1 目次 第 0 章 確率過程とは? 1 第 1 章 確率論 3 3 1.1 事象と確率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 1.3 1.4 確率変数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 期待値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 多次元確率分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.1 1.4.2 1.5 条件付分布、条件付期待値およびワルドの公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.1 1.5.2 1.6 2 次元確率変数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 多次元確率変数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 条件付分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 条件付期待値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.3 確率変数列のランダム和とワルドの公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 極限定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 第 2 章 ポアソン過程 2.1 27 確率過程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 2.3 到着時間間隔分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ポアソン過程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 第 3 章 再生過程 35 3.1 再生過程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 再生方程式とその応用 3.2.1 3.2.2 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 再生方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 再生方程式の応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 極限定理 (再生定理) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 第 4 章 マルコフ連鎖 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 43 マルコフ連鎖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 状態の分類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 極限確率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 有限マルコフ連鎖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 マルコフ連鎖の応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.5.1 4.5.2 M/G/1 待ち行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 製品の検査 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.5.3 多重アクセスプロトコル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 第 5 章 連続時間マルコフ連鎖 79 連続時間マルコフ連鎖 5.1 5.2 5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 出生死亡過程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 一般の状態空間を持つ連続時間マルコフ連鎖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.4 待ち行列理論とその応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2 待ち行列モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.4.1 5.4.2 5.4.3 M/M/1 システム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 M/M/∞ システム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.4.4 5.4.5 M/M/m システム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 M/M/m/K システム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.4.6 回線交換における交換機からの出線数の設定問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
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