第 Ⅱ部
理
論
現状 の理論 の概要 と問題点 (1)
近接場 ナ ノフォ トニ ク スの理 論 的背景
1.は じめ に
特 性 を既 存 の 光 学 理 論 に と らわ れ ず ,本 質 か
ら よ く理 解 す る こ とが 必 要 で あ る 。 そ うす る
走 査 型 光 近 接 場 顕 微 鏡 を は じめ と す る近 接
こ と に よ つ て ,私 た ちが 最 終 的 に遠 方 で 観 測
場 光 学 現 象 の 理 論 的 取 扱 い に は ,ひ と く く り
して い る 物 理 量 が ,局 所 的 相 互 作 用 と な る べ
に記 述 す べ き もの で な い 多 様 性 が あ る 。 近 接
く簡 単 な 関 係 で 結 び 付 け られ る と き ,近 接 場
場 ナ ノ フ ォ トニ ク ス の 基 本 的 枠 組 み の 中 に は
光 学 現 象 は ミ ク ロ な もの の 観 測 シ ス テ ム と し
,
て 有 効 とな りえ る
局 所 的 な 電 磁 場 を 介 して の 微 小 な 物 質 系 の 相
1)。
互 作 用 とそ の 局 所 的 相 互 作 用 の 結 果 の 遠 方 か
近 接 場 光 学 現 象 は ,そ の メ ゾ ス コ ピ ック な性
ら の 観 測 と い う ,そ れ ぞ れ 性 格 の 異 な る基 本
格 か ら,い くつ か の 異 な る理 論 的取 扱 い を通 し
的 要 素 が 必 ず 含 まれ て い る 。 例 え ば 近 接 場 光
て 眺 め る こ とに よつて ,そ の 特 質 が 明 らか に な
学 顕 微 鏡 を例 に とれ ば ,光 励 起 さ れ た 微 小 試
る もの と考 え るのが よい と思 わ れ る 。 この 章 で
料 の 近 傍 の 電 磁 場 の よ うす を ,そ の 近 傍 に 微
は ,近 接 場 光 学 現 象 の い くつ か の 特 徴 的 な理論
小 物 体 か ら な る プ ロ ー ブ 先 端 を お き局 所 的 相
的取 扱 い の 方 法 が 示 され て い る。 そ れ らは 基 本
互 作 用 を 通 じて 測 定 す る こ と と ,そ の 結 果 生
的 に は 同等 で あ る物 理 現 象 の 多様 な側 面 を,そ
じた プ ロ ー ブ 先 端 の 励 起 に 関 す る 情 報 を ,光
れ ぞ れ 特 徴 あ る 方 法 で 抽 出 ・ 記 述 し,ま た 評
導 波 路 な ど を 巧 妙 に用 い て 私 た ち が 観 測 で き
価 ・ 予 測 を す る こ と を可 能 にす る もの で あ る 。
る遠 方 まで 効 率 よ く取 り出 す , と い う 二 つ の
この た め に ,部 分 系 の 切 り出 し方 や モ デ ルの 立
要 素 で あ る 。 これ ら を全 て 含 め て ひ とつ の 理
て 方 ,近 似 の 方 法 な どに工 夫 が 凝 ら され て い る 。
論 的 取 扱 い をす る と い う の は ,近 接 場 光 学 現
こ れ ら は 単 に 記 述 や 計 算 の 便 宜 上 そ うで あ る
象 の 記 述 や 理 解 の よい 方 法 で は な い 。 理 論 的
と い う の で は な く,い か に して マ ク ロ な 光 学
考 察 を 行 う た め に ,そ れ ぞ れ 利 用 され て い る
過 程 の 中 か ら ,通 常 は 回 折 限 界 に埋 もれ て い
局 所 的相 互 作 用 の 性 質 ,局 所 的 な現 象 と光 源
る ミ ク ロ な 量 を検 出 す る か と い う ,近 接 場 光
,
光 検 出 器 ,導 波 路 な ど を も含 む マ ク ロ な 系 と
学 的 手 法 の 基 本 的性 質 に 由 来 す る。 従 つて
の 結 合 な ど ,基 本 要 素 と な る 部 分 系 の 抽 出 や
理 論 の 基 礎 と な る モ デ ル や 近 似 は また ,有 効
区 分 け を正 し く行 う こ と と ,そ れ ら の 物 理 的
で 可 能 な実 験 的 手 段 の 提 示 で もあ る 。 す な わ
-23-
,
第Ⅱ部 理論編
ち,ミ ク ロ な ス ケ ー ルで の 物 質 系 の 相 互 作 用 は
,
い 近 似 で 分 割 で きる こ と に よ る モ デ ル 化 な ど
あ らゆ る マ ク ロ な光 学 過 程 の 素 過 程 で あ るが
,
注 目す る 現 象 を私 た ちが 理 解 す る 上 で 不 可 欠
そ の い くつ か を実 験 にお い て 選択 し抽 出 で きる
,
な ,特 徴 的方 法 が そ れ ぞ れ 用 い られ る 。
た め に は ,シ ス テ ム 全 体 が ,そ の ミ ク ロ な 部
こ れ まで ,光 と物 質系 の 相 互 作 用 に 関 して
分 系 に 対 して 良 い 近 似 で 独 立 した 意 味 を 付 与
ミ ク ロ とマ ク ロ の そ れ ぞ れ ど ち らか の 極 限 に近
で きる よ うな構 成 に な って い る ,と い う こ とが
い 場 合 につ い て ,さ ま ざ まな理 論 的 実 験 的研 究
不 可 欠 で あ る 。 そ して理 論 的取扱 い も,そ の よ
が な され ,こ れ らは 一 般 向 け の 教 科 書 に もそ の
うな特 色 を 反 映 した もの とな り,ま た微 小 な部
詳 細 を見 る こ とが で きる。 特 に マ ク ロ な極 限 の
分 系 の 抽 出 が で きる条 件 を 明確 にす る よ うな も
場 合 に は ,主 に物 質系 の 諸 量 (自 由度 )を 消 去
の で な け れ ば な らな い 。 光 波 長 よ りも は るか に
す る 方 法 が 用 い られ ,そ れ に よっ て 物 質 系 の 相
小 さい 部 分 系 の 相 互 作 用 は ,そ れ だ け を抽 出 し
互 作 用 を ,誘 電 定 数 あ る い は 誘 電 関数 な どの マ
て 眺 め る と きに は ,準 静 的 な特 質 か ら比 較 的単
ク ロ な平均 量 に 置 き換 え る こ とや ,物 質 系 の 応
純 で あ るべ き もの で あ る 。
答 を ,そ こ か ら発 生 す る電 磁 場 の 自己無 撞 着 性
こ の 節 で は ,理 論 的 取 扱 い の 序 論 と して
,
に基 く考 察 に よ り,電 磁 場 に対 す る境 界 条 件 に
,
近 接 場 光 学 現 象 に 関 わ る 基 本 的 か つ 普 i匠 的 性
置 き換 えて 取 り扱 う方 法 な どが 広 く用 い られ て
質 を 分 析 し,理 論 的 取 扱 い の 依 っ て 立 つ 背 景
きた。 この 結 果 ,マ ク ロ な取 扱 い にお け る物 質
を考 察 す る 。
系 の 相 互 作 用 の ミク ロ な詳 細 は ,一 般 に は 省 み
2.光
られ る こ とが 少 な くな っ た 。
近 接 場 と物 質 系 の 相 互 作 用
しか し一 方 で ,物 質系 の 相 互 作 用 をあ らわ に
含 む電磁 場 の 取 扱 い は ,理 論 の 形 態 と して も現
光 と物 質 系 の 相 互 作 用 は ,電 磁 場 に よ っ て
物 質 系 に励 起 さ れ た ミ ク ロ な 運 動 の 変 化 と
象 そ の も の と して も非 常 に 興 味 深 い も の で あ
り,今 世 紀 の 物 理 の 流 れ の 中 で も,量 子 論 に よ
,
こ れ が 分 極 や 電 流 と い う ソ ー ス と して 誘 起 す
る取 扱 い も含 め て 多 くの 基礎 研 究 の 対 象 と な っ
る 電 磁 場 とが ,複 雑 に 絡 み 合 っ て 生 ず る さ ま
て きた。 こ れ らの研 究 は ,対 象 と して 取 り扱 う
ざ ま な効 果 を 含 ん で い る 。 ミク ロ な 目 で 眺 め
物 質系 の 空 間 的広 が りや応 答 の 多様 性 , また 実
れ ば ,物 質 を 構 成 す る 極 め て 多 数 の 原 子 の 電
験 手段 な どの 様 相 の 違 い な どか ら,そ れ ぞ れ が
磁 気 的 相 互 作 用 の そ れ ぞ れ が ,マ ク ロ に み れ
独 立 な話 題 とみ な され る こ とが 多 か っ た た め
ば そ の 物 質 系 の 相 互 作 用 が 全 体 と して 作 り出
か ,研 究 の 成 果 が 十分 に整 理 され た よ うな形 で
す 光 学 応 答 が ,観 測 や 理 論 的 記 述 の 対 象 と な
体 系 付 け られ て い な い よ うで あ る 。 最 近 に な っ
る 。 こ の よ う な 現 象 を 取 り扱 う方 法 は ,た と
て ,近 接 場 光 学 現 象 が 注 目 を 集 め る と と もに
え そ の 基 礎 と な る 方 程 式 が Schrё dingcr方 程 式
ミク ロ とマ ク ロ の 中 間領域 で 起 こる 電磁 場 と物
や Maxwcll方 程 式 な ど極 め て 少 数 の 普 遍 的 な も
質 系 の 相 互 作 用 が ,総 合 的 ,系 統 的 に解 析 され
の で あ っ た と して も,注 目 す る 物 質 系 の 大 き
る こ とに な っ て きた。 ミク ロ とマ ク ロ の 極 限 で
さ や 電 磁 気 的 性 質 に 応 じて 極 め て 異 な っ た も
の 電磁 相 互 作 用 の 取扱 い は ど ち ら も,極 め て 良
の と な る 。 す な わ ち , ミク ロ で あ る が ゆ え に
く整 理 され た 体 系 とな って い る ため ,そ れが 拠
用 い る こ との で き る 前 提 や 厳 密 な計 算 ,マ ク
り所 とす る前 提 や 近 似 な どの 詳 細 が しば しば見
ロ で あ る が ゆ え に成 り立 つ 近 似 的 取 扱 い ,ま
過 ご され て しま う こ とが あ る 。 近 接 場 光 学 現 象
た ,例 え ば 共 鳴 効 果 な どの た め に 採 用 で きる
を考 察 す る に あ た って は ,こ の よ うな点 に注 意
単 純 化 ,あ
し, ミク ロ や マ ク ロ の 極 限 に相 当す る 理 論 に対
る い は 系 が い くつ か の 部 分 系 に 良
-24-―
,
現状 の理論の概要 と問題点 (1)近 接場ナ ノフ ォ トニクスの理論的背景
①試料 とプローブチップから成る微小物質系
す る正 しい理解 と,物 質系 の相 互作用 に関す る
素過程 に まで立 ち戻 つた ,い わば素朴 な 目で見
の 局 所 的 (近 接 場 )本目互 作 用 (く くλ。
),
②試料や プローブ先端近傍 の局所場 と光源や
光検出器に繋がる信号伝達系 との結合およ
た考察 が必要 で あ る。
3.近
接場 光 学顕微 鏡の 一般 的性質
び 絶縁 (∼ λ。
),
近接場 光学現象 の理論 的取扱 い を,こ こでは
③ ファー フイール ドでの微小信号検出のため
の高効率の信号伝達系 (≫ λO)。
まず応用 上最 も重要 な近接場光学顕微鏡 の 原理
これ らの 要素 が ,そ れぞれ よい近似 で 明確 な
との 関連 で考察す る。近接場 の重要性 は光 に限
意味 を持 つ な らば ,私 たちがその システムで何
った こ とで はな く,電 子 の近接 場 を用 い た走査
を観 測 して い るか を 明 らか に言 う こ とが で き
型 トンネ ル顕微 鏡 (STM)な どの 走査 プ ロー ブ顕
る。従 って , これ らが どの よ うな条件下 で切 り
微鏡 には ,共 通す る基本 的性 質 を見 い だす こ と
の
がで きる 。
離 せ るか とい う こ とが ,近 接場顕微 鏡 で得 られ
る像 の解 釈 にお い て極 めて重要 となる。 この よ
うなモ デ ル に基 い て ,私 た ちは光近接場 を介 し
3.1
走査 プロー ブ顕微鏡 としての基 本的性質
ての微小物体 間 の相 互作 用 を,近 接場光学 の理
光 や 電子 の 回折 や 干 渉 を利 用 した従 来 の 顕
微 鏡 に対 して ,近 接 場 顕 微 鏡 で あ る走査 プ ロ
論 的取扱 いの 中心 に据 える こ とが で き,こ れ を
従来 の光学理論 の範疇 にある導波路 な どの信号
伝達系 とい かに結 び付 け るか , とい う理論 に接
ー ブ顕 微 鏡 は ,微 小 試 料 とプ ロー ブ先 端 の 相
互 作 用 を利 用 す る とい う意 味 で ,相 互 作 用 型
続す る こ とがで きる。現 象 を記述 で きる体 系 を
もってい る とい う こ とと,そ れ を理解す る とい
の顕微 鏡 で あ る と言 え る 。 す な わ ち ,微 小 試
料 とプ ロー ブ 先 端 との 相 互 作 用 を外 部 か ら光
うこ とは極 めて近 い 関係 にある と考 え られ る。
この よ うな わ け で ,近 接場 光学 にお い て は
や電 子 の 注 入 に よつて励 起 し,こ れ を 散乱 光
,
強度 や トン ネ ル 電流 と して外 部 に情 報 と して
実験 的 に容易 で あ るな どの理 由 で ,光 の波長 に
近 い比 較 的大 きな空 間的サ イズ を もつ現象 を扱
取 り出す仕 組 み で あ る 。 外 部 か ら観 測 で きる
もの は ,基 本 的 に は マ ク ロ な光 波 の 運 ぶ エ ネ
うこ とが ,上 の よ うな切 り離 しを難 しくす るた
めにかえつて見通 しの悪 い もの となって しまう。
ル ギ ー や 電 子 電 流 な どで あ る か ら, ミク ロ な
相互 作 用 に 関 す る情 報 を取 り出 す ため に ,相
互 作 用 を局 在 化 す る尖 っ た プ ロー ブや ,そ の
これ に対 して ,巧 妙 なプ ロー ブ を用意 して測 定
位 置 を ミク ロ に コ ン トロ ー ル す る 走査 シ ス テ
い ほ ど局所 的な観測量 に注 目す るな らば ,か え
ム な どが 必 要 とな る 。 また顕微 鏡 とい う性 格
って現象 の理解やそ の記述 ・評価 が容易 になる。
を行 い ,光 波長 が 本質的 に重 要 な意味 をもた な
か ら,相 互 作 用 型 の顕 微 鏡 とい え ど も「 サ ン
4.エ バネッセン ト波と
プル をプ ロー ブで 測定 す る」 とい う こ との 意
アンギ ユラースペク トル展開
味 が ,近 似 的 にせ よあ る 程 度 明確 な もの で な
くて は な らな い 。 この よ うな点 を考慮 す る と
,
近接 場 顕微 鏡 は一 般 に部 分 系 の 空 間的広 が り
光近接場 の理論 的取扱 い の 中心 となる,微 小
と光 波 長 (λ 。
)と の 大小 関係 で 特 徴付 け られ る
物質系 の局所 的電磁相 互 作用 の性 質 を考察す る
ため に,ま ず近接場 の理解 の基本 となるエバ ネ
次 の よ うな 3つ の 要 素 を もち ,ま たそ の よ う
に分 割 して 考 え る こ とが よい モ デ ル と な る よ
ッセ ン ト波 と,こ れ を用 い た散乱場 の ア ンギ ュ
ラースペ ク トル展 開 につい て 簡単 に説明 し,近
うな シ ス テ ムで あ る, と考 え られ る。
-25-―
第Ⅱ部 理論編
,こ れ
がで きる。平 坦 な誘電体境界 に現 れ るエバ ネ ッ
に と もな う空 間周 波 数 とい う概 念 を 明 らか にす
セ ン ト波 は ,光 線 の入射角 と媒 質 の屈折率 に よ
る 。 そ こか ら微 小 物 体 の 光 近 接 場 の 近 接 領 域 に
って 決 ま る単 一 の 複 素波 数 を もつ 平 面 波 で あ
入 れ た プ ロー ブで の 観 測 とい う,最 も重 要 な要
る。 これは ,平 坦 境界 における並進 対称性 に よ
素 の 意 味 が 明 らか に な る 。
り,表 面 に誘起 された規則正 しい分極 の 配列 が
接 場 の しみ こみ 深 さ(pcnctration dcpth)と
作 る電磁場 が 干渉 し,遠 方 で は減衰 し表面 に沿
4.1
ってのみ伝播 す るただひ とつ の波 を構 成す るた
光 の 全 反 射 と エバ ネ ッ セ ン ト波
光近 接 場 の 最 も身近 な例 は ,い う まで もな く
めで あ る。 この よ うな, しみ こみ深 さ と大 きな
誘 電 体 中 を伝 播 す る平 行 光 線 が ,平 坦 な空 気 と
伝搬 ベ ク トルか らなる複素数 の波数 を もつエバ
の 境 界 で全 反 射 す る と きに誘 電 体 の 表 面 に現 れ
ネ ッセ ン ト波 が ,単 なる数 学的手続 きで はな く
る エ バ ネ ッセ ン ト波 で あ る
3,o。
ェ バ ネ ッセ ン ト
,
原子 な どの微小 プ ロー ブに物理的 な作用 を直接
波 は ,境 界 面 に 沿 って 伝 播 し,境 界 面 か ら遠 ざ
もた らす こ とが ,実 験 的 に も確認 されて い る
か る に つ れ て 指 数 関 数 的 に減 衰 す る 波 で あ り
また,平 坦 な表面 に誘起 され た分極 とい う点 で
近 接 場 光 学 一 般 の 理論 的 記 述 の も っ と も基 本 的
は,プ ラズモ ンや エ キ シ トンポ ラリ トンな どの
な構 成 要 素 で あ る 。誘 電 体 中 を伝 播 す る 光 と私
分散関係 の定 ま った分極波 も,共 鳴効果 による
た ちが 呼 んで い る もの は ,実 際 は 誘 電 体 を構 成
相 互 作用 の強調 を除け ば ,エ バ ネ ッセ ン ト波 と
す る物 質 の 分 極 と,分 極 を励 起 しまた分 極 か ら
同様 な表面電磁場 を発 生 す る。
,
5)。
発 生 す る電 磁 波 とか らな り,物 質 系 と電 磁 場 の
表面電磁波 は,複 素波数 の絶対値 二 乗 が ,場
結 合状 態 の 時 空 相 関 を波 と して 表 した もの で あ
の振動 数 (ω )と 真 空 中 の 光速 (θ )の 比 の二 乗 に等
しい , と い う分 散 関 係 を 満 足 す る (lkll 12_
る と言 う こ とが で きる。 この よ うな波 が 誘 電 体
界 面 に 入射 した と き,誘 電 体 表 面 に は 空 間 的 に
変 調 され た 分 極 が 生 じ,そ の 外 側 の 空 間 には こ
れ に伴 う電 磁 場 が あ らわ れ る 。 入射 角 が 臨界 角
￨々
この ため に表面 に平行 な方 向 の
⊥12=(σ θ
)2)。
エ バ ネ ッセ ン ト波 の 伝 搬 ベ ク トル の 大 き さ
(lkll l)は ,真 空 中 を伝播 す る電磁波 の伝搬 ベ ク
よ り内側 で あ れ ば ,表 面 に現 れ た 分 極 は 界 面 で
トルの大きさよりも大きい (l
の 反射 波 と同時 に ,誘 電 体 の 外 倶1で も伝 播 す る
こ とが ,光 の 回折 限界 を越 え た計 測 や 制 御 を可
電 磁 波 を放 射 す るが ,入 射 角 が 臨界 角 を越 え て
能 にす る ,近 接 場 光 学 過 程 の も っ と も重 要 な メ
い る場 合 に は ,表 面 分 極 は 空 気 中 を伝 播 す る 電
カ ニ ズ ムで あ る 。 す な わ ち, も し物 質 表 面 に光
磁 波 を励 起 で きず 全 反射 す る 。 全 反射 の 場 合 に
の 波 長 に比 べ は るか に小 さい 領 域 で 大 き く変 化
も,表 面 近 傍 に は 表 面 分 極 の つ くる 電 磁 場 の 干
す る よ うな分 極 分 布 を作 れ ば ,そ の 分 極 分 布 を
渉 に よ り,遠 方 で は 減 衰 す る電 磁 場 が あ らわ れ
重 ね合 わせ と して 表 す 表 面 分 極 波 の ス ペ ク トル
,
これ が エバ ネ ッセ ン ト波 で あ る 。
kll卜 ″θ
)。
この
が 存 在 し,そ れ ぞ れ に対 応 す る複 素 波 数 を もつ
エ バ ネ ッセ ン ト波 の 重 ね合 わせ と な る 電 磁 場 が
4.2
エバ ネ ッセ ン ト波 と波 数 ス ペ ク トル
誘 起 され る。
そ の な か で 大 きい 方 の 波 数 は
,
エバ ネ ッセ ン ト波 の減衰 を特徴付 け る長 さは
分 極 分 布 の 空 間 的広 が りの 逆 数 で 決 まる よ うな
「 しみ こみ深 さ」 (penetration depth;b。 ″
)と 呼 ば
れ 虚 数 の 波 数 (力 ⊥=′ ￨々 J)の 逆 数 に 相 当 す る
大 きな値 とな り,こ れ に対 応 す る 表 面 に垂 直 な
これ は,表 面 に平行 な方 向 の エ
(λ ′=￨力 ⊥￨ 1)。
“
バ ネ ッセ ン ト波 の伝播 ベ ク トル(k ll)と と もに
複素伝搬 ベ ク トル([k‖ ,た ■l)を なす とみ なす こ と
,
しみ こみ 深 さ は 極 め て 短 くな る 。 従 っ て ,こ の
よ うな大 きい 波 数 成分 を数 多 くス ペ ク トル に も
つ エ バ ネ ッセ ン ト波 を通 じて ,電 磁 現 象 を選 択
的 に観 測 す る 手 法 を用 い れ ば ,光 の 回折 限 界 に
現状の理論の概要と問題点 (1)近 接場ナノフォトニクスの理論的背景
4.4
よ らな い 高 空 間分 解 能計 測 が 可 能 と な る の。
ス カラー散乱 場の
ア ンギ ユ ラ ー ス ペ ク トル表 示
4.3
ここで はア ンギ ュ ラー スペ ク トル表示 の意味
光 近 接場 とア ンギ ユ ラ ー ス ペ ク トル 展 開
を明 らか にす るため に, まず ,ス カラー場 の散
乱 問題 を考察 す る。 ベ ク トル場 の場 合 は,後 の
こ こで ,近 接 場 光 学 現 象 の 解 釈 や理 論 的 取扱
い にお い て 重 要 な ,散 乱 場 の ア ンギ ュ ラ ー スペ
ク トル 表 現 に つ い て 簡 単 にふ れ る
7)。
節 で取 り扱 われてい る。
ァ ンギ ュ
ラ ー ス ペ ク トル 表 示 は ,任 意 の 散 乱 場 を ,伝 搬
一 般 に周波数 の定 ま っ た ス カラー 入射波 の物
ベ ク トル の 方 位 角 の 異 な る平 面 波 の 重 ね 合 わせ
質系 (ポ テ ン シャル)に よる散乱場 は ,次 の よ う
と して 表 現 す る 方 法 で あ る 。平 面 波 とい う もの
な時 間依存 の な い散乱 問題 と して HclmhOltz方
は もちろ ん ,空 間 の 並 進 に対 す る不 変 性 を もつ
程式 を用 い て表 され る
,
重 ね 合 わせ に利 用 す る平 面 波 に ,伝 播 す る 平 面
波 (homOgCncous wave)の み で な く,エ バ ネ ッセ
ン ト波 (inhOmOgcncous wavc)を も利 用 す れ ば
,
任 意 の 散 乱 場 の 平 面 波 展 開 が 可 能 とな る 。 上 に
数
波
，
の ＞
ｒ
表 す こ とはで きな い 。 そ れ に も関 わ らず , も し
り の の
＜
＜
所
貝 物
任 意 の 散 乱 場 を ,通 常 の 平 面 波 の 重 ね 合 わせ で
中 は
売工 ｌ
＞
ｒ
∝
宣︵
０・ れ ト
申 け ¨
﹁
波動 で あ るか ら,そ の よ うな対 称 性 を もた な い
も述 べ た よ う に エ バ ネ ッセ ン ト波 は ,そ の 伝 搬
方位 角 が 複 素 数 の 平 面 波 に対 応 す る の で ,ア ン
の よ う に ,T/K2[1_ε (r)]を 分 離 して書 け ば ,物
ギ ュ ラ ー スペ ク トル展 開 は ,波 数 の 方 位 角 を解
質系 は 散 乱 ポ テ ンシ ャ ル と して働 く とい う方 程
析接 続 され た 平 面 波 展 開 で あ る とい う こ とが で
式 と な る 。 Hclmholtz方 程 式 は ,入 射 場 と散 乱
きる。
場が
,
物 質系 に誘 起 され た 分 極 な どの ソ ー スの 場 を介
この よ う に して 任 意 の 散 乱場 は ,実 波 数 を も
して 結 合 して い る こ とを表 して い る 。
つ 平 面 波 と,仮 想 的 な平 面 境 界 に対 して異 な る
物 質 系 が Dと い う領 域 に局 在 し,そ の 端 に
「 しみ こみ 深 さ」 と「空 間周 波 数 」 を もつ エ バ
,
+と
き,散 乱 問題 は伝 播 す る平 面 波 とエ バ ネ ッセ ン
仮想 的 に二 つ の 平 面 境 界 Σ Σ が 張 り付 い て い
η
る もの と考 え よ う 。 そ の結果 ,全 空 間 は散乱 体
ト波 成分 そ れ ぞ れが , どの よ うに して観 潰1点 ま
の「右」ぽ
ネ ッセ ン ト波 の 重 ね あ わせ と して 表 す こ とが で
+)と
で 伝 わ る か と い う理 解 し易 い 問 題 に 置 き替 わ
「左 」c )の 半空間 に分け られる。
私 た ちが と りくむ問題 は ,そ れぞれの半 空 間 に
る。 また ,そ の ス ペ ク トルの 特 性 ,例 え ば スペ
お い て,散 乱場 (の をソースの作 る場 の重ね合 わ
ク トルの 最 大 値 や ,そ の まわ りの ス ペ ク トル 幅
せ として表 す ことで ,次 の よ うに書け る
,
な どを考 察 す る こ とに よつて ,散 乱 場 か ら観 測
,∂ y(Oarり / 0
Ч→
び
―券/60に メ
点 に 伝 わ る作 用 の 近 距 離 性 や 局 在度 な どを分析
す る こ とが で きる。 ア ンギ ュ ラ ー ス ペ ク トル展
開 の この よ うな特 質 は ,近 接 場 光 学 顕 微 鏡 の 原
理 や近接 場 光 学 現 象 を理 解 す る上 で た い へ ん重
上 に も述 べ た よ うに,散 舌し
体 で ある物質系 が 平
要 で あ り, また分 解 能 な どに対 す る 評 価 の 尺度
によって ,エ バ ネ ッセ ン ト波 まで も含 めた平面
を与 え る 。
波 での散乱場 の展 開 が 可能 で あ り,こ こで 現 れ
面的 な もので な い場合 で も,散 乱角 の解析接続
るグ リー ン関数 G9(r,r′
-27-―
,い わゆ る「Wcyl
も
,ω り
第 Ⅱ部
変換 」
理 論編
3)を
用 い て ,次 の よ う に平面波 に よる作
い る 。 この と きマ ク ロ な物 質 の 部 分 系 に よる 散
乱 場 に はや は り,エ バ ネ ッセ ン ト波 成 分 が 含 ま
用 の伝播 として表 され る。
れ て い る わ け だが ,物 質 の 連 続 性 に よ り虚 数 の
硫
∴ ω)=満
積 分 路 に相 当 す る成 分 に は位 相 差 が な く,全 て
④
‐の。
αsinα ′蕉バ
〒尭 ιご
礫
打 ち消 し合 って ,見 か け 上 伝 播 す る波 の み で 相
互 作 用 が 構 成 され て い る よ うに見 え る 。 物 質 系
ここでSは 波数 の単位ベ ク トルに相当す る複素
に不 連 続 性 の あ る表 面 で は 入 射 波 散 乱 波 の 位 相
数の組(sinc COSβ ,Sin%sinβ ,cOSの で,複 素積分
は,例 え￨ゴ 「右」半空間への散乱場 に対 して
差 が生 じ,こ の よ うな打 ち消 しが で きな くな り
複 素 α空 間 の 積 分 路 C+(:実 軸 上 o→ π/2→ 虚 軸
ので あ る
,
エ バ ネ ッセ ン ト波 成 分 が 半 空 間 にあ らわ に な る
,
上 π/2→ π/2-づ ∞)を とる 。一 方 「左 」半 空 間 で は
,
4.5
→π/2→ π/2→ π)を とる。
C(:π /2+′ ∞―
ア ンギ ュ ラ ー ス ペ ク トル 表 現 の 解 析 性 に つ い
1)。
場 の 局 所 性 と波 数 ス ペ ク トル
ア ン ギ ュ ラ ー ス ペ ク トル で 表 示 され た 散 乱 場
Vcspcrinanscに よって 詳 し く
と,そ の 局所 性 との 関係 を具 体 的 に見 るため に
こ こで 解 析 性 の 示 す 興 味 深
単 一 の 電 気 双 極 子 の 作 る放 射 場 の ア ンギ ュ ラ ー
い 点 は ,散 乱 場 に は そ れ を平 面 波 で 展 開 した 場
ス ペ ク トル 表 示 を ,観 測 点 まで の 距 離 をパ ラ メ
ー ター に とって計 算 した例 を示 す い。
て は ,w01fと
Nict―
調 べ られ て い る
合
7)。
,
,
必 ず 伝 搬 波 とエ バ ネ ッセ ン ト波 が 両 方 含 まれ る
電気 双極 子 か らの動径 を″で 表 す と,観 測点 が
とい う点 で あ る 。 す な わ ち ,遠 方 で 観 測 され る
双 極 子 の 近 傍 に近 付 く に つ れ て ,双 極 子 場 の
電 磁 波 だ け で は な く,散 乱 体 の まわ りに は ,遠
(1。
方 で は 減 衰 す る エ バ ネ ッセ ン トの成 分 が 必 ず 存
双 極子 か ら2の 距 離 にあ る仮想 平 面 を境 界 に とっ
在 す る , と い う こ とで あ る 。 近 接 場 光 学 で は
て ,電 気 双 極 子 場 の ア ンギ ュ ラ ー ス ペ ク トル展
,
3に
依 存 す る 強 度 変 化 が 主 要 とな って くる。
この 成 分 を 減 衰 距 離 の 範 囲 内 にあ る近 接 した 場
開 を行 う と,エ バ ネ ッセ ン ト波 に相 当 す る複 素
所 で 拾 う こ とに よ り,光 の 波 の 回折 限界 に制 限
波 数 部 分 の ス ペ ク トル は ,空 間周 波 数 で 表 示 し
され な い ナ ノ フ ォ トニ ク ス を実 現 しよ う とす る
て 図 1の よ う に な る 。 ア ンギ ュ ラ ー ス ペ ク トル
試 み で あ る 。 す な わ ち ,エ バ ネ ッセ ン ト波 の 複
は ,ほ ぼ 2た に等 しい 空 間周波 数 で 最大値 を持 ち
素 波 数 の 実 部 は ,仮 想 的平 坦 境 界 の 並 進 対 称 性
そ の 近 傍 で の ス ペ ク トル 幅 は ,空 間周 波 数 で お
に 関 す る ベ ク トル をな し,対 応 す る 実 の 波 数 の
よそ 2/zの 広 が りを持 つ 。ス ペ ク トルの ピー クは
大 き さ は 散 乱 体 の 形状 に応 じた は げ しい 空 間 的
双 極 子 に近 付 い て 観 測 す る ほ ど,場 の 含 む エ バ
振 動 を含 み ,こ れ に対 応 す る虚 部 は 短 い しみ こ
ネ ッセ ン ト波 成 分 の 波 数 が 大 き くな る こ とを示
み 深 さを表 す 。 従 って ,も し散 乱体 の 近 傍 に観
し,ま た スペ ク トル 幅 は ,そ の よ うな場 の 主 要
測 点 をお け ば ,こ の よ うな高 い 空 間周 波 数 成 分
部 分 が空 間的 に局在 して い る程度 を示 して い る。
の 観 測 が 可 能 で あ る 。 例 え ば ,近 接 場 光 学顕 微
鏡 の 場 合 に は ,散 乱場 に含 まれ る実 波 数 の 大 き
な成 分 を ,そ れが 減 衰 す る よ りも近 傍 まで プ ロ
ー ブ を近 付 け て 観 測 す る こ とに よって ,ナ ノ メ
ー ター領 域 に い た る高 い 分解 能 を得 て い る。
,
,
ら.ま とめ
この節 では ,近 接場光学 の理論 的取扱 の紹 介
に先 立 ち,近 接場光学現象 の特徴 とそ の 記述 の
関連 につ い て議論 し,そ こでの 中心的 な課題 で
マ ク ロ な 物 質 系 と光 の 相 互 作 用 にお い て も
,
ミク ロ な物 質 か らの 散 乱 が そ の 素 過 程 と な っ て
-28-
あ る微小物体 の光近接場相 互 作用 につい て,エ
現状の理論の概要 と問題点 (1)近 接場ナ ノフ ォトニクスの理論的背景
拠韻 ミ ュヘて К Ｉ い ［ 十 ヽ ト
-500
真 空 中 の光 波長で規格化 した
散乱体か ら観測点 まで の距離
-1000
-1500
-2000
loo
200
300
エバ ネ ッセ ン ト波 の 空 間周 波 数
(真 空 中 の 波数 で 規格 化 )
図 1 微小電気双極子の散乱場のアンギ ユラースペ ク トル強度
双極子 から観測点 (展 開のための仮想平面境界)ま での距離に依存 した各 エバ ネ ッセ ン ト波成分の重み
バ ネ ッセ ン ト波 と散 乱場 の ア ンギ ュ ラースペ ク
参考文献
トル展開 を用 い て解析 した。
1)M.Ohtsu and H.Hori,
引 き続 き2節 で は古典電磁 気 学 的取扱 い に よ
る近接場相 互 作 用 と信号 の伝 達 につ い て ,3節
2)堀 , “フ ォ ト ン走 査 ト ン ネ ル 顕 微 鏡 と そ の 理 論 的 解
釈 ",応 用 物 理 vol.61(1992)612-616.
では表 面素励起 な ど共鳴 の あ る場 合 も含 め数値
3)M Born and E.Wolf, “PHnciples of Optics",3rd ed.,
“Near― Field Nano― Optics"
(Plenum,New York,tobe published).
(PergamonPress,Oxford,1965).
計算 に よる取扱 い の 具体例 を,4節 で は近接場
諸 ,堀 , “エ バ ネ ッセ ン ト波 と は 何 か ?",パ リ テ イ
相 互 作用 の散乱 問題 と しての 定式化 と,自 己無
,VOl.11(1996)14-22.
撞着 に依 る数値計算 や近接 場顕微 鏡像 の評価 な
T.Matsudo,H.Hori,T.Inoue,H.Iwata,Y.Inoue and
どの取扱 い が 紹 介 され る。 さ らに 5節 では ,近
T. Sakurai,
“Direct detection of evancscent
electromagnctic wavcs at a planar dielectric surfacc by
接場条件 とい うものが どの よ う に理論 的取扱 い
lascr atornic spcctroscopy" , Phys. Rev. A,vol.55
を整理 し, また問題 を簡単 化 す る こ とを許 し
直感 的 な像解釈 に結 びつ くか とい う問題 が取 り
,
扱 われて い る。
(1997)2406-2412.
H.Hori, “Quantum optical picture of photon STM and
proposal of single atom manipulation" ,in
“Ncar―
Field Optics",D.W.Pohl and Do Courjon eds.,
この よ うな電 磁 場 の 取扱 い か ら さ らに発 展
(Kluwer Academic Publishers,Dordrecht,1993)105-
し,メ ゾス コピ ックな物 質 の 電子系 のふ るまい
H4.
まで 含 め て ,近 接場 の問題 を取 り扱 う方法 の研
E.Wolf and M.Nict― Vcspcrinas,
“Analyticity of thc
angular spcctrum amplitude of scattcrcd fields and
究 も研 究 され て い るが ,こ れ につい ては文献 な
some of its consequencc'', J.()pt. Soc. Am.
´、
, vol.2
どを参 照 された い "。
(1985)886-890.
本 章 で 示 され る種 々の 理論 的取 扱 い を大 き
な視点 か ら眺 め る こ とで ,多 様 な側 面 を持 つ
T. Inouc and H. Hori,
近接 場 光学 現 象 の 本 質 的 な意 味 が 明 らか に な
張 ,石 原 ,大 淵 , “メ ゾ ス コ ピ ッ ク系 の 非 局所 光 学 応
答 ",日 本 物 理 学 会 誌 ,vo l.52(1997)343-349.
る こ とと思 う。
(堀
裕和 )
-29-
“Reprcscentations and
transforms of vector ficld as thc basis of ncar―
ficld
optics" ,Opt.Rev.,vol.3(1996)458-462.
現状 の 理 論 の 概要 と問 題点 (2)
古典電磁気学的取 り扱 い
1.フ アイバ ブローブの電磁気学
お い ては,プ ロー ブが 光 フ ァイバ を加工 して製
近 接 場 光 学 顕 微 鏡 の 像 解 釈 に深 く関 わ る 光 フ
作 され て い るこ とを考慮 す る必要 が ある。す な
わ ち,プ ロー ブは先端 で エ バ ネセ ン ト波 を伝播
ァ イバ プ ロー ブ の 解 析 を古 典 電 磁 界 理 論 に基 づ
光 に変換す るが ,変 換 された全 ての伝播 光 が プ
い て 行 う こ とに よ り,近 接 場 光 学 にお け る古 典
ロー ブ内部 を伝播 して検 出器 まで導 かれ る こ と
電磁 学 的取 り扱 い を示 す 。
は ない。光 ファイバ 内部 を伝播 で きる電磁 界 は
フ ァ イ バ プ ロ ー ブ の 詳 しい 構 造 や 近 接 場 光
学 顕 微 鏡 に 関 して は 本 書 の 他 の 部 分 に 詳 し く
導波 モー ドと呼 ばれる特定 の電磁界 で あ る。 さ
らに フアイバ プ ロー ブ先端 の よ うに,そ の大 き
解 説 され て い る の で そ ち ら を ご 参 照 願 い た い
さが伝播電磁界 の波長 に比 較 して小 さい場 合 に
が ,透 過 型 近 接 場 光 学 顕 微 鏡 の フ ァ イ バ プ ロ
は ,フ ァイバ先端 か ら伝播 で きる電磁界 モ ー ド
ー ブ を電 磁 気 学 的 に 解 釈 す れ ば ,試 料 表 面 に
1)の
は遮断波長 を持 たない HEllモ ー ド
み となる。
発 生 した 近 接 場 (非 伝 播 光 )を プ ロ ー ブ 先 端 で
従 つて,プ ロー ブにお け る伝播 問題 では この こ
とを考慮 し,フ ァイバ の電磁界 モー ドを積極的
①散乱 させて伝播光に変換 し,発 生 した伝播
光 を②検 出器まで導 く2つ の役目を果たして
い る 。 こ の よ う な役 目 を 持 つ フ ア イ バ プ ロ ー
ブ の 解 析 は 電 磁 気 学 的 に は 散 乱 ,導 波 問 題 と
して 定 式 化 で きる 。 た だ し,一 般 の 伝 播 光 を
対 象 と した 散 乱 ,導 波 問 題 と異 な り,フ ァ イ
に利用 した解析 を行 う必 要 が あ る。 また,光 フ
ァイバ の遮断波長 を持 た ない導波 (HEll)モ ー ド
に対す る導波問題 では,ス カラ対応 の導波 モ ー
ドが 記述 で きない ため ,複 雑 ではあ るが ベ ク ト
バ プ ロー ブ の 解 析 で は非 伝 播 光 で あ る近 接 場
ル波 で解析 を行 なわ なけれ ば な らない。 ただ し
ベ ク トル波 動 関数 2,3)を 利 用 した手法 を用 い れ
に 浸 され た 物 体 の 散 乱 ,導 波 問 題 と して 取 り
ば ,ベ ク トル波 に よる解析 の効率 を高 め る こ と
扱 う必 要 が あ る 。 しか し,非 伝 播 光 は 電 磁 気
がで きる。
,
学 で は エ バ ネ セ ン ト波 と して 古 くか ら知 られ
2.ベ ク トル 波 動 関数
て お り,光 の 近 接 場 も電 磁 気 学 的 に は エ バ ネ
セ ン ト電 磁 波 と して 取 り扱 う こ とが で きる 。
ファイバ プ ロー ブにお け る問題 では,座 標系
フ ァ イバ プ ロー プ にお け る散 乱 ,伝 播 問題 に
-30-
現状の理論の概要と問題点 (2)古 典電磁気学的取り扱い
関数 と して の性 質 を有 す る 。
繁
丹罰… 航
⑤
れ
ふ
紛鋼¨ mけ 颯
タ r),多
“
ゥ
:拳 φ
′
″ 平φ の
,4=0,± 1,± 2,…
η
ツ
v711(λ
r)≡
(λ
r)≡
(λ
(λ
r)≡
"(λ
(λ r),
(6)
ここで,ベ ッセル関数 φ
mが
出も‖
¨=¨ =協 1)
),
1参 照 ),ベ ク トル波
ベ
動 関 数 と して は ク トル 円 筒 調 和 関 数 を 用 い
と して は 円筒 座 標 系 (図
る 。 円筒 座 標 単 位 ベ ク トル をα′
,α θ
,α zで 表 す こ
とに し,他 の 基 本 ベ ク トル ,記 号 を以 下 の よ う
位 置 ベ ク トル
:
プ″,あ ′
″の 記 号 を 用 い る も の と す る 。 ま た
波 数 ベ ク トル
:
た
γr)≡ サノ
カ→
,v=1,2
ル=(れ ρ=ル ″
十解こ
,λ ≡ ′ )￨≡ ャ と
β
￨た (β
水 平偏 波 ベ ク トル
:
垂直偏 波 ベ ク トル
:
;,(iτ
:(τ
r=(rち ィ)=“ ′一 ″ z
/た
,
(8)
で 表 す。
2
α
α
z=― α
θ
ル)≡ 争×
y缶 )≡
で あ る に 応 じ て ベ ク トル ベ ッ セ ル 関 数 は
λ=iτ ,τ =ν 笹2-た 2の 場 合 は
に定 め る 。
α
dr
3.円 筒 電 磁 波
α
鮭
〃
)=f券 ―こ
:×
,α
(4)
外 部 放 射 ,外 部 エ バ ネ セ ン ト場 を含 まな い 円
筒 内部 の ベ ク トル 電 磁 界 は ス カ ラ場 の 場 合 と同
様 に ベ ク トル 円筒 調 和 関数 を用 い て 簡単 に 表 現
ベ ク トル円筒調和 関数 はベ ク トルヘ ルム ホル
で きる 。 例 えば ,電 磁 界 が TE波 で あ る場 合 に
ツ方程式 を満 たす ベ ク トル波動 関数 で あ り,半
は TE波 の 電 界 方 向 が 式 (5)に 示 す ベ ク トル ベ ッ
径 r方 向 の電磁界 の変化 を表すベ ク トルベ ッセル
セ ル 関 数ノ
関数 ,周 (の 方向 の電磁 界 の変化 を表す角度 因子
ETL(r)は ノ
なければならない。一方
(λ r)で 表さ
概
CXP(i“ θ
)と
義 で きる。 ベ ク トル ベ ッセ ル 関 数 は 次 式 で 定義
磁界成分 は電界 と直交す るためブL(λ r)と 直交す
2“
るプ (λ r)で 表現す る必要があ る。以上 の こ とを
され る 関 数 で あ り,ス カ ラ波 にお け る ベ ッセ ル
考慮 す る と円筒 内部 の TE(S偏 光 ,水 平偏 波 )ベ
関数 と同様 な役 割 を果 た し,直 交性 を含 む 波動
ク トル円筒波 は
￨″
(λ r)の
方 向 と な る た め ,電 界 成 分
,
z軸 方向の因子cxP(iル )の 積 として定
-31-
第 Ⅱ部
理論編
鮮
:]写
ilili″
0
こ
二
ア光 フアイバ の導波 モ ー ドを用 い る。
ここで は 光 フ ァイバ の コ アの 半径 をαと し
,
内部
(コ
ア)と 外部
(ク
ラ ッ ド)の 屈折率 と諸
定数 を表 1と して解析 を行 う。 ただ し,透 磁率
助
卜
豹
く
仁←
の三
′
は 内 外 音5で μ。一 定 と し ,ζ 三 砕
(10)
0/ε
Oと
す る 。 ま
た,フ ァイバ プローブはz方 向 に一様 な フアイバ
とす る。
となる。 このベ ク トル円筒調和 関数 に よる TEベ
ク トル円筒波 の表現 は ス カラ波 の場合 と全 く同
「
形 の表現 であ り,ベ ッセ ル関数 をベ ク トルベ ッ
セル関数 に置 き換 えた表現 となる。 この様 にベ
4。
1
導 波電磁界 モー ド
光 フ ア イ バ の 導 波 モ ー ドは よ く知 られ て い
る よ う に ,TE波 (S偏 光 ,水 平 偏 波 ),TM波
ク トル波動 関数 を用 い れば ,ス カラ波 の場 合 の
よ うに見通 し良 く電磁界 の形 を決定す る こ とが
(P偏 光 ,垂 直 偏 波 )の 混 成 モ ー ドで あ り,そ
4)の
根 よ り定 ま る 。
で きる。
の伝 搬 定 数 は特 性 方 程 式
円筒 内部 の TM波 (P偏 光 ,垂 直偏波 )の 場合
も同様 な議論 に よ リベ ク トル円筒調和 関数 を用
導 波 モ ー ドの 電 界 の z軸 成 分 Eこ と磁 界 の z軸 成
分 〃夕の 相 対 的 な比 と して定 義 さ れ る P“ は ,特
い て書 け, さらに外部 の放射場 ,エ バ ネセ ン ト
波 の場合 で もそ れぞれベ ク トルベ ッセ ル関数 を
性 方 程 式 を用 い て 次 式 で 書 け る
:
1→ 力1,ルI,に 置 き換 えれ ば よい。
ノ
一 方 ,任 意 のス カラ波 が ベ ツセ ル関数 で展 開
で きる よ うに,円 筒調 和 関数 系 も2乗 可積分可
能 な関数 に対 して完備 な直交系 をなす ため ,任
式 中 の ,″ は 特 性 方程 式 で 用 い られ る コ ア 内 の
“
正 規 化横 方 向位 相 定 数 ,ク ラ ッ ドの 正 規 化横 方
意 のベ ク トル電磁界 をベ ク トル円筒調和 関数 で
展 開す る ことがで きる。 さらに,ベ ク トル波動
向減衰 定数 をあ らわす
関数 に よる電磁界 の展 開 は,通 常 の平 面波 ,円
筒波 だ けでな くエバ ネセ ン ト波 の場合 に も同様
:
′2+w2=。 2, ″≡λα,″ ≡ κα
(12)
に適応で きる。
P"は 導波 モ ー ドにお け る偏 波 の 状 態 ,TE波
4.光 フ アイバ の 電磁 界 モー ド
の値 によ り導波 モ ー ドは次 の ように分類 される。
TM波 の混成 の状 態 を表す パ ラメ タであ り,P″
ｏ
′
Ｐ Ｒ Ｐ
,
す るが ,解 析 を容易 にす るため均 一 コ ア光 フ ア
イバ をプ ロー ブ のモ デ ル と し,解 析 に も均 一 コ
誘電率
波数
内部
41
kt:
音Ь
タト
ん2
k::ntk
ruk
０ ∞
ｒＪ ｔ ｏ ｏ
﹁ ＞ く
近接場光学顕微 鏡用 の フアイバ プロー ブには
色 々 な組成 ,構 造 の光 フアイバ を加工 して使 用
屈折率
,
;TMO″ モ ー ド
;TEO"モ ー ド
Elt"″
(13)
モ ー ド,“ ≧1
モ ー ド,“ ≧1
:HE“ “
電波 イ ン ピー ダ ンス
ε
l=メ ε0
l≡ yμ O/ε
ζ
l
ε21=42ε 0
O/ε
2≡ μ
ζ
2
V′
動径波数
_β
λ=yた 子
2
κ￢わ2-た
'
表
1
均 ― コア光 フ アイパ の諸定数
一-32-一
現状 の理論の概要 と問題点 (2) 古典電磁 気学的取 り扱 い
(″ ,β )=[Jι (λ r)一
″"(r,β
)
=hX励 +
P川
iP′ Jl(λ
θ
r)]ei″ +iみ
I′ [
(14)
み
[た :(κ
0
井 嵐ル]ど Ⅲ
“
r)一
iP″
(19)
(一 z方 向 )
と記述 す る。 ただ し,θ ″,λ は横 方 向 (同 じ断面
“
内 )の ベ ク トル 関数 ,θ 曖,λ 凛ては ,z方 向 の ベ ク ト
ル 関数 を表 す。
ここで sを 円筒断面 と し,次 の よ うに規格化 因子
≡ス,(θ “
×λ
Ⅳ“
dS
")・
と書ける。同様 にコア外部(r<α )の 電磁界 は
E″ (r,β )=ζ
(+z方 向 ),
︱
E″
︱
E′F
＋ ＋ 働 一
1
クル 肋 ル
凋 硼 れ用
1′ ′
円筒 波 を用 い て ,コ ア 内部 (Kα )は
Ｃ︰協︲ 一 幌′
＜
E′ 1
波 の 混 成 モ ー ドで あ り,P″ とTE,TMベ ク トル
一
一
一
一
一
一
一
一
フ ァイバ プ ロー ブ の 導 波 モ ー ドは TE波 とTM
(20)
を定 め る。 この導波 モ ー ドは次 の双 直 交条件
+iノ こ
Й)!(κ r)]e itt θ
(16)
兵
(θ
"×
ん)。 さ=0,月"十 屁
(21)
″川(r,β )
つ
に
い
た
+P″ 弁獅
=・
胸
]♂
卜
い≡器
卜
,農
を満 し,放 射 モ ー ドEI,″ 庁と直 交す る。
導 波 モ ー ド電磁 界 の 励 振 源 が 電流 密度 J,磁 流
の
は
る
全
路
電
磁
す
界
時波
利
I晩 卜
露
腫務
却
1雲 卜
腫務
解
密度 ″ で あ る場 合 を考 え る。J,Mが z=0に 集 中
,導
の連続条件より 0
,
と書け る。ただ し,ZiEの 上添字 1は コア内部 を
上添字 2は コア外部 を意味す る。
,
これらの式でβ
>0と したものは前進波Eち
→
一
″ち
, またβ
βとおいたものは後進波EL,
(22)
,
で 表 され る
5)。
図
2の よ うに導 波 路 を含 む 円筒
″ 1を 表 す 。 電 磁 界 モ ー ドの 周 (θ )方 向 の 角 度
面 S(て =zl,z2に お け る 2つ の 円筒板 S― ,S十 ,r=∞
因 Ftt cxp(i“ θ),“ =0,± 1,± 2,… を sin“ θ,cos“ θ
の 円筒 面 )に 対 して ロー レ ン ツ の 相 反定 理 を適
つ
用す る と
,
=0,1,2,_で 表 現 す る 方 が 実 際 の 計 算 が 容 易
“
な場 合 が あ る 。 そ の た め ,sin“ θ,cos“ θの 形
式 を 用 い る 場 合 に は ,電 磁 界 の 下 添 字
ろ に ± を付 け て 明 示 す る 。
4.2
“
,
の後
▽
″
一
E×
島
1)=一
E′ 十・ J+″
′
￨・ ″
(23)
,
z方 向 に一 様 な導波路 に沿 って ,伝 搬定数
で Z方 向 に伝播す る導波モー ドの電磁
+iβ η
鳥=名 ″
界
(El×
となる。ここで,Sの 内向 き法線 ベ ク トル を ,J,″
“
の分布領域 を yと して式(23)の 両辺 を積分す れば
導 波 電 磁 界 モ ー ド展 開
5)El,.′
。
J'@i,xH -E xni,) ' n ds
: IIJ ' niav -lJ' ,pr' Hi dv
iを
―-33-―
(24)
第 Ⅱ部
理論編
この ことを考慮 して計 算 で は コア内部 (rく α)の 屈
折率 を 41=″ ,ク ラ ッ ド(外 部 :r>α )で は 42=1と す
′
▼ ″
′
る。 一 方 ,外 部入射波 に よ リプ ロー ブ先端 に励
振 され た 導 波 モ ー ドの 内 ,フ アイバ 内 で 遠 方
一
S.
︲
︲
ｍ
一
Ｅ
︲
¨
¨
Ｊ
ユ
一
︲
︲
/ヽ
ヽ
(z→ ∞)へ はHEllモ
EL
―
￨
が大 くな って通常 の シ ング ルモ ー ドフ ァイバ の
HEllモ ー ドに移行 す る もの とみ なす。そ の ため
Z‐ 0
、
ノ
ー ドのみが伝播 し,徐 々 に径
,
ファイバ プ ロー ブ内部 を導波 して検 出器 で測定
ヽ
ノ
される光 は無 限遠方 で観測 されるHEllモ ー ドの
進行波電磁界
″=∞
E(r) -atxEt*(r, 0i B)ei'u'
図 2 円筒形積分面
n (r) - atxHtt(r,0i B) eir'
となる。
(27)
で あ り,検 出 エ ネ ル ギ ー は 式 (27)の 電磁 界 が 持
(19),(20)― (22)を 用 い て左 辺 を計算 し,J,″ に
つ 光 エ ネ ル ギ ー (電 力 )流
よ り励振 され る展 開係数 らη
,b″ を分離 して表 せ ば
針
α
″≡α活+α tt
b川
=￢ 免
１
"b係
ｄ
2М
J。
6),壁
さ れ る もの と し
面 上 の 表 面 電 流 ,表 面
磁 流 は 1次 近 似 と して プ ロー ブが 浸 る外 部 の
エバ ネ セ ン ト場 EO(r),″ °
(r)に よ り励 起 され る
(26)
もの とす る 。 HE"″ モ ー ドの 場 合 ,モ ー ド量 子
数 は(“ ,4,± )で 記述 す るが ,表 面積分 の 角度 に
関す る積 分 にお い て は ,入 射 円筒 波 。導 波 モ
となる。
ー ドは 同 一 の 角度 モ ー ド(“ ,± )の 組 合 せ に対応
5.フ ァイ バ プ ロ ー ブ にお ける
す る表 面積 分 のみ が 残 り,他 の 組 合 せ に よる
導波 モ ー ドの 励起
積 分 は 直 交性 に よ り消 え ,角 度量 子 数
に対
“
して の 表面 積 分 の み を計 算 す れ ば 十分 で あ る
光 フ ァ イ バ の 導 波 モ ー ドに は TE。 ″,TM。 ″
,
HE"″ ,EH′ ″
″モ ー
(28)
として与 えらる。
フ ァイバ 内部 の 電 磁 界 は壁 面 上 の 表 面 電 流
°
J=″ ×″ ,表 面磁 流 ″ =― (4× EO)に よ り励 起
ｄ
2N"わ :=“
(25)
１
"α
卿商血流
″
α
メ
=zJ・
2μ 係
=司 ‰
2М
≡わ{十 ♭
留
=:httМ
(HEllの 場 合 は
“
=1)。
ドが あ るが ,フ ァイバ プ ロー ブ先
従 って ,式 (26)の 積分 をプ ロー ブ表面 のみで
端 は 十分細 く,光 フ ァイバ の 主 モ ー ドで あ る
行 い ,展 開係数 α″を決定す れば,近 接場 と近接
HEllの みが 伝播可能 で あ り,他 のモ ー ドはすべ
て遮断状態 にある°。 さらに,プ ロー ブ先端 では
コアが む きだ しとな り,波 長 以下 の細 く尖 っ た
場 か らファイバ プ ロー ブが 取 り出す光 エ ネルギ
コ ア部分 が近 接 場 の プ ロー ブ と して動 作 す る。
て あ るが ,エ バ ネセ ン ト波 の広 が りの範囲
-34-
ーの関係 が分 かる。
フ ァイバ プ ロー ブの先端 は波長 以 下 に尖 らせ
(∼
現状の理論の概要 と問題点 (2)古 典電磁気学的取
り扱 い
″
α
般
=― 無
つ
。
η
“
静
毒 ⊃ザ響
v“
２ ″
Ｊ Ｓ
α]ン
(λ
α),
(32)
=o
aX Ho)
となる。 た だ し,規 格 因子 は
ol Et)
S
y=― (“ XE° )
図 3 半径αの半無限誘電体円筒を包む側面Slお よ底面島
脇
=“
嚇卜rll.l,+"
+剛 "sz.r211}0
2卜
ι:波 長 )で は 円 筒 形 で 近 似 す る こ とが 可 能 で
あ り,フ ァイバ プ ロー ブ を 円筒 形 プ ロー ブ と し
,
図 3の 様 な半 径 α(<ι )の 半 無 限 長 誘 電 体 円筒 と
近 似 して ,無 限 円筒 を包 む側 面 Sl,底 面 S2で 囲
まれ た 円筒 形 領 域 に 関 して 式 (26)の 積 分 を行 え
ば ょぃ
2,η
:ま た ,円 筒 形 で は な くペ ン シル形 の
3,粉
・
＝ 乙
Ｉ
湿
界 が TEエ バ ネ セ ン ト波 の 場 合 に つ い て 側 面 SI
押 ０
Ｓ
与 え る 表 面 積 分 の う ち ,外 部 か らの 入 射 電 磁
×
〓
一
乃
た
式 (26)よ り励 起 モ ー ドの 展 開 係 数 αt+α %を
∠〆 ん
十 の
レ
。
β一
“ 脇
錐 面 S3の 積 分 を行 え ば よい
(鋤
制 綱
モ デ ル を仮 定 す る な らば ,底 面 S2に 代 わ って 円
±
ふ
・
】
]ilirilili言
か らの 寄 与 を計 算 す れ ば
を表 す 。
士
・
︲
′
Ｅ
×
ゴ
¨
ヽ
・
バ
∞
１
，
イ
ｄ ・
π
〆税﹃２
，
一 一一
島 “
，
課 ０
〓
で あ り,μ *グ は波 数 ベ ク トル たの横 成 分 ,て 成分
S2か らの 寄 与 に 関 して も全 く同 様 に 計 算 で
き ,外 部 電 磁 界 が TM平 面 波 や 他 の 任 意 の 電
磁 界 で あ っ て も,全 く同 様 の 手 続 きで α が 求
"±
め られ る 。 従 っ て ,近 接 場 と プ ロ ー ブ に よ り
騨任 一
満
×{ζ (μ *α )v"(λ α)―
“
[ぃ
(λ
α)十
iP“
検 出 で きる 光 の エ ネ ル ギ ー の 関 係 が 明 らか に
な る。 図
v“
(μ
*α
)
=0, 1,2,
+′
E×
“
…
の一 例 を示 す 。
「
η川(し )]￨, α用 =o
″
М建
=―
♀満士
∝
if21θ「
ノこ
"の
(30)
4に ペ ン シ ル 形 プ ロ ー ブ の 電 力 利 得
6.問 題 点
古 典 電 磁 気 学 的 な扱 い で 近 接 場 を取 り扱 っ た
場 合 ,電 磁 界 が ベ ク トル 関数 とな る ため ,そ の
)r,
取 り扱 い は ど う して も複 雑 にな らぎる逐 え な い 。
(31)
こ こ に示 した フ ァイバ プ ロー ブの 解 析 で も,実
.
際 の 計 算 は繁 雑 で あ り,非 常 に複 雑 な もの と な
―-35-―
第 Ⅱ部
理論編
駐 雇 Ｒ肥
駐 雇 Ｒ胴
‐
10.0
‐
30.0
0.0
‐
20.0
‐
10.0
0.0
100
20.0
30.0
Ψ ldegreel
degreel
Ψ〔
図 4 ペ ンシル形プローブの電力利得
円錐部分の 開き角 (δ )が 10° であるベ ンシル形プローブに丁E,丁 M平 面波が Ψの角度 で入射 した場合の
電力利得。sinh(χ )coS(v)が 入射エバ ネセ ン ト波の減衰定数を表 し,入 射角度が +90° の場合 に入射波
とプロープ内電磁界 の伝播方向が一致する
る ため 細 部 は 省 略 して概 略 の み を示 す こ と しか
参考文献
で きなか つ た 。 この複 雑 さ の ため ,フ ァ イバ プ
1)岡 本勝就 :光 導波路 の基礎 ,コ ロナ社 ,1992.
2)梅 田充 ,小 倉 久直 ,高 橋信行 ,北 野正雄 :光 フ アイバ
に よる表面波 プ ロー ブの 解析 ,輻 射科学研 究会資料
ロー ブ の解 析 で は ,プ ロー ブが エバ ネ セ ン ト場
,
の 海 に浸 って い る ,ま た は プ ロー ブ に対 して エ
RS92-11, 1992.
バ ネ セ ン ト波 が 入 射 して い る と して 解 析 を行 っ
3)梅 田充 ,小 倉久直 ,高 橋信行 ,北 野正雄:光 フ アイバ
てお り,近 接 場 の発 生 を 自明 の こ と と して い る。
しか し,実 際 は プ ロー ブ と試 料 が 近接 場 を介 し
て 相 互 作 用 を行 って お り,今 回 の 解 析 で は まだ
に よる表面波 プ ロー ブの解 析 H,輻 射 科 学研 究 会資
料 ,RS93-8,1993.
4)宮 城光信 :光 伝 送 の 基礎 ,昭 晃堂 ,1991.
5)Robert E.Collin:Field Thcory of Guidcd Waves,Second
十 分 とは言 え な い 。 従 って ,試 料 表 面 で の エ バ
Edition,7EEE PRESS,1991.
ネ セ ン ト波 の 発 生 を考 慮 し,試 料 とフ ァ イバ プ
6)Lepold B.Fclscn and Nathan Marcuvitz:Radia● on and
ロ ー ブの相 互 作 用 まで 含 め た 系 で 解 析 す る必 要
Scattcring of Waves, IEEE PRESS Series on
が あ る 。 また ,フ
Elcctromagnctic Waves,IEEE PRESS,1994.
ァイバ プ ロー ブ先 端 は 電磁 界
7)高 橋信行 ,若 山浩 二 ,梅 田充 ,小 倉 久直 ,北 野正雄
光 フ アイバ に よる エバ ネ セ ン トプ ロー ブの 解析 ,電
の 波 長 に比 較 して 非 常 に小 さ く, どの よ うな大
:
き さ まで 古 典 電磁 気 学 的 な取 り扱 い が 可 能 で あ
磁 界理論研究 会資料 ,EMT-93-45,1993.
るか は ,今 後 の 解 析 と実 験 結 果 の 比 較 に よって
8)梅 田充 ,高 橋信 行 ,小 倉 久直 ,北 野正雄 :光 フ アイバ
に よる表面波 プ ロー ブの 解析 H,電 磁 界 理論 研 究 会
明 らか にす る必 要 が あ る。
資 料 ,EMT-93-60,1993.
(高 橋 信行 )
―-36-―
コ
現状 の理 論 の概要 と問題点 (3)
ンピ ユー タ による近接電磁場 の計算
近接 場 顕 微 鏡 にお い て ,プ ロー ブ と試 料 は互
こで 「逆 問題」 とい う こ とに なるのだが ,現 在
い に 多 重 に励 振 ・ 散 乱 を繰 り返 す とい う相 互 作
では,ま だそれ を取 り扱 うことので きる研 究段
用 の 系 を構 成 す る 。 この よ う な近 接 場 顕微 鏡 の
階 に達 して い ない 。 ここでは,試 料構造 とプ ロ
シ ス テ ム は ,イ ン ピー ダ ンス が 極 め て 高 い 回路
ー ブは,そ の一 体 の系 にお い て ど うい う場 を作
を オ シ ロ ス コー プで 測 定 す る シ ス テ ム に対 応 さ
り ど うい う画像 を出 力 す るの だろ うか とい う
せ る こ とが で きる
1)。
2ヽ o。
ハ イ ・ イ ン ピー ダ ンス の
「順問題」 の研究成果 の一部 を紹介す る
回路 は ,プ ロー ブ を 回路 につ なげ る こ とに よっ
Girardは
,プ ロー ブを単 一 の双極子 ,試 料 を
て オ シ ロス コー プの 回路 を含 め た 系 と して 考 え
配列 された有限個 数 の双極子群 として ,自 己無
な くて は な らな くな り,プ ロー ブ の な い と きの
撞着 な手法 で場 を計算 し,そ の 出力 を見積 もる
信 号 と異 な る出 力 を オ シ ロ ス コー プ上 に表 示 す
手法 を提案 した
る。 熱容 量 が きわ め て 小 さな試 料 を温 度計 で 測
えて い ては全体 システムは見 えて こない。 もっ
定 す る と,温 度 計 に よって 試 料 の 温 度 が 変 わ っ
とマ ク ロ (サ イズ は ミク ロ ン以下であるが )な
て しま う し,STMで 結 晶構 造 を測 定 す る こ とに
推定法 が必 要 で あ る。有限要素法や境 界要素法
よって ,結 晶 を きれ い に並 べ 直 す こ と もあ り得
な どの Maxwen電 磁方程式 を基礎 に した電磁 場
る。計 測 法 とは 本 来 ,常 に この よ うな プ ロー ブ
解析法 を用 い れば , もっ とマ ク ロにエ アフイー
と非 測 定 対 象 との 相 互 作 用 を考 慮 しな け れ ば な
ル ドの電磁場 を計算 す る ことがで きうる。 しか
らな い 筈 で あ るが ,多 くの 場 合 ,プ ロー ブが 乱
し,こ れ らの数値計算法 は試料 とプ ロー ブごと
す 量 は信 号 に対 して十 分微 弱 で あ る との 仮 定 ・
に立式 が必 要で あ り
近 似 が 成 立 し,プ
自動化 で きない),計 算容量 も膨 大 で ,実 際 の試
ロ ー ブ の 影 響 を無 視 す る
1)。
5)。
しか し,原 子 一 つ ず つ を考
(そ
れには手作業 が必要 で
,
近接 場 顕 微 鏡 の 場 合 は ,測 定 対 象 は 波 長 よ り十
料 とプ ロー ブの 3次 元形状 ,物 質分布 ,位 置 を
分 小 さ く,関 わ る フ ォ トンの 数 は 微 量 で あ り
モ デ ル化 して計算 す る こ とは,残 念 なが ら現 在
プ ロー ブの サ イ ズ は 試 料 構 造 と同程 度 で あ る こ
の コン ピュー タで は不可能 で あ る。立式 が不要
と よ り,こ の よ う な仮 定 は 成 立 しな い 。 結 局
で計算容量 が現実 的 で あ るためには ,ス トレー
,
,
ニ ア フ ィー ル ド光 学 顕 微 鏡 で 得 られ た 出力 画 像
トに Maxwcllの 電磁方程式 を 3次 元空 間 十時 間
は ,観 察 す るべ き試 料 の 構 造分 布 と異 な る 。 そ
の 4次 元 に お い て そ の ま ま計 算 す る FDTD
-37-
第 Ⅱ部
理 論編
つ 円盤 上 の突起 とした。図 2は
detection
,突 起 の 中心 を
通 る断面 の電磁場分布 で あ る。そ こ にはプ ロー
probe coaled
with gold
プは近 づい て い な い。図 2(a)は 走査方 向が入射
光 の振動面 に平行 (p偏 光 ),(b)は 垂直 (s偏 光 )
の 断面電場分布 で あ る。電場 の分布 は偏光方向
によって異 な り,p偏 光 では突起 のエ ッジ部 で強
い場 が局在 してい る。
この試料 にプ ロー ブが近 づ い て試料上 を走査
sample nⅢ
l.5
ユ
す る と,試 料 とプ ロー ブの エ アフィー ル ドで電
1 :
pd翻 洲
場 は 図 3の よ うに変 わる (p偏 光 のみ 表示 )2)。
プ ロー ブが 近 づ くと,プ ロー ブに近 い側 の試料
∞
urn:nation
の エ ッジの場 の 強度 が 下が り,プ ロー ブが 試料
勾
図 1 ニアフイール ド光学顕微鏡の光学配置モデル
の真 上 にある と きは両側 の エ ッジの場 の 強度 が
￨‖
下が る。そ の と き光 はプ ロー ブを通 して検 出器
側 に送 られ る。検 出器 で得 られる信号 を構成 し
(Finitc DiffercntiJ Timc Dom憂 n)法 が ,有 望 な手
てで きた画像 は ,電 場 の 強度分布 とは異 な り
法 の 一 つ で あ る 。 図 1に 示 す 光 学 配 置 モ デ ル は
む しろ試料 の構造 と似 た もの となる (図 3(b))。
ニ ア フイー ル ド光学顕微鏡像 は,意 外 に試料 の
,
,
実 際 に 我 々 が 試 作 した 赤 外 光 を 用 い た ニ ア フ イ
ー ル ド光 学 顕 微 鏡 ①の そ れ に 対 応 して い る 。 試 作
した 赤 外 ニ ア フ イ ー ル ド光 学 顕 微 鏡 で は ,円 錐
構造 を良 く表 してい るので あ る。
ただ,実 際 の ニ アフ ィール ド光学顕微鏡 では
形 の 誘 電 体 プ リ ズ ム に 金 を コ ー トした も の を プ
プ ロー ブは図 3の よ うに「一 定高度」 を走査 す
ロ ー ブ と して 用 い , ミ ク ロ トー ム で 薄 膜 状 に ス
る こ とは な く,試 料 か ら常 に「 一 定距離」 の軌
ラ イ ス され た 試 料 の 反 対 側 か ら赤 外 光 を入 射 し
跡 をた どる。 これ は,プ ロー ブの位置制御 に走
試 料 表 面 を走 査 す る プ ロ ー ブ の先 端 に お け る散
乱 光 を プ ロ ー ブの 反 対 側 で 検 出す る。 試 料 は誘
査 トンネ ル顕微鏡(STM)や 原子 間力顕微鏡(AFM)
な どの他 の走査 プ ロー ブ顕微鏡法 が 用 い られ る
電 体 で あ り,波 長 の λ/5の 径 と λ/10の 高 さ を も
か らである。 この と き,得 られる画像 は実際 の
,
,
(a)
図2
突起近傍 の電磁場 分布 (プ ロー プは近 づ いて いな い)
(a)P偏 光 (b)S偏 光
-38-
現状の理論の概要 と問題点 131コ ンピュータによる近接電磁場の計算
(b)
(a)
．
３．
∞︶、〓∽ＣＯＰ
Ｃ一
︵
30 40
10 20
probe position (X V70)
50
図 3 プローブが試料近傍に存在するときの解析結果
(a)電 磁場分布 (b)再 構成画像
2)
グ特性 が あ る こ と も,知 られて い る。
試 料 の 構 造 とは 異 な る こ とが ,や は り計 算 結 果
か ら知 られ て い る 。 そ こで ,精 度 あ る一 定 高度
この よ うに,ニ ア フ イー ル ド光学顕微 鏡 で得 ら
走 査 の 装 置 ・技 術 が 必 要 で あ るが ,そ れ らは研
れ る信号 は,プ ロー ブのサ イ ズや形状 ,材 質 ,プ
究 の 段 階 で あ る 。 また ,こ こで 示 した例 で は
ロー ブ と試 料 との 距 離 ,試 料 の形状 と物 質分布
,
,
突 起 部 分 の 大 き さ とプ ロー ブ の 大 き さ (開 田部
さらに は 入射光 の偏 光特性 や照 明 の方 向な どに大
だ け で な く金 属 コー テ イ ン グ を含 め た 大 き さ)
き く依存す る。 そ の よ うな画像 デ ー タか ら,い か
が 同程 度 で あ っ たが ,得 られ る像 に は プ ロー ブ
に実 際 の試料構 造 を再現 す るか ?少 な くとも
,
サ イ ズ に 依 存 す る空 間 バ ン ドパ ス フ イル タ リ ン
―-39-
① 測 定 パ ラ メー タがす べ て わか って い る こ と
第 Ⅱ部
理論編
② 一枚の画像からではこの逆問題の解は存在
せ ず ,パ ラ メ ー タを 変 え た 複 数 の 画 像 が 必
そ こ まで 近 距 離 の 問題 を取 り扱 うの は 今 の 段
階 で は無 理 で あ るが ,数 nm∼ 数 百 nmの ス ケ ー
7)
ル で あ って も考慮 しな け れ ば な らな い の は ,熱
要 である こ と
の 問 題 で あ る 。 局 所 的 な光 の 場 の 集 中 に よって
以上 が 条件 で あ る。
局 所 的 に熱 源 が 生 成 され ,そ れ に よる プ ロー ブ
前節 で 述 べ た よ う に ,近 接 場 光 学 は そ の 順 問
や 試料 の膨 張収縮 の効 果 は無 視 で きな い 。
題 と して の シ ミュ レー シ ョンが 始 ま っ た ば か り
また ,ニ ア フ イー ル ド光 学 顕 微 鏡 の プ ロー ブ
で ,そ れ もまだ画 素 数 が 少 な く解 析 は 不 十 分 で
あ る 。 前 節 に示 した例 が ,お そ ら く世界 で も っ
と試 料 間 の 距 離 は ,ほ とん どの 場 合 ,AFMや
と も大 きな画 素 数 を持 つ 任 意 の 形 状 に 対 す る 3
STMあ
次 元 モ デ ルの 計 算 で あ ろ う。 そ れ で も,ス ーパ
ー ブ に よつ て 制御 され るが ,そ れ らの プ ロー ブ
ー コ ン ピュ ー ター を使 って か な りの 時 間 と容 量
顕 微 鏡 像 とニ ア フ イー ル ド光 学像 との ク ロ ス ト
を消 費 した。順 問題 で す ら この状 態 で あ るので
ー クや ア ー テ イフ アク ト
る い は シ ェ ア フ ォー ス (剪 断 応 力 )プ ロ
8)な
,
逆 問題 の研 究 は まだ だ い ぶ 先 だ とい わ ざる を得
ど も,無 視 で きな い 。
(河 田
な い だ ろ う。 さ らに近 接 場 光 学 を難 し く して い
る の は ,そ の 興味 のサ イ ズ や 距 離 が 分 子 。原 子
聡 ,井 上 康志 )
ス ケ ー ル に近 く,エ バ ネ ッセ ン トフ ォ トン に加
参考文献
1)河 田 聡, インターフェース,20,63(1994)
えて 電 子 の振 舞 も考慮 に入 れ な くて は な らな い 。
2)H Furukawa and S Kawata, Opt.Commun, 132. 170
(1996).
プ ロー ブ と試 料 間 の フ ォ トンの トン ネ リ ン グ現
象 に加 えて ,エ ネ ル ギ ー 移 動 や エ キ シ トンの ト
3)河 田
聡 ,数 理 科 学 ,403,64(1997)
4)河 田
聡 ,パ リテ イ,12,23(1997).
ン ネ リ ン グ な ど さ ま ざ ま な物 理 現 象 が 加 わ る 。
5)C Girar(l and D CouliOn,Phys.Rev_B,42,9340(1990)
そ の と き,MaxwcHの 電 磁 方 程 式 に ,電 子 の 波
6)河 田
聡 ,高 岡秀 行 ,古 川 祐 光 ,分 光研 究 ,45,93(1996)
7)河 田
聡 ,応 用 物 理 ,55,2,(1986).
動 方程 式 で あ る Schr6dingcr方 程 式 も加 わ る こ と
8)B Hecht,H Bielefeldt,Y Inouye,D
に なろ う。
Novotny,J.Appl Phys、 81,2492(1997).
-40-
ヽ
V.Pohl and L
現状 の 理 論 の 概要 と問題点
散乱 問題 と 自己 無撞着法
による 取 り扱 い
1.は じめ に
2.基 礎 方程 式
プ ロパ ゲ ー ター を用 い る 自己無撞着法 に よる
光近接場 の取 り扱 い には,次 の ような利点 ある。
光場 と して 電場 」を考 え,そ の 時 間依存性 を
CXp(― グ
ω′
)と
仮定す る と Maxwell方 程式 (C.GoS.
,
①光 と物質の相互作用,及 び,そ の伝播 を原
単位 )か ら 任意 の場所 ノにお け る光場 に対す る
子 スケー ルか らメゾスコピック領域 まで取
り扱 うことが可能である。
② 三次元任意形状 のプ ロー ブ/サ ンプル系 を
方程式
考察で きる。
③ベクトル場 としての光場,即 ち,偏 光状態
を容 易 に取 り込 む こ とが で きる。
④光場 とプローブ/サ ンプル/基 板の近接領
域 で の 相 互 作 用 とそ の 伝 播 成 分 を考 え る こ
とに よ り,理 論 値 と実 験 デ ー タ との 比 較 が
,
▽×▽×」(二 ω)一 (9)2Ё (∴ ω
)
=4π (号 )2が (.ω )
が得 られる
(1)
1'の
。 ここで,「 (え ω)は 光 によって物
質中 に生 じた分 極 で あ り,通 常 ,線 形 ある い は
非線形感 受率 χ(二 ω)(局 所性 を仮定 )を 通 して
′
′
′
ノ(二 ω)=∫ χ(ニ ノ
―′
,ω )δ
「 )J(ノ ,ω )グ
=χ (え ω)」 (二 ω)
(2)
3γ
(r―
で きる。
この 節 で は ,こ れ らの 点 に焦 点 を当 て た 解 説 を
とい う形 で取 り扱 われる。 (1_2)式 は ,分 極 をソ
試 み る 。 まず 出発 点 とな る 方 程 式 とそ の 解 法 の
ー ス と して発生 す る 自己無撞 着場 を記述 してお
一 つ と して の プ ロパ ゲ ー タ ー 法 ,及 び ,そ こ に
り,ノ (二 ω)と ,」 (二 ω)に 矛盾が ない よ うな解が
現 れ る 感 受 率 と分 極 率 に つ い て 概 略 を 述 べ る 。
求 め る もので ある。 考 えて い る物 質系 の ス ケ ー
つ い で この 方 法 の 近接 場 光 学 顕 微 鏡 (NOM)へ の
ル (近 接場光学顕微鏡(NOM)3∼
5)の
場合 な らば
い
ロー
ブ及 び観察 した い サ ン′
用 るプ
プ ルの大 き
適 用 とそ の 結 果 の一 例 を示 す 。
,
さ)に 応 じて ,物 質系 の光応答即 ち,分 極 を量
子論 的 にあるい は ,古 典論 的 に求 める こ とに な
る。 以 下 で は ,古 典論 的取 り扱 い に限定す る。
-41-
第 Ⅱ部 理論編
(量 子論的取 り扱 い に興味 のある読者 は文献 6)∼
ソース分布gが 与 えられれば,任 意 の場所 の場 が
9)を 参照 されたい。
)今 ,あ る領域内グで電場 が
求 まる。 そ こで ,(1)式 のプロパ ゲー ター として
一様 であると近似 しに
(弓 ,ω
)),分 極率 α,(ω )を
「ズ
色
誉
鰐卜
讐
車
磁 墓
″」
ル クの誘 電率∈(ω )を 用 い て
,
Tど
J″
ε
′
(二
/,ω )=(921.十 ▼● 。
)G。 に
/)
(8)
9=(ω /θ )
Ю｀°
と置 くと
,求 める場 は,斉次方程式の解二)(二 ω)
を用 い て
啄 0=器
0
イ
E‐ltt
と書 け る。領 域 内 ′での分極 は ,(3)式 を用 い て
%(ω )J(4,ω
)と
0×ヾ×Tグ
ヽ・
(平
まず この 方 法 の 考 え方 を 簡 単 な
)=-4π g(F)
(4)
ゲ ー ター 鈍 (二 /)と して 自由空 間 で
T′
/Frr(ノ
プ
′
/)=-4π δ(ノ ーノ
)
′
′
ノ)=CXp(JglF一 ノ)/1ノ
′
ー ノ￨
=【
(5)
′ ′ ′
に メ)g(ノ )d3γ
′ ′ ′
=-4π お(ノ ーメ)g(ノ )d3γ
=-4■パノ)
2+92)G。
(10)
′
r ′
)g(「
ただし,a〈 ノ)は 斉次方程式(▽
∴0
ICの (堅
(6)
′
)d3γ
2+g2)9(ノ
)
r2)げ 評2)1借)(11)
′
,メ ,ω )
(雫
)￨は
={Tζ ttε ′
(几 /)十 Tダ
exp(グ
p。
開J
′
′
レι
′
(■ ノ
(「 ,/)十 T″ “
(9)R)
)}・
(12)
これ ま で は ,自 由空 間 で の プ ロパ ゲ ー タ ー に
に着 目する と(4)式 の解 は次 のようになる。
∫G。 (二
)
T)・ 9{T)
+〆
を考 え る。
9(〆 )=口 )(/)十
′
た′
ノ,ω )-92Tグ (二 /,ω )
_ノ ′
等 に 注意 す る と,(5)及 び(8)式 か ら次 の よ うな よ
″′
わ
く知 られ た Tグ (二 /,ω )の 具体形 が得 られ る 。
を満 た す 時 ,グ リー ン 関数 ,あ る い は ,プ ロパ
∫
(▽
(ニ
)ス
=ノ (プ ,け
9(ノ ),及 び ,g(ノ )が
G。 に
′
ι
′
=配 け ヽ(平
式 の 場 合 を 考 え よ う。 今 任 意 の ス カ ラ ー 関 数
2+92)G()に
(9)
′
′
を満たす。だ=ノ ーノ,R=￨ノ ーノ￨と おいて
ス カ ラ ー場 をellに と り説 明 す る。 そ の 上 で ,(1)
(▽
F″
=4π 92δ (ノ
(1)式 を解 く方 法 の一 つ と して プ ロパ ゲ ー タ ー
2+92)9(メ
′
F′
3.ブ ロバゲーター法
(▽
「 (/,ω )d3γ
,ω )・
F″
る ことに注意 したい。
法がある
F′
″
となる。 ここで,T′ (二 ,ω )は 自由空間での
場の伝播 をつかさどるテンソル量で
表せ るので ,こ れを使 って(1)式
を解 け ば良 い ことになる。 (3)式 には球内 の 局所
場 の修 正 ・ ス ク リーニ ン グの効果 が 含 まれ て い
2,5,lo。
ω)=二 )(二 ω)
ε
′
十∫T dJ″ (二
つ い て述 べ て きた 。 NOMの 測定 の よ う に基板 が
(7)
存 在 す る 場 合 は ,ど う な る の で あ ろ う か ?
Agarwalに 従 い
)=0の
11),境
界 条件 と して無 限平 面 が 存
在 す る場 合 を概 観 しよ う。 図 1の よ う に空 間 を
解 で あ る。 この よ う にプ ロパ ゲ ー ター が わか り
,
-42-
り扱
現状の理論の概要と問題点 (4)散 乱問題 と自己無撞着法 による取
得 や す い よ う に ,遅 延 効 果 を無 視 で き る状 況 を
考 え光速 ε→ ∞ の極 限 を考 える と
[I]Z>0,[II]Z<0の 2つ の部分 に分 け る。空 間
[I]で は,誘 電率 ∈(ω )=1,[II]で は, ∈(ω )+1
とし,点 双極子,プ (ω )が [1]の 領域のメ=4)に 存
在するとする。(ノ (二 ω)=ノ (ω )δ (ノ ー4)))空 間
,
Tゴ
Spcctrum表 示)す る。
(1)(二
ω)=∫ J←
j②
(二
(ノ ,/,ω )
署∫
1窄
。
=器
(4-/‖ )― る (z+z′
‖
exp[Jズ
)(γ
十[921+ヾ
″
グ
グ
″ご
→券
[I],[II]で の電場 を平面波基底 で展 開 (Angular
」
,υ
×
υ
1鷺 看
呻
ノ)dッ dυ
;ω )CXp(′ K。 ・
(プ (ω )。
ヾ)]GOに /) (13)
′
ノ)dπ dυ
ω)=∫ び②(π ,υ ;ω )CXp(ば 。
)]
;
=器
(14)
T夕
″
″
為)}。 M
(二
(16)
(13)式 の 第 2項 は双 極 子 に よる輻 射 場 を ,第 1項
m)。
は境 界 に よる反射場 を,(14)式 は ,透 過場 を表 し
と書 き換 えることができる
て い る 。 さ らに ,GO(■
の境界面 に対する鏡像点で
F′
)も
平 面波 基底 で展 開
れⅢ… ぼ÷
χ
=弁 鰐繹eXp[グ π ―
り
リ
(χ
+ iu (y
- y') + iw,,lz - z' l)]
(π ,υ
(→
(%,υ ;ω )を
)で 表 す こ とがで き,Tわ
敵″
(二
′
,z′ )
(17)
￨
(15)
境 界 z=0で の 電 場 及 び磁 場 の″,ノ 成 分 が 連 続 で
あ る とい う条件 か ら,ご
為 は,/=(χ tノ
,
(Wcyl展 開 )す る。
GK/,ノ
い
″″
ι
″
は双極子 の存在す る
らの場 の伝播 を表 してい る
であ る。 これか ら,Tれ
=
ノ(ω )と ″‖
点(鳩 )か
点(F′ )の 鏡像′
ことが分かる。
/,ω )が 得 られ
る 。 (但 し,原 論 文 とは z軸 の 方 向 が 逆 の た め に
4.近 接 場光 学顕微 鏡 (NOM)へ の 応 用 と
一 部符 号 が異 なる。)こ こで ,そ の物 理 的描 像 が
計 算例
これ まで述 べ て きた方法 を NOMに 適用 しよ
う。図 2に 示す よ うに,プ ロー ブの先端 をN個
の球 ,基 板 上 (無 限平面 と仮定 )に あ るサ ンプ
Kb=ρ ′
4-W09
KO=0,4И わ
リ
ル をν 個 の球 の集合体 とす る。各球 の半径 行は
数 nmか ら数十 nmを 想定 し,球 内 での光場分布
は一様 とす る。各球 がその 中心 4(′ =1,2,… 。
,こ
N+1,… ・,Ⅳ +ν )に (3)式 で 与 え られ る分 極率
嗽 ω)を 持 つ とす る と,入 射光 の全反射 によ り基
板上に生 じたエバ ネッセン ト場 氏)(二 ω)を 種 とし
て,各 球 は双極子相 互作用す る。 プローブ内 の
任意の場所 ノにおける全系 の相互作用 を取 り込 ん
だ有効光場 は
1
,
無 限平面 が存在す る時の
プ ロパ ゲ ーターを 求め るための概念 図
平面 に平行な波数 ベ ク トルは等 しくなる。
図
―-43-―
第 Ⅱ部
理論 編
Probe
I力
″
(θ )
=∫ R2dΩ ITf″
″ 十
優 鳥,鳥 )%(ω )ゴ 名鰊覗ω)12(20)
こ れ は ,プ ロー ブ 先 端 の 場=R′ で の 有 効 光 場 の
うち散 乱 され て立 体 角 dΩ へ 伝播 した成 分 の全 強
.-r/
Sample
N*M_1
2/
NI● ‐
度 を表 して い る 。 また ,理 論 値 と して 通 常 用 い
ご
α
″
られ る近接 場 信 号 r″ と
,/
I″
S‐ Pθ ιr
P‐
F〃
″/=￨ゴ げ
′
は ,,ω )12=I力 (θ =90° )/1%(ω )12(21)
y
の 関係 が あ る。
Pttf Fレ χz=′ ra″ ι
NOM信 号 の典 型 的 な振 る舞 い は球 の 数 には依
plane ofincidence
(XZ― plane)
図2
存 しな い こ とか ら
近接場光学顕微鏡の 概念図
4.1
)
,
入射偏光依存性
査 像 に は ,入 射 偏 光 依 存 性 が あ る こ とが ,理 論
。 ここで,プ ロパ ゲ ー ター T(二 巧,ω )
は ,(12),及 び ,(16)式 で 述 べ た ものの和
的 に も実験 的 に も明 らか に され て い る
14ヽ 4o。
そ
の 一 例 と して ,C_モ ー ドタ イプで プ ロ ー ブ を基
板 か ら一 定 の 高 さで 走 査 した (conStant hcight
a)
-'ydircct,r, i,,
である。(18)式
下 の数 値 計 算 例 で は
可 視光 を用 い た様 々 な タイプの NOMに よる走
14ヽ 2⊃
T (i, ri,
),以
Ⅳ =ν =1の 場 合 を考 える こ とにす る。
ゴ賃二ω
ω
二
議〈
)+VT(二 4,0%o)J安 4,o(l①
と書 け る
16,加
a)*
modc)場 合 の 理 論 値 が 図 3に 示 され て い る 20)。
rirdircctlr, r;, al)
(19)
(a)に は ,プ ロー ブ をχ方 向 に走査 した場 合 とノ方
でノ=4(′ =1,2,… 。
,こ Ⅳ +1,… ・
,
N+ν )と 置 くと,3(″ 十Ⅳ)次 元連立方程式が得
られるので,こ れをE安 4,ω )に ついて解けばよ
い 。通 常 の 誘 電 体 の 場 合 ,(18)式 の 右辺 第 2項 の
向 に 走 査 した 場 合 の s偏 光 に 対 す る 近 接 場 信 号
′
α
′
の 対 比 を示 して い る 。 (b)に は ,P偏 光 に対
J″
して厳 密 にE安 弓,ω )を 求 め た場 合 と摂 動 展 開 で
求 め た 場 合 を示 して い る。 (こ の場 合 は ,S偏 光
大 き さは 第 1項 の 大 きさ よ り小 さい ので ,第 2項
の よ うな走査 方 向依 存性 は 見 られ な い 。)こ の 図
のゴ安 4,ω )を 二)(4,ω )と 置 き換 えて もよい (摂 動
か ら,S偏 光 に対 して は サ ン プ ル 中心 で 谷 に ,P
展 開 )。 これ は ,散 乱 問題 にお け る BOm近 似 に相
偏 光 に対 して はサ ン プ ル 中心 で 山 に な り,半 値
当 して い る。
幅 もサ ン プ ルの サ イ ズ よ り広 が る とい う典 型 的
実 験 デ ー タ と理 論 値 と を 比 較 す る た め に は
な近 接 場 信 号 の 振 る舞 い が 分 か る 。 この よ うな
,
プ ロー ブ先 端 で の 有 効 光 場 の う ち伝 播 光 と な っ
近 接 場 信 号 の 特 徴 は ,分 極 率 ・ プ ロパ ゲ ー タ ー
て検 出 系 と結 合 で き る成 分 を取 り出す必 要 が あ
の 入 射 エ バ ネ ッセ ン ト場 に 対 す る 符 号 の 差 異
る。 実験 的 に は 種 々の 結 合方 法 が 考 え られ るが
言 い 換 え れ ば ,プ ロー ブ 先 端 で の 双 極 子 誘 起 場
,
,
こ こで は ,NOMの 基 本 的性 質 を調 べ るため に フ
の 方 向 が ,入 射 エ バ ネ ッセ ン ト場 に対 して 平 行
ァ イバ ー プ ロ ー ブ の テ イパ ー 角 ,あ る い は ,結
に な るか ,反 平 行 に な る か とい う こ とで 定 性 的
合系 の 特徴 を等 価 的 に表 す NAに 相 当す る角度 θ
に理解 す る こ とが で きる。又 ,S偏 光 の場 合 の エ
を用 い て次 の よ うな信 号 /力
/(θ
21,2⊃
)を
考 え よう
ッジで の 振 る舞 い の 違 い は ,走 査 点 で の 電場 ベ
。
ク トルの 方 向 に誘 電 率 の ギ ャ ップが 存 在 す るか
―-44-
現状の理論の概要と問題点 (4)散 乱問題 と自己無撞着法による取 り扱 い
どうかに起因 してい る。即 ち,こ の違 い は,ノ =0
上 を″方向 に走査 した場合 には,電 場 ベ ク トルの
Constant Height MOde
S‐
POL
方向 には誘電率 が 一様 で あ るの に対 して,χ
=0
上 をノ方向 に走査 した場合 には,エ ッジ近傍 で誘
８
６
︵〓 〓 ヨ ・
”Ｅ Ｄ ¨
● ﹄“︶ ゝ〓 Ｏ Ｅ 〇一Ｃ ¨ ¨
∽
電率 に飛 びが生 ず ることに起 因 して い る。 以上
の よ うな傾 向 は ,基 板上 の突起物 の場合 だ け で
６
６
は な く基板 内 に埋 め込 まれて い る場合 に もあて
ア
)'45)。
は まる
“
4.2
プローブのテ イバ ー角
及び等価的 NA依 存性
２
６
実験 デ ー タと上で 述 べ た よ うな理論値 とを比
較 す るには ,プ ロー プのテ イパ ー 角 あ る い は
,
等価的 NAに 相当す る角度 θを考慮 す ることが 重
‐
120.
・40.0
40.00
120.0
要 となる
Scanning PositiOn(nrn)
査信号 fル
″
(θ
そ こで 入射 P偏 光 に対 して ,走
)が 角度 θとともに どの よ うに変化す
るか とい う計 算 例 を図
(a)
4に 示 す 21)。 角度 θが
］晟
P‐ PolariLatiOn
dog.)
P‐
POL(0=15 dog.)
￨
Exact
Perturbation
<.Sample slze
。
． “
Scanning Position (nm)
―
一
３
．
３
PPOL (e = 45 deS.)
―
―
P・
―
―
―
― ―
―
―
￢
POL(0=30 deg.)
”
︵
目●．
“︶、〓∽
一
目ｏ
目Ｈ︻
”目¨“
︻
０﹄
一
∽
”
２
４
９
７
６
・３
４
昭 。
４．
３
３
・０
・０
・嘲 ０
・０
・喘 昭
０
→颯
目目 、Ｆ“﹄〓ハ﹄“︶黎“目¨︻
０︼
﹄“ｏＺ
∽ ●︻
﹄︲
‐
30
.lo
lo
30
．
莉
46∼ 50。
50
”
Scanning PositiOn
“
７
７．
(△ =1.49nm)
６
７．
(b)
図
3
近 接場 信 号の 入射偏 光 依存 性
図4
(a)S偏 光 :プ ロープを×方向 に走査 した場合と y方 向に
走査 した場合の比較
:厳
光
密解と摂動展開による解の比較
(b)P偏
近接場走査信 号の角度 θ依 存性
P偏 光 に対 して θ=15° ,30° ,45° ,60° の場 合
-45-
第Ⅱ部 理論編
45°
よ り大 きい 時 には ,Iル
″
(θ
)は
近接 場 信 号 r″
ι
α
″
走 査 像 や 分 解 能 が 変 わ る こ とを述 べ た 。 次 に信
と同 じよ う にサ ン プ ル 中心 に ピ ー ク を持 つ 。 し
号 強度 を保 ち なが ら コ ン トラ ス ト(visibility)が 最
か し,角 度 θが 小 さ くな る に つ れ て エ ッジ に 山
適 に な る よ うな角 度 θが 存 在 す るか ど う か 調 べ
,
中心 に谷 を持 つ よ う にな る。 こ れ は 、P偏 光 で サ
て み よ う。 図 5に constant height modcと cOnstant
ンプル/プ ロー ブ上 に励起 された双極子場 がz方
intcnsity modeの 計 算 例 を示 す
向 の far― zoneに は伝播 しに くい あ らわれ と理解 で
光 に対 して は θ≧ 60°
きる。 また ,こ の よ うな近接場信 号 の振 る舞 い
37)。
は,実 験 デ ー タの傾 向 と も一致 してい る
θ≦ 35° の 場 合 にそ の よ うな最適 値 が 存在 す る こ
これ まで入射偏光 と角度 θに よつて得 られ る
走 査 す る 方 法 を変 え る と必 ず しも最 適 値 とは な
25)。
これ か ら P偏
,S偏 光 に対 して は 20°
≦
とが 分 か る 。 しか し,こ の 最 適 値 もプ ロー ブ を
り得 な い 。 シ ア フ ォー ス で フ イー ドバ ック をか
け た 時 の よ うに ,サ ン プ ル /基 板 か ら一 定 の 距
Constant Height Mode
離 に なる よ う に プ ロー ブ を走査 した場 合 (constant
―
―
POL
S‐ POL
distance modc),S偏 光 に対 して は 30° ≦ θ≦ 60°
P‐
,
﹂
ｒ 〓一
ｏ一
■一
＞
、〓 ｏＥ９ “一一ｏｃ● 一
の
P偏 光 に対 して は信 号 強度 が 落 ちるけ れ ども θ≦
25°
で コ ン トラ ス ト最 適 とな る (図
6参 照 )。 但
し,こ の 場 合 得 られ る 走 査 像 は constant hcight
mOdC(COnstant intcnsly nlodc)の 時 とは異 なる ので
銀｀
51)。
そ の解釈 には注 意 が 必 要 で あ ろ う
5.ま と め
Ang!e(deg.)
Angle(deg.)
図
5
角度 θを変化 させ た時の constant height mode
及び constant intensity modeの 近接場信号
プ ロパ ゲ ー タ ー を用 い た 自己無 撞 着 法 とは ど
(最
の よ うな方 法 で ,光 近接 場 を どの よ うに取 り扱
大値 )と コン トラス ト(viSibil社 y)
え ば よ い か を古 典 論 の 範 囲 で 解 説 した 。 また
,
これ に基 づ い て ,近 接 場 光 学 顕 微 鏡 の 実 験 デ ー
タ との比 較 に 関連 した 数 値 例 を示 した。 こ こで
Constant Distance Mode
は 触 れ る こ とが で きなか ったが ,量 子 論 的 な ア
―
一
POL
S‐ POL
プ ロー チ か ら も興 味 深 い 現 象 や 実 験 が あ る 。 量
P‐
ヽこ 〓ｏ 一
０一”
ヽ〓 ＯＣｏ”〓一一
“Ｃ 〇一
∽
子 論 とか らめ て ど う取 り扱 って い くか は ,今 後
の 課 題 の一 つ で あ ろ う。 又 ,そ の よ うな理 論 か
らお も しろ い 予 測 が 行 え ,実 験 的 に も検 証 が 行
え る とい った方 向 に進 んで い きた い もの で あ る。
(小 林 潔 )
Ang:o(deg.)
Ang:o(deg.)
Angle(deg.)
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図
6
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α
π
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Fγ
―
/2ι
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たα
′
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現状 の 理 論 の 概要 と問題点 (5)
双対 的 Ampereの 法則 と NOM像
1.は じめ に
ではMaxwcllの 方程式系 で時間遅 れ を無視 で き
,
メ非依存 (準 静的)描 像 が成 り立 つ。 この一般的
この小論 の 目的 は以 下 を示す こ とで あ る。
①微小誘電体 の光近接場 に定量 的 な議 論 にた
える簡単 な描像 がある こと。 (第 2章
)
NOMで ア をプ ロー ブの あ る位 置 とみ なせ ば
最 も簡 単 な NOMの 理 論 は近接場 条件 下 の もの
,
② 近接 場 の測定 にお け る場 の強度 は遠隔場 の
もの と異 なる こ と。 (第 3章
事実 は明確 に認 識 されて い ないが ,先 人た ちの
い くつ かの数値計算 の 結果 か ら確 認 で きる 4,5)。
で あ ろ う。
)
③①,② の議論を適用 し近接場光学顕微鏡
(NOM)の 動 作 原 理 を明 らか に す る こ と。
(第
4章
2.2
双対 的 Ampereの 法則
誘電体 は非磁性 で あ り,電 気的応答 は局所的
)
,
るが , ここでは最 も簡単 な状 況 を仮定 し大部分
線形 的 で誘電率 :ε (ア )に て表 せ る と仮定す る。 こ
の 時 ,近 接場条件 下 で扱 うべ きMaxwell方 程式
を直感的,定 性的 な議論 に限 る
系 は時間遅 れを無視す る と以 下 で ある。
我 々の方法論 は定量 的計算 も可 能 な もので あ
1)。
プ。
づの =o
2,近 接 場 の 簡単 な描 像
2.1
波数 ベ ク トル 非依存 の 描像
真 空 中 の誘電体 (特 徴 的サ イズ:α )に 単色 の
光 (波 数 ベ ク トル:″ )を 入射 し,測 定点 (誘 電
(3)
5σ )=ε (め 晨乃
(4)
但し,が ,ゴ は電束密度場,電 場を表す。式 (3)
を5(グ )で 表すと
体 の 中心 を原点 と した位 置 ベ ク トルプ )で の電
場 を求 める問題 を考 える。 ここで ,誘 電体 も測
,
定点 も一波長 の領域 に十分納 まる と仮定す る。
々αdγ <<1.
ヾ×政め=o
×
ヾ
5の =ヾ h(平
(1)
)×
5o.
″
一方,入 射光のプ に対しては
,
以 下 ,こ れ を近 接 場 条 件 と い う。 近 接 場 条 件 下
-48-
現状の理論の概要と問題点 (5)双 対的Ampereの 法則とNOM像
ヾ×5燒 (ア )=o.
法 は困難 で あ るの に対 し,我 々の方法 では式 (7)
(6)
の右辺 の磁流密度 を簡単 に見積 もれ,散 乱場 が
η
を効率的 に求 め られる。Ma■ inら の F型 微小誘電
⊃
体 の散乱電場 の厳密 な数値計算 と比 較 するため
これら二式の辺々を引いて,￨づ l≫ lm殉 (散
″
″
乱場が =づ 一が が入射場が に対 して小さい
と仮定すると次の双対的Ampcrcの 法則を得る。
)
ヲ
×
△
あ =ヲ Ц乎
)×
5kめ
に行 った我 々の方法 での結果 を図 2に 示す。
.
ここで,簡 単のためにε
面で急峻に変わ
(グ )が 表
「ち,ア が微小誘電体中ではε
ると仮定する燿
〆)=a,
ではε
それ以タ
ト
グ)=a。 この時,式 (7)の 右辺はアが
ちょう ど表面上 にある時 ,有 限値 を持 ち,そ の方
向 は表面 の外 向 き単 位 法線 ベ ク トル を 勿とす る
と-2+づ “でぁる。物理的にこの量は
流)× (―
(表 面磁
a)で ある。図 1を みて Alllpcrcの 法則
ヾ×晟えの=μ O(電 流密度
).
と比 較 す る と双 対 性 の 意 味 が 明 らか に な る だ ろ
図2
う。 この よ う に近 接 場 条 件 下 で は ,非 常 に 簡単
式 (7)に よる複雑 な形の微小誘 電体 による
光の散乱の計 算
な描 像 が あ る。 もち ろ ん″非 依存 で あ る。
1°
Martinら の 計 算結 果 と比較 す る ため入射 偏 光 ベ ク トル
我 々の 方法 で は ,Maxwdlの 境 界条件 は近似 的
F(厚 さ 7.5nm)の 長 手 方 向 の 場 合 の 誘 電 体 下 方
5nmで の式 (11)に よる相 対 強度 を等高線で表 した。誘
が
に表面磁 流 に こめ られ て い る。誘電体 の形が複雑
電体 の 形等 の 詳細 は文献
な場 合 ,伝 統 的 な Maxwellの 境界 条件 を用 い る方
D参
照
■プ
(b)
(a)
図 1(a)双 対 的 Ampereの 法則 と (b)Ampereの 法則
散乱電束密度場」 の源泉は誘導磁流密度場んであり,磁 束密度場ゴの源泉は電流密度場アである
―-49-―
第Ⅱ部 理論編
閉 じた磁 流 (電 流 )密 度 は 電 気 (磁 気 )双 極
→
Ц力
等 輸 菰み
子 能率 密 度 と等 価 で あ る こ とは よ く知 られ て い
る 。 今 の 方 法 で は ,誘 導 電 気 双 極 子 能 率 密 度 の
⑩
実は,式 (2)を ゴ(〆 )で 表 し同様な変形をすると
これは通常の散乱理論で見慣 れた表式 である。
″
次 に,近 接場 の測定(″ ≪ 1)で はプ (ア )≠ oで あ
誘導電気双 極子能率密度 が 散 乱場 の源泉 に成 る
り
代 わ り に誘 導 磁 流 密 度 で 記 述 した こ と に な る 。
,
よ うな式 にた ど り着 く。 これ ら二 つ の方法 は原
の
理的に等価 で あ る。
.
LX(h
+ c.c.+O(
|
lxl')
lx薇 ￠)12
≡△L`。 ヵ
′
″
ズ⊃
.
遠隔場演j定 ,近 接場測定の場の強度
lχ
本議論 は NOMに 限 らず 一 般的 な もので あ る。
一般 に,場 の 強度 (実 験 で の信号 強度 )は 次式
で あ る。
￨>>￨△ χlで
あるならば,干 渉項が主要な寄
与 を す る 。 入 射 場 と散 乱 場 の 干 渉 効 果 は
Jσ oヵ ″ ′
(〆 )が 負 になる (背 景 よ り強度 が 弱
くな る)
“
ことを可能 にす る点 で近接場 の強度 の特徴 で あ る。
.酬 △
蒻 .席二
x州 20
(NOMで
は
プ ロー ブ )の 間 の 多重 散 乱 を無 視 す る 仮 定 を し
|
た の で ,場 の 強度 は測 定 器 の 量 を使 わ ず に表 せ
・
)12
″
以 上 の 議論 で は ,散 乱 体 と測 定 器
I x'" G)+ n x(h l' - x " Gl l'
△」
σ)=
IXttσ
3(b)),式 (9)は 次式 となる。
X-(i).
△」
σ)→
3.場 の 強 度 の 表 式
3.1
(図
た 。 遠 隔場 の 測 定 で は ,こ の 仮 定 は 散 乱 体 と測
定 器 の 間 の 距 離 が 大 きい こ とに よ り正 当化 され
ここで,Xは 注 目してい る スカラー場 またはベ
クトル場で,分 子の ￨プ ″
〆)12は 散乱体の無いと
きの 背 景 の 強 度 ,分 母 の もの は Arを 無 次 元 に す
るため 導入 した 。
る 。 近接 場 の 測 定 で は ,測 定 器 の サ イ ズ:わ が 十
分 小 さ く弱 い 散 乱 しか起 こ さな い こ とが 必 要 で
あ る。 以 下 ,こ れ を微 小 プ ロー ブ条件 とい う。
たわく<1.
遠隔場 の測定(々 γ≫ 1)で は普通 ,入 射場 の振幅
がない所 にあるので (図 3(a))χ ″
(ア )=oで あ り
(12)
近 ご ろの NOMの 実験 で は近接 場 条件 と微 小 プ ロ
ー ブ条件 と も満 た され て い る よ うで あ る 助。
,
式(9)は 次式 となる。
亀︱ ︱ 日 １ １ 日 ︱ ♂
ｔ
3.2 NOMの 信 号 強度
NOMの 信号 強度 へ 寄与 をす るの は ,プ ロー ブ
で あ る光 フ ア イバ ー の 長 手 方 向 に進 む横 波 の 光
で あ る 。 よって ,微 小 誘 電 体 を観 察 す る と きプ
ローブの位置におけるがのうち偏光ベクトルが
プ ロー ブの 長手方 向に垂直 な成分 のみ信号強度
ξ
に寄与 をす る と考 え られ る。 この射影効果 はベ
(a)
ク トル場 に特有 の こ とであ るが ,NOM像 の入射
偏光 ベ ク トル依存性 を説明す るため に,等 価 な
(b)
ことが他者 によ り指摘 されて い る
図 3(a),(b)遠 隔 (近 接 )場 の測定
7,8)。
射影 され
たが 等 を厘九 等 とか き,次 の表式 を与 える。
測定す る位置 χに入射場の振 幅 がない (あ る )
-50-
現状の理論の概要と問題点 (5)双 対的 Ampe腱 の法則とNOM像
△脇 冽
0=脚
まず,s偏 光入射の場合 (図 4と 図5),プ 綺=
た特に図5の 走査線が対称面上に
ノ"で あり,ま
(13)
ヵ
″θ
″‖=△ iο 力
σ
″
′
″等 とな つて い る。
あ るため ,△ 鳥。
△Lcal"￨￨￠
十
△づ‖
づr(乃 。
￠)+c.c.+0(￨△ づ￨￨う
△爵励ω″￨が 負 の ビー クをもつ ことは干渉効果 で あ
)
￨づ
り,散 乱体上方でノ1が j′ 術に反平行になつて
(14)
“σ)「
い る ため で あ る 。 この こ とは 近 接 場 条件 を満 た
す系 に な され た 先 人 た ち の 数 値 計 算 の 結 果 に も
△鳥。
ヵ ′
我 々の提案 す る NOMの 信号強度 の表
“llが
式 であ り,干 渉効果 と射影効果が考慮 されてい る。
`″
4。
NOMへ の応 用
現 れてい る
9'Ю '1の
しか し,実 験 的検 証 は な され て
い ない。
0.02
￨￨ ￨￨!l
近接場 と NOMの 信 号強度 の 関係
プ リズ ムの上 にあ る微小誘電体 を コ レク シ ョ
0
4.1
ンモ ー ドの NOMで 観察す る場合 を考 える
11)。
-0.02
入
射光 は減衰波 だが ,通 常 そ の減衰距離 は波長程
度 で あ るので ,近 接場条件下 か つ微小 プ ロー ブ
lc lc il
-0.04
条件 下 で は散乱体 や プ ロー ブの尖端 は減衰波 の
性 質 を感 じない。 この ことか ら,プ リズム を無
-0.06
視 し真 空 中にあ る微小誘電体 に伝幡波 を入 射 さ
せ るモ デ ルで考 えて もよいで あ ろ う。即 ち,第 2
-0.08
Qt4-3‐
章 の議論 が NOM系 で有効 になる。我 々は NOM
の強度 の表 式 は△鳥。
ヵ
ι
″
例′
￨が ふ さわ しい と考 えて
0 1 2345
s偏 光入射 の場合の光近接場の強度 13)
″非依存である
図5
い るが ,比 較 のためその他 の表式 に よる図 も合
2■
わせ てか く。
0,1
scanning line
for fig.5
0.08
-4
0.06
乙
n而
引∞
0
5
0.04
for fig 6
0.02
/Din
0
1°
が1ガ
さ が
図 4 図 5と 図 6の 計 算の モデル
′
″
方 向 と して ,一 辺 の長
,づ ×プの 方 向を鶏
1で
-0.02
14
"zの 微 小 誘 電 体 が
誘 電 率 1.58oの
グ 10≦ χ≦1,0≦ ノ≦1,0≦ Z≦ 1}を 占める。図 5の 走査線 (横 軸)
は ,{ダ lχ 却 .5,z=135},図 6の 走査線 (横 軸)は ,{ダ lzう .5,
図6
卜 1.35}(ま たは ,{グ レ却 5,卜 1.35Dで ある。
―-51-一
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
p偏 光入射の場合 の光近接場の強度 13)。
メ非依存である
第 Ⅱ部
理論編
次 に ,p偏 光 入 射 の 場 合 (図 4と 図
モ デ ルで はノ
11=oの
6),こ
② NOMの 信号強度 に対応す る場 の強度 の表式 を
提案 した。近接場特有 の入射場 と散乱場 の干
の
た め ,△ 」 ヵ
σ
″′
￨￨=
`。
“
なる。△鳥。
″￨が 二重 ピー
ヵ
′
″
“
クをもつこ とは射影効果 で あ り,散 乱体上方 で
力
ι
″′
1厘 九 12(=△ 九。
￨)と
￨卜 dで あることによる。これは納谷等の実
圧ヌ
い
験 や ,Jhcと Jangの 理論 的結 果 と一 致 す る。
渉効果 と,NOM特 有の射影効果 を実効的 に考
慮 した表式である。
③ NOMに よ り回折限界 をこえて観潰1が できる動
作 原 理 を明 らか に した。 む しろ ,回 折 限界 を
以 上 の よ う に ,我 々の 第 2,3章 の 方 法 を援 用
は るか に越 え た 条 件 下 で う ま くは た ら くの で
す る と NOMの 信号 強度 に 関す る定性 的 で 直感 的
あ る。
(坂 野 斎 ,堀 裕和 )
な議 論 が可 能 に なる。
4.2 NOMが
う ま くは た ら く理 由
4.1の 議 論 か ら,NOMの プ ロー ブが い か な る
光
(ま
た は 電 場 )を 拾 って い るか 直 感 的 に理 解
謝辞
この 小 論 の 内 容 は Korea― Japan Coopcration
で き,像 と散 乱 体 の 形 に は 簡 単 な関係 が あ る こ
Rcscarch Programを 通 して ,ソ ウ ル大 学 W.Jhc教
とが わか った 。 実 際 ,近 頃 の NOMの 実 験 で は近
授 ,東 京 工 業 大学 ,大 津 元 一 教授 ,北 原 和 夫教
接 場 条件 も微 小 プ ロー ブ 条 件 も満 た され , きれ
い な像 が 得 られ て い る り。
授 との 議 論 に よ り生 まれ た もの で あ る 。 上 記 の
逆 に ,た α≧1ま た は たわ≧1で あ る と す る と
各氏 に感 謝す る。
,
Maxwc11の 方 程 式 で 時 間遅 れ を 考 慮 せ ね ば な ら
な い 。即 ち ,場 の 位 相 が 一 定 とは み なせ ず ,散
参考文献
1)I.BannO,H.Hori and T.Inouc:Optical Re宙 cw 3(1996)
乱場 ど う しの 干 渉 に よ りNOM像 は複雑 にな る と
454.%
2)I.BannO,H HoH:投 稿 予 定
予想 され る 。
3)例
以 上 か ら近 接 場 条 件 ,微 小 プ ロ ー ブ 条 件 が 近
え ば ,文 献
.
8)
4)YoLcviatan:J Appl.Phys.60(1986)1577.
接 場 に特 有 の ″非 依 存 ,従 って 場 の 位 相 が 一 定
5)J.F.Martin,C.Girard and A.Dereuxl Phys.Rev.Lctt.74
(1995)526($¥vk$非 依 存 に 関 して は Fig。 1(C)と
で あ る こ とを もた ら し,回 折 限界 をは る か に越
えた ところで NOMを 有効 にはた らか しめ て い る
こ とが わか る 。
6)こ の 表 面磁 流 は Maxwdlの 境 界 条件 を近 似 的
(d))
に保証
す る。 実 は ,急 峻 な表 面 を導 入 した た め磁 流 の 不 定
性 が現 れ るの だが ,式 (2)等 に よ り定 め る事 が で きる。
詳 細 は投 稿予 定 。
5。
7)W Jhe and K.Jang:Ultrarnicroscopy 61(1995)81.
ま とめ
8)M.Naya,S.Mononobe,R.Uma Maheswari,ToSaiki and
M.Ohtsui Oplcs Commun.124(1996)9.
①微小誘電体の光近接場は″非依存または位相
一定 で あ り,双 対的 Ampcrcの 法則 で近似的 に
記述 される。 これ に よ り,複 雑 な形 の微 小誘
電体 の 光近接 場 を直感 的 に理 解 で き,ま た
容易 に計算 で きる。 MaxwcHの 境界 条件 を表
,
9)C.Girard and D.Cou10n:Phys.Rcv.B42(1990)9340.
10)K.Kobayashi and O.Watanuki:J.Vac.Sci.Tcchnol.B
14(1996)804.
H)大 津 元 一 :応 用 物 理 65(1996)2.
12)A.Zvyagin and M.Ohtsu:Optics Commun.(1996).
13)萩 原
篤 :山 梨 大 学 工 学 部 電 子 情 報 工 学 科 卒 業 論 文
(1997).
面磁流 に こめた御利益 で ある。
-52-
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