Lösungen Känguru-Sonderedition Januar 2016

Känguru-Sonderedition
Lösung des Problems des Monats
Januar 2016
Liebe Kinder,
die Fragen können wie folgt beantwortet werden:
Im Jahr 2016 beginnt der Januar mit einem Freitag. Auf welchen Wochentag fällt der 1. Februar?
Wenn der 1. Januar ein Freitag ist, dann sind auch der 8., 15., 22. und der 29. Januar Freitage. Da
der Monat Januar 31 Tage hat, fällt der 1. Februar auf Montag.
Weil 2016 ein Schaltjahr ist, kommt ein Wochentag im Februar sogar 5-mal vor. Welcher ist das?
Der Wochentag des 1. Februar wiederholt sich am 8., 15., 22. und am 29.; es ist also ein Montag.
Der 1. April und der 1. Juli fallen immer auf den gleichen Wochentag – auch in Schaltjahren.
Warum ist das so? Gibt es noch andere Paare von Monatsersten, die immer auf den gleichen
Wochentag fallen?
Die dazwischen liegenden Monate (April, Mai und Juni) haben zusammen 30 + 31 + 30 = 91 Tage;
dies ist eine Anzahl, die durch 7 teilbar ist. Das Gleiche ergibt sich auch für die Monate September,
Oktober und November (also ebenfalls 30+31+30 = 91 Tage); deshalb fallen auch der 1. September
und der 1. Dezember ebenfalls immer auf den gleichen Wochentag.
In Schaltjahren haben auch die Monate Januar, Februar und März zusammen 91 Tage, deshalb gilt
auch hier: Der 1. Januar und der 1. April fallen auf den gleichen Wochentag. Die Abfolge Dezember,
Januar, Februar im Schaltjahr erfüllen ebenfalls die Bedingung; deshalb fallen der 1. Dezember und
der darauf folgende 1. März ebenfalls auf den gleichen Wochentag, sofern der dazwischen liegende
Februar 29 Tage hat.
Weiter gilt:
In normalen Jahren fallen der der 1. Januar und der 1. Oktober auf den gleichen Wochentag, weil
dazwischen 31+28+31+30+31+30+31+31+30 = 273 Tage liegen und 273 ist durch 7 teilbar.
In normalen Jahren fallen der 1. Februar, der 1. März und der 1. November auf den gleichen
Wochentag, weil dazwischen 28+31+30+31+30+31+31+30+31 = 273 bzw.
31+30+31+30+31+31+30+31 = 245 Tage liegen und 273 und 245 sind durch 7 teilbar.
In allen Jahren fallen der 1. Mai und der 1. Januar im darauf folgenden Jahr auf den gleichen
Wochentag, weil dazwischen 31+30+31+31+30+31+30+31 = 245 Tage liegen und 245 ist
durch 7 teilbar.
In allen Jahren fallen der 1. Juni und der 1. Februar im darauf folgenden Jahr auf den gleichen
Wochentag, weil dazwischen 30+31+31+30+31+30+31+31 = 245 Tage liegen und 245 ist
durch 7 teilbar.
In Schaltjahren fallen der 1. Januar und der 1. Juli auf den gleichen Wochentag, weil dazwischen
31+29+31+30+31+30 = 182 Tage liegen und 182 ist durch 7 teilbar.
In Monaten mit 31 Tagen gibt es 3 Wochentage, die 5-mal vorkommen, und
4 Wochentage, die 4-mal vorkommen. Kann es (in einem beliebigen Jahr) einen
Monat geben, in dem der Montag und der Donnerstag 5-mal vorkommen?
www.mathematik-ist-schoen.de © Heinz Klaus Strick 2015
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Der Schuljahreskalender 2015/16 enthält andere
Aufgaben als die Känguru-Sonderedtion.
Wenn der Montag auf den Monatsersten fällt, dann sind auch der 8., 15., 22. und 29. Montage und
entsprechend fallen die Dienstage auf den 2., 9., 16., 23. und 30. sowie die Mittwoche auf den 3., 10.,
17., 24. und 31.; daher kann der Donnerstag in diesem Monat nicht fünfmal vorkommen, wenn bereits
MO, DI, MI fünfmal auftreten. Entsprechendes gilt für andere Wochentagskombinationen: Wenn der
Dienstag fünfmal vorkommt, kann der Freitag nicht fünfmal auftreten usw.
In einem Monat mit 30 Tagen gibt es 4 Montage und 4 Donnerstage. Kannst du herausfinden, auf
welchen Wochentag der Monatserste fällt?
In Monaten mit 30 Tagen gibt es zwei Wochentage, die fünfmal vorkommen, und fünf Wochentage,
die viermal vorkommen – diese müssen aber jeweils hintereinander liegen. Für die zwei aufeinander
folgenden Tage, die fünfmal auftreten, kommen nur die Kombinationen DI/MI, FR/SA, SA/SO in
Frage. Im ersten Fall fällt der Monatserste auf Dienstag, im zweiten Fall Freitag, im dritten Fall
Samstag – es gibt also drei Möglichkeiten, d. h. die Information reicht nicht aus, um die Frage zu
beantworten.
Jemand behauptet: Wenn du mir sagst, wie oft in einem Jahr die einzelnen Wochentage als
Monatserste auftreten, kann ich sagen, ob es sich um ein Schaltjahr handelt und an welchem Tag
Neujahr ist. Was meinst du?
Im Jahr 2015 fielen die Monatsersten auf die folgenden Wochentage:
Jan. Feb. März April Mai Juni Juli Aug. Sept. Okt. Nov. Dez.
DO
SO
SO
MI
FR
MO
MI
SA
DI
DO
SO
DI
d. h. die Wochentage traten am Monatsersten mit folgenden Häufigkeiten auf:
Tag
MO
Häufigkeit
1
DI MI DO FR SA SO
2
2
2
1
1
3
Es fällt auf, dass ein Wochentag (SO) dreimal als Monatserster vorkam und drei aufeinander folgende
Tage (DI, MI, DO) je zweimal.
www.mathematik-ist-schoen.de © Heinz Klaus Strick 2015
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Im Jahr 2014 fielen die Monatsersten auf die folgenden Wochentage:
Jan. Feb. März April Mai Juni Juli Aug. Sept. Okt. Nov. Dez.
MI
SA
SA
DI
DO
SO
DI
FR
MO
MI
SA
MO
d. h. die Wochentage traten am Monatsersten mit folgenden Häufigkeiten auf:
Tag
MO
Häufigkeit
2
DI MI DO FR SA SO
2
2
1
1
3
1
Hier kam SA dreimal als Monatserster vor und ebenfalls drei aufeinander folgende Tage
(MO, DI, MI) je zweimal.
Diese Abfolge der Häufigkeiten 3 – 1 – 2 – 2 – 2 – 1 – 1 ist typisch für ein normales Jahr:
Der Wochentag des Monatsersten im Februar kommt dreimal vor (nämlich im Februar, März
und November) und geht man dann zwei bzw. drei bzw. vier Wochentage weiter, dann hat
man Wochentage, die zweimal als Monatserste auftreten.
Im Schaltjahr 2016 fallen die Monatsersten auf die folgenden Wochentage:
Jan. Feb. März April Mai Juni Juli Aug. Sept. Okt. Nov. Dez.
FR
MO
DI
FR
SO
MI
FR
MO
DO
SA
DI
DO
d. h. die Wochentage treten am Monatsersten mit folgenden Häufigkeiten auf:
Tag
MO
Häufigkeit
2
DI MI DO FR SA SO
2
1
2
3
1
1
Auch in diesem Schaltjahr kommt ein Wochentag (FR) dreimal als Monatserster vor, aber diesmal
nicht drei aufeinander folgende Tage je zweimal, d. h.,
wenn die Abfolge der Häufigkeiten 3 – 1 – 1 – 2 – 2 – 1 – 2 lautet, dann handelt es sich um ein
Schaltjahr, wobei es jeweils der Wochentag des Monatersten im Januar ist, der dreimal vorkommt.
Ostersonntag ist festgelegt als der erste Sonntag nach dem ersten Vollmond nach
Frühlingsbeginn (wenn der Vollmond selbst auf einen Sonntag fällt, ist Ostern erst eine Woche
später). Auf der Nordhalbkugel kann der Frühlingsbeginn am 20. oder 21. März liegen (in
Ausnahmen auch am 19. März). Welches ist der frühestmögliche, welches der spätestmögliche
Termin für den Ostersonntag?
Wenn der Frühlingsbeginn am 21. März ist (Regelfall), dann kann der erste Vollmond im Frühjahr
frühestens am 22. März sein, so dass der erste Sonntag danach frühestens auf den 23. März fällt.
Im ungünstigsten Fall liegt der Vollmondtermin genau auf dem Tag des Frühlingsbeginns; dann
dauert es 29 bis 30 Tage bis zum nächsten Vollmond (denn die Mond-Monate sind unterschiedlich
lang; sie liegen zwischen 29,3 und 29,8 Tagen), und dann kann es noch einmal 6 Tage bis zum
nächsten Sonntag dauern – dies ist der 25. April.
Hinweis: Die Angelegenheit ist in der Realität etwas weniger kompliziert als oben beschrieben, weil durch die
Gregorianische Kalenderreform im Jahr 1582 zur „Vereinfachung“ bestimmte Kalenderzyklen (Zyklus = Kreis)
festgelegt wurden. Danach ist für das Datum des Frühlingsvollmonds eine bestimmte Abfolge festgelegt, die
sich alle 19 Jahre wiederholt (vergleiche: Wikipedia: Osterdatum).
www.mathematik-ist-schoen.de © Heinz Klaus Strick 2015

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