Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen Vorgaben für die Abiturprüfung in den Bildungsgängen des Beruflichen Gymnasiums Anlagen D 1 – D 28 im Jahr 2016 Weiterer Leistungskurs Fach Mathematik Fachbereich Informatik mathe_wlk_inf_abivorgaben2016_130528.doc Seite 1 von 13 Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen 1 Gültigkeitsbereich Die Vorgaben für die Abiturprüfung im Fach Mathematik gelten für folgende Bildungsgänge: Allgemeine Hochschulreife (Mathematik, Informatik) APO-BK Anlage D 21 Informationstechnische Assistentin / AHR Informationstechnischer Assistent / AHR APO-BK Anlage D 3a Die Bildungsgänge sind dem Fachbereich Informatik zugeordnet. 2 Vorgaben für die schriftliche Abiturprüfung Grundlage für die Vorgaben der zentral gestellten schriftlichen Aufgaben der Abiturprüfung in allen Fächern der (mindestens) dreijährigen AHR - Bildungsgänge des Beruflichen Gymnasiums (APO-BK, Anlagen D 1 – D 28) sind die verbindlichen Vorgaben der Bildungspläne zur Erprobung (RdErl. d. Ministeriums für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen vom 18.06.2007): Teil I: Pädagogische Leitideen Teil II: Didaktische Organisation der Bildungsgänge im Fachbereich Informatik Teil III: Fachlehrplan Mathematik Durch die Vorgaben werden inhaltliche Schwerpunkte festgelegt. Diese inhaltlichen Schwerpunkte sind Konkretisierungen der in den Fachlehrplänen beschriebenen Fachinhalte, deren Behandlung im Unterricht als Vorbereitung auf die schriftliche Abiturprüfung vorausgesetzt wird. Durch diese Schwerpunktsetzungen soll sichergestellt werden, dass alle Schülerinnen und Schüler, die im Jahr 2016 das Abitur in den o. a. Bildungsgängen des Beruflichen Gymnasiums ablegen, über die Voraussetzungen zur Bearbeitung der zentral gestellten Aufgaben verfügen. Die folgenden fachspezifischen Schwerpunktsetzungen gelten für das Jahr 2016. Sie stellen keine dauerhaften Festlegungen dar. mathe_wlk_inf_abivorgaben2016_130528.doc Seite 2 von 13 Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen 3 Verbindliche Unterrichtsinhalte im Fach Mathematik im Fachbereich Informatik für das Abitur 2016 3.1 Inhaltliche Schwerpunkte Analysis (ohne CAS) − Funktionsklassen: ganzrationale Funktionen, Exponentialfunktionen und deren Verknüpfungen − Funktionseigenschaften Kurvenscharen und Parameter in Funktionsvorschriften Abschnittsweise definierte Funktionen Differenzierbarkeit und Stetigkeit Lokale und globale Eigenschaften Tangente und Normale − Aufstellen von Funktionsgleichungen aus Bedingungen Lineare Gleichungssysteme mit bis zu 4 Unbekannten − Extremwertprobleme z. B. minimaler Abstand Punkt – Graph − Integralrechnung Anwendungen des Integrals Flächenberechnung mit Hilfe des Integrals Analysis (mit CAS) − Funktionsklassen: ganzrationale Funktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen zur Basis e und deren Verknüpfungen − Funktionseigenschaften Kurvenscharen und Parameter in Funktionsvorschriften Abschnittsweise definierte Funktionen Differenzierbarkeit und Stetigkeit Lokale und globale Eigenschaften Tangente und Normale − Aufstellen von Funktionsgleichungen aus Bedingungen und natürliche kubische Splines − Extremwertprobleme z. B. minimaler Abstand Punkt - Graph − Integralrechnung Anwendungen des Integrals Flächenberechnung mit Hilfe des Integrals mathe_wlk_inf_abivorgaben2016_130528.doc Seite 3 von 13 Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen Lineare Algebra/Analytische Geometrie − Geraden und Ebenen im IR³ Darstellungsformen von Geraden Darrstellungsformen von Ebenen (Parameter- und Koordinatenform) Schnittpunkte und Schnittgeraden Berechnung von Abständen (Punkt – Punkt) − Projektion dreidimensionaler Objekte in den IR² − Grundlegende Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten, Pfadregeln − Zufallsgröße, Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung − Bedingte Wahrscheinlichkeit, Vier-Felder-Tafeln, Baumdiagramm − Satz von Bayes − Binomialverteilung, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung, einseitiger Hypothesentest inkl. Fehler 1. Art − Normalverteilung als stetige Verteilung Stochastik Zahlentheorie − Nachweis von Gruppeneigenschaften − Grundlagen der Modularen Arithmetik - Modul-Begriff, Kongruenzen - Restklassen mod m inkl. Eigenschaften und Operationen - Eulersche φ-Funktion 3.2 − Euklidischer und Erweiterter Euklidischer Algorithmus in der Form ax+by=ggT(a,b) − Anwendungen der Euklidischen Algorithmen (Bestimmung des ggT, Inversenbestimmung in primen Restklassengruppen) − Satz von Euler-Fermat a•(n) ≡ 1(mod n) − Anwendungen des Satzes von Euler-Fermat (Reduktion großer Exponenten modulo n) − Anwendungen der Zahlentheorie in der Kryptologie (additive Chiffre (Caesar), multiplikative Chiffre, RSA)) Medien/Materialien Siehe Hilfsmittel, Punkt 5 mathe_wlk_inf_abivorgaben2016_130528.doc Seite 4 von 13 Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen 3.3 Formale Hinweise Die mathematische Notation in den Abituraufgaben erfolgt gemäß der Formelsammlung, ISBN 978-3-507-73018-2, Schroedel-Verlag. 3.4 Hinweise zu den Arbeitsaufträgen Ausgewählte Formulierungen für Arbeitsaufträge, die in den zentral gestellten Aufgaben verwendet werden, sind in der folgenden Tabelle definiert, durch Beispiele dokumentiert und den Anforderungsbereichen (I, II und III) zugeordnet. Die konkrete Zuordnung erfolgt immer im Kontext der Aufgabenstellung, wobei eine eindeutige Trennung der Anforderungsbereiche nicht immer möglich ist. Spätestens in der Qualifikationsphase sollten entsprechende Formulierungen der Arbeitsaufträge in den Klausuren und schriftlichen Übungen verwendet werden, um die Schülerinnen und Schüler auf die Abiturprüfung vorzubereiten. Operator AnforderungsErläuterung bereich Beispiel analysieren II - III Sachverhalte, Probleme, Analysieren Sie für a = 0,5 Fragestellungen genauer die folgende Entscheidung untersuchen und struktu- der Unternehmensleitung. rieren. angeben, nennen I - II Objekte, Sachverhalte, Begriffe, Daten ohne nähere Erläuterungen, Begründungen und ohne Darstellung von Lösungsansätzen oder Lösungswegen aufzählen Nennen Sie die verwendete Ableitungsregel. anwenden I – II Einen bekannten Sachverhalt, eine bekannte Methode auf eine neue Problemstellung beziehen Wenden Sie das Newtonverfahren zur Bestimmung der Nullstelle an. aufstellen, bilden I - II Daten nutzen, um sie in einem mathematischen Modell darzustellen Stellen Sie mit Hilfe der gegebenen Daten ein Gleichungssystem auf. mathe_wlk_inf_abivorgaben2016_130528.doc Seite 5 von 13 Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen Operator AnforderungsErläuterung bereich Beispiel begründen II – III Sachverhalte auf Gesetzmäßigkeiten bzw. kausale Zusammenhänge zurückführen – hierbei sind Regeln und mathematische Beziehungen zu nutzen Begründen Sie, dass die gegebenen linearen Abbildungen den Nullpunkt als Fixpunkt haben. berechnen I – II Ergebnisse von einem Berechnen Sie die EigenAnsatz ausgehend durch werte der AbbildungsRechenoperationen gematrix. winnen Ergänzen Sie die fehlenden Werte in der Tabelle. beschreiben I – II Strukturen, Sachverhalte, Beschreiben Sie das VerVerfahren unter Verwen- fahren des Gaußdung der Fachsprache Algorithmus. angemessen wiedergeben bestätigen I – II Aussagen oder Sachver- Bestätigen Sie, dass das halte mathematisch veri- gegebene Integral den fizieren Wert … hat. bestimmen, ermitteln II - III Zusammenhänge bzw. Lösungswege finden und die Ergebnisse formulieren Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes zweier Funktionsgraphen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse. Ermitteln Sie die Ebenengleichung der durch drei Punkte gegebenen Ebene. beurteilen, Stellung nehmen II – III Zu einem Sachverhalt ein eigenständiges Urteil unter Verwendung von Fachwissen und Fachmethoden formulieren und begründen mathe_wlk_inf_abivorgaben2016_130528.doc Beurteilen Sie die Matrixverschlüsselung hinsichtlich ihrer Sicherheit. Nehmen Sie zu den Ergebnissen des Hypothesentests Stellung. Seite 6 von 13 Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen Operator bewerten, deuten beweisen, widerlegen, nachweisen AnforderungsErläuterung bereich I - II II – III Beispiel Die Ergebnisse einer mathematischen Überlegung rückübersetzen auf das ursprüngliche Problem. Umdeuten in eine andere Sichtweise Bewerten Sie die Ergebnisse aus Sicht des Unternehmens. Beweise im mathematischen Sinne unter Verwendung von bekannten mathematischen Sätzen, logischen Schlüssen und Äquivalenzumformungen, ggf. unter Verwendung von Gegenbeispielen und Analogien führen Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass… Definieren Sie auf der Basis der gegebenen Werte eine Funktionsvorschrift. Deuten Sie das Ergebnis aus Sicht eines Informatikers. Beweisen oder widerlegen Sie: Wenn f’(x0) = 0, dann folgt, x0 ist eine Extremstelle. Weisen Sie nach, dass Z7 ein Körper ist. definieren II - III Kontextabhängige, eigenständige Begriffe bzw. Darstellungen festlegen dokumentieren, darstellen I - II Gedankengang bzw. Her- Dokumentieren Sie Ihren leitung der ProblemlöLösungsweg. sung darlegen entscheiden II - III Sich bei Alternativen ein- Entscheiden Sie, welcher deutig und begründet auf Funktionsgraph geeigneeine Möglichkeit festleter ist. gen entwickeln, entwerfen II - III Sachverhalte und Methoden zielgerichtet in einen Zusammenhang bringen, also eine Hypothese, eine Skizze oder ein Modell weiterführen und ausbauen. ergänzen I – II Entwickeln Sie eine Prognose auf der Basis des vorliegenden Datenmaterials. Entwerfen Sie auf der Basis der gegebenen Punkte einen Spline. Eine vorgegebene Rech- Ergänzen Sie die fehlennung, Grafik oder Tabelle den Werte in der Tabelle. vervollständigen. mathe_wlk_inf_abivorgaben2016_130528.doc Seite 7 von 13 Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen Operator AnforderungsErläuterung bereich Beispiel erklären I - II Sachverhalte mit Hilfe eigener Kenntnisse verständlich und nachvollziehbar machen und in Zusammenhänge einordnen Erklären Sie die Bedeutung der Parameter a, b, c und d in der allgemeinen Sinusfunktion. erläutern I – II Strukturen und Zusammenhänge erfassen, in Einzelheiten verdeutlichen und durch zusätzliche Informationen verständlich machen Erläutern Sie die Bedeutung des Fehlers der 1. und 2. Art für diesen Sachverhalt. erstellen I - II Einen Sachverhalt in übersichtlicher, fachlich angemessener Form ausdrücken Erstellen Sie ein Baumdiagramm. II – III Eine Formel oder einen Zusammenhang aus bekannten Sachverhalten nachvollziehbar entwickeln Leiten Sie die Formel für das Simpson-Verfahren her. herleiten, formulieren Formulieren Sie für den Kunden auf der Basis eines Hypothesentests eine Entscheidungsregel. interpretieren II – III Zusammenhänge bzw. Ergebnisse begründet auf gegebene Fragestellungen beziehen Interpretieren Sie das Integral aus physikalischer / technischer Sicht. klassifizieren II - III Eine Menge von Objekten nach vorgegebenen oder sinnvoll selbstständig zu wählenden Kriterien in Klassen einteilen Klassifizieren Sie die Funktionen der Schar an Hand charakteristischer Eigenschaften. prüfen, überprüfen II – III Die Gültigkeit einer Aussage, z. B. einer Hypothese oder einer Modellvorstellung, verifizieren, falsifizieren Prüfen Sie die Aussage des Produktionsleiters. mathe_wlk_inf_abivorgaben2016_130528.doc Seite 8 von 13 Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen Operator AnforderungsErläuterung bereich Beispiel skizzieren, graphisch darstellen I – II Wesentliche Eigenschaften von Sachverhalten oder Objekten graphisch darstellen – auch Freihandskizzen möglich übertragen II – III Einen untersuchten Übertragen Sie den LöSachverhalt bzw. allgesungsansatz auf … meingültige Aussagen auf ähnliche Sachverhalte anwenden untersuchen I – II Sachverhalte, Probleme, Fragestellungen nach bestimmten, fachlich üblichen bzw. sinnvollen Kriterien bearbeiten veranschaulichen, verdeutlichen I – II Einen Sachverhalt mit Veranschaulichen Sie den verbalen oder graphiSachverhalt in einem Diaschen Erläuterungen ver- gramm. sehen vereinfachen, umformen I - II Terme, Aussagen, ForVereinfachen Sie den meln mittels geeigneter Ausdruck so weit wie Strategien an den jewei- möglich. ligen Sachverhalt anpassen vergleichen I – II Gemeinsamkeiten, Ähnlichkeiten und Unterschiede ermitteln zeichnen I – II Hinreichend exakte gra- Zeichnen Sie die Ebene phische Darstellungen mit Hilfe der Spurpunkte. von Objekten oder Daten anfertigen zeigen II – III Aussagen oder Sachver- Zeigen Sie, dass die Flähalte unter Nutzung von che durch die y-Achse gültigen Schlussregeln, halbiert wird. Berechnungen bestätigen mathe_wlk_inf_abivorgaben2016_130528.doc Skizzieren Sie auf der Basis Ihrer Ergebnisse den Verlauf der Straßentrassierung. Untersuchen Sie die vorgegebene Projektion des Körpers unter Verwendung Ihres Computeralgebrasystems. Vergleichen Sie die Verfahren der numerischen Integration miteinander. Seite 9 von 13 Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen 4 Bearbeitungszeit für die schriftliche Abiturprüfung Es gelten die Vorgaben der APO-BK § 17 Abs. 2. Die schriftliche Abiturprüfung umfasst 255 Minuten. 5 Hilfsmittel Aufgabensatz 1 (ohne CAS) • Für den Aufgabensatz 1 sind in der Abiturprüfung 2016 zugelassen: - Gedruckte Formelsammlungen der Schulbuchverlage, die keine Beispielaufgaben enthalten. Die Formelsammlungen sind vor Ausgabe an die Schülerinnen und Schüler zu überprüfen. - Tabellierte kumulierte Binomialverteilungen und Normalverteilungen liegen falls benötigt - jedem Aufgabensatz bei. Ein Beispiel ist exemplarisch dem Anhang dieses Dokumentes zu entnehmen. - nicht programmierbare wissenschaftliche Taschenrechner. • Für den Aufgabensatz 1 sind in der Abiturprüfung 2016 nicht zugelassen: - Schulinterne eigene Druckwerke, mathematische Fachbücher und mathematische Lexika, - Computeralgebrasysteme, - Taschenrechner, die über eines der folgenden Leistungsmerkmale verfügen: o Darstellen von Funktionsgraphen o Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen o Numerisches Integrieren oder Differenzieren o Rechnen mit Matrizen und Vektoren Aufgabensatz 2 (CAS-Aufgabensatz) • Für den Aufgabensatz 2 sind in der Abiturprüfung 2016 zugelassen: - Gedruckte Formelsammlungen der Schulbuchverlage, die keine Beispielaufgaben enthalten. Die Formelsammlungen sind vor Ausgabe an die Schülerinnen und Schüler zu überprüfen. - Computeralgebrasysteme (CAS) Das eingesetzte CAS sollte mindestens über folgende Funktionalitäten verfügen: o Wertetabellen erstellen o algebraische Ausdrücke vereinfachen und vergleichen o Gleichungen algebraisch und numerisch lösen o Gleichungssysteme lösen o Matrizenberechnungen durchführen mathe_wlk_inf_abivorgaben2016_130528.doc Seite 10 von 13 Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen o Funktionen algebraisch und numerisch differenzieren und integrieren o Funktionen und Daten zweidimensional graphisch darstellen o Werte der Binomialverteilung und Normalverteilung bestimmen • Für den Aufgabensatz 2 sind in der Abiturprüfung 2016 nicht zugelassen: - 6 Schulinterne eigene Druckwerke, mathematische Fachbücher und mathematische Lexika Hinweise zur Aufgabenauswahl durch die Lehrkraft/ den Prüfling Für die Abiturprüfung 2016 erhält die Schule zwei Aufgabensätze mit je drei Aufgaben: • • eine Aufgabe zur Analysis und zwei Aufgaben aus den drei Bereichen Lineare Algebra/Analytische Geometrie, Zahlentheorie und Stochastik. Kombinationsaufgaben sind möglich. Die Aufgabensätze unterscheiden sich durch den Einsatz der zugelassenen Hilfsmittel (wissenschaftlicher Taschenrechner / CAS). Die jeweilige Fachlehrerin / der jeweilige Fachlehrer entscheidet unter Aufsicht der Schulleitung am Downloadtag, ob für alle Prüflinge ihres/seines Kurses der Aufgabensatz 1 (ohne CAS) oder der Aufgabensatz 2 (mit CAS) zur Verfügung gestellt wird. Nach einer Auswahlzeit von drei Zeitstunden teilt die Fachlehrerin/der Fachlehrer der Schulleitung schriftlich die Entscheidung mit. Diese Entscheidung wird zu den Prüfungsakten genommen. Für die Prüflinge besteht keine Aufgabenauswahl. Sie erhalten keine zusätzliche Auswahlzeit. Sollte sich die Fachlehrerin / der Fachlehrer für den Aufgabensatz mit CAS-Einsatz entscheiden, sind folgende Hinweise zu beachten: • Für eine hinreichende Anzahl von Ersatzsystemen (PC's bzw. Handhelds) ist zu sorgen. • Alle Systeme sind vor der Prüfung in den Urzustand zu versetzen. Zusätzliche Tools bzw. ergänzende Programme sind auf den Systemen nicht zulässig. Die Schule stellt sicher, dass keine Verbindung der Systeme untereinander sowie keine Verbindung der Systeme zum Internet vorhanden sind. • Der Lösungsweg ist von den Schülerinnen und Schülern in der Reinschrift textlich so zu dokumentieren, dass der Gedankengang der Problemlösung vollständig nachvollziehbar ist. Die Dokumentation ist integraler Bestandteil der Problemlösung und geht in die Bewertung der Prüfungsleistung ein. mathe_wlk_inf_abivorgaben2016_130528.doc Seite 11 von 13 Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen • Wird der Computer zum Editieren von Aufgabenlösungen benutzt, muss der Prüfling zum Abschluss einen Computerausdruck seines Lösungstextes durch Unterschrift autorisieren. Die Erstellung des Computerausdrucks ist von der Schule so zu organisieren, dass beim Abgeben der Prüfungsarbeit der unterschriebene Ausdruck vorliegt. Nur der autorisierte Ausdruck ist Bestandteil der Prüfungsarbeit; die elektronische Version (Datei) kann nicht zur Korrektur oder Bewertung herangezogen werden. • Die verwendete Technologie muss in den Prüfungsakten von der Fachlehrerin/dem Fachlehrer mit Angabe des verwendeten Computeralgebrasystems bzw. Handheld-Typs mit der Version bzw. Versionsnummer vermerkt werden. mathe_wlk_inf_abivorgaben2016_130528.doc Seite 12 von 13 Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen Anhang: Tabellierte kumulierte Binomialverteilung exemplarisch für n = 50 Fn,p (k ) = B n,p (0) + ... + B n,p (k ) n k 50 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 k 0,02 3642 7358 9216 9822 9968 9995 9999 0,03 2181 5553 8108 9372 9832 9963 9993 9999 0,04 1299 4005 6767 8609 9510 9856 9964 9992 9999 0,05 0769 2794 5405 7604 8964 9622 9882 9968 9992 9998 0,1 0,125 0052 0013 0338 0103 1117 0418 2503 1138 4312 2346 6161 3935 7702 5637 8779 7165 9421 8339 9755 9121 9906 9579 9968 9817 9990 9928 9997 9974 9999 9991 9997 9999 1/6 0001 0012 0066 0238 0643 1388 2506 3911 5421 6830 7986 8827 9373 9693 9862 9943 9978 9992 9997 9999 0,2 0000 0002 0013 0057 0185 0480 1034 1904 3073 4437 5836 7107 8139 8894 9393 9692 9856 9937 9975 9991 9997 9999 0,25 0000 0000 0001 0005 0021 0070 0194 0453 0916 1637 2622 3816 5110 6370 7481 8369 9017 9449 9713 9861 9937 9974 9990 9996 9999 0,3 0000 0000 0000 0000 0002 0007 0025 0073 0183 0402 0789 1390 2229 3279 4468 5692 6839 7822 8594 9152 9522 9749 9877 9944 9976 9991 9997 9999 1/3 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0005 0017 0050 0127 0284 0570 1035 1715 2612 3690 4868 6046 7126 8036 8741 9244 9576 9778 9892 9951 9979 9992 9997 9999 0,4 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0002 0008 0022 0057 0133 0280 0540 0955 1561 2369 3356 4465 5610 6701 7660 8438 9022 9427 9686 9840 9924 9966 9986 9995 9998 9999 0,98 0,97 0,96 0,95 0,9 0,875 5/6 0,8 0,75 0,7 2/3 0,6 n 0,5 k 0000 49 50 0000 48 0000 47 0000 46 0000 45 0000 44 0000 43 0000 42 0000 41 0000 40 0000 39 0000 38 0002 37 0005 36 0013 35 0033 34 0077 33 0164 32 0325 31 0595 30 1013 29 1611 28 2399 27 3359 26 4439 25 5561 24 6641 23 7601 22 8389 21 8987 20 9405 19 9675 18 9836 17 9923 16 9967 15 9987 14 9995 13 9998 12 n 0,5 k Bei Eingang über die rechte k-Spalte (d. h.: p ≥ 0,5 ) gilt: Fn,p (k ) = 1 − abgelesener Wert mathe_wlk_inf_abivorgaben2016_130528.doc Seite 13 von 13
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