TU Dortmund
Fakultät Maschinenbau
Institut für Mechanik
Prof. Dr.-Ing. A. Menzel
Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Herbst 2014
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Aufgabe 1 (Seite 1 von 3)
a)
Der dargestellte, in A und C gelagerte Balken wird durch eine Streckenlast q0 sowie eine
Einzelkraft F belastet. Im Punkt B befindet sich ein Vollgelenk.
F
q0
A
x
z
B
I
l
II
l
C
III
l
Geben Sie die kinematischen (geometrischen) Rand- und Übergangsbedingungen an, die
zur vollständigen Bestimmung der Biegelinie w(x) erforderlich sind. Geben Sie dabei eindeutige Zuweisungen hinsichtlich der jeweiligen Bereiche I, II und III unter Verwendung
des vorgegebenen Koordinatensystems an. (3,0 Punkte)
Bereich I : 0 ≤ x ≤ l
Bereich II : l ≤ x ≤ 2l
wI (x = 0) = 0
wI′ (x = 0) = 0
wI (x = l) = wII (x = l)
wII (x = 2l) = 0
′
′
wII
(x = 2l) = wIII
(x = 2l)
wII (x = 2l) = wIII (x = 2l) = 0
Bereich III : 2l ≤ x ≤ 3l
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Aufgabe 1 (Seite 2 von 3)
b)
Für das nun gegebene System sind die Auflagerreaktion gemäß der angegebenen x- und
z-Koordinate durch
Ax = 0 ,
Az = −
q0 l
24
,
Bz = −
q0
A
5 q0 l
24
vorgegeben. Der Balken weist die Biegesteifigkeit EI auf.
x1
I
z1
l/2
B
x2
II
z2
l/2
Bestimmen Sie die Funktionen des Biegemomentes MI (x1 ) für 0 ≤ x1 ≤ l/2 sowie MII (x2 )
für 0 ≤ x2 ≤ l/2. (2,0 Punkte)
MI (x1 ) =
q0 l
x1
24
MII (x2 ) = −
q0 l2
q0 3 q0 l
x2 +
x2 +
3l
24
48
′
Geben Sie die sowohl die Verdrehung des Balkens wII
(x2 ) als auch die Biegelinie wII (x2 )
für den Bereich II (0 ≤ x2 ≤ l/2) ohne Berechnung der Integrationskonstanten an. (2,0
Punkte)
1
q0 5
q0 l 3 q0 l2 2
wII (x2 ) =
x −
x −
x + C1 x2 + C2
EI 60l
144 2
96 2
′
wII
(x2 )
q0 4 q0 l 2 q0 l2
1
=
x −
x −
x2 + C1
EI 12l 2 48 2
48
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Aufgabe 1 (Seite 3 von 3)
c)
Der dargestellte, linksseitig eingespannte Balken (Biegesteifigkeit EI ) wird durch ein linienhaft verteiltes Moment m belastet. Das Biegemoment ergibt sich bei dieser Belastung
zu M(x) = m(l − x).
m
A
x
z
B
l
Berechnen Sie sowohl die Verdrehung des Balkens w ′(x) als auch die Biegelinie w(x) für
das System inklusive der Bestimmung aller Integrationskonstanten. (2,0 Punkte)
1
mx2
w (x) = −
mlx −
EI
2
′
C1 = C2 = 0
1 mlx2 mx3
w (x) = −
−
EI
2
6
′
Bestimmen Sie die Durchbiegung wB und die Verdrehung wB′ des Balkenendes B. (1,0
Punkte)
wB = −
ml3
3EI
wB′ = −
ml2
2EI
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Aufgabe 2 (Seite 1 von 3)
Die Koordinaten des Schwerpunkts S für
dünnwandige (t ≪ a, b, c) Profile mit den Abmessungen a, b und c berechnen sich allgemein zu
yS =
a2 + c2
2 [a + b + c]
a
yS
sowie
zS
b
S
b [ 2b + c]
.
zS =
a+b+c
y
z
t
c
a)
Berechnen Sie für den speziellen Fall b = c = 2a zunächst die resultierenden Schwerpunktkoordinaten in Abhängigkeit der Länge a. (1 Punkt)
yS =
a
b
=
2
4
zS =
6a
3b
=
5
5
Berechnen Sie für die Abmessungen b = c = 2a die auf das angegebene SchwerpunktKoordinatensystem bezogenen Flächenträgheitsmomente Iy und Iz des Profils als Funktion
von a und t.
Teilen Sie Ihre Lösung dazu jeweils in das Flächenträgheitsmoment um die Teilprofilhauptachse sowie den Steiner-Anteil für alle Teilprofile auf. Vernachlässigen Sie Terme
höherer Ordnung von t. (3 Punkte)
b3 t
Iy =
12
2
= a3 t
3
a3 t
12
1
= a3 t
12
Iz =
2
1
+
b bt
10
2
+ a3 t
25
2
1
+ a bt
2
1 3
+ at
2
2
6
+ a at
5
36
+ a3 t
25
c3 t
12
2 3
+ at
3
+
2
2
+ b ct
5
32
+ a3 t
25
2
1
+ a ct
2
1 3
+ at
2
=
52 3
at
15
7
= a3 t
4
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b)
Die Maße des Querschnitts werden nun auf
a = c = 2b geändert. Damit ergeben sich die
Schwerpunktkoordinaten sowie die Hauptflächenträgheitsmomente zu
yS =
a
4
a
yS
σmax
zS
zS = a
5
Iz = a3 t.
12
8
Iy = a3 t
3
S
y
b
z
t
Die Verhältnisse der Schnittreaktionen an
der betrachteten Stelle sind zu
N
36
=
Mz
5a
My
32
=−
Mz
5
und
gegeben.
Bestimmen Sie die Funktion der neutralen Faser y N F (z) (2 Punkte), tragen Sie diese
maßstäblich in den obigen Profilquerschnitt ein (1 Punkt) und bestimmen Sie den
Ortsvektor ~rmax = y ∗ ~ey + z ∗ ~ez des Punktes der betragsgrößten Normalspannung im gegebenen Koordinatensystem. (1 Punkt)
y N F (z) = −z +
1
~rmax = − ~ey + [−a] ~ez
4
3
a
4
c)
Für die Reaktionsmomente und -kräfte im angegebenen Profil-Querschnitt aus Aufgabenteil b) gelte nun
N = 8 F,
My = 2 a F
und
Mz = 5 a F
Berechnen Sie die Normalspannung σxx in der unteren rechten Ecke des Profils (2 Punkte).
σxx = 2
F
3 F
F
23 F
+
+3
=
at 4 at
at
4 at
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Aufgabe 3 (Seite 1 von 3)
x4
B
x1
Für dieses System soll mit Hilfe von Energiemethoden die horizontale Komponente der
Auflagerkraft im Punkt A ermittelt werden, die positiv in x−Richtung angenommen
wird.
A
EI
z1
2
l
1
EA
x3
a)
Ein Rahmen ist im Punkt A wie dargestellt
gelagert und wird darüber hinaus durch zwei
Stäbe gestützt. Der waagerechte Rahmenabschnitt wird mit einer Kraft F belastet. Der
Winkel α beträgt π/4. Der Rahmen weist die
Biegesteifigkeit EI auf und ist als dehnstarr
(EA → ∞) anzusehen, während die Stäbe
die Dehnsteifigkeit EA besitzen.
α
x2
z2
y
F
l/2
x
l
Die Verläufe der Schnittgrößen, die jeweils allein aus der Kraft F bzw. der statisch Überzähligen X resultieren, sind wie folgt gegeben.
0
0
MX (xi ) :
MF (xi ) :
0
0
Xl
Xl
−F l/4
−F/2
0
X
NX (x3 ) :
NF (x3 ) :
−F/2
X
√
− 2X
0
NF (x4 ) :
NX (x4 ) :
0
√
− 2X
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Aufgabe 3 (Seite 2 von 3)
Geben Sie die im System gespeicherte Gesamtenergie Π als Summe einzelner (nicht zu
vernachlässigender) Integrale unter Angabe der jeweiligen Integrationsgrenzen und Verwendung der zuvor angegebenen Schnittgrößenfunktionen (z.B. MF (xi )) an. (3,0 Punkte)
1
Π =
2
ˆl
[MX (x1 )]2
1
dx1 +
EI
2
0
+
1
2
ˆl
ˆl
[MF (x2 ) + MX (x2 )]2
dx2
EI
0
2
[NF (x3 ) + NX (x3 )]
1
dx3 +
EA
2
0
√
ˆ 2l
[NX (x4 )]2
dx4
EA
0
Berechnen Sie nun konkret die unbekannte Lagerkraft X. Geben Sie hierbei sowohl das
Ergebnis als auch die wesentlichen Zwischenschritte auf der nächsten Seite an und berücksichtigen Sie, dass das Verhältnis zwischen der Biege- und Dehnsteifigkeit der einzelnen
Strukturen zu
2
EA
= 2
EI
l
gegeben ist. (5,0 Punkte)
b)
Nehmen Sie nun an, dass Stab 2 einen kreisrunden Querschnitt (Radius r) aufweist und
die Stabkraft S2 > 0 bekannt ist. Geben Sie zunächst allgemein die Bedingung für r an,
so dass die maximal zulässige Spannung σzul des Materials nicht überschritten wird. (1,0
Punkte)
r≥
r
S2
π σzul
Spezifizieren Sie das obere Ergebnis für die nun gegebenen Zahlenwerte S2 = 100 kN und
σzul = 650 MPa. Geben Sie genau 3 relevante Nachkommastellen an. (1,0 Punkte)
r ≥ 6.998 mm
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Aufgabe 3 (Seite 3 von 3)
Lösung zu Aufgabenteil a):
Anwendung des Satzes von Castigliano:
∂Π
=0 =
∂X
ˆl
[MF (x2 ) + MX (x2 )] ∂MX (x2 )
MX (x1 ) ∂MX (x1 )
dx1 +
dx2
EI
∂X
EI
∂X
{z
} |0
{z
}
|0
ˆl
I.
II.
√
ˆl
ˆ 2l
[NF (x3 ) + NX (x3 )] ∂NX (x3 )
NX (x4 ) ∂NX (x4 )
+
dx3 +
dx4
EA
∂X
EA
∂X
|0
{z
} |0
{z
}
III.
Wobei auch die Schreibweise M̄ (xi ) =
werden kann.
IV.
∂NX (xi )
∂MX (xi )
bzw. N̄(xi ) =
verwendet
∂X
∂X
Die Integrale werden mit Hilfe von Koppeltabellen gelöst, da die SchnittgrößenVerläufe mit Randwerten gegeben sind:
l
Xl l
+ 2
0 =
EI } |
| 3 {z
l
I.
−F
2
−F l
4
l + 2 2l
6 EI
+
l
2
−F l
4
l
2
+
{z 3 EI
II.
√
√
[− 2 X] [− 2]
EA
{z
}
l
Xl l
3 EI }
√
X 1
2l
+
+
+
EA } |
| EA {z
III.
IV.
√
1 2 X l3 F l3
l2
Fl
=
+
−
−
+ [1 + 2 2] X l
EI
3
16
2 EI
2
√
5 F l3
[7 + 6 2] X l3
−
=
6 EI
16 EI
l
1
l
Umstellen nach X liefert dann schließlich:
X=
5/16 F
15 F
√
√ = 0.1211 F
=
[7 + 6 2]/6
8 [7 + 6 2]
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Aufgabe 3 (Seite 3 von 3)
Lösung zu Aufgabenteil a):
Lösung mittels des Prinzips der virtuellen Kräfte:
Die Schnittgrößenverkäufe des ”0”-Systems entsprechen denen aus F resultierenden
Verläufen. Die Schnittgrößenverläufe des ”1”-Systems entsprechen denen nach X abgeleiteten Verläufen. Die statisch Überzählige X errechnet sich durch:
α10 + X α11 = 0
→
X=−
α10
α11
Die Einflusszahlen errechnen sich zu:
ˆl
ˆl
M0 (x2 ) M̄1 (x2 )
N0 (x3 ) N̄1 (x3 )
=
dx2 +
dx3
EI
EA
{z
} |0
{z
}
|0
α10
II.
ˆl
III.
ˆl
2
ˆl
2
√
ˆ 2l
2
2
M̄1 (x2 )
N̄1 (x3 )
M̄1 (x1 )
N̄1 (x4 )
dx1 +
dx2 +
dx3 +
dx4
=
EI
EI
EA
EA
{z
} |0
{z
} |0
{z
} |0
{z
}
|0
α11
I.
II.
III.
IV.
Die Integrale werden mit Hilfe von Koppeltabellen gelöst, da die SchnittgrößenVerläufe mit Randwerten gegeben sind:
l
2
α10 =
α11
|
l + 2 2l
+
6 EI
{z
−F l
4
l
2
II.
−F l
4
3 EI
l
2
}
√
l l l
l 1 1
l l
2l
+
+
+
=
EI } | 3 {z
EI } | EA
{z } |
| 3 {z
l
I.
II.
III.
Für X ergibt sich schließlich:
X=
15 F
5/16 F
√
√ = 0.1211 F
=
[7 + 6 2]/6
8 [7 + 6 2]
+
l
−F
2
1
5 F l3
=−
16 EI
| EA
{z }
III.
√
√
√
[7 + 6 2] l3
[− 2] [− 2]
=
EA
6 EI
{z
}
IV.
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Aufgabe 1 (Seite 1 von 3)
a)
Das dargestellte Balkensystem (Biegesteifigkeit E I) ist in Punkt A mit einem Festlager
verknüpft und in Punkt C fest eingespannt. Die beiden Teilsysteme sind in Punkt B gelenkig miteinander verbunden. Zudem greift in Punkt B eine Einzelkraft F in vertikale
Richtung an. Die axiale Verformung der Balken sei im Folgenden vernachlässigbar (dehnstarr E A → ∞).
z1
x1
A
F
l
C
B
z2
x2
2l
l
Geben Sie sämtliche kinematische (geometrische) Rand- und Übergangsbedingungen
an, die zur vollständigen Bestimmung der Biegelinie w(xi ) erforderlich sind. Tragen Sie
zur eindeutigen Indizierung die Biegelinienbereiche in obige Skizze ein und verweisen Sie
eindeutig auf diese. Verdeutlichen Sie zudem, auf welches Koordinatensystem sich Ihre
Angaben beziehen. (3,5 Punkte)
Bereich 1: 0 ≤ w1 (x1 ) ≤ l , Bereich 2: 0 ≤ w2 (x2 ) ≤ 2l , Bereich 3: 2l ≤ w3 (x2 ) ≤ 3l
w1 (x1 = 0) = 0 , w3 (x2 = 3l) = 0 , w3′ (x2 = 3l) = 0 , w1 (x1 = l) = 0 , w2 (x2 = 0) = 0
, w1′ (x1 = l) = w2′ (x2 = 0) , w2 (x2 = 2l) = w3 (x2 = 2l)
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Aufgabe 1 (Seite 2 von 3)
b)
Der dargestellte, linksseitig eingespannte
Balken (Biegesteifigkeit E I) wird mit der
linear veränderlichen Streckenlast q(x) =
q0 [2 − x/l] belastet. Das Biegemoment ergibt
sich bei vorliegender Belastung zu
3
x
3 x l 2 l2
2
M(x) = q0
.
−x +
−
6l
2
3
2q0
q0
x
z
l
Berechnen Sie sowohl die Verdrehung des Balkens w ′ (x) als auch die Biegelinie w(x) für das
gegebene System inklusive der Bestimmung aller Integrationskonstanten. (2,0 Punkte)
x4
x3 3 x2 l 2 x l2
q0
−
+
−
+
w (x) =
EI
24 l
3
4
3
q0
x5
x4 x3 l x2 l2
w(x) =
−
+
−
+
EI
120 l 12
4
3
′
c)
Der dargestellte, linksseitig eingespannte Balken (Biegesteifigkeit E I) wird mit einer konstanten Streckenlast q(x) = q0 und einer Einzelkraft F belastet. Die Biegelinie w(x) ergibt
sich bei vorliegender Belastung zu
1
x4
x3 l
x2 l2
x3
x2 l
w(x) =
q0
.
− q0
+ q0
+F
−F
EI
24
6
4
6
2
q0
x
z
F
l
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Aufgabe 1 (Seite 3 von 3)
Wie groß muss die Kraft F sein, damit die Verschiebung des Kraftangriffspunktes von F
gleich Null ist? (1,0 Punkte)
F =
3 q0 l
8
Wie groß muss die Kraft F sein, damit die Tangente der Biegelinie am Kraftangriffspunkt
von F horizontal verläuft? (1,0 Punkte)
F =
q0 l
3
Geben Sie für diese Kraft die Durchbiegung des Kraftangriffspunktes an. (1,0 Punkte)
w(x = l) =
q0 l4
72 E I
An welcher Stelle tritt die betragsmäßig größte Durchbiegung für F = q0 l auf und welchen
Wert hat diese? (1,5 Punkte)
5 q0 l4
wmax (x = l) = −
24 E I
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Aufgabe 2 (Seite 1 von 3)
Der dargestellte Querschnitt mit der einheitlichen Wandstärke t ≪ a ist als dünnwandig
anzunehmen.
a
a
s4
s5
a/2
x
y
a/2
s3
z
s1
a/2
a/2
s2
a)
Bestimmen Sie das Flächenträgheitsmoment Iy des Querschnitts bezüglich des eingezeichneten Schwerpunktskoordinatensystems. (1,0 Punkte)
Iy =
13 3
a t
4
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Aufgabe 2 (Seite 2 von 3)
b)
Bestimmen Sie das statische Moment Sy (s1 ) bezüglich der Koordinate s1 für den Teilbereich 0 ≤ s1 ≤ a/2. (1,0 Punkte)
Sy (s1 ) = 12 s1 t [a + s1 ]
Bestimmen Sie das statische Moment Sy (s2 ) bezüglich der Koordinate s2 für den Teilbereich 0 ≤ s2 ≤ a. (1,0 Punkte)
Sy (s2 ) = 38 t a2 + s2 t a
Bestimmen Sie das statische Moment Sy (s3 ) bezüglich der Koordinate s3 für den Teilbereich 0 ≤ s3 ≤ 2 a. (1,0 Punkte)
Sy (s3 ) =
11
8
t a2 + s3 t a −
s3
2
Bestimmen Sie das statische Moment Sy (s4 ) bezüglich der Koordinate s4 für den Teilbereich 0 ≤ s4 ≤ a. (1,0 Punkte)
Sy (s4 ) =
11
8
t a2 − s4 t a
Bestimmen Sie das statische Moment Sy (s5 ) bezüglich der Koordinate s5 für den Teilbereich 0 ≤ s5 ≤ a/2. (1,0 Punkte)
Sy (s5 ) = 38 t a2 − s5 t a −
s5
2
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Aufgabe 2 (Seite 3 von 3)
c)
Der dargestellte zur ȳ-Achse symmetrische Querschnitt mit der einheitlichen Wandstärke
t ist als dünnwandig anzunehmen (t ≪ a). Die in z̄-Richtung wirkende Querkraft ist gegeben als Q und das Flächenträgheitsmoment des Querschnitts bezüglich des Schwerpunkts
ist gegeben als Iy . Das statische Moment des rechten oberen Flansches für den Teilbereich
0 ≤ s1 ≤ b/2 ist zu Sy (s1 ) = 21 s1 t [b − s1 ] bestimmt worden.
s1
a
b
x̄
ȳ
z̄
l
Bestimmen Sie die aus der Schubspannung resultierende Kraft F im rechten oberen
Flansch für den Teilbereich 0 ≤ s1 ≤ b/2. (2,0 Punkte)
F =
Q t b3
24 Iy
Geben Sie die ȳ-Koordinate des Schubmittelpunktes M bezüglich des vorgegebenen ȳ, z̄Koordinatensystems an. (2,0 Punkte)
ȳM = −
t b3 l
12 Iy
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Aufgabe 3 (Seite 1 von 3)
a)
Der dargestellte Rahmen (Biegesteifigkeit EI, Dehnsteifigkeit EA → ∞) wird bei A und
B von einem Loslager und bei C von einer Schiebehülse gestützt. Zwischen den Punkten
B und C greift eine konstante Linienlast mit dem Wert q0 an. Die Verbindungsstellen
sind als biegestarr anzunehmen. Verwenden Sie die angegebenen Koordinatensysteme x1 z1 , x2 -z2 und x3 -z3 .
A
I
x1
z2
z1
x2
l
II
q0
B
x3
z3
l
III
C
l
Zeichnen Sie die Freikörperbilder für das ”0”-System und das ”1”-System unter der Voraussetzung, dass das Auflagermoment in C als statisch Überzählige X gewählt wird. (2,0
Punkte)
”0”-System
A
q0
B
C
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Aufgabe 3 (Seite 2 von 3)
”1”-System
A
1
B
C
Bestimmen Sie die Momentenverläufe in den Teilbereichen I, II und III für das ”0”-System
in Abhängigkeit der äußeren Belastung. (1,5 Punkte)
1
M0I (x1 ) = Ax1 = lq0 x1
4
1
M0II (x2 ) = Al = q0 l2
4
1
1
1
M0III (x3 ) = A (l + x3 ) − q0 x23 = q0 l (l + x3 ) − q0 x23
2
4
2
Bestimmen Sie die Momentenverläufe in den Teilbereichen I, II und III für das ”1”-System
in Abhängigkeit der ”1”-Last. (1,5 Punkte)
1
x1
2l
1
M1II (x2 ) = Al =
2
M1I (x1 ) = Ax1 =
M1III (x3 ) = A (l + x3 ) =
1
(l + x3 )
2
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Aufgabe 3 (Seite 3 von 3)
b)
Für das in a) gegebene System ergeben sich für nicht näher spezifizierte äußere Belastungen die folgenden (fiktiven) Momentenverläufe in den Teilbereichen I, II und III für das
”0”-System
1
q0 l x1
2
1
M̂0II (x2 ) = q0 l2
2
III
M̂0 (x3 ) = 2 q0 x23
M̂0I (x1 ) =
und für das ”1”-System
M̂1I (x1 ) = 2
x1
l
M̂1II (x2 ) = 2
2
M̂1III (x3 ) = (l + x3 )
l
Berechnen Sie die Einflusszahlen α10 und α11 . (4,0 Punkte)
α10
1
=
EI
1 3
7
q0 l + q0 l3 + q0 l3
3
3
α11
1
=
EI
4
28
l + 4l + l
3
3
=
=
1 11 3
q0 l
EI 3
1 44
l
EI 3
Berechnen Sie die statisch Überzählige X. (1,0 Punkte)
X=−
α10
1
= − q0 l2
α11
4
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Prof. Dr.-Ing. A. Menzel
Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Herbst 2013
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Aufgabe 1 (Seite 1 von 3)
Der dargestellte Rahmen (Biegesteifigkeit
EI) ist in den Punkten A, B und C gelagert und wird durch eine Einzelkraft F belastet. Am Angriffspunkt der Kraft befindet
sich ein Vollgelenk, der waagerechte Rahmenteil ist mit dem senkrechten Träger biegesteif
verbunden.
Die Dehnsteifigkeit des Rahmens ist gegenüber der Biegesteifigkeit als unendlich groß
anzunehmen.
C
l/2
l/2
2
l
1
l
F
B
3
4
x2
z2
x1
A
z1
a)
Bestimmen Sie sämtliche kinematischen Randbedingungen, welche zur Berechnung der
Biegelinie w(x) in den angegebenen 4 Bereichen notwendig sind. (3.5 Punkte)
Hinweis: Verwenden Sie zur eindeutigen Indizierung der Biegelinienbereiche bitte die
eingekreisten Bereichsnummern, also z.B. w2 (x1 = ...) = ....
w1 (x1 = 0) = 0; w1′ (x1 = 0) = 0
w2 (x1 = 2) = 0
w1 (x1 = l) = w2 (x1 = l)
w1′ (x1 = l) = w2′ (x1 = l)
w2′ (x1 = l) = w4′ (x2 = l)
w3 (x2 = 0) = 0; w3′ (x2 = 0) = 0
w3 (x2 = l/2) = w4 (x2 = l/2)
w4 (x2 = l) = u(x1 = l) = 0
da dehnstarre Stäbe
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Aufgabe 1 (Seite 2 von 3)
b)
Der nebenstehende elastische Balken (Biegesteifigkeit EI) ist mittels eines elastischen Stabs (Dehnsteifigkeit EA) gelagert
und mit einer parabolischen, zur Mitte des
Balkens symmetrischen Streckenlast q(x) beaufschlagt. Die Funktion der Streckenlast ist
mit
2
x
x 1
q(x) = 4 q0 2 − +
l
l
4
q(x)
A
x
EI
z
EA
l/2
l
gegeben. Es soll die Biegelinie des Balkens
bestimmt werden.
Berechnen Sie zunächst die Resultierende FR der Streckenlast sowie die senkrechte Lagerreaktion im linken Auflager Az und die Stabkraft S. (2 Punkte)
Hinweis: Schneiden Sie dazu die Stabkraft als Druckkraft frei und berücksichtigen
Sie im Punkt A die positiv angenommene z-Richtung!
1
q0 l
3
1
Az = − q0 l
6
FR =
S=
1
q0 l
6
Geben Sie nun sämtliche zur Lösung der Biegelinien-Differentialgleichung vierter Ordnung
nötigen kinematischen und dynamischen Randbedingungen an. (2.5 Punkte)
Bestimmung von 4 Konstanten (andere dynamische RB möglich):
Q(0) = −Az = −EI w ′′′ (0)
M(0) = 0 = −EI w ′′ (0)
w(0) = 0
q0 l2
S lStab
=
w(l) =
EA
12 EA
1
⇔ EI w ′′′ (0) = Az = − q0 l
6
′′
⇔ w (0) = 0
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Aufgabe 1 (Seite 3 von 3)
Geben Sie ausgehend von der Biegelinien-Differentialgleichung vierter Ordnung die folgenden Funktionen unter Verwendung allgemeiner, nicht spezifizierter Integrationskonstanten an. (2 Punkte)
x2 x 1
EI w (x) = 4 q0 2 − +
= q(x)
l
l
4
3
x2 x
x
′′′
+ C1
−
+
EI w (x) = 4 q0
3 l2 2 l 4
4
x3 x2
x
′′
+ C1 x + C2
−
+
EI w (x) = 4 q0
12 l2 6 l
8
5
1
x4
x3
x
′
+
−
+
C1 x2 + C2 x + C3
EI w (x) = 4 q0
60 l2 24 l 24
2
6
1
x5
x4
1
x
+ C1 x3 + C2 x2 + C3 x + C4
−
+
EI w(x) = 4 q0
2
360 l
120 l 96
6
2
′′′′
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Aufgabe 2 (Seite 1 von 3)
Das nebenstehende, zur z-Achse symmetrische Balkenprofil sei als dünnwandig (t ≪ a)
anzunehmen. Der Schwerpunkt befindet sich
im angegebenen Abstand von a/3 von der
Profilmittellinie des waagerechten oberen
Teils.
a
NF
a/3
y
S
z
t
a
a/4
z/2
a)
Berechnen Sie die auf die angegebenen Hauptachsen bezogenen Flächenträgheitsmomente
Iy und Iz des Profils. (2 Punkte)
Iy =
1 3
a t
3
Iz =
7 3
a t
12
Für den obigen Querschnitt sind die Verhältnisse zwischen den Biegemomenten My und
Mz sowie der Normalkraft N unter einer gegebenen Belastung zu
Mz =
7
My
2
und
N=
9
My
2a
gegeben. Berechnen Sie die Funktion der neutralen Faser y N F (z) (2 Punkte), tragen Sie
diese in den obigen Profilquerschnitt ein (1 Punkt) und bestimmen Sie den Ortsvektor ~rmax = y ∗ ~ey + z ∗ ~ez des Punktes der betragsgrößten Normalspannung im gegebenen
Koordinatensystem. (1 Punkt)
y N F (z) =
1
1
z+ a
2
4
a
2a
~rmax = − ~ey +
~ez
2
3
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Aufgabe 2 (Seite 2 von 3)
b)
Für das abgebildete, zur y-Achse symmetrische, rechtwinklige und dünnwandige (t ≪ b)
Profil ist das Flächenträgheitsmoment Iy zu
Iy =
yS
t
b3 t
3
y
gegeben. Das Profil wird im gezeigten Querschnitt in z-Richtung durch eine Querkraft Q
belastet; die Lage des Profilschwerpunkts S
ist zu
S
Q
z
b
b
yS = √
2 2
s
gegeben.
Skizzieren Sie qualitativ den Verlauf der Schubspannung τ (s) für das gesamte Profil unter
Angabe des Polynomgrads p. (1 Punkt)
p=2
S
für korrekten Verlauf (inkl. richtiger Krümmung!) der Schubspannung
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Aufgabe 2 (Seite 3 von 3)
Berechnen Sie den Verlauf der Schubspannung τ (s) für den unteren Schenkel in Abhängigkeit der lokalen Koordinate s. (2 Punkte)
si
3Qs h
b−
τ (s) = √
2
2 b3 t
Geben Sie die Stelle yM des Schubmittelpunkts für das obige Profil mit Bezug auf den
gegebenen Schwerpunkt an. (1 Punkt)
Da beide Schenkel des Profils gerade sind und sich in einem Punkt schneiden, muss
dieser der Schubmittelpunkt sein. Damit lässt sich dieser ohne Rechnung zu
yM = yS
bestimmen.
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Aufgabe 3 (Seite 1 von 3)
Aufgabenteil a)
Der dargestellte Rahmen (Biegesteifigkeit EI, Dehnsteifigkeit EA → ∞) wird bei A
und C von einem Loslager und bei B von einem Festlager gestützt. Im Punkt C greift
ein äußeres Moment M an. Die Verbindungsstellen sind als biegestarr anzunehmen. Die
Auflagerreaktion in C wird als statisch Unbekannte X gewählt. Verwenden Sie die angegebenen Koordinatensysteme sI , sII und sIII .
C III
M
sIII
y
II
sI
x
A
B
I
l
sII l
l
Zeichnen Sie die Freikörperbilder für das ”0”-System und das ”1”-System. (2 Punkte)
”0”-System
M
Bx
Ay
By
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Aufgabe 3 (Seite 2 von 3)
”1”-System
1
Bx
Ay
By
Bestimmen Sie die Momentenverläufe in den Teilbereichen I, II und III für das ”0”System in Abhängigkeit der äußeren Last. (1.5 Punkte)
M0I (sI ) =
M
sI
2l
M0II (sII ) = −M
M0III (sIII ) = −M
Bestimmen Sie die Momentenverläufe in den Teilbereichen I, II und III für das ”1”System in Abhängigkeit der ”1”-Last. (1.5 Punkte)
1
M1I (sI ) = − 1sI
2
M1II (sII ) = 1l
M1III (sIII ) = 1sIII
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Aufgabe 3 (Seite 3 von 3)
Aufgabenteil b)
Verwenden Sie in diesem Aufgabenteil die folgenden (fiktiven) Momentenverläufe in den
Teilbereichen I, II und III für das ”0”-System aus Aufgabenteil a)
M̂0I (sI ) = M
M̂0II (sII ) = 3M + 2
M̂0III (sIII ) = 5
M
sII
l
M
sIII
l
und für das ”1”-System aus Aufgabenteil a)
M̂1I (sI ) = −2sI
M̂1II (sII ) = 7 l
M̂1III (sIII ) = 5 [sIII − l]
Rechnen Sie die Einflusszahlen α10 und α11 aus. (4 Punkte)
α10 =
119
l2
M
6
EI
α11 = 68
l3
EI
Rechnen Sie die statisch Unbekannte X aus. (1 Punkt)
X =−
7 M
24 l
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Aufgabe 1 (Seite 1 von 3)
a)
Das dargestellte Balkensystem (Biegesteifigkeit EI) weist im Punkt A eine Einspannung
sowie im Punkt B und C ein Vollgelenk auf. Die zusätzlich mit den Balken verbundene Pendelstütze 1 besitzt die Dehnsteifigkeit EA, während Pendelstütze 2 als dehnstarr
(EA → ∞) anzusehen ist.
EA
I
A
II
x
y
1
EI
B
IV
III
C
EA → ∞
z
l
l
l
2
l
Stab 1 wird nun einer Längenänderung ∆L ausgesetzt. Nennen Sie sämtliche kinematischen (geometrischen) Rand- und Übergangsbedingungen in den Bereichen I (0 ≤ x ≤ l),
II(l < x ≤ 2 l), III(2 l < x ≤ 3 l) und IV(3 l < x ≤ 4 l) bezogen auf das vorgegebene
Koordinatensystem.
wI (x = 0) = 0
wI′ (x = 0) = 0
wII (x = 2 l) = wIII (x = 2 l) = ∆L
′
wII′ (x = 2 l) = wIII
(x = 2 l)
wI (x = l) = wII (x = l)
∆L im KOS positiv nach unten.
wIII (x = 3 l) = wIV (x = 3 l)
wIV (x = 4 l) = 0
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Aufgabe 1 (Seite 2 von 3)
b)
Ein beidseitig eingespannter Balken wird mit einer linearen Linienlast im Bereich 0 ≤ x ≤
L und einer konstanten Linienlast q0 im Bereich L ≤ x ≤ 2L belastet. Die Auflagerreaktionen am Einspannpunkt A seien dabei mit VA und MA gegeben.
q0
A
y
MA VA
z
x
L
L
Bestimmen Sie die Biegemomente MI (x) und MII (x) in den Bereichen (0 ≤ x < L) und
(L < x ≤ 2L).
M(x)I (0 ≤ x < L) = VA x − MA −
q0x3
6L
q0 L
x − 23 L −
M(x)II (L < x ≤ 2L) = VA x − MA −
2
(x − L)2 q0
2
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Aufgabe 1 (Seite 3 von 3)
Nun seien die Biegemomente konkret durch:
M(x)I = −
qo x3 11qo Lx 19qo L2
+
−
6L
20
80
M(x)II = −
qo x2 21qo Lx 97qo L2
+
−
2
20
240
vor gegeben. Geben Sie die Funktionen der Biegelinie in den Bereichen I(0 ≤ x < L) und
II(L < x ≤ 2l) mit noch nicht spezifizierten Integrationskonstanten an.
x3
57
qo 2
x L 11x − 2 − L + C1 x + C2
−EIwI (0 ≤ x < L) =
120
L
4
q0 Lx2
−EIwII (L < x ≤ 2L) =
24
21
x2 97L
x−
−
5
L
20
+ C3 x + C4
Geben Sie die für die von Ihnen verwendeten Integrationskonstanten an. Hinweis: Die
Übergangsbedingungen an der Stelle x = L sind für die Lösung dieser Aufgabe irrelevant,
da sie durch die Funktionen der Biegemomente a priori erfüllt werden.
C1 = 0
C2 = 0
C3 = −
C4 =
1
q0 L3
24
1
q0 L4
120
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Aufgabe 2 (Seite 1 von 3)
Der dargestellte Querschnitt mit der Wanddicke t bzw. 2 t ist als dünnwandig anzunehmen, t ≪ a. Der Flächenschwerpunkt befindet sich im Abstand von zS = 12/5 a von der
Oberseite des Profils.
4a
t
t
t
t
zS
a
t
y
4a
S
z
t
t
a
2t
2t
a)
Bestimmen Sie das Flächenträgheitsmoment Iywaag. der beiden waagerechten Teile des
Querschnitts bezüglich des eingezeichneten Schwerpunktkoordinatensystems.
Iywaag. =
1088 3
a t
25
b)
Bestimmen Sie das Flächenträgheitsmoment Iy des gesamten Querschnitts bezüglich des
eingezeichneten Schwerpunktkoordinatensystems.
Iy =
892 3
a t
15
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Aufgabe 2 (Seite 2 von 3)
Der dargestellte zur y-Achse symmetrische Querschnitt mit der einheitlichen Wanddicke
t ist als dünnwandig anzunehmen, t ≪ a.
a
s1
s2
60◦
y
2a
S
Wanddicke t
z
60
◦
a
c)
Bestimmen Sie das statische Moment Sy (s1 ) für den Teilbereich 0 ≤ s1 ≤ a.
1
1
Sy (s1 ) = − a t s1 − t s21
2
4
1
1
a t s1 + t s21
2
4
d)
Bestimmen Sie das statische Moment Sy (s2 ) für den Teilbereich 0 ≤ s2 ≤ 2 a.
1
3
Sy (s2 ) = − a2 t − a t s2 + t s22
4
2
3 2
1
a t + a t s2 − t s22
4
2
e)
Das Flächenträgheitsmoment des Querschnitts beträgt Iy = 11/6 a3 t und die in z-Richtung
wirkende Querkraft ist gegeben als Q. Geben Sie den maximalen Wert der Schubspannung
τmax (Q, a, t) für den gegebenen Querschnitt an.
15 Q
τmax (Q, a, t) =
22 a t
15 Q
−
22 a t
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Aufgabe 2 (Seite 3 von 3)
Der dargestellte zur y-Achse symmetrische Querschnitt mit der einheitlichen Wanddicke
t ist als dünnwandig anzunehmen.
Wanddicke t
y
b
4b
z
b
4b
f)
Zeichnen Sie qualitativ die Schubspannungsverteilung für den Querschnitt und kennzeichnen Sie qualitativ die Lage des Schubmittelpunktes M.
M
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Aufgabe 3 (Seite 1 von 4)
a)
Der auf der linken Seite dargestellte Rahmen (Biegesteifigkeit EI, Dehnsteifigkeit EA →
∞) besteht aus einem Teilstück der Länge 2l und zwei Teilstücken der Länge l. Die Verbindungsstellen sind als biegestarr anzunehmen. In der Mitte des oberen Teilstücks greift
eine Einzellast F an. Im rechten Bild ist ein statisch bestimmtes Ersatzsystem dargestellt, bei dem das linke untere Lager entfernt und die Einzelkraft F ∗ eingeführt wurde.
Mit Hilfe des Satzes von Castigliano ist diese Lagerkraft zu bestimmen. Verwenden Sie
die angegebenen Koordinatensysteme.
Ersatzsystem:
F
F
z2
x1
x2
z1
F∗
l
z3
x3
l
l
Welche allgemeine Bedingung wird zur Bestimmung der Kraft F ∗ benötigt? (Hinweis: Es
muss noch nichts berechnet werden!) (0.5 Pkt)
∂Π
=0
∂F ∗
Zur Bestimmung der Lagerkraft werden die
∗
Biegemomentenverläufe M F und M F aufgrund der Kräfte F und F ∗ bezüglich des Ersatzsystems benötigt. Der Biegemomentenverlauf M F wurde bereits bestimmt und ist
rechts angegeben.
MF
F
2
F
Fl
2
F
2
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Aufgabe 3 (Seite 2 von 4)
Zeichnen Sie den Biegemomentenverlauf M F aufgrund der Kraft F ∗ in die linke Zeichnung
∗
ein. Zudem soll die Ableitung des Biegemomentenverlaufs nach der Kraft F ∗ (M̄ F ) rechts
eingezeichnet werden. Die Lagerkräfte müssen nicht mit angegeben werden. (1.5 Pkt)
∗
MF
∗
M̄ F
∗
l
F ∗l
1
F∗
l
F ∗l
Zur Bestimmung der partiellen Ableitung der Formänderungsenergie Π nach der Kraft F ∗
müssen im hier betrachteten Fall mehrere Integrale aufgestellt und ausgewertet werden.
∗
∗
Geben Sie die Integrale als Funktion von M F , M F , EI und M̄ F an ohne die Funktionen
einzusetzen. Geben Sie ebenfalls die Integrationsgrenzen an. (1.0 Pkt)
∂Π
=
∂F ∗
ˆl
0
M F M̄ F
dx1 +
EI
∗
ˆl
M F M̄ F
dx1 +
EI
0
∗
∗
ˆl
M F M̄ F
dx2 +
EI
∗
∗
0
ˆl
M F M̄ F
dx3
EI
∗
∗
0
Setzen Sie nun die Funktionen ein und integrieren Sie. Geben Sie das Ergebnis der Integration für jedes Integral separat an. (2.0 Pkt)
∂Π
F l3
F ∗ l3 F ∗ l3 F ∗ l3
=
+
+
+
∂F ∗
6EI
3EI
EI
3EI
Berechnen Sie nun die Lagerkraft F ∗ als Funktion von F . (1.0 Pkt)
F∗ =
F
10
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Aufgabe 3 (Seite 3 von 4)
b)
Der nebenstehende Rahmen (Biegesteifigkeit
EI, Dehnsteifigkeit EA → ∞) besteht
aus einem Teilstück der Länge l und zwei
Teilstücken der Länge 2l. Das rechte untere
Ende des Rahmens ist fest eingespannt. Die l
Ecken sind als biegestarr anzunehmen. Am
linken unteren Ende greift eine Kraft F in
horizontale Richtung an. Mit Hilfe des Satzes
von Castigliano ist die Vertikalverschiebung
z ∗ des linken oberen Eckpunktes (x2 = 0) zu
bestimmen. Verwenden Sie die angegebenen
Koordinatensysteme.
2l
z3
x2
z2
x1
x3
F
2l
z1
Um die Vertikalverschiebung für x2 = 0 bestimmen zu können wird eine zusätzliche virtuelle Kraft F ∗ eingeführt, die in positive z2 Richtung zeigt. Welchen Wert hat diese Kraft?
(0.5 Pkt)
F∗ = 0
Zur Bestimmung der Verschiebung z ∗ wird der Biegemomentenverlauf M F aufgrund der
∗
Kraft F und der Biegemomentenverlauf M̄ F aufgrund einer “1“–Kraft in Richtung von
F ∗ benötigt. Der Biegemomentenverlauf M F ist links angegeben. Zeichnen Sie den Biege∗
momentenverlauf M̄ F und die “1“–Kraft in die rechte Skizze ein. Weitere Lagerreaktionen
müssen nicht angegeben werden. (1.5 Pkt)
MF
M̄ F
−F l
−F l
F
FL
∗
1
−2l
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Aufgabe 3 (Seite 4 von 4)
Die partielle Ableitung der Formanderungsenergie Π nach der Kraft F ∗ ergibt die Verschiebung z ∗ . Zur Bestimmung dieser Ableitung müssen mehrere Integrale aufgestellt und
∗
ausgewertet werden. Geben Sie die Integrale als Funktion von M F , EI und M̄ F an ohne
die Funktionen einzusetzen. Geben Sie ebenfalls die Integrationsgrenzen an. (1.0 Pkt)
∂Π
z∗ =
=
∂F ∗
ˆl
0
M F M̄ F
dx2 +
EI
∗
ˆl
0
M F M̄ F
dx3 +
EI
∗
ˆ2l
M F M̄ F
dx3
EI
∗
l
Setzen Sie nun die Funktionen ein und geben den Wert für die Verschiebung z ∗ an. (1.0
Pkt)
z∗ =
2F l3
EI
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Aufgabe 1 (Seite 1 von 2)
a)
Das dargestellte Balkensystem weist im Punkt A eine Einspannung sowie im Punkt B
ein Vollgelenk auf. Die zusätzlich mit den Balken verbundene Pendelstütze 1 besitzt die
Dehnsteifigkeit EA, während Pendelstütze 2 als dehnstarr (EA → ∞) anzusehen ist.
2
I
A
y
III
II
EA → ∞
B
x
1
z
EA
l
l
l
Stab 1 wird nun einer Längenänderung ∆l ausgesetzt. Nennen Sie sämtliche kinematsichen
(geometrischen) Rand- und Übergangsbedingungen in den Bereichen I (0 ≤ x ≤ l), II
(l ≤ x ≤ 2 l) und III (2 l ≤ x ≤ 3 l) bezogen auf das vorgegebene Koordinatensystem.
wI (0) = 0
wI′ (0) = 0
wII (2 l) = wIII (2 l)
wI (l) = −∆l
wIII (3 l) = 0
wII (l) = wI (l) = −∆l
wII′ (l) = wI′ (l)
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Aufgabe 1 (Seite 2 von 2)
b)
Für das nun vorgegebene, durch eine konstante Linienkraft q0 belastete System wurden die Funktionen des Biegemomentes zu
MyI = −
1
q0 [24 x2 −39 x l+11 l2 ] ,
48
q0
A
0≤x≤l
y
x I
II
l
l
B
z
und
MyII = −
1
q0 l [9 x − 13 l] ,
48
l ≤ x ≤ 2l
bestimmt.
Geben Sie die Funktionen der Biegelinie in den Bereichen I (0 ≤ x ≤ l) und II (l ≤ x ≤ 2 l)
mit noch nicht spezifizierten Integrationskonstanten an.
wI (x) =
q0
[4 x4 − 13 x3 l + 11 x2 l2 ] + C1 x + C2
96 EI
q0
wII (x) = 96 EI
[3 x3 l − 13 x2 l2 ] + C3 x + C4
Nennen Sie die zur eindeutigen Berechnung der Biegelinie notwendigen Randbedingungen.
Hinweis: Die Übergangsbedingungen an der Stelle x = l sind für die Lösung dieser
Aufgabe irrelevant, da sie durch die Funktionen der Biegemomente a priori erfüllt werden.
wI (0) = 0
wI′ (0) = 0
wII (2 l) = 0
′
wII
(2 l) = 0
Geben Sie die Werte für die von Ihnen verwendeten Integrationskonstanten an.
C1 = 0
C2 = 0
q l3
C3 = 6 0EI
q l4
C4 = − 240EI
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Aufgabe 2 (Seite 1 von 3)
a)
Der dargestellte, vertikale Träger (Länge l,
Biegesteifigkeit EI) wird durch eine linear
anwachsende Streckenlast (Maximalwert q0 )
belastet.
x
l
Unter Verwendung des Satzes von Castigliano soll die Verdrehung ϕ des oberen Balkenendes (x = 0) berechnet werden.
q0
Skizzieren Sie den aus der Streckenlast resultierenden Biegemomentenverlauf M q0 (links)
sowie den aus der hier notwendigen virtuellen Größe resultierenden Biegemomentenverlauf
M̄ (rechts). Zeichnen Sie diese virtuelle Größe ebenfalls in die rechte Skizze ein. Geben Sie
jeweils den Polynomgrad p der Funktion der Biegemomente sowie den Extremwert Mext
für beide Fälle an.
M q0
M̄
+
z
pq 0 = 3
x
1
q0
Mext
= q0 l2
6
p̄ = 0
P2
M oder “1”
∗
M̄ext = M ∗ oder 1
P1
Geben Sie sowohl die allgemein gültige Berechnungsvorschrift (Bruchterm) sowie den Integralausdruck zur Berechnung der gesuchten Verdrehung an. Verwenden Sie dazu die oben
angegebenen allgemeinen Bezeichnungen der Biegemomentenfunktionen. Tragen Sie auch
die Integrationsgrenzen ein.
∂Π
ϕ=
=
∂M ∗
ˆ
0
l
M q0 M̄
dx
EI
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Aufgabe 2 (Seite 2 von 3)
Berechnen Sie die Verdrehung ϕ des Balkenendes (x = 0).
ϕ=
q0 l3
24 EI
b)
Ein Kragträger der Biegesteifigkeit EI1 ist
über eine Pendelstütze (Dehnsteifigkeit EA)
mit einem Träger (Biegesteifigkeit EI2 ) zwischen zwei Stützen verbunden. Das freie Ende des oberen Trägers wird durch eine Einzelkraft F belastet.
F
EI1
x1
EA
x3
Für dieses System soll nun die in der Pendelstütze wirkende Stabkraft S berechnet werden.
l
EI2
x2
l
l
Die Verläufe des allein aus der Kraft F resultierenden Biegemomentes M F (x1 ) sowie
des allein aus der unbekannten Stabkraft S resultierenden Biegemomentes M S (x1 ), der
Normalkraft N(x3 ) und des Biegemomentes M S (x2 ) sind wie folgt gegeben:
M S (x1 )
M F (x1 )
M S (x2 )
N(x3 )
1
Sl
2
Sl
−2F l
x1
x1
x3
−S
x2
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Aufgabe 2 (Seite 3 von 3)
Geben Sie sowohl die zur Bestimmung der Stabkraft S notwendige allgemein gültige Bedingung als auch den Integralausdruck unter Verwendung der oben genannten allgemeinen
Bezeichnungen der Schnittgrößenfunktionen an. Beachten Sie dabei, dass die Schnittgrößenverläufe für die virtuelle Kraft S = 1“ durch M̄ S (x1 ), N̄(x3 ) sowie M̄ S (x2 ) gekenn”
zeichnet werden sollen. Geben Sie auch jeweils die Integrationsgrenzen an.
∂Π
=0 =
∂S
ˆ 2l S S
M F M̄ S (x1 )
M M̄ (x1 )
dx1 +
dx1
EI1
EI1
0
0
ˆ l S
ˆ 2l S S
N N̄(x3 )
M M̄ (x2 )
dx2 +
dx3
+
EI2
EA
0
0
ˆ
2l
Die Verhältnisse zwischen den Biege- und Dehnsteifigkeiten der einzelnen Strukturen sind
zu
EI2
= 2,
EI1
EA
12
= 2.
EI1
l
vorgegeben. Geben Sie die oben angegebene Bedingung für die Berechnung der Stabkraft
S nun in ausintegrierter Form unter Verwendung dieser Zusammenhänge an. Lösen Sie
nicht nach der Stabkraft S auf!
1 1
Sl l l
1 F l3
1 F l3
1 Sl3
Sl
−
+
+2 3 2 2 +
2 EI1 3 EI1 3 EI1
EI2
EA
3
3
3
3
5 Fl
1 Sl
1 Sl
Sl
= −
+
+
+
6 EI1 3 EI1 6 2 EI1 12 EI1
0 = −
Geben Sie abschließend den Wert der Stabkraft S an.
5
S= F
3
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Aufgabe 3 (Seite 1 von 3)
Der dargestellte Querschnitt mit der einheitlichen Wandstärke t ist als dünnwandig anzunehmen. Der Flächenschwerpunkt befindet sich im Abstand zS = 11a/12 von der Oberseite
des Profils.
zS =
11a
12
a
y
S
a
Wandstärke t
z
3a
a)
Bestimmen Sie das Flächenträgheitsmoment Iy des Querschnitts bezüglich des eingezeichneten Schwerpunktskoordinatensystems.
Iy =
23 3
a t
24
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Aufgabe 3 (Seite 2 von 3)
Der dargestellte zur y-Achse symmetrische Querschnitt mit der einheitlichen Wandstärke
t ist als dünnwandig anzunehmen. Das Flächenträgheitsmoment bezüglich des vorgegebenen Schwerpunktkoordinatensystems ist zu Iy = t d2 [b + d3 ] bestimmt worden.
b
s1
d
s2
45◦
y
s3
S
45◦
z
s4
Wandstärke t
b)
Bestimmen Sie das statische Moment Sy (s1 ) für den Teilbereich 0 ≤ s1 ≤ b.
1
Sy (s1 ) = √ d t s1
2
Bestimmen Sie das statische Moment Sy (s2 ) für den Teilbereich 0 ≤ s2 ≤ d.
s22
1
Sy (s2 ) = √ t d[b + s2 ] −
2
2
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Aufgabe 3 (Seite 3 von 3)
c)
Für den Querschnitt aus Aufgabenteil b) wurde die Schubspannungsverteilung gemäß
der folgenden Skizze bestimmt. Das Flächenträgheitsmoment bezüglich des vorgegebenen
Schwerpunktkoordinatensystems lautet Iy = t d2 [b + d3 ].
τ (s2 = 0) = τ (s1 = b)
τ (s1 = 0) = 0
τ (s2 = d) = τ (s3 = 0)
ȳ
z̄
τ (s4 = b) = 0
τ (s3 = d) = τ (s4 = 0)
τ (s2 = 0) = τ (s1 = b) = τ (s3 = d) = τ (s4 = 0) = √
τ (s2 = d) = τ (s3 = 0) = √
Qb
2 t d [b + d3 ]
Q [b + d2 ]
2 t d [b + d3 ]
Geben Sie die Ortskoordinaten des Schubmittelpunktes M bezüglich des vorgegebenen
ȳ, z̄-Koordinatensystems an.
ȳM =
b2
2 b + d3
z̄M = 0
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Aufgabe 1 (Seite 1 von 3)
Das dargestellte Blech (Breite b, Höhe h,
Dicke d) wird in eine Prüfmaschine gespannt
und in der x-y-Ebene belastet, sodass sich ein
homogener ebener Spannungszustand einstellt. Anschließend werden die Hauptspannungen σI und σII (mit σI > σII ) bestimmt.
Die Messung ergibt, dass die Hauptspannungsachsen im Vergleich zum gegebenen xy-System um 45◦ gedreht sind. Die Werte der
Hauptspannungen werden von der Prüfmaschine als Vielfache eines Basiswertes σ0 > 0
ausgegeben. In dem vorliegenden Fall betragen die gemessenen Werte σI = 3 σ0 und
σII = −2 σ0 . Das Blech besteht aus einem
linear elastischen, isotropen Werkstoff (EModul E = 210 GPa, Querkontraktionszahl
ν = 0.3).
h
d
y
x
b
σII
σI
45◦
a)
Wie groß ist die maximale im Blech auftretende Schubspannung τmax in Abhängigkeit des
Basiswertes σ0 ?
τmax = 5/2 σ0
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Aufgabe 1 (Seite 2 von 3)
b)
Zeichnen Sie den Mohrschen Spannungskreis für den gegebenen Spannungszustand und
beschriften Sie die markanten Punkte σI , σII , |τmax |.
τ
|τmax |
σ0
M
σII
σ0
σ
σI
c)
Welche Kraftkomponente Fy in y-Richtung muss von der Prüfmaschine aufgebracht werden?
Fy =
σ0
2
bd
d)
Welche Dehnungen εxx , εyy , εzz stellen sich im Blech ein, wenn im gegebenen x-y-Koordinatensystem ein ebener Spannungszustand mit σxx = 200 MPa, σyy = −50 MPa, τxy =
0 MPa vorliegt?
εxx = 0, 00102
εyy = −0, 00052
εzz = −0, 00021
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Aufgabe 1 (Seite 3 von 3)
e)
Im Blech befindet sich eine um 30◦ relativ zur x-Achse gedrehte Schweißnaht. Bestimmen Sie im dargestellten x̄-ȳ-System
die Normalspannung σȳ ȳ und die Schubspannung τx̄ȳ in der Schweißnaht sowie die
von-Mises-Vergleichsspannung σvM . Gegeben
sind die Spannungen σxx = 200 MPa, σyy =
−50 MPa, τxy = 0 MPa bezüglich des gegebenen x-y-Systems.
ȳ
y
x̄
30◦
x
σȳȳ = 12, 5 MPa
τx̄ȳ = −108, 25 MPa
σvM = 229, 13 MPa
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Aufgabe 2 (Seite 1 von 2)
Der in folgender Abbildung dargestellte horizontale Balken 1 (Länge 3 l, Masse 3 m, EModul E, Flächenträgheitsmoment I) wird durch sein Eigengewicht sowie durch einen
mit ihm im Punkt D starr verbundenen, starren Körper (Masse 6 m, Länge l/3) belastet.
Im Punkt C ist Stab 1 an den masselosen Stab 2 (Länge l, E-Modul E, Querschnittsfläche
A) angelenkt.
2l
1
A
z1
C
D
EI, 3 m
x1
l/3
l
6m
E
EA
l
2
g
B
x2
z2
a)
Bestimmen Sie die unten angegebenen Schnittgrößenfunktionen unter Verwendung der
vorgegebenen lokalen Koordinatensysteme. Die hinsichtlich der positiven Richtung auf
die jeweiligen Koordinatensysteme bezogenen Auflagerkräfte sind als Az1 = 11/4 m g und
Bx2 = 47/4 m g vorgegeben.
Geg.: E, I, m, g, l, Az1 = 11/4 m g, Bx2 = 47/4 m g
x +
M(x1 ) = −mg ( 11
4 1
x21
)
2l
M(x1 ) = − mg
(94 l − 36 x1 +
4
N(x2 ) = − 47
mg
4
0 ≤ x1 ≤ 2 l
2x21
)
l
2 l ≤ x1 ≤ 3 l
0 ≤ x2 ≤ l
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Aufgabe 2 (Seite 2 von 2)
b)
Geben Sie sämtliche zur eindeutigen Bestimmung der Biegelinie notwendigen kinematischen Bedingungen (Rand- und Übergangsbedingungen) für den horizontalen Stab 1 an.
w1 (x1 ) = 0
= 2l) = w2′ (x1 = 2l) w1 (x1 = 2l) = w2 (x1 = 2l)
u(x2 = 0) = 0
u(x2 = l) = −w1 (x1 = 2l)
w1′ (x1
Bestimmen Sie die Biegelinie des Stabes 1 in Form der Funktionen w1 (x1 ) und w2 (x1 ),
ohne dass Sie die darin enthaltenen Konstanten berechnen.
w1 (x1 ) =
mg 11 3
( x
EI 24 1
w2 (x1 ) =
mg 47 2
( lx1
EI 4
+
x41
)
24l
−
3x31
2
+ c1 x1 + c2
+
x41
)
24l
0 ≤ x1 ≤ 2 l
+ c3 x1 + c4
2 l < x1 ≤ 3 l
c)
Für ein anderes Verhältnis der Massen der Teilkörper zueinander ist die Funktion w2 (x1 )
für die Verschiebung in z1 -Richtung im Bereich 2 l ≤ x1 ≤ 3 l durch
w2 (x1 ) = c1 l3 + c2 x1 l2 + c3 x21 l + c4 x31 + c5
x41
l
gegeben. Die Konstanten c1 , c2 , c3 , c4 , c5 sind dabei als bekannt vorauszusetzen. Wie groß
ist die Verschiebung wE des Punktes E in z1 -Richtung?
wE = l3 (c1 +
10
3
c2 + 11 c3 + 36 c4 + 117 c5 )
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Aufgabe 3 (Seite 1 von 3)
a)
Das im Bild gezeigte, geschlossene und zur zAchse symmetrische Hohlprofil ist als dünnwandig anzunehmen. Die in diesem BalkenQuerschnitt wirksame Querkraft Qz wird exzentrisch eingeleitet, so dass zusätzlich ein
Torsionsmoment MT = 3 Qz a wirkt. Die Lage des Schwerpunktes des Profils ist vorgegeben und der Zeichnung zu entnehmen.
Geg.: Qz , h1 = h, h2 = 11/9 h, a, h ≪ a
s1
Qz
h1
4a
s2
y
h1
a
S
z
3a
h2
s3
3a
3a
Bestimmen Sie die von der in der Zeichnung vermaßten Profilmittellinie umschlossene
Fläche AM des Profils.
AM = 36 a2
Berechnen Sie die Schubspannungsverteilung τ (s), welche allein aus dem vorgegebenen
Torsionsmoment MT = 3 Qz a folgt.
τ (s1 ) = MT /[2 AM h] = Qz /[24 a h]
0 ≤ s1 ≤ 5 a
τ (s2 ) = MT /[2 AM h] = Qz /[24 a h]
0 ≤ s2 ≤ 4 a
τ (s3 ) = 9 MT /[22 AM h] = 3 Qz /[88 a h]
0 ≤ s2 ≤ 3 a
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Aufgabe 3 (Seite 2 von 3)
b)
Das in Aufgabenteil a) gezeigte dünnwandige
Profil ist nun im obersten Punkt geschlitzt.
Zudem wird die Querkraft Qz nun symmetrisch eingeleitet. Das Flächenträgheitsmoment des Querschnitts ist durch Iy = 188 a3 h
gegeben.
Qz
s1
h1
Geg.: Qz , h1 = h, h2 = 11/9 h, a, h ≪ a
4a
s2
h1
a
S
y
z
3a
h2
s3
3a
3a
Berechnen Sie die Funktionen des statischen Momentes Sy in Abhängigkeit der lokalen
Koordinaten s1 , s2 und s3 .
Sy (s1 ) = −5 a h s1 + 2/5 h s21
0 ≤ s1 ≤ 5 a
Sy (s2 ) = −15 a2 h − a h s2 + 1/2 h s22
0 ≤ s1 ≤ 4 a
Sy (s3 ) = −11 a2 h + 11/3 a h s3
0 ≤ s1 ≤ 3 a
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Aufgabe 3 (Seite 3 von 3)
Skizzieren Sie den Verlauf der aus der Querkraft Qz resultierenden Schubspannung τ in
Abhängigkeit der lokalen Koordinaten s1 , s2 und s3 , wobei die Krümmung der jeweiligen Funktion eindeutig aus der Zeichnung hervor gehen muss. Geben Sie die Werte der
Schubspannung an den jeweiligen Bereichsgrenzen sowie Extremwerte der Funktion an.
15 Qz
188 a h
a
31 Qz
376 a h
11 Qz
188 a h
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Aufgabe 1 (Seite 1 von 2)
a)
Auf die Oberfläche eines belasteten Bauteils werden 3 Dehnungsmess-Streifen (DMS) in
der dargestellten Anordnung appliziert. Bei Kenntnis der ursprünglichen Länge l0 werden
die jeweiligen Längenänderungen ∆l1 , ∆l2 und ∆l3 der DMS gemessen.
y
l0
3
l0
2
l0
α
x
1
Geben Sie die aus den Messdaten zu bestimmenden Werte der Dehnungskomponenten
εxx , εyy und εxy an.
Geg.: l0 = 10 mm, ∆l1 = 0.05 mm, ∆l2 = 0.03 mm, ∆l3 = −0.025 mm, α = 45◦
εxx = 0.005
εyy = −0.0025
εxy = 0.00175
b)
In einem gleichartigen Versuch wurden für ein isotrop linear elastisches Material (Elastizitätsmodul E, Querkontraktionszahl ν) die folgenden Dehnungskomponenten ermittelt:
εxx =
1
,
300
εyy = −
1
,
500
εxy =
1
2000
Geben Sie die Spannungskomponenten σxx , σyy , σzz sowie τxy unter Annahme eines ebenen
Dehnungszustands an.
Geg.: E = 210000 N/mm2 , ν = 0.25
σxx = 672 N/mm2
σyy = −224 N/mm2
σzz = 112 N/mm2
τxy = 84 N/mm2
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Aufgabe 1 (Seite 2 von 2)
Welchen Wert müsste die Dehnungskomponente εzz im Fall eines ebenen Spannungszustandes (ESZ) aufweisen?
Geg.: E = 210000 N/mm2 , ν = 0.3
1
−4
εESZ
zz = − 1750 = −5.714 · 10
c)
Gegeben ist der folgende zweidimensionale Spannungszustand bezüglich eines kartesischen
Koordinatensystems:
400 150
σxx τxy
MN/m2
=
[σ] =
150 −55
τxy σyy
Berechnen Sie die Hauptnormalspannungen σ1/2 sowie den Rotationswinkel ϕH zwischen
den kartesischen Achsen (x, y) und den Hauptspannungsrichtungen. Alternativ können
Sie auch die Hauptrichtungen in Form von normierten Vektoren angeben.
σ1 = 445 MN/m2
σ2 = −100 MN/m2
ϕH = 16, 7◦
bzw. (alternativ)
n1 =
√10
109
ex +
√3
109
ey ,
3
n2 = − √109
ex +
√10
109
ey
Werten Sie für den oben angegebenen, zweidimensionalen Spannungszustand die Vergleichsspannungen σV gemäß der Festigkeitshypothese nach von Mises aus.
σVvonMises = 502.52 MN/m2
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Aufgabe 2 (Seite 1 von 3)
Ein Balken mit dem dargestellten, dünnwandigen Querschnitt weist eine Beanspruchung
in Form von Schnittgrößen N, Qz , My und Mz auf. Das Material verhält sich isotrop linear
elastisch (Elastizitätsmodul E, Querkontraktionszahl ν). Die Lage des Profil-Schwerpunktes
S ist durch zS = a/4 vorgegeben.
y NF(z)
t
y
zS
S
a
z
t
a/2
a/2
a)
Berechnen Sie die Flächenträgheitsmomente Iy , Iz .
Geg.: zS = a/4, a, t ≪ a
Iy =
at3 +7a3 t
12
≈
7 3
at
12
Iz =
a3 t+at3
12
≈
a3 t
12
b)
Geben Sie für vorgegebene Flächenträgheitsmomente I¯y , I¯z und Schnittgrößen N, My , Mz
die Funktion y(z) der neutralen Faser (NF) an und zeichnen Sie diese qualitativ in die
Skizze der Aufgabenstellung ein.
Geg.: I¯y , I¯z = 2/5 I¯y , A = 48/(5 a2) I¯y , N = 48/5 kN, My = 10 kN a, Mz = 2 kN a, a,
t≪a
y NF(z) = a + 2z
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Aufgabe 2 (Seite 2 von 3)
c)
Für eine andere Beanspruchung des Querschnitts ist die Normalspannung durch
σxx (y, z) = −4 N/m3 y − 4 N/m3 z + 0.25 N/m3 a
sowie die Lage der neutralen Faser durch
y NF(z) = −z +
a
4
gegeben. Identifizieren Sie den Punkt P ∗ anhand dessen Koordinaten y P , z P , in welchem
die betragsmäßig größte Normalspannung σmax des Querschnitts vorherrscht und geben
Sie deren Wert an.
Geg.: a
∗
y P ey + z P ez =
∗
∗
−a
e
2 y
+
∗
−a
e
4 z
σmax = 3.25 N/m3 a
d)
Zur Bestimmung der aus Qz folgenden
Schubspannungen sind lokale Koordinaten
s1 , s2 und s3 wie in der Abbildung rechts gezeigt definiert worden. Begründen Sie kurz,
warum insbesondere die Definition für s1 und
s2 sinnvoll ist.
s2
s1
2
s3
1
3
τ (si = 0) = 0 an freien Enden, entspricht
dann Ursprung der lokalen Koordinatensysteme.
Geben Sie die Funktionen des statischen Momentes Sy (s1 ) im Bereich 1 sowie Sy (s3 ) im
Bereich 3 an.
Geg.: a, t
Sy (s1 ) = − 41 a t s1
Sy (s3 ) = 2t s23 − 4t a s3
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Aufgabe 2 (Seite 3 von 3)
Geben Sie zunächst die Stelle des Querschnitts an, an der die maximale Schubspannung
max
τxs
vorherrscht.
Geg.: a
s3 = a
Symax (s3 = a) = − 21 a2 t
⇒
max
Geben Sie weiterhin den Wert der maximalen Schubspannung τxs
an.
4
Geg.: a, Qz /Iy = 16 kN/m
2
max
τxs
= −8 kNm4a
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Aufgabe 3 (Seite 1 von 2)
a)
Ein im Punkt A eingespannter und dehnstarrer Balken (Biegesteifigkeit EIy , Dehnsteifigkeit EA → ∞) ist wie dargestellt belastet.
Die im Punkt C befindliche Ecke ist biegestarr. Die Biegemomentenverläufe sind zu
1
MyI (x1 ) = −F l − q0 l2
2
q0
B
C
x2
II
z2
F
und
1
MyII (x2 ) = −F [l − x2 ] − q0 [l − x2 ]2
2
I
2l
vorgegeben. Geben Sie alle zur Bestimmung
der Biegelinie w(x) notwendigen kinematischen Rand- und Übergangsbedingungen an.
x1
w1 (x1 = 0) = 0
w2 (x2 = 0) = 0
z1
w1′ (x1 = 0) = 0
w1′ (x1 = 2l) = w1′ (x2 )
A
l
Geben Sie die Verschiebung wF des Kraftangriffspunktes in z2 -Richtung an.
Geg.: q0 , F = 1/4 q0 l, EIy , l
wF =
41 q0 l4
24 EIy
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Aufgabe 3 (Seite 2 von 2)
b)
Das System aus Aufgabenteil a) ist nun wie
dargestellt modifiziert worden.
Berechnen Sie die Auflagerreaktion im Punkt
B gemäß der Richtung z2 .
Geg.: q0 , l
q0
B
C
x2
II
z2
4
q0 l
wF = − 27
56 EIy
I
2l
x1
z1
A
l
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