2015 一橋大
問題 4
xyz 空間において、原点を中心とする xy 平面上の半径 1 の円周上を点 P が動
√
き、点 (0, 0, 3) を中心とする xz 平面上の半径 1 の円周上を点 Q が動く。
(1) 線分 PQ の長さの最小値と, そのときの P,Q の座標を求めよ。
(2) 線分 PQ の長さの最大値と, そのときの P,Q の座標を求めよ。
解答
(
√ )
P (cos α, sin α, 0) , Q cos β, 0, sin β + 3
とおくと、
(
√ )2
2
2
PQ2 = (cos α − cos β) + (sin α) + sin β + 3
√
= 5 − 2 cos α cos β + 2 3 sin β
√
= 5 + 2 3 + cos2 α sin (β − θ)
Q
ただし、
√
cos θ = √
(1)
cos α
3
, sin θ = √
2
3 + cos α
3 + cos2 α
√
PQ2 = 5 − 2 3 + cos2 α = 5 − 2 · 2 = 1
∴ PQmin = 1
P
等号は

 cos α = ±1, sin (β − θ) = −1
√
 cos θ = 3 , sin θ = ±1
2 (
2) (
)
5π π
4π π
⇔ (α, β, θ) = 0,
,
, π,
,−
3 6
3
6
のときで、P,Q の座標は、
(
√ )
1
3
P (1, 0, 0) , Q
, 0,
2
2
(
√ )
1
3
P (−1, 0, 0) , Q − , 0,
2
2
である。
c
Darumafactory
-1-
RadicalMath
(2)
√
PQ2 5 5 + 2 3 + cos2 α 5 5 + 2 · 2 = 9
∴ PQmax = 3
等号は

 cos α = ±1, sin (β − θ) = 1
√
 cos θ = 3 , sin θ = ±1
2 (
2)
( π π)
2π π
,
⇔ (α, β, θ) = 0,
, π, , −
3 6
3
6
のときで、P,Q の座標は、
(
√ )
1
3 3
P (1, 0, 0) , Q − , 0,
2
2
(
√ )
1
3 3
P (−1, 0, 0) , Q
, 0,
2
2
c
Darumafactory
-2-
RadicalMath

年 番号 氏名 1 xyz 空間において，原点を中心とする xy

等速円運動1 &gt