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お茶の水女子大学
2016 年 理（ 数学科） 第 2 問
2
以下では n は 0 以上の整数とする．関係式
H0 (x) = 1;
Hn+1 (x) = 2xHn (x) ¡ H0n (x)
¡
によって多項式 H0 (x); H1 (x); Ý を定め，fn (x) = Hn (x)e
x2
2
とおく．
2
(1) ¡f00
0 (x) + x f0 (x) = a0 f0 (x) が成り立つように定数 a0 を定めよ．
(2) fn+1 (x) = xfn (x) ¡ f0n (x) を示せ．
(3) 2 回微分可能な関数 f(x) に対して，g(x) = xf(x) ¡ f0 (x) とおく．定数 a に対して
¡f00 (x) + x2 f(x) = af(x)
が成り立つとき，
¡g00 (x) + x2 g(x) = (a + 2)g(x)
を示せ．
2
(4) ¡f00
n (x) + x fn (x) = an fn (x) が成り立つように定数 an を定めよ．

平成28年度：解析I小テスト（第3回）