微分積分 I 演習 第 2 回
2016 年 4 月 27 日
演習問題
問題 1. 次の極限が存在すれば求めよ. ただし, a, b は正定数とし，m, n は自然数とする.
1 − cos 2x
x→0
x2
x
x→0 |x|
(i) lim
(ii) lim
(iii)
sin 3x
,
x→π/3 3x − π
xn − an
.
x→a xm − am
lim
(iv) lim
問題 2. 次の関数が R 上連続となるように，定数 a, b を定めよ.
x2 − ax + 2
(i)
x−2
x3 + ax + b
(ii) f (x) =
(x − 1)2
⎧
x
⎪
⎪
⎨ e ,
(iii) f (x) =
ax + b,
⎪
⎪
⎩ sin 2x ,
x
x<1
0≤x≤1
x<0
問題 3. 実数上で定義された次の関数の連続性を調べよ.
⎧
sin x
⎪
⎨
|x|
(i) f (x) =
⎪
⎩0
⎧
⎨x sin 1
x
(ii) f (x) =
⎩0
(x ̸= 0)
(x = 0),
(x ̸= 0)
(x = 0),
問題 4. 方程式 sin x = x/2 は解を少なくとも 3 つ持つことを示せ.
問題 5. 次の関数 f の逆関数 f −1 を求めよ．
(i) f (x) = x2 + 1 (x ≥ 0)
(ii) f (x) =
ex − e−x
(x ≤ 0)
2
問題 6. 以下の表を完成させよ.
√
3
2
− √12
− 12
0
1
2
√1
2
x
√
− 3
−1
− √13
0
Tan−1 x
x
−1
Sin−1 x
−
√
3
2
1
√1
3
1
√
Cos−1 x
1
3
問題 7. 次の値を求めよ．
(i) Tan−1 2 + Tan−1 3
(ii) Sin−1 (sin(1))
(iii) Sin−1 (cos(1))
問題 8. 次の等式を示せ．
(i) sin(Sin−1 x) = x
(ii) cos(Sin−1 x) =
問題 9. 次の等式を示せ．
√
1 − x2
Sin−1 x + Cos−1 x =
2
(iii) tan(Sin−1 x) = √
π
2
(−1 ≤ x ≤ 1)
x
1 + x2