1 図形のしきつめ 12 例 題 1 太郎さんと花子さんは，お父さんが買ってきた 2 種類のタイルを見ながら話をしています。 花子：ここにある正三角形や正方形のタイルを使ってしきつめてみましょう。 太郎：まずは 1 辺の長さが 10cm の正方形のタイルだけを使ってみようよ。 たて ⑴ 縦 2m，横 3m の長方形の内側をすべてすきまなくしきつめたとき，1 辺の長さが 10cm の正 まい 方形のタイルは何枚必要か，答えなさい。 太郎：次は，正三角形の形に 1 辺の長さが 10cm の正三角形のタイルだけを使っ てしきつめてみようよ。 ⑵ 1 辺 1m の正三角形の内側をすべて右の図のようにすきまなくしきつめた 1m とき，1 辺の長さが 10cm の正三角形のタイルの枚数は何枚か，書きなさい。 また，考え方も書きなさい。 1m 1m ［岡山県立岡山大安寺中改］ 考え方 なら ⑴ 縦，横にそれぞれ何枚ずつ並 べるかを考えます。1m ＝ cm より，縦には， ① ② ÷ 10 ＝ （枚），横には， ÷ 10 ＝ （枚）並べるので，全部で正方形の ③ ④ ⑤ タイルは， × ＝ （枚）必要です。 ③ ⑤ ⑥ ⑵ ステップ 1 ， だん ステップ 2 の向きのタイルがそれぞれ 1 段にどれだけ並んでいるか調べる。 書 き 方 1m ＝ cm より，1 辺の長さが 10cm の正三角形のタイルは 段並べること ① ⑦ ができます。 いちばん上の段（1 段目）は， の向きのタイルが 1 枚です。2 段目は， の向きのタイルが 2 枚， の向きのタイルが 1 枚なので，合わせて 枚並びます。3 段目は， ⑧ 枚， ⑨ の向きのタイルが の向きのタイルが 枚なので，合わせて 枚並びます。このよ ⑩ ⑪ うに 1 段下がるごとにタイルの枚数は 枚ずつ増えることがわかります。 ⑫ ステップ 2 正三角形のタイルの枚数を求める。 書 き 方 段のタイルの枚数の合計は，ステップ 1 で求めた 1 段ごとのタイルの枚数をすべてたし ⑦ て求めることができます。 答 え ⑴ 枚 ⑥ ⑵ （考え方） ： （例）1 辺 1m の正三角形の内側には，1 辺の長さが 10cm の正三角形を ⑦ 段並べることができます。1 段目には 1 枚，2 段目には 枚，3 段目には 枚， ⑧ ⑪ というように並び， 段目には 枚並ぶことになります。合計枚数を計算すると， ⑦ ⑬ 1 ＋ ＋ ＋ 7 ＋ 9 ＋ 11 ＋ 13 ＋ 15 ＋ 17 ＋ となり，計算は， ⑧ ⑪ ⑬ （1 ＋ ） ＋ （ ＋ 17）＋ （ ＋ 15） ＋ （7 ＋ 13） ＋ （9 ＋ 11）＝ ⑬ ⑧ ⑪ × 5 ＝ 合計枚数は， 枚となります。 ⑭ ⑮ ⑮ タイルの枚数： 枚 ⑮ 68 1 例 題 2 たろうさんたちは，お楽しみ会が終わって，底面の円の直径が 6cm，高さが 18cm の円柱の形を した 6 個の空きかんを 1 つの箱に入れてかたづけることになり，それぞれ箱を持ち寄りました。 エー シー たろう：「A ∼ C のどの箱に空きかんを入れてかたづけようかな。 」 たけし：「かたづけるのに，できるだけ小さい箱に入れたいね。空きかんが箱からはみ出さないよう に，空きかんの重ね方を工夫すればいいよ。 」 図1 ビー B A 17cm C 20cm 17cm 12cm 18cm 15cm 18cm 18cm 18cm たけしさんの考え方で A ∼ C の中から箱を 1 つ選び，6 個の空きかんをはみ出さないように入れ ました。どの箱に，どのように入れたか，選んだ箱の記号を書きなさい。また，選んだ箱にすべての 空きかんをはみ出さないように入れ，方眼のある面から見たときの中の様子を，図 2 にコンパスや 定規を使ってかきなさい。ただし，方眼の 1 目もりは 1cm とします。 図2 A B C ［青森県立三本木中改］ 考え方 ステップ 2 A ～ C でどの向きに入れるか考える。 ステップ 1 書 き 方 図3 A，B の箱は高さが cm より低いので，空きかんを立てたままでは ⑤ ① 入らないことがわかります。C は立てたままで入りますが，A，B より大きいです。 ステップ 2 A，B で 6 つの円を方眼にかけるかどうかを考える。 書 き 方 A，B の箱で，方眼のある面から見て，空きかんが直径 6cm の円に見える向き に入れていき，直径 6cm の円を図 2 の方眼の中に 6 つかけるかどうかを考えます。 たて なら A の方眼は，縦が 17cm，横が 12cm ですから，横に 2 つずつ並べて入れても， 3cm 縦に 3 つ並べると， × 3 ＝ （cm）となり，はみ出してしま ② ③ だん うため，入りません。B の方眼では，まず，いちばん下の段にはしからぴったりと 2 つの円をかきます。 次に，2 つの円のそれぞれの中心から cm はなれたところにコンパスで円の中心をかき，図 ④ 3 のように 2 段目左の円をかきます。さらに，2 段目左と 1 段目右の円から 2 段目右の円をかきます。 同様に，3 段目右の円，3 段目左の円の順でかくと，6 つの円がおさまります。 答 え 選んだ箱の記号：B 箱の中の様子： （例）図 3 参照 69 12 図形のしきつめ たしかめよう 1 1 辺の長さが 147cm の正三角形の内側をすべて右の 図のように，1 辺の長さが 3cm の，正三角形の黒いタイル と，正六角形の白いタイルをこうごにすきまなくしきつめて いきます。このとき，しきつめた正三角形の黒いタイルと正 まい すう 六角形の白いタイルの枚数はそれぞれ何枚か，書きなさい。 また，考え方も書きなさい。 （考え方） （答え）正三角形 枚 正六角形 枚 2 あるお店では，1 辺が 6cm の立方体の形をした小箱 72 個を 3 種類の箱 A，B，C のいずれかに エー ビー シー 入れて送ることになりました。 表 荷物の大きさ（縦，横，高さの合計） 80cm 未満 A 76cm 60cm 80cm 以上 100cm 未満 B 33cm 12cm 20cm 25cm 12cm 100cm 以上 120cm 未満 C 24cm 送料 800 円 1000 円 1200 円 22cm たて 箱の縦，横，高さの合計で送料が表のように決まるとき，すべての小箱を入れてできるだけ安く送ろ うとすると，どの箱にすればよいですか。また，考え方も書きなさい。 （考え方） （答え）箱 70 がいちばん安く送ることができる。 みにつけよう 1 たたみには縁起がよいとされるしき方があります。たたみの角が交わって十字になることのないし えん ぎ まい き方は縁起がよいとされています。そこで，十字に交わらない （4 枚のたたみの角が 1 か所に集まらな い） しき方でたたみをしくことにします。1 枚のたたみは，2 つの辺の長さの比が 1：2 の長方形となっ ています。 ⑴ たたみの角が十字に交わらないように，3×4 のマスに，6 枚のたたみをしくとき，どのようにし けばよいか，見る向きをかえて見ても同じにならないしき方を 2 つ答えなさい。1 枚のたたみの大 きさは 1×2 とします。 ⑵ たたみの角が十字に交わらないように，4×4 のマスに，8 枚のたたみをしくとき，どのようにし けばよいか，1 つ答えなさい。1 枚のたたみの大きさは 1×2 とします。 2 3 つの辺の長さが 5cm，10cm，20cm の直方体の形を した図 1 のようなれんががたくさんあります。このれんがを， 色をつけた面を下にして，花だんのまわりにすきまができない 図１ 図２ 10cm 直線 5cm 角 20cm ようにぴったりと直線部分と角の部分が図 2 のようになるよ なら うにして並 べることにしました。1 辺が 2m50cm の正方形 エー の形をした花だん A の外側にれんがを並べる予定で必要な数 を用意しましたが，実際には 1 辺が 1m50cm の正方形の形 図３ ビー をした花だん B をくっつけた形の図 3 のような花だんをつく ることになりました。れんがはあと何個用意すればよいか，書 2m50cm きなさい。また，考え方も書きなさい。 A 2m50cm B 1m50cm 1m50cm （考え方） （答え） 個 71 12 図形のしきつめ［みにつけよう］ 3 図 1 に示すア～キの図形と，図 2，図 3 のような形のわくがあります。 図１ 図２ ア 図３ ア ウ イ ア エ オ カ キ 図 1 の 7 つの図形を，図 2，図 3 のわくの中に，それぞれ重ねずにすきまなくしきつめます。アの 図形を図のように置いたとき，残りのイ～キの 6 つの図形のしきつめ方を 1 つ示しなさい。ただし， うら カの図形を裏返して使ってはいけないものとします。 図２ 図３ ア ア 4 てん じ じょう ひろむさんはお父さんと 2 人で車の展示場に遊びに行きました。そこでは，大きな広場にたくさ なら んの車が前向きにきれいに並べられていました。ひろむさんは，展示場の人に車の並べ方を聞いて，展 たて 示場の車 180 台の配置図をかくことにしました。広場の大きさは縦 55m，横 52m です。 並べ方のきまり ・車 1 台分のスペースは縦 5m，横 2m です。 ・車は縦，横に何台かずつ，まとめて並べますが，車の間を行き来できるように，縦，横にいくつ かのはば 2m のまっすぐな通路をつくります。また，展示場のいちばん前と後ろ，左右にもちょ うどはば 3m の通路をつくります。 ・縦，横にまとめて並べる車の数はすべて同じです。 ひろむさんは配置図をどのようにかけばよいでしょうか。下の図にかきなさい。 入り口 ［記入のしかた］ 縦に 2 台，横に 3 台ずつ車をまとめて並 べて，縦，横に 1 本ずつはば 2m の通路を つ く る と き は， 右 の 図 の よ う に 通 路 を か き， 左 上 に台数をかけ算で表しま す。 72 2×3 5 たて 48 本入りのかんジュースを注文したところ，図 1 の直方体の形をした箱に図 2 のように，縦 に 6 本，横に 8 本がぴったりと入っていて，となり合うかんジュースどうしは接していて，さらにかん ジュースと箱も接していました。何本か飲んで，箱を横だおしに置いて，図 3 のようにかんジュース おさ だん の高さが平らになるようにしたところ，ちょうどはしからはしまで同じ高さに収まり，さらに上段にす きまができました。かんジュースの直径は 6cm で，図のアの長さを測ったところ，11.2cm でした。 図は，かんジュースの一部を省略してあります。 図１ 図２ 図３ イ ア ⑴ かんジュースは何本飲みましたか，答えなさい。ただし，上段のすきまは 6cm 未満とします。 本 ⑵ このとき，図 3 のイで示した高さは何 cm になるか，書きなさい。また，考え方も書きなさい。 （考え方） （答え） cm 73
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