Beweis Satz des Heron
A = s ( s − a )( s − b )( s − c)
s=
a+b+c
2
s: Halber Umfang des Dreiecks
Beweis:
c⋅h
A=
2
2
h = a 2 − p 2 = ( a + p )( a − p )
h2 = b2 − (c − p)
[ 2 ] = [ 3]
[1]
[2]
[ 3]
2
⇒ a2 − p2 = b2 − (c − p)
2
⇒ a 2 − p 2 = b 2 − c 2 + 2 pc − p 2
a2 − b2 + c2
→ [2]
2c
⎛
a2 − b2 + c2 ⎞ ⎛
a2 − b2 + c2 ⎞
2
⇒ h = ( a + p )( a − p ) = ⎜ a +
⎟⎠ ⎜⎝ a −
⎟⎠
2c
2c
⎝
⇒ p=
⇒ h2 =
⇒h
2
2ac + a 2 − b 2 + c 2 2ac − a 2 + b 2 − c 2
⋅
2c
2c
2
2
a + c) − b2 b2 − (a − c)
(
=
⋅
2c
2c
⎡( a + c ) − b ⎤ ⋅ ⎡ b − ( a − c )2 ⎤
⎦ ⎣
⎦
⇒h = ⎣
2
4c
⎡( a + b + c ) ( a − b + c ) ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣( b − a + c ) ( b + a − c ) ⎤⎦
⇒ h2 = ⎣
4c 2
∧
2s := a + b + c
[4]
2
2
2
2
⎡( 2s ) ( 2s − 2b ) ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣( 2s − 2a ) ( 2s − 2c ) ⎤⎦
⇒ h2 = ⎣
4c 2
16
4
⇒ h 2 = 2 s ( s − a )( s − b )( s − c ) = 2 s ( s − a )( s − b )( s − c )
4c
c
2
⇒h=
s ( s − a )( s − b )( s − c )
c
c⋅h
⇒A=
= s ( s − a )( s − b )( s − c )
2
∧
[4] ⇒ s =
Beweis Satz des Heron
a+b+c
2
q.e.d
Dr. F. Raemy

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