang. Ist es möglich,
dass eine Flüssigkeit in einem U-Rohr trotzdem nicht schwingt? Ist es möglich, in
einem schwingfähigen System die Parameter so einzustellen, dass das System zum
Gleichgewichtszustand hin “kriecht”?
Antwort: Ja, wenn die Flüssigkeit zu zäh ist.
31. Wasser schwingt in einem U-Rohr. Zu einem bestimmten Zeitpunkt sind die Füllhö-
hen in den beiden Schenkeln zum ersten Mal gleich. Wie gross ist dann die kapazitive
Druckdifferenz zwischen den beiden Schenkeln? Heisst das, dass das Fluid dann nicht
fliesst?
Antwort: Null. Das Fluid fliesst trotzdem weiter, wenn der induktive Effekt stark
genug ist (überschiessen, schwingen).
32. Woran sieht man in den Daten in Abb.5.16, dass die beiden Kondensatoren nicht
die gleiche Kapazität haben? Welcher Kondensator hat die Grössere Kapazität?
Antwort: Ausschläge (Amplituden) sind nicht gleich stark. Kurve mit kleinerer Amplitude gehört zum Kondensator mit grösserer Kapazität.
33. Welche Systemeigenschaften werden gebraucht, dass es zu Schwingungen kommt?
(Widerstand? Kapazität? Induktivität?)
Antwort: Kapazität und Induktivität.
34. Was für Veränderungen in den gemessenen Daten in Abb.5.16 erwarten Sie, wenn
Sie (a) die Kapazität beider Kondensatoren vergrössern, (b) den Widerstandswert
des Spulendrahtes vergrössern, (c) eine Spule mit grösserer Induktivität nehmen?
Antwort: (a) langsameres Schwingen, (b) schnelleres Abklingen der Amplituden, (c)
langsameres Schwingen.
35. Zeichnen Sie von Hand so genau wie möglich ein Diagramm, das alle vier Spannungen
entsprechend dem Schaltungsdiagramm in Abb.5.16 als Funktionen der Zeit enthält.
Überzeugen Sie sich über die Zusammenhänge zwischen diesen Grössen.
Antwort:
36. Wie muss das analoge elektrische Schaltungsdiagramm für das U-Rohr in Abb.5.14
aussehen?
Antwort:
37. Welcher Teil des Diagramms des dynamischen Modells in Abb.5.19 repräsentiert die
konstitutive Beziehung für das Induktionsverhalten?
Antwort: Zusammenhang zwischen delta_pL, L und dIV_dt.
38. Wie unterscheidet sich in einem Diagramm eines systemdynamischen Modells die
Darstellung einer Bilanz von der einer reinen Integration?
Antwort: Bei einer echten Bilanz können mehrere Inputs und Outputs vorkommen.
39. Kann man (im Prinzip) jede (zeitliche) Funktion integrieren? Kann man jede Grösse
bilanzieren?
Antwort: Integrieren: ja. Bilanzieren: nein.
182
Induktives Verhalten
40. Wie gross ist die Zeitkonstante im Modell in Abb.5.19?
Antwort: LV /RV = 0.27 s.
41. Wie würde sich die Funktion in Abb.5.19 ändern, wenn die Induktivität der Flüssigkeit zwei mal so gross wäre?
Antwort: Anfängliche Steigung der Kurve wäre nur halb so gross, sonst bleibt alles
gleich.

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