数 学 −15− 13年度MF_No7_P015-020[根].indd 15 12/11/29 16:04 数 学 分数形で解答が求められているときは，既約分数で答えよ。符号は分子につけ，分母につ けてはならない。 第１問 次の各問いに答えよ。 ⑴ △ABCにおいて， 4 5 とすると，△ABCの外接円の半径R，辺ACの長さ，△ABCの面積Sはそれぞれ BC=4，AB=2AC，cos∠BAC= アイ エ オ ，AC= R= キク ，S= ウ カ ケ である。 ⑵ 次の 2 つの関数 f(x)，g(x)を考える。 2x f(x)=2 −2 x+3 2 +5・2 ，g(x)=2 x+3 2 −7・2 f(x)は x= コ で最小値 サ をとる。また，方程式 f(x)=g(x)は 2 つの解をもつが，そのうち最大となる解は x= log2 シス である。 −16− 13年度MF_No7_P015-020[根].indd 16 12/11/29 16:04 ⑶ 円周上に異なる 9 個の点がある。これらのうちの 2 点を両端とする線分は セソ 本 ある。また，2 本の線分の交点のうち円の内部にあるものは タチツ 個ある。ただし，円 の内部は円周上を含まず，どの 3 本の線分も円の内部では 1 点で交わることはないもの とする。 ⑷ a，bを定数とし，3 次関数 3 2 2 f(x)=x −ax −3ax+b −6b がx=−1で 極 値 を と る と き，a= テ で あ る。 こ の と き， 方 程 式 f(x)=0 が 異 な る 3 つの実数解をもつようなbの値の範囲は − ト ＜b＜ ナ ， ニ ＜b＜ ヌ である。 −17− 13年度MF_No7_P015-020[根].indd 17 12/11/29 16:04 2 第２問 a を実数の定数とし，2 次関数 f(x) =2x −(2a+6)x+a+3がある。 y=f(x)のグラフをCとし，Cの頂点の座標を(p，q)とおくと 2 a+ ア a+ p= ウ a+ エ ，q=− イ オ である。 ⑴ Cとx軸との共有点が存在しないようなaの値の範囲は カキ ＜ a ＜ クケ である。 ⑵ Cがx軸と異なる2 点で交わるとき，2 点間の線分の長さが4 3となるようなaの値は a= コサ または a= シ である。 ⑶ f(x) の 0 ≦ x ≦ 4 における最大値をM，最小値をmとおく。 f(0)=f(4)のとき， a= ス ，M= セ ，m= ソタ である。 M−m=40を満たすaの値は a= チツ または a= テ である。 −18− 13年度MF_No7_P015-020[根].indd 18 12/11/29 16:04 第３問 点O( 0 , 0 )を原点とする座標平面上に，2 点A( 6 , 0 )，B( 0 , 2 )があり，AとB を通る円Cを考える。 ⑴ 円Cの中心は直線 y= ア x− イ ……① 上にある。 ⑵ 円Cが原点Oを通るとき，Cの方程式は ( x− ウ ) +(y− 2 エ )= 2 オカ ……② である。 ⑶ 直線①と円②の交点のうち第 1 象限にあるものをPとする。円Cの中心がPに一致する とき，Cの方程式は ( x− キ ) +(y− 2 ク )= 2 ケコ ……③ である。 ⑷ ⑶で得られたPに対して， ∠APB= サシ ° であり，円②の周および内部と円③の周および内部との共通部分の面積は スセ π− ソタ である。 （数学の問題は終わり） −19− 13年度MF_No7_P015-020[根].indd 19 12/11/29 16:04
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