厳密な中心対称性を持つ Nf = 3 QCD の有限温度相転移の解析と

厳密な中心対称性を持つ Nf = 3 QCD
の有限温度相転移の解析
と
Wilson ﬂowによる熱力学量の測定
伊藤悦子(KEK)
九大研究会ー格子QCDと現象論模型による有限温度・有限密度の物理の解明ー
2015/2/19
有限温度QCD
QCD閉じ込め
素粒子標準模型を超えた模型
有限温度QCD
QCD閉じ込め
Z3QCD模型
Wilson flowによる
エネルギー運動量テンソル
5d SU(3)理論
エンタングルメント
エントロピー
4d 共形場の理論
素粒子標準模型を超えた模型
有限温度QCD
QCD閉じ込め
Z3QCD模型
Wilson flowによる
エネルギー運動量テンソル
5d SU(3)理論
エンタングルメント
エントロピー
4d 共形場の理論
素粒子標準模型を超えた模型
有限温度QCD
QCD閉じ込め
Z3QCD模型
Wilson flowによる
エネルギー運動量テンソル
5d SU(3)理論
エンタングルメント
エントロピー
4d 共形場の理論
素粒子標準模型を超えた模型
based on recent works
(1) Nf=3 QCD with exact center symmetry
collaboration with T. Iritani (YITP, Kyoto U.) and T. Misumi (Keio U.)
(2)Thermodynamics using Wilson ﬂow
FlowQCD collaboration
•
(M.Asakawa, M.Kitazawa (Osaka), T.Hatsuda (RIKEN), H.Suzuki (Kyushu))
and T. Iritani (YITP, Kyoto U.)
Outline
-
有限温度相転移と秩序変数
-
QCDにおける相転移の研究の現状
-
厳密な中心対称性を持つNf=3 QCD型模型 (Z3QCD)
-
関連する研究 (Dirac eigenmode decomposition)
-
Discussion
Question
カイラル相転移と閉じ込め転移は関係しているのか?
Finite temperature phase transition
low T
high T
chiral symmetry
broken
preserving
conﬁnement
occur
not
Finite temperature phase transition
What is order
parameter?
chiral symmetry
low T
high T
broken
preserving
chiral condensate
¯
conﬁnement
occur
q-qbar potential
=0
linear
¯
=0
not
Coulomb
center symmetry
preserving
broken
MA U(1) monopole
condensate
not
Order parameter of chiral symmetry
Banks-Casher relation
q̄q =
lim lim
m
0V
(0)
chiral condensate can be measured by the low-lying Dirac eigenmode
Luescher s slide (2008)
Dirac eigenvalue
D(x, y) (y) = i
(x)
eigenvalue distribution function
( )
cf.) free theory
( )
| |3
1
V
(
n
n)
q-qbar potential for quenched SU(3)
J.D.Stack, PRD29, 1213 (1984)
6.0 <
83
< 7.0
12
V and x are measured in unit
V (R) =
R
+ R
and
1/
- scale is determined at present
- full QCD is also observed
Z3 center symmetry
Z3 transformation Uµ (x)
2 ki/3
e
Uµ (x)
k = 0, 1, 2
Uµ = exp[igAµ ]
Polyakov loop is related with the free energy for the q-qbar pair with
inﬁnite separation.
|⇧P ⌃|2 ⇥ exp[ Fqq̄ (r ⇤ ⌅) ]
free energy
⇤|P |⌅ = 0
Fqq̄ (r
⇥) = ⇥
conﬁnement
⌅|P |⇧ ⇤= 0
Fqq̄ (r
⇥) ⇤= ⇥
deconﬁnement
Z3 center symmetry
quenched QCD (pure YM)ではこの対称性が厳密にある
Polyakov loopの分布図
P
II
⇤|P |⌅ = 0
IV
III
|⇧P ⌃|2 ⇥ exp[ Fqq̄ (r ⇤ ⌅) ]
I
⌅|P |⇧ ⇤= 0
Fqq̄ (r
Fqq̄ (r
free energy
⇥) = ⇥ conﬁnement
⇥) ⇤= ⇥ deconﬁnement
I,II,III : deconﬁned phase
IV
: conﬁned phase
full QCD case
フェルミオンの作用に中心対称性はない
µ
¯
fermion action: L = (y) µ D (x, y) (x)
µ
Dx,y
Dirac operator
1
=
[Uµ
2a
x+µ̂,y
U
µ (x) x µ̂,y ]
Nf = 3 QCD
0.4
mPS/mV = 0.70
Im L
0.2
beta=2.0, 2.2 : conﬁned phase
beta=1.7
:deconﬁned phase
0
-0.2
相転移点がはっきりしない
β = 1.7
β = 2.0
β = 2.2
-0.4
-0.4 -0.2
0
Re L
0.2
0.4
Question
カイラル相転移と閉じ込め転移は関係しているのか?
ある理論的な模型
ダイナミカル・フェルミオンの系 (Nf=1+1+1)
作用に厳密な中心対称性を持つ
QCDにおける相転移の研究の現状
カイラル相転移と閉じ込め転移は関係しているのか?
- 閉じ込め転移の秩序変数
quenched QCD (fermion質量無限大)
・Z3 center symmetry
・Magnitude of Polyakov loop is order parameter
Z3 phase trans.(Td)
chiral phase trans.(Tc)
Kogut et. al. , Phys.Rev.Lett. 50 (1983) 393
Nf=2 QCD eﬀective model
dotted lines are ordinal NJL model
solid and dashed lines are PNJL model
Polyakov NJL model
K.Fukushima
PLB591 (2004) 277
Lattice studies
only known gauge invariant and nonperturbative regularization method
*+,-./
Td (center sym.) and Tc (chiral sym.)
・quenched QCD
01234-56


(center symmetric
action)
&'()
"#$%
・Nf=2 massive adjoint fermion
(center symmetric)
*+,-./
¯
⌦↵
✏
¦L¦
⌦↵
✏
Td<Tc
Td Tc
Karsch, et.al. (1999)
Kogut, et.al. (1983)
!
 01234-56
!

 &'()
 "#$%
⇣⌘✓◆
⇣⌘✓◆

・Nf=2+1 fundamental fermions (no center symmetry in the action)
図 1: カイラル凝縮とポリャコフループ期待値の schematical な格子計算結果の図。クエ
⇥⇤⌅⇧
⌃⌥
⇥⇤⌅⇧
ンチ (左上)⌃⌥
[1]、随伴表現
QCD(右上) [4]、N
f = 2 + 1QCD(HotQCD 左下) [3]、Nf =
2 + 1QCD(BMW 右下) [2]。
それぞれの対称性の秩序変数であるポリャコフループとカイラル凝縮を近似的な秩序変数
と見た場合のクロスオーバー転移温度であり、本質的に 2 つの転移に関係があるとは言い
Td Tc
Td>Tc

切れない。実際 Nf = 2 + 1 ダイナミカル格子
! QCD 計算によると、転移温度がほぼ同じ
!


と主張するグループ [2][図 1 左下] と相違があると主張するグループがあり
[3][図 1 右下
]、
HotQCD collab.(2008)
一致した見解は得られていない。これら 2 種類の転移に相関があるか否かという問題は、
図 1: カイラル凝縮とポリャコフループ期待値の schematical な格子計算結果の図。クエ
有限温度 QCD の枠を越えて強い相互作用の本質的な理解に繋がると考えられ、長年に亘
ンチ (左上) [1]、随伴表現 QCD(右上) [4]、Nf = 2 + 1QCD(HotQCD 左下) [3]、Nf =
り議論されてきた。
2 + 1QCD(BMW
右下
) [2]。
この問題を調べるためには、理想的な状況としてカイラル対称性と Z3 中心対称性が厳
Fodor, et.al.(2009)
密な QCD 型理論を考え、それを格子数値計算により調べれば良い。カイラル対称性を持
それぞれの対称性の秩序変数であるポリャコフループとカイラル凝縮を近似的な秩序変数
つ QCD はすなわちゼロ質量 QCD であり格子上であっても原理的には実現可能である。
と見た場合のクロスオーバー転移温度であり、本質的に 2 つの転移に関係があるとは言い
一方、Z3 中心対称性はクォークの存在そのものにより破れてしまっているので、素朴に
切れない。実際 Nf = 2 + 1 ダイナミカル格子 QCD 計算によると、転移温度がほぼ同じ
はそれを保つ QCD 型理論を構成するのは困難である。我々はクォーク毎に異なる twisted
と主張するグループ [2][図 1 左下] と相違があると主張するグループがあり [3][図 1 右下]、
cf.) adjoint reps.
ab
UA = Tr[U
a
U
† b
]
Hot QCD
Tc (chiral)
chiral condensate
Tc
arXiv:0710.1655
Td (center)
magnitude of Ploop
Td
Fodor and Katz, arXiv:0908.3341
Tc (chiral) < Td (center)
- 精密なスケール設定が必要
- <¦P¦> の変化がなだらか(厳密な対称性がないため)
- 物理点ではカイラル対称性も厳密ではない
秩序変数がないことが、Tc, Tdの決定を難しくしている
Phase diagram for Nf=3 QCD
pure YM
Nf=2 QCD
1st
ms
CD
Physical
point?
3
=
f
Q
Nf=1
QCD
N
crossover
0
1st
0
chiral sym.
conﬁnement
(center sym.)
mu , m d
Nf=3 QCD
conﬁnement
(center sym.)
chiral sym.
pure YM
Nf=2 QCD
pure YM
Nf=2 QCD
1st
ms
CD
Physical
point?
3
=
f
Q
3
=
f
Q
N
N
crossover
crossover
0
CD
Physical
point?
1st
0
mu , m d
0
At physical point,
mu , m d
chiral phase transition is crossover because of masses
conﬁnement is crossover because of no center symmetry
Nf=1
QCD
Our approach
conﬁnement
(center sym.)
chiral sym.
Nf=2 QCD
pure YM
Nf=2 QCD
pure YM
1st
ms
CD
Physical
point?
3
=
f
Q
3
=
f
Q
N
N
crossover
crossover
0
CD
Physical
point?
1st
0
mu , m d
0
mu , m d
Nf=1
QCD
Our work
Z3 QCD model
``A QCD-like theory with the Z_Nc symmetry
Kouno, Sakai, Makiyama, Tokunaga, Sasaki
and Yahiro, arXiv: 1202.5584
- 厳密な中心対称性を持つSU(3)ゲージ理論を提案
- 有効模型(PNJL model)で調べた
この有効模型に対応するゲージ理論を
格子シミュレーションで調べてみる
Z3QCD model
Kouno, et.al. arXiv: 1202.5584
Z3 twisted b.c.
cf.) 虚数化学ポテンシャル
⇥1 (⇤x, + T ) =
⇥1 (⇤x, )
⇥2 (⇤x, + T ) =
e2
⇥3 (⇤x, + T ) =
Z=
1
2
3
Z
[DU ]e
e4
Sg
i/3
←普通の有限温度
⇥2 (⇤x, )
i/3
⇥3 (⇤x, )
det M (U ; ✓ = 0)
⇥ det M (U ; ✓ = 2⇡/3)
⇥ det M (U ; ✓ = 4⇡/3)
critical temperature for chiral
phase transition
is the same for all ﬂavors
D Elia and Lombardo, arXiv:hep-lat/0209146
Our lattice simulation
Iwasaki gauge action, Wilson fermion, RHMC
- 繰り込んだフェルミオン質量一定
constant physics 暫定的
- mπ/mρ =const.
a
g
κ
i
3
3.5
0.21
0.2
0.19
0.18
0.17
0.16
0.15
0.14
0.13
mπ / mρ = 0.80
mπ / mρ = 0.70
0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6
β
mass spectrum
Z3QCD and Nf=3 QCD
β = 1.5, κ = 0.1400
2.5
-1
mass [a ]
2
PS
V
1.5
1
0.5
0
Z3-QCD
Nf = 3
PCAC
繰り込んだ(PCAC)質量とメソン質量は同じ
Polyakov loop distribution
Nf = 3 QCD
Z3-QCD
0.4
0.4
mPS/mV = 0.70
0.2
Im L
Im L
0.2
mPS/mV = 0.70
0
-0.2
0
-0.2
β = 1.7
β = 2.0
β = 2.2
-0.4
-0.4 -0.2
0
Re L
β = 1.7
β = 2.0
β = 2.2
-0.4
0.2
0.4
low T: around origin
(Z3 symmetric)
high T: spontaneously broken
-0.4 -0.2
0
Re L
0.2
0.4
low T: real axis
high T: real axis
Tdを決めるのが難しい
Magnitude of Polyakov loop
Z3 (1st order) vs Nf=3(crossover)
crossover
(Nf=3)
1st order (Z3 QCD)
1.5< beta< 1.9, ヒステリシス
1次相転移の証拠
chiral symmetry
Nf=3 massless QCD
d.o.f for the rotations of right / left fermions
U (3)R
U (3)L = U (1)B
U (1)A
SU (3)L
SU (3)R
spontaneously chiral sym. breaking
SU (3)v
Z3 massless QCD
U (1)B
U (1)A
SU (3)L
SU (3)R
explicitly breaking because of the Z3 b.c.
[U (1)R ]
2
[U (1)L ]
spontaneously chiral sym. breaking
[U (1)v ]2
2
chiral condensate
h¯ i =
(2)2 mq
x
1.2
h⇡(x)⇡(0)i
Z3-hot : u
:d
:s
1
Z3-cold : u
:d
:s
Nf3
0.8
|⟨q–q⟩|
X
0.6
0.4
0.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
β
- 1.5 < beta < 1.9, ヒステリシス (1次相転移)
- 中心対称性の相転移と同じbetaの領域
chiral condensate
0.8
Z3-cold : u
:d
:s
0.7
Z3-QCD
0.4
Im L
|⟨q–q⟩|
0.6
z
0.2
0.5
1
0
-0.2
0.4
mPS/mV = 0.70
-0.4
z2
-0.4 -0.2
0.3
β = 1.7
β = 2.0
β = 2.2
0
Re L
0.2
0.4
Z3 split-ﬂavor b.c.
P-loop phase =1
0.2
0.1
1.5
1.6
1.7
β
1.8
1.9
カイラル回復相ではフレーバー対称性も破れている
境界条件でいれた位相が運動量のシフトを与えているため
Dirac eigenmode decomposition
Gongyo, Iritani and Suganuma
PRD86 (2012)034510
chiral sym.
<=>
Dirac eigenmode
閉じ込め転移はDirac eigenmodeと
関係するか？
chiral symmetry
Banks-Casher relation
q̄q =
lim lim
m
0V
(0)
カイラル凝縮は小さい固有値のDirac eigenmodeと関係する
Dirac eigenvalue
Dirac operator
eigenvalue distribution
function
D(x, y) (y) = i
µ
Dx,y
( )
1
=
[Uµ
2a
1
V
x+µ̂,y
(
n
(x)
U
n)
µ (x) x µ̂,y ]
Dirac eigenmode decomposition
Gongyo, Iritani and Suganuma
PRD86 (2012)034510
Dirac eigenmode decomposition
Gongyo, Iritani and Suganuma
PRD86 (2012)034510
cut
q-qbar potential
Polyakov loop
Dirac eigenmode decomposition
Gongyo, Iritani and Suganuma
PRD86 (2012)034510
cut
q-qbar potential
unchanged
Polyakov loop
Dirac eigenmode decomposition
cut
Gongyo, Iritani and Suganuma
PRD86 (2012)034510
q-qbar potential
unchanged
Polyakov loop
閉じ込めは強結合展開やランダムな配位でも観測される
low modeではなく、むしろhigh modeが閉じ込めには効いている？
(ただし、この研究ではhigh modeをカットしても不変)
カイラル相転移と閉じ込め転移は関係しているのか?
Gongyo-Iritani-Suganuma work
カイラル対称性
<=>
Dirac eigenmode
閉じ込めの性質はDirac eigenmodeの分割
に依らない
Our work
カイラル転移は振る舞いは変わるか？
閉じ込め転移
近似的なZ3 symm.
->
厳密なZ3 symm.
カイラル相転移と閉じ込め転移は関係しているのか?
Gongyo-Iritani-Suganuma work
カイラル対称性
<=>
Dirac eigenmode
閉じ込めの性質はDirac eigenmodeの分割
に依らない
Our work
閉じ込め転移
近似的なZ3 symm.
->
厳密なZ3 symm.
カイラル転移は振る舞いは変わるか？
YES,
(同じ温度でどちらも一次相転移に！)
Discussion
*+,-./
-
chiral転移は中心対称性の転移に引
きづられただけではないか？
-
chiral対称性も厳密にある処では？
01234-56
&'()
Z3 QCD
¯

"
¦P¦
??
★

!
!

同時に起こるか？
K.Kanaya, arXiv:1012.4247

図 1: カイラル凝縮とポリャコフループ期待値の
ンチ (左上) [1]、随伴表現 QCD(右上) [4]、Nf =
Wilson flow を用いた
SU(3)ゲージ理論の熱力学量の測定
Phys.Rev. D90 (2014) 1, 011501
FlowQCD collaboration
(M.Asakawa, M.Kitazawa (Osaka), T.Hatsuda (RIKEN), H.Suzuki (Kyushu))
+ T.Iritani(YITP, Kyoto)
九大研究会ー格子QCDと現象論模型による有限温度・有限密度の物理の解明ー
2015/2/19
格子シミュレーションを使って
エネルギー運動量テンソルを
どう測るか？
基本的なアイデア
量子場の理論
(UV発散あり)
摂動論で次元正則化
+YM gradient ﬂow
格子正則化
+Wilson ﬂow
(一般座標変換不変性あり)
(a->0を取る)
有限な ﬂow timeでは、UV ﬁnite!
有限量同士なので、繰り込んだもの同士は、同じものになるはず
(摂動論的に関係づける。非摂動領域でもこれが成り立つと仮定。)
YM gradient ﬂowとは？
Flow方程式
Luescher, JHEP 1008, 071 (2010)
連続的なstout smearing
特徴と応用
-
|x| <
8t の領域をsmearする
Luescher, (Lattice2013) arXiv:1308.5598
topological charge の定義
scale setting (t0, w0)
新しいrenormalized couplingの定義
UV ﬁniteな量を定義 (特にゲージ場に波動関数くりこみが要らない)
chiral condensateの計算
UV ﬁniteness of the gradient ﬂow
Flow方程式 (continuum)
t Bµ (t, x)
= D G µ (t, x)
初期条件: Bµ (t
= 0, x) = Aµ (x)
摂動展開のleading orderの解
Bµ (t, x) =
d yKt (x
D
Kt (z) =
y)Aµ (y)
dD p ipz
e e
D
(2 )
tp2
p2 > 1/t のモードを抑える(smoothなUVcutoﬀの役割)
|x| <
8t の領域をsmearする
ﬂow timeを``次元とした拡張した時空でのall orderの摂動計算でも有限性が示された。
Luescher and Weisz, JHEP 1102, 051(2011)
``Suzuki method
Suzuki, PTEP 2013, no8, 083B03
関係式…格子上の次元4の演算子と繰り込んだEMTの関係
係数…繰り込んだ結合定数、beta関数の係数などでかける
b0 1-loop beta関数の係数
MSbar schemeの時
s1 = 0.03296...
s2 = 0.19783...
導出方法
Step 1
t=0でゲージ配位を作る。
Step 2
Wilson ﬂow方程式を解いて、ﬂow time (t)でのゲージ配位を作る。
1
1
8t
or
T
ただし、 a
QCD
Step 3
E(t, x)
ﬂowさせたゲージ配位を使って、 Uµ (t, x), を測定する。
Step 4
連続極限を取って、t->0の極限を取る。
(ただし、Step 2で書いたｔの下限に気をつける。)
TµR
(x) = lim
t
0
1
Uµ (t, x) +
4
U (t)
µ
E (t)
[E(t, x)
E(t, x) 0 ]
EMTの一点関数から有限温度系のtrace
anomalyとエントロピー密度を出してみる
Simulation setup
-
Wilson plaquette gauge action
lattice size (Ns=32, Nt=6,8,10,32)
統計数 (100 - 300配位)
simulation parameters
温度はBoyd et. al. NPB469,419 (1996)で決定
連続極限の定義は、Sommer scaleをreferenceに
alpha collaboration NPB538,669 (1999)で決定
ﬂow time依存性
(T=1.65Tc)
3
2.5
(ε-3P)/T
4
over
smeared
2a > sqrt(8t)
for Nτ =10
格子間隔(lattice cutoﬀ)が見えない領域
oversmearingにならない領域
for Nτ =8
2
for Nτ =6
1.5
2a <
1
beta=6.20 Nτ=6
beta=6.40 Nτ=8
beta=6.56 Nτ=10
0.5
8t < N a/2
- 有効な領域では、プラトーに見える
(高次演算子は小さい？)
Practicalに t-> 0を取る必要なし
0
5
4
(ε+P)/T
4
有効な領域
3
- 連続極限に近いデータほど、小さいtが有効
2
- エントロピー密度は系統誤差(scale setting)
が支配的
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
^/8t T
濃い色は統計誤差のみ、薄い色は系統誤差を含む
連続極限の様子
3
2.5
(ε-3P)/T
4
8tT = 0.4 でのデータの連続極限
T=1.65Tc
T=1.24Tc
T=0.99Tc
Boyd et. al.
2
1.5
- Boyd et.al.との生データの比較
(2-3倍高精度)
1
0.5
(ε+P)/T
4
0
5
-３点のデータを線形関数で外挿
4
- 連続極限に近いデータ２点で定数フィット
(系統誤差)
3
2
- 有効な領域内では、ﬂow timeを変えても結果は
無矛盾
1
0
0
0.005
0.01
0.015
2
1/Nτ
0.02
0.025
積分法との比較
3
(ε-3P)/T
4
2.5
Boyd et. al.
NPB469,419 (1996)
our result
Borsanyi et. al.
Okamoto et. al.
Boyd et. al.
2
Okamoto et. al. (CP-PACS)
PRD60, 094510 (1999)
1.5
1
0.5
Borsanyi et. al.
JHEP 1207, 056 (2012)
07
(ε+P)/T
4
6
5
4
3
2
1
0
0.8
1
1.2
1.4
T / Tc
1.6
1.8
2
結論
- この方法で、EMTをうまく定義できているようだ。
- (熱力学量の導出法として)積分法と比べて系統誤差の累積がない。
- エントロピー密度を求めるだけなら、ゼロ温度のシミュレーションは必要ない。
- 統計的にも優位(?)
展望
- 今の結果は、aspect比が心配(一番悪いのがNs/Nt=32/10)
- scale settingもWilson ﬂowを使う事でより誤差を小さく
- full QCD (formulationは出来た Makino and Suzuki, arXiv:1403.4772)
- EMTの２点関数 (比熱、shear , bulk viscosity等)
- conformal ﬁeld theoryのdilaton modeの測定、a関数

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